第7期 15.3 等腰三角形-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（人教版2024 广东专版）

初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 数理橘 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期(2025年8月) 第5期综合测评卷 AC=AO,BD=BO,所以AC=BD.因为CE⊥AB,DF⊥AB 所以∠CEA=∠DFB=90°.在Rt△AEC和Rt△BFD中， 题号 1 2345678910 AC BD. 所以Rt△AEC≌Rt△BFD(HL).所以∠A=∠B. 答案CBACACDD CD CE DF, 二、11.4；12.70°；13.35cm;14.1；15.①②③. (2)由(1)得∠CE0=∠DFO=90°.因为Rt△AEC≌ 三、16.因为AD∥BE,所以∠A=∠B.在△ADC和△BCE Rt△BFD,所以AE=BF.因为OA=OB,所以OA-AE=OB- .AC BE. CE DF 中，∠A=∠B,所以△ADC≌△BCE(SAS).所以CD=CE. BF,即OE=OF.在△CEO和△DFO中， ∠CE0=∠DFO,所 AD BC OE OF, 17.因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF 以△CEO≌△DFO(SAS) AB DE. 21.(1)因为AE是△ABD的的角平分线，所以∠BAD= 在△ABC和△DEF中， AC=DF,所以△ABC≌ 2∠BAF.因为AD为BC边上的高，所以∠ADB=90°.所以 BC EF, ∠BAD+∠ABD=90°，即∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.又 △DEF(SSS).所以∠B=∠DEF=65°.又因为∠A=88°，所 因为∠BFE=∠FBA+∠BAF=45°，所以∠EBF+∠BAF= 以∠ACF=∠A+∠B=153°. 45°.所以∠EBF=∠FBA,即BF平分∠ABE. 18.(1)图略. (2)如图2，过点F作FM1 (2)①两直线平行，同位角相等；②∠DFE;③同位角相 BC于点M,FN⊥AB于点N.因为 等，两直线平行 BF平分∠ABE,所以FM=FN. 四、19.如图1，过点D作DH⊥BC 因为SaBF=SAa,即2AB·FN 于点H.所以∠EHD=90°.因为DE1 图2 =2BC·FM,所以AB=BC.在△ABF和△CBF中， 1 AC,所以∠AFD=90°.因为∠BAC= BA BC. 90°，所以AB∥DE.所以∠B=∠DEH. 图1 ∠ABF=∠CBF,所以△ABF≌△CBF(SAS).所以∠AFB ∠BAC=∠EHD BFBF 在△ABC和△HED中 ∠B=∠DEH, 所以△ABC兰 =∠CFB.因为∠BFE=45°.所以∠AFB=135°.所以∠CFB BC ED =135.所以∠AFC=360°-∠AFB-∠CFB=90° △HED(AAS).所以HD=AC=4.因为SE=6,所以2CE 五、22.(1)因为∠ABC=60°，所以∠BAC+∠BCA= 120°.因为AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,所以∠PAC+ ·HD=6.所以CE=3. 20.(1)因为点0是线段AB的中点，所以0A=OB.因为 ∠PCA=(∠BAC+∠BCA)=60e所以∠APC=I20 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 (2)在AC上截取AF=AE=3,连接PF,图略.因为AD平△DCA(AAS).所以EN=AC,AN=CD=6.所以CN=AN- 分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.又因为AP=AP,所以△APE AC=2.因为AC=CB,所以BC=NE.在△BCP和△ENP中， ≌△APF(SAS).所以∠APE=∠APF.因为∠APC=120°，所 ∠BPC=∠EPW, 以∠APE=∠CPD=60°.所以∠APF=60°.所以∠CPF= ∠BCP=∠ENP,所以△BCP≌△ENP(AAS).所以BP= ∠APC-∠APF=60°=∠CPD.因为CE平分∠ACB,所以 BC EN. ∠ACP=∠BCP.又因为CP=CP,所以△CPF≌ EP,CP=PN=1.所以AP=AC+CP=5.所以S△ABE=2S△BP △CPD(ASA).所以CF=CD=4.所以AC=AF+CF=7. =AP·BC=20 23.(1)因为EF⊥AC,AD⊥AE,所以∠AFE=∠EAD= 第6期2版 ∠ACB=90°.所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAF= 15.1图形的轴对称 90°.所以∠ADC=∠EAF.在△AFE和△DCA中， 15.1.1轴对称及其性质 ∠AFE=∠DCA, ∠EAF=∠ADC,所以△AFE≌△DCA(AAS).所以AC= 基础训练1.C;2.B;3.1;4.10;5.18 6.图略. EA =AD. EF=3,AF=DC=1.所以CF=AC-AF=2 7.(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，所以 (2)如图3，过点E作EM⊥AP,交AP的延长线于点M.因 △ACF和△ADF关于直线AE对称.所以∠ACD=∠ADC.因为 为EM⊥AP,AD⊥AE,所以∠AME=∠EAD=∠ACB=90°. 