第6期 15.1 图形的轴对称 15.2 画轴对称的图形-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（人教版2024 广东专版）

初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 数理橘 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期(2025年8月) 第5期综合测评卷 AC=AO,BD=BO,所以AC=BD.因为CE⊥AB,DF⊥AB 所以∠CEA=∠DFB=90°.在Rt△AEC和Rt△BFD中， 题号 1 2345678910 AC BD. 所以Rt△AEC≌Rt△BFD(HL).所以∠A=∠B. 答案CBACACDD CD CE DF, 二、11.4；12.70°；13.35cm;14.1；15.①②③. (2)由(1)得∠CE0=∠DFO=90°.因为Rt△AEC≌ 三、16.因为AD∥BE,所以∠A=∠B.在△ADC和△BCE Rt△BFD,所以AE=BF.因为OA=OB,所以OA-AE=OB- .AC BE. CE DF 中，∠A=∠B,所以△ADC≌△BCE(SAS).所以CD=CE. BF,即OE=OF.在△CEO和△DFO中， ∠CE0=∠DFO,所 AD BC OE OF, 17.因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF 以△CEO≌△DFO(SAS) AB DE. 21.(1)因为AE是△ABD的的角平分线，所以∠BAD= 在△ABC和△DEF中， AC=DF,所以△ABC≌ 2∠BAF.因为AD为BC边上的高，所以∠ADB=90°.所以 BC EF, ∠BAD+∠ABD=90°，即∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.又 △DEF(SSS).所以∠B=∠DEF=65°.又因为∠A=88°，所 因为∠BFE=∠FBA+∠BAF=45°，所以∠EBF+∠BAF= 以∠ACF=∠A+∠B=153°. 45°.所以∠EBF=∠FBA,即BF平分∠ABE. 18.(1)图略. (2)如图2，过点F作FM1 (2)①两直线平行，同位角相等；②∠DFE;③同位角相 BC于点M,FN⊥AB于点N.因为 等，两直线平行 BF平分∠ABE,所以FM=FN. 四、19.如图1，过点D作DH⊥BC 因为SaBF=SAa,即2AB·FN 于点H.所以∠EHD=90°.因为DE1 图2 =2BC·FM,所以AB=BC.在△ABF和△CBF中， 1 AC,所以∠AFD=90°.因为∠BAC= BA BC. 90°，所以AB∥DE.所以∠B=∠DEH. 图1 ∠ABF=∠CBF,所以△ABF≌△CBF(SAS).所以∠AFB ∠BAC=∠EHD BFBF 在△ABC和△HED中 ∠B=∠DEH, 所以△ABC兰 =∠CFB.因为∠BFE=45°.所以∠AFB=135°.所以∠CFB BC ED =135.所以∠AFC=360°-∠AFB-∠CFB=90° △HED(AAS).所以HD=AC=4.因为SE=6,所以2CE 五、22.(1)因为∠ABC=60°，所以∠BAC+∠BCA= 120°.因为AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,所以∠PAC+ ·HD=6.所以CE=3. 20.(1)因为点0是线段AB的中点，所以0A=OB.因为 ∠PCA=(∠BAC+∠BCA)=60e所以∠APC=I20 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 (2)在AC上截取AF=AE=3,连接PF,图略.因为AD平△DCA(AAS).所以EN=AC,AN=CD=6.所以CN=AN- 分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.又因为AP=AP,所以△APE AC=2.因为AC=CB,所以BC=NE.在△BCP和△ENP中， ≌△APF(SAS).所以∠APE=∠APF.因为∠APC=120°，所 ∠BPC=∠EPW, 以∠APE=∠CPD=60°.所以∠APF=60°.所以∠CPF= ∠BCP=∠ENP,所以△BCP≌△ENP(AAS).所以BP= ∠APC-∠APF=60°=∠CPD.因为CE平分∠ACB,所以 BC EN. ∠ACP=∠BCP.又因为CP=CP,所以△CPF≌ EP,CP=PN=1.所以AP=AC+CP=5.所以S△ABE=2S△BP △CPD(ASA).所以CF=CD=4.所以AC=AF+CF=7. =AP·BC=20 23.(1)因为EF⊥AC,AD⊥AE,所以∠AFE=∠EAD= 第6期2版 ∠ACB=90°.所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAF= 15.1图形的轴对称 90°.所以∠ADC=∠EAF.在△AFE和△DCA中， 15.1.1轴对称及其性质 ∠AFE=∠DCA, ∠EAF=∠ADC,所以△AFE≌△DCA(AAS).所以AC= 基础训练1.C;2.B;3.1;4.10;5.18 6.图略. EA =AD. EF=3,AF=DC=1.所以CF=AC-AF=2 7.(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，所以 (2)如图3，过点E作EM⊥AP,交AP的延长线于点M.因 △ACF和△ADF关于直线AE对称.所以∠ACD=∠ADC.