第4期 14.2 三角形全等的判定(SSS HL) 14.3 角的平分线-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（人教版2024 广东专版）

初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期(2025年7月) 第1期2版 又因为∠B=50°，所以∠BAC=∠ACD-∠B=30° 13.1三角形的概念 又因为∠BAC:∠CAD=3:2,所以∠CAD=20° 基础训练1.C;2.A;3.8,4,BE,∠BEC. 能力提高4.因为AD为△ABC的高，所以∠ADB=90° 13.2与三角形有关的线段 又因为∠B=40°，所以∠BAD=90°-∠B=50. 13.2.1三角形的边 ①当△ABC是锐角三角形时，如图1所示 基础训练1.C;2.C；3.三角形具有稳定性；4.3. 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70° 5.(1)在△ABC中，因为AB=7,BC=2,所以AB-BC< AC<AB+BC,即5<AC<9. 又因为AE平分∠BMC,所以∠BAE=7∠BAC=35 (2)因为△ABC的周长为偶数，AB+BC=9,为奇数，所以 所以∠AEC=∠B+∠BAE=75°. AC的长为奇数. 因为5<AC<9,所以AC=7=AB.所以△ABC的周长 为：9+7=16，△ABC是等腰三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 E 基础训练1.B;2.B;3.4. 图1 图2 4.(1)因为DE∥BC,∠2=40°，所以∠1=∠ACB, ②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示. ∠DCB=∠2=40°. 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=30 因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACB=2∠DCB= 又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠BAC=15 80° 所以∠AEC=∠B+∠BAE=55°. 所以∠1=80° 综上所述，∠AEC的度数为75°或55°. (2)因为∠3=40°=∠DCB,所以FH∥CD. 第1期3版 因为FH⊥AB,所以∠FHB=90° 所以∠CDB=90°. 所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高. 题号12345678 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 二、9.三角形具有稳定性；10.7；11.115；12.26； 基础训练1.D;2.B;3.55. 13.64°；14.125°或55°. 4.因为FD∥EC,∠D=42°，所以LBCE=42. 三、15.图略. 因为CE是△ABC的角平分线，所以∠ACB=2∠BCE= 16.(1)因为∠ADC=60°，∠B=2∠BAD,∠B+∠BAD 840 =∠ADC,所以2∠BAD+∠BAD=60°. 又因为∠A=46°，所以∠B=180°-∠A-∠ACB=50° 解得∠BAD=20° 13.3.2三角形的外角 (2)因为∠B=40°，∠ADC=65°，所以∠BAD=∠ADC 基础训练1A;2.25°. -∠B=25° 3.因为CE平分∠ACD,∠DCE=40°，所以∠ACD= 因为AD平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD=50° 2∠DCE=80° 所以∠B+∠BAC=90° 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 所以△ABC是直角三角形. +∠PAN 17.(1)因为1a-b1+(b-c)2=0,所以a-b=0,b- ②∠B+∠C=2∠P.理由如下： c=0. 因为∠B+∠BDW=∠P+∠PAW,∠C+∠CAM=∠P 所以a=b,b=c +∠PDM,所以∠B+∠BDN+∠C+∠CAM=∠P+∠PAN 所以a=b=c +∠P+∠PDM.因为AP平分∠BAC,DP平分∠BDC,所以 所以△ABC是等边三角形. ∠CAM=∠PAW,∠BDN=∠PDM.所以∠B+∠C=2∠P. (2)因为a=5,b=2,所以5-2<c<5+2,即3<c< 第2期综合测评卷 因为三角形的周长为奇数，所以c是偶数.