1 ∠CAB=36°，所以∠ADC=2(180°-∠CAB)=72° 所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAM=90°.所以 (2)因为∠CAB=36°，∠B=48°，所以∠ACB=180°- ∠EAM=∠ADC.在△AME和△DCA中， ∠B-∠CAB=96°.因为△ACE和△ADE关于直线AE对称， ∠AME=∠DCA, ∠EAM=∠ADC,所以△AME≌△DCA(AAS).所以EM= 所以∠ADE=∠ACE=96°.所以∠DEB=∠ADE-∠B= AE DA, 48°. AC.因为BC=AC,所以BC=ME.在△BCP和△EMP中， 15.1.2线段的垂直平分线 ∠BPC=∠EPM, 基础训练1.A;2.D;3.5;4.15. ∠BCP=∠EMP,所以△BCP≌△EMP(AAS).所以BP= 5.(1)逆命题为无限小数是无理数，它是假命题； BC EM, (2)逆命题为等腰三角形有两边上的高相等，它是真命 EP.所以BE=2BP. 题 Ma---- E 6.因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC,所以AP=PB, AQ=CQ.因为△APQ的周长为12，所以AQ+PQ+AP=12 所以CQ+PQ+PB=BC+2PQ=12.因为BC=8,所以PQ =2 图3 图4 15.2画轴对称的图形 (3)如图4，过点E作EN⊥AP,交AP的延长线于点N.因 为DB=2,BC=4,所以CD=DB+BC=6.因为EN⊥AP, 基础训练1.B;2.B;3.上，5；4.(-6-m,n). AD⊥AE,所以∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°.所以∠DAC 5.图略. +∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°.所以∠ADC=∠EAN. 6.(1)图略. ∠ANE=∠DCA, (2)(-a,b). 在△ANE和△DCA中， ∠EAN=∠ADC,所以△ANE≌ (3)△ABC的面积为6. EA AD 能力提高7.B. 2 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 第6期3版 附加题1.(1)因为A(2,-5)向左平移5个单位长度后 的坐标为(-3，-5)，(-3，-5)关于y轴的对称点的坐标为 (3,-5),(3,-5)与A1不重合，所以点A(2,-5)不是不动 题号12345678 答案AC DBBCB C 点； 因为A2(2.5,0)向左平移5个单位长度后的坐标为 二、9.①；10.如果两个图形全等，那么这两个图形成轴 (-2.5,0),(-2.5,0)关于y轴的对称点的坐标为(2.5,0)， 对称，假；11.26；12.(5.5,4)；13.45°；14.10°或70°. (2.5,0)与A2重合，所以A(2.5,0)是不动点. 三、15.(1)图略；(4,0)，(-1，-4)，(-3，-1) (2)点A(a,3)向左平移5个单位长度后的坐标为(a-5, (2)△4"BC的面积为：7×(3+4)×7-7×2x3-7 3),(a-5,3)关于y轴的对称点的坐标为(5-a,3).因为点 A(a,3)为不动点，所以a=5-a.解得a=2.5. ×5×4=11.5. 2.(1)因为AM∥BV,∠A=60°，所以∠ABW=180°- 16.(1)图略.因为点P与点M关于OA对称，所以ME= ∠A=120°.因为BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,所以∠CBD PE.因为点P与点N关于OB对称，所以FN=FP.所以△PEF 的周长为：EP+FP+EF=ME+EF+FN=MW=I5. =∠CBP+LPBD=乞LABP+∠PBN=2(ZABP+ (2)因为点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对 ∠PBW=∠ABN=60 称，所以OA垂直平分MP,OB垂直平分PN.因为PN=PM,所 (2)因为AM∥BN,所以∠ACB=∠CBN因为∠ACB= 以QP=PM=PN=PR所以OP平分∠A0B ∠ABD,所以∠ABD=∠CBN.所以∠ABD-∠CBD=∠CBN 17.(1)图略. ∠CBD,即∠ABC=∠DBN.因为BC平分∠ABP,BD平分 (2)因为点D关于直线AB的对称点是E,所以∠DAB= ∠PBN,所以∠4BC=号∠ABN=30 ∠EAB,∠D=∠AEB.因为∠DAB=∠ABC,所以∠BAE= (3)分两种情况： ∠ABC.所以AE∥BC.所以∠AEB+∠EBC=180°.所以∠D ①当点C'位于BN上时，如图2，因为BC为∠ABP的平分 +∠EBC=180° 线，所以∠ABC=∠CBP,因为BC与BC'关于BP对称，所以 18.(1)因为∠PAB=15°，∠ABC=45°，所以∠APC= ∠CBP=∠PBC',所以∠ABC=∠CBP=∠PBC'=40°，所以 ∠PAB+∠ABC=6O°.因为点C关于直线PA的对称点为D, ∠NBD= ∠PBC=20°，因为AM∥BN,所以∠ADB= 1 所以∠APC=∠APD=60°.所以∠BPD=180°-∠APC- ∠NBD=20°； ∠APD=60° D (2)如图1，过点A作BD,DP的垂Gr--- 线，垂足分别为G,F.因为∠APC= ∠APD,所以AH=AF.因为∠BDP= 图2 图3 30°，∠BPD=60°，所以∠DBP=90° 图1 ②当点D'位于射线BA上时，如图3，同①可得：∠DBN= 因为∠ABC=45°，所以∠GBA=∠DBP-∠ABC=45°= ∠PBD=∠ABP=40°，因为AM∥BN,所以∠ADB=∠DBN ∠CBA.