因为 为EM⊥AP,AD⊥AE,所以∠AME=∠EAD=∠ACB=90°. 1 ∠CAB=36°，所以∠ADC=2(180°-∠CAB)=72° 所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAM=90°.所以 (2)因为∠CAB=36°，∠B=48°，所以∠ACB=180°- ∠EAM=∠ADC.在△AME和△DCA中， ∠B-∠CAB=96°.因为△ACE和△ADE关于直线AE对称， ∠AME=∠DCA, ∠EAM=∠ADC,所以△AME≌△DCA(AAS).所以EM= 所以∠ADE=∠ACE=96°.所以∠DEB=∠ADE-∠B= AE DA, 48°. AC.因为BC=AC,所以BC=ME.在△BCP和△EMP中， 15.1.2线段的垂直平分线 ∠BPC=∠EPM, 基础训练1.A;2.D;3.5;4.15. ∠BCP=∠EMP,所以△BCP≌△EMP(AAS).所以BP= 5.(1)逆命题为无限小数是无理数，它是假命题； BC EM, (2)逆命题为等腰三角形有两边上的高相等，它是真命 EP.所以BE=2BP. 题 Ma---- E 6.因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC,所以AP=PB, AQ=CQ.因为△APQ的周长为12，所以AQ+PQ+AP=12 所以CQ+PQ+PB=BC+2PQ=12.因为BC=8,所以PQ =2 图3 图4 15.2画轴对称的图形 (3)如图4，过点E作EN⊥AP,交AP的延长线于点N.因 为DB=2,BC=4,所以CD=DB+BC=6.因为EN⊥AP, 基础训练1.B;2.B;3.上，5；4.(-6-m,n). AD⊥AE,所以∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°.所以∠DAC 5.图略. +∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°.所以∠ADC=∠EAN. 6.(1)图略. ∠ANE=∠DCA, (2)(-a,b). 在△ANE和△DCA中， ∠EAN=∠ADC,所以△ANE≌ (3)△ABC的面积为6. EA AD 能力提高7.B. 2 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 第6期3版 附加题1.(1)因为A(2,-5)向左平移5个单位长度后 的坐标为(-3，-5)，(-3，-5)关于y轴的对称点的坐标为 (3,-5),(3,-5)与A1不重合，所以点A(2,-5)不是不动 题号12345678 答案AC DBBCB C 点； 因为A2(2.5,0)向左平移5个单位长度后的坐标为 二、9.①；10.如果两个图形全等，那么这两个图形成轴 (-2.5,0),(-2.5,0)关于y轴的对称点的坐标为(2.5,0)， 对称，假；11.26；12.(5.5,4)；13.45°；14.10°或70°. (2.5,0)与A2重合，所以A(2.5,0)是不动点. 三、15.(1)图略；(4,0)，(-1，-4)，(-3，-1) (2)点A(a,3)向左平移5个单位长度后的坐标为(a-5, (2)△4"BC的面积为：7×(3+4)×7-7×2x3-7 3),(a-5,3)关于y轴的对称点的坐标为(5-a,3).因为点 A(a,3)为不动点，所以a=5-a.解得a=2.5. ×5×4=11.5. 2.(1)因为AM∥BV,∠A=60°，所以∠ABW=180°- 16.(1)图略.因为点P与点M关于OA对称，所以ME= ∠A=120°.因为BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,所以∠CBD PE.因为点P与点N关于OB对称，所以FN=FP.所以△PEF 的周长为：EP+FP+EF=ME+EF+FN=MW=I5. =∠CBP+LPBD=乞LABP+∠PBN=2(ZABP+ (2)因为点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对 ∠PBW=∠ABN=60 称，所以OA垂直平分MP,OB垂直平分PN.因为PN=PM,所 (2)因为AM∥BN,所以∠ACB=∠CBN因为∠ACB= 以QP=PM=PN=PR所以OP平分∠A0B ∠ABD,所以∠ABD=∠CBN.所以∠ABD-∠CBD=∠CBN 17.(1)图略. ∠CBD,即∠ABC=∠DBN.因为BC平分∠ABP,BD平分 (2)因为点D关于直线AB的对称点是E,所以∠DAB= ∠PBN,所以∠4BC=号∠ABN=30 ∠EAB,∠D=∠AEB.因为∠DAB=∠ABC,所以∠BAE= (3)分两种情况： ∠ABC.所以AE∥BC.所以∠AEB+∠EBC=180°.所以∠D ①当点C'位于BN上时，如图2，因为BC为∠ABP的平分 +∠EBC=180° 线，所以∠ABC=∠CBP,因为BC与BC'关于BP对称，所以 18.(1)因为∠PAB=15°，∠ABC=45°，所以∠APC= ∠CBP=∠PBC',所以∠ABC=∠CBP=∠PBC'=40°，所以 ∠PAB+∠ABC=6O°.因为点C关于直线PA的对称点为D, ∠NBD= ∠PBC=20°，因为AM∥BN,所以∠ADB= 1 所以∠APC=∠APD=60°.所以∠BPD=180°-∠APC- ∠NBD=20°； ∠APD=60° D (2)如图1，过点A作BD,DP的垂Gr--- 线，垂足分别为G,F.因为∠APC= ∠APD,所以AH=AF.