所以c=4或6. 题号12345678910 (3)由三角形的三边关系，得a-b<c,b-c<a,a+b> 答案CC BC AC BA D C 二、11.稳定性；12.6；13.20；14.74°；15.180°. 所以原式=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b 三、16.图略. -C. 17.因为∠ACD=∠BAC+∠B,所以∠ACD>∠BAC.因 18.(1)120°，155°. 为∠BAC=∠E+∠AFE,所以∠BAC>∠AFE.所以∠ACD (2)猪想：∠BPC=90+7∠A理由如下： >∠AFE 因为△ABC的两条角平分线BD,CE交于点P,所以∠PBC 18.因为△ABC的两条高AD,CE相交于点O,所以∠AEC =∠ABC,∠PCB=7∠ACB =∠ADC=90°.因为∠ACE=45°，∠DAC=20°，所以∠EAC =90°-∠ACE=45°，∠ACD=90°-∠DAC=70°.所以∠B 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠PBC+ =180°-∠EAC-∠ACD=65° ∠PB=I80,所以∠BPC+(LABC+∠ACB)=∠BPC 四、19（1)由三角形的三边关系，得3c-4>c, +7(180-∠A)=180 l2c-6<c. 解得2<c<6. 所以LBPC=90°+2∠A (2)因为c为偶数，所以c=4.所以a+b=8.所以△ABC 的周长为：a+b+c=12. (3)由(2)，得∠P=0+∠A,∠A=0+2∠P 20.(1)因为∠BED=55°，∠BAD=35°，所以∠ABE= 所以∠R=90+子∠P=90+(90+7A ∠BED-∠BAD=20°.因为BE为△ABD的角平分线，所以 ∠ABC=2∠ABE=40°.因为AF是△ABC的高，所以∠AFB =90°.所以∠BAF=90°-∠ABF=50° 附加题1.(1)是； (2)因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAC=2∠BAD (2)由△ADC是“倍余三角形”，∠ADC是钝角，分情况讨 =70°.所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70° 论： 21.因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD.设BD=CD ①当2∠DAC+∠C=90°时，2LDAC+36°=90°，解得 =x.因为AC=2BC,所以AC=4x.分为两种情况： ∠DAC=27°，所以∠ADB=∠C+∠DAC=63; ①若AC+CD=60,AB+BD=40,则4x+x=60,解得 ②当2LC+∠DAC=90°时，2×36°+∠DAC=90°，解 x=12,所以BC=2x=24,AB=28,AC=4x=48,因为BC+ 得∠DAC=18°，所以∠ADB=∠C+∠DAC=54° AB=24+28=52>AC,所以此时符合三角形三边关系； 综上所述，∠ADB的度数是54°或63°. ②若AC+CD=40,AB+BD=60,则4x+x=40,解得 2.(1)在△A0C中，∠A+∠C=180°-∠A0C.在△B0D x=8,所以AC=4x=32,AB=52,BC=2x=16,因为AC+ 中，∠B+∠D=180°-∠BOD. BC=32+16=48<AB,所以此时不符合三角形三边关系. 由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD. 综上所述，BC=24. 所以∠A+∠C=∠B+∠D. 五、22.因为AE平分∠CAD,所以∠CAF=∠DAF.由折叠 (2)①∠C+∠CAM=∠P+∠PDM,∠B+∠BDN=∠P得，∠BAD=∠DAF所以∠CAF=∠DAF=∠BAD. 一2 初中数学·人教八年级(GDY) 第1~4期 (1)因为∠B=40°，∠C=35°，所以∠BAC=180°-∠B ∠EDF=36° -∠C=105所以∠C=写LBAC=35由折叠得，∠E 14.2三角形全等的判定 14.2.1边角边(SAS) =∠B=40°.因为∠EFC=∠C+∠CAF=∠EDF+∠E,所 基础训练1.B;2.C;3.B;4.1或7. 以∠EDF=30°. 5.因为AC∥CE,所以∠ACB=∠E.在△ABC和△CDE (2)因为∠EDF=20°，所以∠ADB+∠ADE=200°.由折 BC DE, 叠得，∠ADB=∠ADE.所以∠ADB=I00°.