所以AG=AH.所以AG=AF.所以点A在∠GDP的平 =40°. 分线上.因为∠BDP=30°，所以∠GDP=150°.所以∠ADP= 综上所述，20°<∠ADB<40° 7∠GDP=75°，因为点C关于直线P1的对称点为D,所以 第7期2版 15.3等腰三角形 ∠C=∠ADP=75°.因为AH为△APC的高，所以∠AHC= 15.3.1.1等腰三角形的性质 90°.所以∠CAH=90°-∠C=15°.所以∠BAP=∠CAH. 基础训练1.C;2.C;3.3cm;4.40° 3 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 5.因为BE=AE,∠ABE=25°，所以∠BAD=∠ABE= 4.(1)如图1，等边三角形CEF即为所求作， 25°.因为AB=AC,点D为BC边的中点，所以∠BAC= 2∠BAD=50° 能力提高6.(1)因为∠ADB=∠BCD+∠DBC,∠BCE =∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE,所以∠ECA=∠DBC.在 图2 .AC CB. (2)CD=CE+CF.理由如下： △ECA和△DBC中. ∠ECA=∠DBC,所以△ECA≌ 如图2，在CD上截取CH=CE,连接EH.因为△ABC是等 CE BD, 边三角形，所以∠ACB=60°.所以△ECH为等边三角形.所以 △DBC(SAS).所以AE=CD EC=EH=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以 (2)因为△ECA≌△DBC,所以∠EAC=∠DCB.又因为 EF=ED,∠FED=6O°.所以∠CEH-∠FEH=∠FED- ∠FAB=∠EAC+∠CAB=1O7°，所以∠DCB+∠CAB= ∠FEH,即∠CEF=∠HED.在△CEF和△HED中， 107°.所以∠ABC=180°-（∠DCB+∠CAB)=73°.因为AC EF ED =BC,所以∠BAC=∠ABC=73°.所以∠ACB=180°- ∠CEF=∠HED,所以△CEF≌△HED(SAS).所以CF= EC EH ∠BAC-∠ABC=34°. HD.因为CD=CH+HD,所以CD=CE+CF 15.3.1.2等腰三角形的判定 第7期3版 基础训练1.C;2.B;3.16. 4.(1)因为△ABC是等腰三角形，∠BAC=52°，所以 ∠ABC=∠ACB=7(180°-∠BMC)=64因为BG1AC, 题号12345678 答案C ADBBCBD 所以∠BGC=90°.所以∠FBC=90°-∠ACB=26. 二、9.等腰三角形的“三线合一”；10.2； (2)因为AB=AC,AD为中线，所以∠BAD=∠CAD,AD 11.75°；12.5；13.5；14.18. ⊥BC.所以∠ADC=90°.所以∠DAC+∠DCA=90°.因为 三、15.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， ∠GBC+∠GCB=90°，所以∠GBC=∠DAC=∠DAB.因为 所以∠BAD=∠CAD.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD.所 DE=DA,所以∠DAE=∠DEA.所以∠AFB=∠CBG+ 以∠DAE=∠ADE.所以EA=ED. ∠DEA=∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE∥AB,所以 15.3.2.1等边三角形的性质 ∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所以DE=CE.由(I)得EA 基础训练1.B;2.B;3.15 =ED.所以AE=CE. 4.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°.因为 16.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=∠A= BC CA, CD是△ABC的中线，所以∠BCD=∠ACD= 7ACB=30. 60°，BC=CA.在△BCE和△CAD中 ∠BCE=∠CAD,所以 因为BE∥CD,所以∠E=∠ACD=30. CE AD, (2)因为BE∥CD,所以∠CBE=∠BCD=30°.所以 △BCE≌△CAD(SAS).所以BE=CD, ∠CBE=∠E.所以BC=CE.因为△ABC是等边三角形，所以 (2)因为△BCE≌△CAD,所以∠CBE=∠ACD.所以 AC=BC.所以AC=CE.所以BC是△ABE的中线. ∠BPD=∠PCB+∠CBE=∠PCB+∠ACD=∠ACB=60°. 15.3.2.2等边三角形的判定 17.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BE= 基础训练1.C;2.B;3.30° DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠D, 4 初中数学·人教八年级(GDY) 第5~8期 即∠ABE=∠CED.因为AE=BE,所以∠A=∠ABE.由对顶所以HD=HC.所以BD=HC.因为AC=AH+CH,所以AC= 角相等，得∠AEF=∠CED.所以∠A=∠AEF.所以△AEF是 AB BD. 等腰三角形 2.因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠ABC=60°，BC= (2)由(1I)得∠BFE=∠A+∠AEF=2∠A.所以∠BFE 号4B因为BD平分LABC,所以∠DBA=7∠ABC=30°= ≠∠ABE.