因为∠BDP= 图2 图3 30°，∠BPD=60°，所以∠DBP=90° 图1 ②当点D'位于射线BA上时，如图3，同①可得：∠DBN= 因为∠ABC=45°，所以∠GBA=∠DBP-∠ABC=45°= ∠PBD=∠ABP=40°，因为AM∥BN,所以∠ADB=∠DBN ∠CBA.所以AG=AH.所以AG=AF.所以点A在∠GDP的平 =40°. 分线上.因为∠BDP=30°，所以∠GDP=150°.所以∠ADP= 综上所述，20°<∠ADB<40° 7∠GDP=75°，因为点C关于直线P1的对称点为D,所以 第7期2版 15.3等腰三角形 ∠C=∠ADP=75°.因为AH为△APC的高，所以∠AHC= 15.3.1.1等腰三角形的性质 90°.所以∠CAH=90°-∠C=15°.所以∠BAP=∠CAH. 基础训练1.C;2.C;3.3cm;4.40° 3 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 5.因为BE=AE,∠ABE=25°，所以∠BAD=∠ABE= 4.(1)如图1，等边三角形CEF即为所求作， 25°.因为AB=AC,点D为BC边的中点，所以∠BAC= 2∠BAD=50° 能力提高6.(1)因为∠ADB=∠BCD+∠DBC,∠BCE =∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE,所以∠ECA=∠DBC.在 图2 .AC CB. (2)CD=CE+CF.理由如下： △ECA和△DBC中. ∠ECA=∠DBC,所以△ECA≌ 如图2，在CD上截取CH=CE,连接EH.因为△ABC是等 CE BD, 边三角形，所以∠ACB=60°.所以△ECH为等边三角形.所以 △DBC(SAS).所以AE=CD EC=EH=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以 (2)因为△ECA≌△DBC,所以∠EAC=∠DCB.又因为 EF=ED,∠FED=6O°.所以∠CEH-∠FEH=∠FED- ∠FAB=∠EAC+∠CAB=1O7°，所以∠DCB+∠CAB= ∠FEH,即∠CEF=∠HED.在△CEF和△HED中， 107°.所以∠ABC=180°-（∠DCB+∠CAB)=73°.因为AC EF ED =BC,所以∠BAC=∠ABC=73°.所以∠ACB=180°- ∠CEF=∠HED,所以△CEF≌△HED(SAS).所以CF= EC EH ∠BAC-∠ABC=34°. HD.因为CD=CH+HD,所以CD=CE+CF 15.3.1.2等腰三角形的判定 第7期3版 基础训练1.C;2.B;3.16. 4.(1)因为△ABC是等腰三角形，∠BAC=52°，所以 ∠ABC=∠ACB=7(180°-∠BMC)=64因为BG1AC, 题号12345678 答案C ADBBCBD 所以∠BGC=90°.所以∠FBC=90°-∠ACB=26. 二、9.等腰三角形的“三线合一”；10.2； (2)因为AB=AC,AD为中线，所以∠BAD=∠CAD,AD 11.75°；12.5；13.5；14.18. ⊥BC.所以∠ADC=90°.所以∠DAC+∠DCA=90°.因为 三、15.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， ∠GBC+∠GCB=90°，所以∠GBC=∠DAC=∠DAB.因为 所以∠BAD=∠CAD.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD.所 DE=DA,所以∠DAE=∠DEA.所以∠AFB=∠CBG+ 以∠DAE=∠ADE.所以EA=ED. ∠DEA=∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE∥AB,所以 15.3.2.1等边三角形的性质 ∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所以DE=CE.由(I)得EA 基础训练1.B;2.B;3.15 =ED.所以AE=CE. 4.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°.因为 16.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=∠A= BC CA, CD是△ABC的中线，所以∠BCD=∠ACD= 7ACB=30. 60°，BC=CA.在△BCE和△CAD中 ∠BCE=∠CAD,所以 因为BE∥CD,所以∠E=∠ACD=30. CE AD, (2)因为BE∥CD,所以∠CBE=∠BCD=30°.所以 △BCE≌△CAD(SAS).所以BE=CD, ∠CBE=∠E.所以BC=CE.因为△ABC是等边三角形，所以 (2)因为△BCE≌△CAD,所以∠CBE=∠ACD.所以 AC=BC.所以AC=CE.所以BC是△ABE的中线. ∠BPD=∠PCB+∠CBE=∠PCB+∠ACD=∠ACB=60°. 15.3.2.2等边三角形的判定 17.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BE= 基础训练1.C;2.B;3.30° DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠D, 4 初中数学·人教八年级(GDY) 第5~8期 即∠ABE=∠CED.因为AE=BE,所以∠A=∠ABE.由对顶所以HD=HC.所以BD=HC.因为AC=AH+CH,所以AC= 角相等，得∠AEF=∠CED.所以∠A=∠AEF.所以△AEF是 AB BD. 等腰三角形 2.