所以∠BAD= 中 ∠ACB=∠E,所以△ABC≌△CDE(SAS).所以∠B= 180°-∠ADB-∠B=80°-∠B.所以∠BAC=3∠BAD= AC CE, 240°-3∠B.因为∠B比∠C大10°，所以∠C=∠B-10°.在 ∠D △ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，即240°-3∠B+∠B+ 能力提高6.因为∠1+∠2=180°，∠1+∠ACB= ∠B-10°=230°-∠B=180°.解得∠B=50°. 180°，所以∠2=∠ACB.因为AD=CE,所以AD+CD=CD+ 23.(1)115,25; BC FE. (2)∠DPC,∠Q的度数不会发生变化.理由如下： CE,即AC=DE.在△ACB和△DEF中 ∠ACB=∠2，所以 因为∠A=50°，所以∠ACB+∠B=180°-∠A=130. AC DE. 因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB.因为DP △ACB≌△DEF(SAS).所以AB=DF. 平分∠ADE,CP平分∠ACB,所以∠PmG=∠ADE= 14.2.2角边角(ASA)、角角边(AAS) ∠B,∠ACP=∠PCB=LACB所以∠DPC=180- 基础训练1.A; 2.∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB;3.=. ∠P0G-∠PGD=I80-2(∠ACB+∠B)=1I5 4.因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG,所以180°-∠1- ∠AHC=180°-∠3-∠DHG,即∠A=∠D.因为∠1=∠2， 因为CQ平分∠ACF,所以∠ACQ=2∠ACF.所以 所以∠1+∠HCB=∠2+∠HCB,即∠ACB=∠DCE.在 ∠PC0=∠ACP+∠AC0=(∠ACB+∠ACF)=90所以 r∠ACB=∠DCE, △ABC和△DEC中 AC DC, 所以△ABC≌ ∠Q=∠DPC-∠PCQ=25. ∠A=∠D, 所以当∠B的度数发生变化时，∠DPC,∠Q的度数不会 △DEC(ASA). 发生变化 能力提高5.(1)DE=BD+CE, (3)45°或60°或120°或135°. (2)DE=BD+CE仍然成立.理由如下： 第3期2版 因为∠BDA=∠BAC=a,所以∠BAD+∠DBA=∠BAD 14.1全等三角形及其性质 +∠EAC=180°-a.所以∠DBA=∠EAC. 基础训练1.C;2.48;3.120°，70°，12,10. r∠BDA=∠AEC, 4.如图1： 在△ABD和△CAE中 ∠DBA=∠EAC,所以△ABD≌ LAB CA, △CAE(AAS) 所以BD=AE,AD=CE. 图1 所以DE=AE+AD=BD+CE. 5.(1)因为△ABC≌△EDF,所以AC=EF.所以AC-CF (3)由(2)得△ABD≌△CAE. =EF-CF,即AF=CE. 所以S△ABD=S△CAE (2)因为△ABC≌△EDF,所以∠B=∠EDF.因为 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的 ∠ADE=2∠B,所以∠ADF=∠ADE-∠EDF=∠B.因为 高为h. ∠DAF=∠AFD=2∠B,所以在△ADF中，根据三角形内角和 定理，得∠DAF+∠AFD+∠ADF=5∠B=180°.解得∠B= 因为BC=3BF,Sac=18,所以SA=3Sac=6.所 36°.所以∠AFD=72°，∠EDF=36°.所以∠E=∠AFD-: 以S△FBD+S△ACE=6. —3 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 第3期3版 △EFC(SAS).所以∠NBC=∠CER.因为AD=CF=方AC, CN=CF,所以AD=AN.在△DEA和△NBA中， 题号12345678 .AD AN. 答案BA C BAD D B ∠DAE=∠NAB,所以△DEA≌△NBA(SAS).所以∠DEA 二、9.27；10.答案不惟一，如∠B=∠C;11.30; AE AB 12.120°；13.3<EF<7;14.3或7. =∠NBA.因为∠ABC=∠NBA+∠NBC,所以∠ABC= 三、I5.因为△ABC≌△ADE,所以∠AED=∠ACB= ∠DEA+∠CEF 105°.因为∠D=25°，所以∠DAE=180°-∠D-∠AED= 附加题1.(1)如图3，延 50°.因为∠CAD=10°，所以∠GAC=∠DAE+∠CAD=60°. 