所以当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： ∠A.所以AD=BD,∠BDC=∠A+∠DBA=60° ①当∠BFE=∠BEF=2∠A时，在△BEF中，5∠A= 180°，解得∠A=36°； (I)因为DE⊥AB,所以4E=BE=4B所以BC=BE ②当∠BEF=∠ABE=∠A时，在△BEF中，4∠A= 所以△EBC是等边三角形 180°，解得∠A=45. (2)AD=DG+MD.理由如下： 综上所述，∠A的度数为36°或45° 如图4，延长ED至点P,使得DP P M 18.(1)因为∠ACB=90°，∠CAD=60°，所以∠B=90° =MD,连接MP.因为DE⊥AB,所以 -∠CAD=30°.所以AB=2AC.因为AC=BD,所以AD=AC. ∠AED=90°.因为∠A=30°，所以 所以△ADC是等边三角形.因为P是CD的中点，所以AP⊥ ∠ADE=90°-∠A=60°.所以 图4 CD. ∠PDM=60°.又因为DM=DP,所以△PDM是等边三角形. (2)连接BE,图略.因为P是CD的中点，所以CP=DP.因 所以∠P=∠PMD=60°，MP=MD.因为∠BMG=60°，所以 为DE∥AC,所以∠CAP=∠DEP.在△CPA和△DPE中， ∠PMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG,即∠PMG=∠DMB.在 ∠CAP=∠DEP, ∠P=∠MDB, ∠CPA=∠DPE,所以△CPA≌△DPE(AAS).所以AP= △PGM和△DBM中， MP MD 所以△PGM≌ CP DP, ∠PMG=∠DMB. EP 分AE,AC=ED.因为BD=AC,所以BD=DE.因为DE △DBM(ASA).所以PG=DB.因为PG=DP+DG=MD+ DG,所以AD=DG+MD. ∥AC,所以∠BDE=∠CAD=6O°.所以△BDE是等边三角 第8期综合测评卷 形.所以BD=BE,∠EBD=6O°.所以AC=BE.在△CBA和 AC BE, △EAB中，{∠CAB=∠EBA,所以△CBA≌△EAB(SAS).所 题号12345678910 答案C D C BCDA D CC AB BA. 以BC=AE=2AP. 二、11.轴对称图形是正方形；12.50°；13.3265； 附加题1.(I)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AB=AE. 14.3:15.2. 所以∠B=∠AEB.因为CD=BD+AB=DE+AE=DE+CE, 三、16.(1)有2条对称轴，(2)有一条对称轴，(3)有一条 所以AE=CE.所以∠C=∠EAC.所以∠AEB=∠C+∠EAC 对称轴.图略. =2∠C.所以∠B=2∠C. 17.(1)图略。 (2)如图3，过点D作DH⊥AC于点 (2)点C1的坐标为(4,3) H.所以∠AHD=∠CHD=90°.因为AD是 18.(1)如图1，CE即为所求. △ABC的角平分线，所以BD=HD.在 (2)因为CE为AB边上的高，所以 「AD=AD ∠BEC=90°.因为BD⊥AC,所以 Rt△ABD和Rt△AHD中， 所以 BD HD. ∠CDB=90°.因为AB=AC,所以 Rt△ABD≌Rt△AHD(HL).所以AB=AH.因为△ABC是等腰 ∠EBC=∠DCB.所以9O°-∠EBC= 直角三角形，所以∠C=45°.所以∠HDC=90°-∠C=45°. 90°-∠DCB,即∠BCE=∠CBD.所以OB=OC -5 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 四、19.如图2，在AB上截取AD=AC, =90°-∠A=2∠C-90°，∠DBC=90°-∠C.因为BD是 连接CD.因为∠A=60°，所以△ACD是等 △ABC的“等角分割线”，所以 边是三角形.所以CD=AD,∠ADC= ①若∠A=∠ABD,则180°-2∠C=2∠C-90°，解得 ∠ACD=60.因为AC=AB,所以AD= ∠C=67.5°； 图2 ②若∠A=∠DBC,则180°-2LC=90°-∠C,解得∠C 分1B所以BD=AD=CD所以∠B=∠BCD=30所以 =90(舍去). ∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°.所以△ABC是直角三角形. 综上所述，∠C的度数为67.5. 20.(1)因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAC (3)45°或180 7 ≌△BDC.所以∠BAC=∠BDC. 23.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠C= (2)连接AP,如图3.因为△BAC≌ ∠A=60°.因为DF∥BC,所以∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF △BDC,所以AB=DB=12,∠DBN= =∠C=60°.所以△AFD是等边三角形.所以AF=DF=1米 ∠ABN=60°.所以∠EBD=180°- =BE.所以BF=AB-AF=4米.因为DF∥BC,所以∠FDP ∠DBN-∠ABN=60°.所以△BDE为等 ∠FPD=∠BPE, 边三角形.所以DE=12.因为点A关于 图3 =∠BEP.在△DPF和△EPB中， ∠FDP=∠BEP,所以 射线BN的对称点为D,所以△BAP≌△BDP.所以PA=PD. DF EB, 所以PE+PD=PE+PA.因为PE+PA≥AE,所以当点P运 动到点B时，PE+PA的值最小，为24.