因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠ABC=60°，BC= (2)由(1I)得∠BFE=∠A+∠AEF=2∠A.所以∠BFE 号4B因为BD平分LABC,所以∠DBA=7∠ABC=30°= ≠∠ABE.所以当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： ∠A.所以AD=BD,∠BDC=∠A+∠DBA=60° ①当∠BFE=∠BEF=2∠A时，在△BEF中，5∠A= 180°，解得∠A=36°； (I)因为DE⊥AB,所以4E=BE=4B所以BC=BE ②当∠BEF=∠ABE=∠A时，在△BEF中，4∠A= 所以△EBC是等边三角形 180°，解得∠A=45. (2)AD=DG+MD.理由如下： 综上所述，∠A的度数为36°或45° 如图4，延长ED至点P,使得DP P M 18.(1)因为∠ACB=90°，∠CAD=60°，所以∠B=90° =MD,连接MP.因为DE⊥AB,所以 -∠CAD=30°.所以AB=2AC.因为AC=BD,所以AD=AC. ∠AED=90°.因为∠A=30°，所以 所以△ADC是等边三角形.因为P是CD的中点，所以AP⊥ ∠ADE=90°-∠A=60°.所以 图4 CD. ∠PDM=60°.又因为DM=DP,所以△PDM是等边三角形. (2)连接BE,图略.因为P是CD的中点，所以CP=DP.因 所以∠P=∠PMD=60°，MP=MD.因为∠BMG=60°，所以 为DE∥AC,所以∠CAP=∠DEP.在△CPA和△DPE中， ∠PMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG,即∠PMG=∠DMB.在 ∠CAP=∠DEP, ∠P=∠MDB, ∠CPA=∠DPE,所以△CPA≌△DPE(AAS).所以AP= △PGM和△DBM中， MP MD 所以△PGM≌ CP DP, ∠PMG=∠DMB. EP 分AE,AC=ED.因为BD=AC,所以BD=DE.因为DE △DBM(ASA).所以PG=DB.因为PG=DP+DG=MD+ DG,所以AD=DG+MD. ∥AC,所以∠BDE=∠CAD=6O°.所以△BDE是等边三角 第8期综合测评卷 形.所以BD=BE,∠EBD=6O°.所以AC=BE.在△CBA和 AC BE, △EAB中，{∠CAB=∠EBA,所以△CBA≌△EAB(SAS).所 题号12345678910 答案C D C BCDA D CC AB BA. 以BC=AE=2AP. 二、11.轴对称图形是正方形；12.50°；13.3265； 附加题1.(I)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AB=AE. 14.3:15.2. 所以∠B=∠AEB.因为CD=BD+AB=DE+AE=DE+CE, 三、16.(1)有2条对称轴，(2)有一条对称轴，(3)有一条 所以AE=CE.所以∠C=∠EAC.所以∠AEB=∠C+∠EAC 对称轴.图略. =2∠C.所以∠B=2∠C. 17.(1)图略。 (2)如图3，过点D作DH⊥AC于点 (2)点C1的坐标为(4,3) H.所以∠AHD=∠CHD=90°.因为AD是 18.(1)如图1，CE即为所求. △ABC的角平分线，所以BD=HD.在 (2)因为CE为AB边上的高，所以 「AD=AD ∠BEC=90°.因为BD⊥AC,所以 Rt△ABD和Rt△AHD中， 所以 BD HD. ∠CDB=90°.因为AB=AC,所以 Rt△ABD≌Rt△AHD(HL).所以AB=AH.因为△ABC是等腰 ∠EBC=∠DCB.所以9O°-∠EBC= 直角三角形，所以∠C=45°.所以∠HDC=90°-∠C=45°. 90°-∠DCB,即∠BCE=∠CBD.所以OB=OC -5 初中数学·人教八年级(GDY)第5~8期 四、19.如图2，在AB上截取AD=AC, =90°-∠A=2∠C-90°，∠DBC=90°-∠C.因为BD是 连接CD.因为∠A=60°，所以△ACD是等 △ABC的“等角分割线”，所以 边是三角形.所以CD=AD,∠ADC= ①若∠A=∠ABD,则180°-2∠C=2∠C-90°，解得 ∠ACD=60.因为AC=AB,所以AD= ∠C=67.5°； 图2 ②若∠A=∠DBC,则180°-2LC=90°-∠C,解得∠C 分1B所以BD=AD=CD所以∠B=∠BCD=30所以 =90(舍去). ∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°.所以△ABC是直角三角形. 综上所述，∠C的度数为67.5. 20.(1)因为点A关于射线BN的对称点为D,所以△BAC (3)45°或180 7 ≌△BDC.所以∠BAC=∠BDC. 23.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠C= (2)连接AP,如图3.因为△BAC≌ ∠A=60°.因为DF∥BC,所以∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF △BDC,所以AB=DB=12,∠DBN= =∠C=60°.所以△AFD是等边三角形.所以AF=DF=1米 ∠ABN=60°.所以∠EBD=180°- =BE.所以BF=AB-AF=4米.因为DF∥BC,所以∠FDP ∠DBN-∠ABN=60°.所以△BDE为等 ∠FPD=∠BPE, 边三角形.所以DE=12.因为点A关于 图3 =∠BEP.在△DPF和△EPB中， ∠FDP=∠BEP,所以 射线BN的对称点为D,所以△BAP≌△BDP.所以PA=PD. DF EB, 所以PE+PD=PE+PA.