长AD交BC于点H.因为BD平分 所以∠G=∠ACB-∠GAC=45. ∠ABC,所以∠ABD=∠HBD.因 16.(1)因为C是线段AB的中点，所以AC=BC.因为CD 为AD⊥BD,所以∠ADB 平分∠ACE,CE平分∠BCD,所以∠ACD=∠DCE=∠ECB 图3 ∠HDB=90°. 在△ABD和 AC BC, ∠ABD=∠HBD. =60°.在△ACD和△BCE中， ∠DCA=∠ECB,所以△ACD △HBD中 BD BD 所以△ABD≌△HBD(ASA). CD CE, I∠ADB=∠HDB, ≌△BCE(SAS). (2)因为△ACD≌△BCE,所以∠E=∠D=40°所以 所以S△n=S△Bm,AD=HD.所以S AACD=SACD-因为△BDC ∠B=180°-∠E-∠ECB=80° 的面积是5，所以S△c=SAAm+S△ACH=2S△HD+2S△HCm= 17.(1)因为∠BEG=∠CDG,所以180°-∠BEG=180° 2S△Bmc=10. -∠CDG,即∠AEB=∠CDA.因为∠BEG=∠BAC,所以 (2)如图3，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CE⊥BD ∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAD.所以∠ABE=∠CAD.在 的延长线于点E.则∠BFC=∠CEB=90°.因为∠ABC= ∠AEB=∠CDA. 2∠ACB,BD平分∠ABC,所以∠BCF=∠CBE.在△BCF和 △BAE和△ACD中， ∠ABE=∠CAD,所以△BAE≌ ∠BFC=∠CEB, AB CA. △CBE中 ∠BCF=∠CBE,所以△BCF≌△CBE(AAS).所 △ACD(AAS) BC CB (2)因为△BAE≌△ACD,所以SAE=SAAD·因为BF= 以BF=CE因为SAax=BD.CE=5,Sc=4C,BF 2CF,所以SABF=2 SAACF,SARDF=2 SACDFT,所以SAARD=S AABF =10,所以AC=2BD -S△BDF=2S△ACF-2S△cDF=2S△ADC:所以S△mE=S△ABD- S△B4E=S△AD·所以小麦种植区△BDE里需要施肥2O0千克 2.(1)∠DFE: 18.(1)△DEG≌△CBG.理由如下： (2)∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°； 因为CG为△BCE的中线，所以BG=EG.因为DE∥BC, (3)BE=CF+CE.理由如下： 所以∠D=∠BCG,∠DEG=∠CBG.在△DEG和△CBG中， 如图4，延长BA,CD交于点G.因为 ∠D=∠BCG, ∠ACD是∠ABD的“边垂角”，所以CG ∠DEG=∠CBG,所以△DEG≌△CBG(AAS) ⊥BD,AC⊥BG.所以∠EDC=∠EDF EG BG, =∠EAB=∠CAG=90°.所以∠B+ B 图4 (2)∠ABC=∠DEA+∠CEF.理由如下： ∠AEB=90°，∠C+∠DEC=90°.因为∠AEB=∠DEC,所以 如图2，在CD上截取CN=CF, ∠B=∠C, 连接BN.在△BCN和△EFC中， ∠B=∠C.在△ABE和△ACG中 AB AC. 所以 CN =CF. ∠BAE=∠CAG, ∠NCB=∠F,所以△BCW≌ △ABE≌△ACG(ASA).所以AE=AG,BE=CG.因为∠FAC BC EF, =45°，所以∠GAF=∠CAG-∠FAC=45°=∠FAC.在 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 AG AE, 5.因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B'= △AGF和△AEF中， ∠GAF=∠EAF,所以△AGF≌ 90°.在Rt△ABD和Rt△A'B'D中， 「AB=A'B'所以R△ABD AFAF. LAD A'D', △AEF(SAS).所以GF=EF在△EDF和△EDC中， ≌Rt△A'B'D'(HL).所以∠B=∠B.在△ABC和△A'B'C DF DC. AB A'B', ∠EDF=∠EDC,所以△EDF≌△EDC(SAS).所以EF= 中， ∠B=∠B',所以△ABC≌△A'B'C'(SAS). EDED, BC B'C'. EC.所以BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE. 14.3角的平分线 第4期2版 基础训练1.B;2.A;3.117 14.2三角形全等的判定 4.