此时△PDE周长最小， △DPF≌△EPB(AAS).所以PF=PB=2BF=2米 为36. (2)同理(1)得，△DPF≌△EPB,FD=AF=b米.所以 21.(1)△DEF是等边三角形.理由如下： PF=PB.因为PG⊥AB,所以FG=BG.因为∠ABC=60°，所 因为AB=AD,∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形. 以△BGF是等边三角形.所以FG=BF=AB-AF= 所以∠ABD=∠ADB=60°.因为CE∥AB,所以∠CED= (a-b)米. ∠DAB=60°，∠DFE=∠ABD=60°.所以△DEF是等边三角 (3)如图4，延长AC至点G,使 形 AB=BG,过点G作GH⊥BC,交BC (2)因为AB=AD,CB=CD,所以AC是BD的垂直平分 的延长线于点H.所以∠H=90°.因 P E 线.所以AC平分∠DAB. 为AB=BG,AB=DE,所以∠A= (3)因为AC平分∠DAB,∠DAB=60°，所以∠BAC= ∠BGA,BG=DE.因为∠A+∠E= 图4 ∠DAC=30°.因为CE∥AB,所以∠ACE=∠BAC=30°= ∠ACB,∠BGA+∠CBG=∠ACB,所以∠E=∠GBH.因为DF ∠CAD.所以AE=CE=8.所以DE=AD-AE=4.因为 ⊥BC,所以∠DFE=∠DFC=90°.在△DEF和△GBH中， △DEF是等边三角形，所以EF=DE=4.所以CF=CE-EF ∠DFE=∠H=90°， =4. ∠E=∠GBH, 所以△DEF≌△GBH(AAS).所以DF 五、22.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为BD= DE GB, BC,所以∠BDC=∠C.所以∠ABC=∠BDC.因为∠ABC= =GH,EF=BH.所以EF-BF=BH-BF,即BE=FH.在 ∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD,所以∠A=∠DBC. ,∠DCF=∠GCH, 所以BD是△ABC的“等角分割线” △CFD和△CHG中， ∠DFC=∠H,所以△CFD≌ (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠A=180°- DF GH. 2∠C.因为BD⊥AC,所以∠BDC=∠BDA=90°.所以∠ABD: △CHG(AAS).所以FC=HC.所以BE=2CF 64 素养·拓展 数理极 (上接第3版) 2.(10分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 策略1：三边相等的 附加题⊙ ∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 三角形是等边三角形 于点E. 例1 如图1， (以下试题供各地根据实际情况选用) (1)如图3，连接EC,求证：△EBC是等边 △ABC是等边三角形，分 1.(10分)截长补短法是初中几何题中一 三角形； 别延长AB至点F,BC至 种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易 (2)如图4，点M是线段CD上的一点（不与 点D,CA至点E,使AF= 点C,D重合)，以BM为一边，在BM下方作3AB,BD=3BC,CE= 河 的一种策略. 【方法初探】(1)如图1，在△ABC中，AD⊥∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G.试探究 3CA.求证：△DEF是等陈 BC于点D,CD=BD+AB.求证：∠B=2∠C.MD,DG与AD之间的数量关系，并说明理由. 边三角形 解题思路：我们可以采用“截长补短法”解 策 决该问题，在CD上截取DE=DB,连接AE,如 图1，从而证明出结论.请写出证明过程。 【方法应用】(2)如图3，在等腰直角三角形 判定等边三角彩 ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于 点D.求证：AC=AB+BD 证明：因为△ABC 是等边三角形， 所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB BC CA. 所以180°-∠BAC=180°-∠ABC= 180°-∠ACB,即∠EAF=∠FBD=∠DCE= 120°. 因为AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA, 所以AF=BD=CE,AE=BF=CD. 所以△AEF≌△BFD≌△CDE. 所以EF=FD=DE. 数理报社试题研究中心 所以△DEF是等边三角形 (参考答案见10期) 策略2：三个角都相等的三角形是等边三 第6期2版参考答案 5.图略. 角形 15.1图形的轴对称 6.(1)图略. 例2如图2，四边形 15.1.1轴对称及其性质 (2)(-a,b) ABCD中，AB∥DC,DB平 基础训练1.C;2.B; (3)△ABC的面积为6 分∠ADC,∠A=60°.求 3.1;4.10:5.18°. 能力提高7.B. 证：△ABD是等边三角形. 6.图略. 第6期3版参考答案 证明：因为AB∥DC, 7.(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE ∠A=60°， 对称，所以△ACF和△ADF关于直线AE对称 题号12345678 所以∠ABD=∠CDB,∠ADC=180° 所以LACD=∠ADC 答案AC D BB C B C ∠A=120°. 因为∠CAB=36°，所以∠ADC=2(180 二、9.①；10.