因为PE+PA≥AE,所以当点P运 动到点B时，PE+PA的值最小，为24.此时△PDE周长最小， △DPF≌△EPB(AAS).所以PF=PB=2BF=2米 为36. (2)同理(1)得，△DPF≌△EPB,FD=AF=b米.所以 21.(1)△DEF是等边三角形.理由如下： PF=PB.因为PG⊥AB,所以FG=BG.因为∠ABC=60°，所 因为AB=AD,∠DAB=60°，所以△ABD是等边三角形. 以△BGF是等边三角形.所以FG=BF=AB-AF= 所以∠ABD=∠ADB=60°.因为CE∥AB,所以∠CED= (a-b)米. ∠DAB=60°，∠DFE=∠ABD=60°.所以△DEF是等边三角 (3)如图4，延长AC至点G,使 形 AB=BG,过点G作GH⊥BC,交BC (2)因为AB=AD,CB=CD,所以AC是BD的垂直平分 的延长线于点H.所以∠H=90°.因 P E 线.所以AC平分∠DAB. 为AB=BG,AB=DE,所以∠A= (3)因为AC平分∠DAB,∠DAB=60°，所以∠BAC= ∠BGA,BG=DE.因为∠A+∠E= 图4 ∠DAC=30°.因为CE∥AB,所以∠ACE=∠BAC=30°= ∠ACB,∠BGA+∠CBG=∠ACB,所以∠E=∠GBH.因为DF ∠CAD.所以AE=CE=8.所以DE=AD-AE=4.因为 ⊥BC,所以∠DFE=∠DFC=90°.在△DEF和△GBH中， △DEF是等边三角形，所以EF=DE=4.所以CF=CE-EF ∠DFE=∠H=90°， =4. ∠E=∠GBH, 所以△DEF≌△GBH(AAS).所以DF 五、22.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为BD= DE GB, BC,所以∠BDC=∠C.所以∠ABC=∠BDC.因为∠ABC= =GH,EF=BH.所以EF-BF=BH-BF,即BE=FH.在 ∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD,所以∠A=∠DBC. ,∠DCF=∠GCH, 所以BD是△ABC的“等角分割线” △CFD和△CHG中， ∠DFC=∠H,所以△CFD≌ (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠A=180°- DF GH. 2∠C.因为BD⊥AC,所以∠BDC=∠BDA=90°.所以∠ABD: △CHG(AAS).所以FC=HC.所以BE=2CF 64 素养·拓展 A 数理极 (上接第3版) 2.(12分)如图，已知AM∥BN,∠A=60°. 第4期2版参考答案 附加题⊙ 点P是射线AM上一动点（与点A不重合），射线 14.2三角形全等的判定 BC和射线BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别 14.2.3边边边(SSS) (以下试题供各地根据实际情况选用) 交射线AM于点C,D 1.(8分)“变换M”:在平面直角坐标系中， (1)求∠CBD的度数： 基础训练1.C;2.B;3.3. 先将点A向左平移5个单位长度，再将所得的点 (2)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时， 4.连接BC,图略.在△ABC和△DCB中， 作关于y轴的对称点.若点A经过“变换M”后得求∠ABC的度数； AC DB. 到的点A'与点A重合，我们称点A为不动点. (3)作射线BC关于BP对称的射线BC',射 AB=DC,所以△ABC≌△DCB(SSS).所以 (1)判断点A,(2,-5),A(2.5,0)是否为线BD关于BP对称的射线BD',如果BC'和BD' BC CB. 不动点； 始终在∠ABN的内部，请直接写出∠ADB的范 ∠A=∠D (2)已知点A(a,3)为不动点，求a的值. 围. 5.(1)因为BE=CF,所以BE+EC=CF +EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中， AB DE AC=DF,所以△ABC≌△DEF(SSS).所以 BC EF. ∠A=∠D. (2)∠CGF=35°. 能力提高6.8. 14.2.4尺规作图 基础训练1.C;2.C. 3.图略 14.2.5斜边、直角边(HL) 基础训练1.A;2.B;3.50° 4.(1)∠CDB=85°. (2)略. 5.略. 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 14.3角的平分线 十十十十 十十▣十十十”十十十十十 基础训练1.B;2.A;3.117° 题型空间 4.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略.因为 坐标系搭台 轴对称唱戏 AD⊥CD,所以∠ADC=90°.因为AB∥CD,所 111 以∠BAD=180°-∠ADC=90°.所以AD⊥ ○贵州郝鹏跃 AB.因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, 在求解平面直角坐标系中的轴对称问题 解：C 所以PA=PQ=PD. 时，关键是要掌握关于某条直线对称的点的坐 例2若点A(a,3)与点B(-2,b)关于y 标之间的规律，提高学生的语言表达能力、观察轴对称，则点M(a,b)所在的象限是( 第4期3版参考答案 能力、归纳能力，形成良好的科学研究方法. A.第一象限 B.第二象限 (1)点(a,b)关于直线y=m(各，点的纵坐 C.第三象限 D.第四象限 题号12345678 标都是m)对称的点的坐标为(a,2m-b). 解：因为点A(a,3),点B(-2,b)关于y轴 答案CC B A DDD C 特殊地，当m=0,即，点(a,b)关于x轴对称对称，所以a=2,b=3.所以点M(a,b)在第一 二、9.3；10.答案不惟一，如CE=BF; 的点的坐标为(a,-b).也可以通俗说成：求某象限.故选A. 11.130°；12.2；13.9：14.40°或140° 点关于x轴对称的点的坐标时，横坐标不变，纵 例3如图，在平面直 坐标变为原数的相反数，简单说成“横坐标不角坐标系中，△ABC关于直 三、15.图略. 变，纵坐标变（是指变成原数的相反数）”. 线m(直线m上各，点的横坐 16.因为AC⊥OB,BC⊥OA,OC是∠AOB (2)点(a,b)关于直线x=n(各，点的横坐标都为1)对称，点C的坐标 的平分线，所以∠AEC=∠BDC=90°，CE= 标都是n)对称的点的坐标为(2n-a,b). 为(4,1)，则点B的坐标为 CD. 在△AEC和△BDC中， 特殊地，当n=0,即点(a,b)关于y轴对称 ,∠AEC=∠BDC, 的点的坐标为(-a,b).也可以通俗说成：求某 A.(-2,1) B.(-3,1) CE CD. 所以 △AEC 点关于y轴对称的点的坐标时，横坐标变为原数 C.(-2,-1) D.(2,1) ∠ACE=∠BCD 的相反数，纵坐标不变，简单说成：“横坐标变 解：因为△ABC关于直线m(直线m上各点 △BDC(ASA).所以AC=BC (是指变成原数的相反数)，纵坐标不变”. 的横坐标都为1)对称，所以C,B关于直线m对 例1在平面直角坐标系中，点(-2,4)关称.所以可设点B的坐标为(a,1). 17.DE=7. 于x轴对称的点的坐标是 因为点C的坐标为(4,1)，所以4-1=1- 18.略 A.(-2,4) B.(2,-4) a.解得a=-2.所以点B的坐标为(-2,1).故 附加题1.略 C.(-2,-4) D.(2,4) 选A. 2.略 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话， 初中数学 0351-5271268 25年8月13日：星期三 报纸发行质量反馈电话 数评橘 第 6期总第1146期 人教 0351-5271248 八年级(GDY) 第5期综合测评卷 参考答案 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-156 -、1.C;2.B: 3.A;4.C; 入门向导 5.A;6.C; 迹思进 “细说”成轴对称与轴对称图形 7.D;8.D; 15.1图形的轴对称 9.C;10.D ◎山西尤许依 15.2画轴对称的图形 二、11.4； 学习目标：1.通过具体实例理解轴对称 成轴对称 轴对称图形 12.70°： 关于直线成轴对称的概念，能识别轴对称图形 13.35cm; 并找出它的对称轴， 14.1: 2.了解互逆命题和互逆定理的概念 图形（示例） 15.①②③. 3.能画出简单平面图形关于给定对称轴 三、16.因为AD 的对称图形 ∥BE,所以∠A= 认知重点：1会应用轴对称的性质解题， 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果如果一个平面图形沿一条直线折叠，直 ∠B.在△ADC和 2掌握线段的垂直平分线的性质和判定 概念 它能够与另一个图形重合，那么称这两线两旁的部分能够互相重合，那么这个 3.掌握平面直角坐标系中的轴对称 △BCE 中， 个图形关于这条直线成轴对称 图形叫作轴对称图形 AC BE, 名四点圃中 区别 图形 成轴对称涉及两个图形，是两个图形的轴对称图形是针对一个图形而言的，它 LA=∠B,所以 个数 位置关系 表示某个图形的特性 AD BC. △ADC 七彩生活奇妙对称 对称轴 成轴对称的两个图形有一条对称轴 轴对称图形可能有多条对称轴 △BCE(SAS).所以 (1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形； CD =CE. ©广东魏萌雨 (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分图形就关于这条直线成 17.因为BE= 一、纹饰与轴对称 轴对称； CF,所以BE+EC= 例1下列四种中国古代青铜器上的纹饰 联系 (3)作一个图形关于某直线成轴对称的图形，或判断两个图形关于某直线是否成轴 CF+EC,即BC= 中，是轴对称图形的是 对称，都可以归结为点的轴对称问题去解决； (4)二者的本质特征：折叠后的两部分是完全重合的，即对应线段、对应角相等 EF.在△ABC和 △DEF 中， 题型空间 AB DE. AC=DF,所以 解：根据轴对称图形的定义可知选项B符 BC =EF, 轴对称性质应用体验 合该定义.故选B. △ABC 二、剪纸与轴对称 ○江西 武晓东 △DEF(SSS).所以 例2剪纸艺术遗产经国务院批准列入第 一、求角度 四、综合运用 ∠B=∠DEF= 批国家级非物质文化遗产名录，春节临近，彩 例1如图1，△ABC与 例4如图4，△ABC 65°.又因为∠A= 纸巧剪，送给人们真挚的信念祝福。下列蛇年剪 △ADC关于AC所在直线对 和△ADE关于直线MN对 88°，所以∠ACF= 纸作品中，是轴对称图形的为 称，∠BAD+∠BCD=180 称，BC和DE的交点F在 ∠A+∠B=153 则∠B的度数为 直线MN上， 18.（1)图略 解：因为△ABC与△ADC (1)若ED=15,BF (2)①两直线 关于AC所在直线对称，所以 =9,求CF的长； 平行，同位角相等； B (2)若∠ABC=35°，∠AED=65°，∠BAE ②LDFE;③同位角 BAC=∠DAC=7∠BAD,LACB=∠ACD 解：观察可知，选项A的剪纸图案是轴对称 =16°，求∠BFN的度数： 相等，两直线平行. 