如果两个图形全等，那么这 因为DB平分∠ADC, 两个图形成轴对称，假；11.26：12.(5.5， ∠CAB)=72 所以∠ADB=∠CDB=2∠ADC=60 (2)因为∠CAB=36°，∠B=48°，所以 4);13.45°；14.10°或70° 所以∠A=∠ADB=∠ABD=60, ∠ACB=180°-∠B-∠CAB=96°. 三、15.(1)图略：(4,0)，(-1，-4)，(-3， -1) 所以△ABD是等边三角形. 因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，所 策略3：有一个角是60°的等腰三角形是等 以∠ADE=∠ACE=96. (2)△A'B'C的面积为：2 ×(3+4)×7- 边三角形 所以∠DEB=∠ADE-∠B=48° 例3如图3，在△ABC 15.1.2线段的垂直平分线 7×2×3-7×5×4=1.5 中，∠ACB=90°，过点A沿 基础训练1.A;2.D;3.5;4.15. 16.(1)图略 直线AE折叠这个三角形，使 5.(1)逆命题为无限小数是无理数，它是假 因为点P与点M关于OA对称，所以ME= 点C落在AB边上的点D处， 命题； PE (2)逆命题为等腰三角形有两边上的高相 连接DC,DE.若AE=BE,求证：△ADC是等边 因为点P与点N关于OB对称，所以FN= 三角形. 等，它是真命题 FP. 6.因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC, 证明：根据折叠的性质，得AC=AD, 所以△PEF的周长为：EP+FP+EF=ME 所以AP=PB,AQ=CQ ∠CAE=∠DAE. EF FN MN 15. 因为△APQ的周长为12，所以AQ+PQ+(2)因为点P与点M关于OA对称，点P与 因为AE=BE,所以∠B=∠DAE= AP=12. ∠CAE. 点N关于OB对称，所以OA垂直平分MP,OB垂 所以CQ+PQ+PB=BC+2PQ=12. 直平分PN. 因为∠ACB=90°， 因为BC=8,所以PQ=2. 所以∠B+∠CAB=3∠B=90° 15.2画轴对称的图形 因为PN=PM,所以QP=PM=PN 解得∠B=30° 基础训练1.B;2.B; PR. 所以∠CAB=60°. 3.上，5；4.(-6-m,n). 所以OP平分∠AOB.(下转1,4版中缝) 所以△ADC是等边三角形. 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话， 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 教理橘 2025年8月20日·星期三 初中数学 7期总第1147期 人教 0351-5271248 八年级(GDY) 上接4版参考答案 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-156 17.(1)图略. (2)因为点D 品味方法 关于直线AB的对称 等腰分类 巧解答 恋周进 点是E, 15.3等腰三角形 所以∠DAB= ⊙广东蒋卫山 ∠EAB,∠D 学习目标：1掌握等腰三角形和等边三角形 = 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三 解析：由于给出的边长没有指明是底边还 ∠AEB.因为∠DAB 是腰，所以要分两种情况进行讨论. 的性质及判定方法」 角形，同学们在求解有关等腰三角形的多解问 =∠ABC,所以 题时，一定要注意对等腰三角形进行分类讨论， (1)当10cm是腰长时，则底边长为5cm, 2.会运用“30°角所对的直角边等于斜边的 满足三角形的三边关系，所以它的周长为：10+ ∠BAE=∠ABC. 现举例说明如下， 半”解题 一、角不确定，按顶角和底角分类 10+5=25(cm); 所以AE∥BC 认知重点：掌握等腰三角形和等边三角形 例1已知等腰三角形的一个角等于70° (2)当5cm是腰长时，则底边长为10cm, 所以∠AEB+ 求另外两个角的度数， 不满足三角形的三边关系，不能构成三角形 性质的应用，体会等腰三角形中的分类思想 ∠EBC=180°. 解析：由于70°的角没有指明是底角还是顶 故选B. 所以∠D+ 三、高不确定，按高的位置分类 角，所以要分两种情况进行讨论 例3等腰三角形一腰上的高与另一腰的 ∠EBC=180°. (1)当底角是70°时，等腰三角形的另外两 夹角为46°，则该等腰三角形的一个底角的度数 18.(1)因为 个角的度数分别为70°和180°-70°×2=40°； 1 PAB 15° (2)当顶角是70°时，等腰三角形的另外两 解析：由于本题没有给出图形，也没有指明 1 (2)当腰上的高在等腰三角形的外部时，如 ∠ABC=45°，所以 个角的度数均为：7×(180°-70)=55， 腰上的高是在三角形的内部，还是在三角形的 图2 外部，所以需分两种情况进行讨论， ∠APC=∠PAB+ 因此，等腰三角形的另外两个角的度数分 因为∠ADB=90°，∠ABD=46°， (1)当腰上的高在等腰三角形的内部时，如 别为70°，40°或55°，55°. 所以∠BAD=90°-∠ABD=44°. ∠ABC=60°. 图1 二、边不确定，按腰和底边分类 因为∠BAD=∠ABC+∠C, 因为点C关于 因为∠ADB=90°，∠ABD=46°， 例2已知等腰三角形的一边长为10cm, 所以∠AC=∠C=分∠BAD=22 直线PA的对称点为 所以∠A=90°-∠ABD=44°. 另一边长为5cm,则它的周长为 ( D,所以∠APC= A.20 cm B.25 cm 所以LABC=LC=2(180°-LA)= 所以该等腰三角形的一个底角的度数为 68°或22°. ∠APD=60. C.20cm或25cm D.18 cm 68° 故填68°或22 所以∠BPD= 课堂在线 ∠BDE=∠CDF 180°- ∠APC 在△BED和△CFD中 BD CD. ∠APD=60°. 