图形.故选A. ∠BCD.因为∠BAD+∠BCD=180°，所以 四、19.CE=3. 三、折纸与轴对称 2 (3)连接BD和EC,判断BD和EC的位置 关系，并说明理由. 20.略. 例3将一张长方形的纸对折，然后用笔尖 ∠BMD+3∠BCD=0,即∠BAC+∠ACB 解：(1)因为△ABC和△ADE关于直线MN 21.略 在上面扎出字母“B”,再把它展开铺平，你看到 对称，所以BC=ED=15.又因为BF=9,所以 22.(1)∠APC =90°.所以∠B=180°-（∠BAC+∠ACB)= 的图形可能是 90°.故填90°. CF BC -BF =6. =120° BB B▣ B a 阿 二、求周长 (2)因为△ABC和△ADE关于直线MN对 (2)AC=7. A B D 例2如图2，等边△ABC 称，所以∠ACB=∠AED=65°.又因为∠ABC 23.(1)CF=2. 解：对折展开后的两个图形成轴对称，对应 (2)略. 的边长为1cm,D,E分别是AB, =35°，所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB= 点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相 AC上的点，将△ADE沿直线 80°.因为∠BAE=16°，所以∠EAC=∠BAC- (3)SABE=20. 等.观察图形，符合这一特征的图形是选项C.故 DE折叠，使点A落在点A'处， LBAE=64°.因为线段AE与AC关于直线M 选C. 且点A'在△ABC外部，求阴影 四、美术字与轴对称 部分图形的周长 对称.所以∠E1N=∠C1N=号∠BAC=32 例4下列4个美术字中，可以看作是轴对 解：阴影部分图形的周长为3cm. 所以∠BAN=∠BAE+∠EAN=48°.所以 称图形的是 三、求面积 ∠BFN=∠BAN+∠ABF=83 鹏程万 里 例3如图3，正方形ABCD的 (3)如图4，BD∥EC.理由如下： 边长为4cm,求阴影部分的面积 因为△ABC和△ADE关于直线MN对称 A B D 所以MN⊥EC,MN⊥BD.设直线MN交EC于 解：根据轴对称图形的定义即可判断.故选 解：阴影部分的面积为：2 ×4 c点P,交BD于点Q.所以∠APE=∠AQB= D 4=8(cm2). 90°.所以BD∥EC. 2 素养专练 数理极 15.1.2线段的垂直平分线 15.2画轴对称的图形 跟踪训练 屋础训练 垦础训练 GENZONGXUNLIAN 1.如图1，在△ABC中，DE 1.在平面直角坐标系中，点(2,5)关于x轴对 15.1图形的轴对称 垂直平分AB.若BD=4,CD= 称的点是 ( 15.1.1轴对称及其性质 2,则AC的长是 ( A.(-2,5) B.(2,-5) A.6 B.8 C.(-2,-5) D.(5,2) 垦础训练 C.9 D.10 2.下面是四位同学作△ABC关于直线MN的 1.以下四款人工智能大模型图标，是轴对称 2.下列定理有逆定理的是 轴对称图形，其中正确的是 图形的是 )1 A.对顶角相等 B.全等三角形的对应角相等 C.同角的余角相等 D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 B 0 点的距离相等 2.如图1，若有一条线段与线段α成轴对称，则 3.如图2，直线m,n交于点0，点A,B在直线m 3.将点A(-1,-2)向 平移 这条线段可以是 )上，点P,H在直线n上，AP=BP,AH=BH.若AB 个单位长度后得到的点与点B(1,3)关于y轴对 A.b B. C.d D.e =10,则OB的长为 称 4.如图1，在平面直角坐标系 中摆放着一个轴对称图形，其中 0 点A(-6,6)的对称点A'的坐标 图1 图2 为(0,6)，点M(m,n)为图象上 3.如图2，汽车的图标是轴对称图形，其对称 图2 图3 的一点，则点M在图象上的对称 轴有条. 4.如图3，在△ABC中，以点A为圆心，AC为半 点的坐标为 图1 4.如图3，D为△ABC的边AB上一点，点A关 径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆 5.在图2的一个虚线框中补画 个小正方形， 于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE,心，大于？BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于使补画后的图形成为轴对称图形 若AB=7,AC=3,BC=6,则△BDE的周长是 点M和点N,连接MN交AB于点E.若AB=10,AC =5,则△ADE的周长为 5.写出下列命题的逆命题，并判断所写命题 的真假. 图2 (1)无理数是无限小数. 图4 (2)有两边上的高相等的三角形是等腰三角 6.如图3，在正方形网格中，直线1与网格线重 5.如图4，在Rt△ABC中，LA=90°，点C与点形 合，点A,C,A',B′均在网格点上 B关于DE成轴对称，连接BE,已知∠ABE= (1)已知△A'B'C'和△ABC关于直线I对称 3∠EBD,则∠C的度数是 请在图中把△ABC和△A'B'C'补充完整； 6.如图5，请画出下列轴对称图形的对称轴. (2)在以直线1为y轴的坐标系中，若点A的坐 标为(a,b),则点A'的坐标为 (3)求△ABC的面积 图5 7.如图6，在△ABC中，∠CAB=36°，∠B= 6.如图4，△ABC中，∠BAC=80°，MP和NQ 48°，D,E分别是边AB和BC上的点，△ACE和分别垂直平分AB和AC.