直击“三线合一 L∠B=∠DCF, (2)略. 所以△BED≌△CFD(ASA) 附加题 ©四川刘泽梦 所以BE=CF 1.(1)点A(2 “三线合一”是等腰三角形所特有的性质，DE=2.5cm,则BF= cm 例3如图4，在 5)不是不动点； 即等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线 解：因为AB=AC,AD⊥ △ABC中，AB=AC, 重合 BC,所以BD=CD. ∠BAC=100°，中线 点A2(2.5,0) 该性质其实包括以下三方面的内容： 所以SAARG=2SABD= AD与角平分线BE相 是不动点 如图1，在△ABC中，AB (2)a=2.5. =AC,D是BC上的一点. 2×2AB·DB=2.5AB 交于点F,求∠AFE的 度数 2. (1)∠CBD (1)若AD是等腰 又因为SA=)AC·BF,所以AC·BF 解：因为AB=AC,∠BAC=100°，AD是 △ABC底边BC上的中线，那 =60° 么AD是顶角∠BAC的平分 =2.5AB △BC的中线，所以∠ABC=∠C=(180- (2)∠ABC 线，也是底边BC上的高， 因为AC=AB,所以)BF=2.5. 30°. ∠BAC)=40,∠B4D=2∠BAC=50 (2)若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平 (3)20°<∠ADB 所以BF=5cm 分线，那么AD是底边BC上的中线，也是底边 因为BE是△ABC的角平分线，所以∠ABE <40° BC上的高 故填5. (3)若AD是等腰△ABC底边BC上的高， 例2如图3，在△ABC中，AB 2∠ABC=209 =AC,AD是∠BAC的平分线，交 所以∠AFE=∠ABE+∠BAD=70 那么AD是顶角∠BAC的平分线，也是底边BC 上的中线 BC于点D,点E是AB上一点，作 “三线合一”的性质给我们提供了说明角相∠DCF=LACB,交ED延长线于 巴热身练习 等、直线垂直、线段相等的新思路和新方法.在点F求证：BE=CF 解答一些与图形有关的问题时，要注意灵活运 证明：因为AB=AC,AD是 如图5，在△ABC中 3 用它，下面举例来说明这一性质的重要应用. ∠BAC的平分线，所以∠B= AB=AC,AD是BC边上 例1如图2，在△ABC中，AB=AC,AD⊥∠ACB,BD=CD. 的中线.已知∠BAD=B BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F.若 因为∠DCF=∠ACB,所以∠DCF=∠B.60°，则∠C= 图5 2 素养专练 数理招 15.3.1.2等腰三角形的判定 4.如图4，△ABC是等边三角形，CD是中线， 跟踪训练 垦础训练 过点B作BE∥CD,交AC的延长线于点E. (1)求LE的度数； GENZONGXUNLIAN 1.为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆 (2)求证：BC是△ABE的中线 15.3等腰三角形 一般与桥面呈三角形结构，如图1是桥面上两条绳 15.3.1.1等腰三角形的性质 索AB,AC与桥面BC的示意图，已知∠ABC= ∠ACB,AB=6m,则AC的长度为 屋础训练 A.3m B.5 m C.6m D.8m A 1.等腰三角形的顶角为50°，则该三角形的底 D 角为 ( ) E A.75° B.70° C.65° D.60° 2.如图1，在△ABC中，AB=AC=10,AD是 图1 C 图2 BC边上的高，若BD=8,则BC的长为( 2.如图2，∠AOB的两边OA,OB均为平面反光 A.8 B.12 C.16 D.18 镜，一束光线从OB上的C点射出，经OA上的D点 反射后，反射光线DE恰好与OB平行，已知∠ADE 15.3.2.2等边三角形的判定 =∠ODC,OC=10,则光线CD的长度是( A.8 B.10C.15D.20 屋础训练 3.如图3，在△ABC中，AB=AC 1.在△ABC中，AB=AC=5,∠B=60°，则 =8,E,M,F分别是AB,BC,AC上的 3.若等腰三角形的一边长为3cm,周长为 BC的长为 点，并且ME∥AC,MF∥AB,则四边 15cm,则此等腰三角形的底边长为 A.3 B.4 C.5 D.6 形MEAF的周长是 4.如图2，在△ABC中，BD平分∠ABC,BC的 2.如图1，将含30°的直角三角板直角顶点C 4.如图4，在等腰△ABC中，AB 垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.=AC,AD为中线，延长DC至点E,使 3 放置在直尺的一边上，AC,AB与直尺的交点分别 若∠A=50°，∠ABD=30°，则∠ACF的度数为DE=AD,连接AE,过点B作AC的垂线，垂足为G, 为点E,F,D.若点E,F对应的刻度分别为2cm, 6cm,∠ACD=60°，则AE的长是 () 交AE于点F 5.如图3，在△ABC中，AB=AC,点D为BC边 (1)若∠BAC=52°，求∠FBC的度数； A.2 cm B.4 cm 的中点，连接AD,E为AD上一点，连接BE.若 C.5 cm D.6 cm (2)求证：BF=AB. ∠ABE=25°，BE=AE,求∠BAC的度数. 图1 图2 3.如图2，已知射线OM,以点0为圆心，任意 长为半径作弧，与射线OM交于点A,再以点A为圆 心，A0为半径作弧，两弧交于点B,作射线OB,过 点B作BD⊥OA于点D,那么LOBD的度数是 4.某数学社团的小欢同学画了一个等边 △ABC,并在AC边上取了一定点E(不与顶，点重 合) 15.3.2.1等边三角形的性质 (1)请在图3中求作等边三角形CEF,使点F 能力提高 堡出训练 在BC边上（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)如图4，点D为BC边上任意一点，连接 6.如图4，在△ABC中，AC=BC,点D在线段 1.如图1，某社会实践学习小组为测量学校A DE,以DE为边在其右侧作等边△DEF,连接CF, AC上，点E在AC左侧，连接BD,CE,AE,BD=CE与河对岸江景房B之间的距离，在学校附近选一点 请写出线段CF,CD,CE之间的数量关系，并说明 且∠ADB=∠BCE,延长BD交AE于点F C,利用测量仪器测得∠A=60°，∠C=90°，AC= 理由 (1)求证：AE=CD: 300米.由此可求得学校与江景房之间的距离AB (2)若∠FAB=107°，求∠ACB的度数 等于 ( A.150米B.600米C.800米 D.1200米 4 2 图1 图2 2.如图2，直线l∥m,等边△ABC的顶点B,C 分别在1，m上.若∠1=20°，则∠2的度数为 A.70° B.40° C.30° D.20° 3.如图3，在等边三角形ABC 中，BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF 数理报社试题研究中心 ,的度数是 图 （参考答案见10期) 数理极 素养·测评 3 16.(10分)如图14，D,E分别是等边三角形 同步检测 ABC的边AB,AC上的点，且AD=CE. (1)求证：BE=CD; (2)求∠BPD的度数. TONGBUJIANCE 【检测范围：15.3】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号12345 678 答案 1.等腰三角形的一个底角为40°，则其顶角的 图7 图8 度数是 () 10.如图8，将边长为5cm的等边△ABC沿BC A.40° B.80°C.100°D.120° 向右平移3cm,得到△DEF,DE交AC于点M,则 2.如图1，在等边△ABC中，点D在AB上，若EM= cm. ∠ADC=75°，则∠BCD的度数为 ( 11.如图9，△ABC是等边三角形，BC=BD A.15° B.20° C.25° D.30° ∠CBD=90°，则∠1= 50 80° 17.(12分)如图15，△ABC中，AB=AC,点D 隆图1 图2 3.如图2，一张三角形纸片被不小心撕掉一个 图9 图10 在边BC的延长线上，点E在边AC上，且DE=BE 角，则这个三角形是 12.如图10，△ABC是等边三角形，点D是AB=AE,延长线段DE交边AB于点F A.直角三角形 B.钝角三角形 边上一点，过点D作DE⊥BC,垂足为点E,直线 (1)求证：△AEF是等腰三角形； C.等边三角形 D.等腰三角形 DE与CA的延长线相交于点F,若BD=4cm,AF (2)若△BEF是等腰三角形，求∠A的度数 4.如图3，点P为△ABC三边 =3cm,则EC的长为 .cm. 垂直平分线的交点，∠PAC= 13.如图11，在△ABC中，BC=AC,∠B= 22°，∠PCB=33°，则∠PAB的度 35°，∠ECM=15°，AF⊥CM.若AF=2.5,则AB 数为 ( 的长为 A.33° B.35 图3 图1 C.37 D.39° 5.在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，D是 C BC的中点.若AD=2,则AB的长为 ( 图11 图12 A.2B.4 C.6 D.8 14.如图12，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠AB0 6.如图4，点P在∠A0B内，OP与0C关于0A =30°，AC=6,D是线段AB上一个动点，以BD为 对称，OP与OD关于OB对称，若CD=OP,则边在△ABC外作等边△BDE.若F是DE的中点， ∠AOB的度数是 ( 当CF取最小值时，△BDE的周长为 A.10°B.15° C.30° D.45° 三、耐心解一解（共44分） 15.(8分)如图13，AD是等腰三角形ABC的 底边BC上的高，DE∥AB,交AC于点E. (1)求证：EA=ED; 18.(14分)在△ACD中，∠CAD=60°，P是 (2)求证：4E=CE. CD的中点，B是AD延长线上的一点，连接BC,AP, 已知BD=AC. 图4 5 (1)如图16，若∠ACB=90°，试判断AP与 7.如图5，在△ABC中，点D为AC的中点，点 CD的位置关系； E是AC下方一点，连接BE,CE,BD平分∠ABE (2)如图17，过点D作DE∥AC,交AP延长线 CE∥AB.若CE=3,BE=7,则AB的长为 于点E,试说明：BC=2AP. A.11 B.10C.9 D.8 8.如图6，△ABC是等边三 角形，D是线段BC上一点（不与 点B,C重合)，连接AD,点E,F 分别在线段AB,AC的延长线上， D 且DE=DF=AD,点D从B运 E 图6 动到C的过程中，△BED周长的变化规律是 A.不变 B.一直变小 C.先变大后变小D.先变小后变大 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.如图7，工匠们用这个工具检测屋梁是否水 平.当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以 确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是 水平的，这样测量利用的几何性质是 (下转第4版)