若△APQ的周长为12，BC △ADE关于直线AE对称，CD交AE于点F. 的长为8，求PQ的长 (1)求∠ADC的度数： 图3 (2)求∠DEB的度数 能刀提高 7.如图4是由全等的小三角 形拼成的十边形，已有3个小三 角形涂上阴影，请你再选择一个 三角形涂上阴影，使其阴影部分 是轴对称图形，则涂法共有 A.1种 B.3种 C.5种 D.7种 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 同步检 TONGBUJIANCE 【检测范围：15.1~15.2】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 相交于点Q,作射线CQ,与AB相交于点E,连接 图11 题号1 234567 8 DE.则△DAE的周长为 () 16.(10分)如图12，已知点P在∠A0B的内 A.12B.14 C.16 D.18 答案 8.如图6，在平面直角坐标系中，对在第一象 部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q, 1.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是限的△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来 点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R,MN分 我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、 点A的坐标是(a,b),则第23次变换后点A的坐标 别交OA,OB于点E,F 器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊 是 (1)连接PE,PF,若MN=15,求△PEF的周 艳了千年的时光.下列常见的运动图标是轴对称 图形的是 (2)若PM=PN,求证：OP平分∠AOB. 07 0x0 0 可o6 第1次 第2次 第3次 第4次 关于x轴对称关于y轴对称关于x轴对称关于y轴对称 图6 A.(a.b) B.(a,-b) 2.如图1，△ABC与△A'B'C关于直线1对称 12 C.(-a,b) D.(-a,-b) ∠A=45°，∠B′=110°，则∠C的度数为( 二、细心填一填（每小题4分，共24分） A.15° B.20° C.25° D.359 9.如图7，下列左右两个图形成轴对称的是 (填序号). S2(DmE⊙© 17.(12分)如图13，D是△ABC内部一点， 图1 图2 ① ③ ④ ∠DAB=∠ABC 图7 3.如图2是一个风筝的骨架示意图（可称为筝 10.命题“如果两个图形成轴对称，那么这两 (1)作点D关于直线AB的对称点E(要求：尺 形ABCD).已知AC垂直平分BD,AB=60cm,CD 个图形全等”的逆命题是 规作图，不写作法，保留作图痕迹)； =40cm,则筝形ABCD的周长为 (2)在(1)的条件下连接AE,BE,求证：∠D+ 这个逆命题是 命题（填“真”或“假”） A.100 cm B.140 cm 11.如图8，在△ABC中，D为BC边上一点，EF ∠EBC=180° C.160 cm D.200 cm 为线段BD的垂直平分线，若△ADE的周长为19， 4.下列图形中，对称轴数量最多的是 BD=7,则△ABD的周长为 D ☆米 图13 5.如图3，直线1，m相交于点0，P为这两直线 图8 图g 外一点，且OP=3.若点P关于直线l,m的对称点 12.剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一 分别为点P,P2,则P,P2之间的距离可能是 其中蕴含着图形的变换.如图9是一张蕴含着轴对 称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D 18.(14分)如图14，在△ABC中，∠ABC= A.0 B.5 C.6 D.7 对称，将其放置在直角坐标系中，点A,B,C的坐标 45°，点P为边BC上的一点，且∠PAB=15°，点C :① 分别为(2,0)，(4,0)，(0.5,4)，则点D的坐标为 关于直线PA的对称点为D,连接BD,∠BDP= 30°，AH为△APC的边PC上的高 0 13.如图10，△ACD和△BCE (1)求∠BPD的度数； P2● ③ 都是△ACB的轴对称图形，对称 (2)求证：∠BAP=∠CAH 图3 图4 6.如图4，网格线上的八条等长线段形成一个 轴分别是直线AC,BC.若AD1 轴对称图形，图中有四条线段标上号码，要使剩下 BE,则∠DCE= 的图形不是轴对称图形，则擦去的两条线段的号 14.在△ABC中，AD1BC于 码可能是 ( 点D,点C关于AD的对称点为点E,连接AE,若 A.①和② B.①和③ ∠ABC=50°，∠CAD=30°，则∠BAE的度数为 C.②和③ D.②和④ 7.如图5，在△ABC中，AB 三、耐心解一解（共44分） =16,BC=12,CA=10 15.(8分)如图11，在平面直角坐标系中 ∠ABC的平分线BP与AC相交 △ABC三个顶点的坐标分别为A(4,0),B(-1, 于点D.在线段AD上取一点 4),C(-3,1). K,以点C为圆心，CK为半径作 图5 (I)请画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C' 弧，与射线BP相交于点M和点N,再分别以点M并直接写出△A'B'C'各顶点的坐标：A' 和点N为圆心，大于】MN的长为半径作弧，两弧 B ,C' (2)求△A'B'C'的面积 (下转第4版)