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略.因为AD⊥CD,所以 14.2.3边边边(SSS) ∠ADC=90°.因为AB∥CD,所以∠BAD=180°-∠ADC= 基础训练1.C:2.B:3.3. 90°.所以AD⊥AB.因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, AC DB. 所以PA=PQ=PD. 4.连接BC,图略.在△ABC和△DCB中 AB=DC,所以 第4期3版 BC CB, △ABC≌△DCB(SSS).所以∠A=∠D. 题号1234567 8 5.(1)因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 答案C CBADDD AB DE, 二、9.3；10.答案不惟一，如CE=BF; EE在△ABC和△DEF中， AC=DF,所以△ABC≌ 11.130°；12.2；13.9；14.40°或140° BC EF, 三、15.图略 △DEF(SSS).所以∠A=∠D. 16.因为AC⊥OB,BC⊥OA,OC是∠AOB的平分线，所以 (2)因为∠A=70°，∠B=40°，所以∠ACB=180°-∠A ∠AEC=∠BDC=90°，CE=CD.在△AEC和△BDC中， -∠B=70°.因为△ABC≌△DEF,所以∠DFE=∠ACB= ∠AEC=∠BDC, 70,因为FG平分∠DFE,所以∠GFC=∠DFC=35所以 CE CD 所以△AEC≌△BDC(ASA).所以AC= L∠ACE=∠BCD. ∠CGF=∠ACB-∠GFC=35. BC. 能力提高6.8. 17.如图1，过点A作AH⊥DE于点 14.2.4尺规作图 H.所以∠AHD=∠AHE=90°.因为CD 基础训练1.C:2.C. =2,BD=3,所以BC=CD+BD=5. 3.图略. 因为DA平分∠CDE,∠C=90°，AH⊥ 14.2.5斜边、直角边(HL) DE,所以AC=AH.在Rt△ADC和 基础训练1.A;2.B;3.50°. AD=AD, 4.(1)在Rt△AEB和Rt△AFC中， AB=AC,所以 Rt△ADH中， 所以Rt△ADC≌Rt△ADH(HL).所 LAE AF, LAC AH. Rt△AEB≌Rt△AFC(HL).所以∠B=∠C=30°.因为∠BAC 以HD=CD=2.在Rt△ABC和Rt△AEH中 AB=AE·所以 =25°，所以∠CNB=∠C+∠BAC=55°.所以∠CDB=∠B LAC AH. +∠CNB=85 Rt△ABC≌Rt△AEH(HL).所以EH=BC=5.所以DE=HD ∠C=∠B, +EH=7. (2)在△ACN和△ABM中， AC =AB, 所以 AB =A'B', ∠CAN=∠BAM 18.(1)在△ABC和△A'B'C中， ∠B=∠B',所以 △ACN≌△ABM(ASA). BC B'C', 5 初中数学·人教八年级(GDY) 第1~4期 △ABC≌△A'B'C'(SAS).所以AC=A'C',∠BAC=∠B'A'C', (2)对于图②，∠EAF= ∠DAB理 AD =A'D' 由如下： ∠BCA=∠B'C'A'.在△ACD和△A'C'D'中 CD=C'D',所 如图2，在DF上截取DG=BE,连接 LAC A'C', AG.因为∠ABC+∠D=180°，∠ABC+ 以△ACD≌△A'C'D'(SSS).所以∠D=∠D',∠ACD= ∠ABE=180°，所以∠D=∠ABE.在 ∠A'C'D',∠DAC=∠D'A'C'.所以∠BAC+∠DAC= AD AB, ∠B'A'C'+∠D'A'C',∠BCA+∠ACD=∠B'C'A'+∠A'C'D', △ADG和△ABE中， ∠D=∠ABE,所以△ADG≌ 即∠BAD=∠BA'D',∠BCD=∠B'C'D'.所以四边形ABCD DG BE. ≌四边形A'B'CD'. △ABE(SAS).所以∠DAG=∠BAE,AG=AE.所以∠DAG+ (2)不能.理由如下： ∠BAG=∠BAE+∠BAG,即∠DAB=∠EAG.因为DF=EF AB =A'B', 在△ABC和△A'B'C'中 +BE=DG+GF,所以EF=GF.在△AEF和△AGF中， ∠B=∠B',所以△ABC≌ BC B'C', .AE AG. EF=GF,所以△AEF≌△AGF(SSS).所以∠EAF=∠GAF △A'B'C'(SAS).所以AC=A'C',∠BCA=∠B'C'A'.因为 AFAF. ∠BCD=∠B'CD',所以∠BCD-∠BCA=∠B'C'D' ∠B'C'A',即∠DCA=∠D'CA'.由∠DCA=∠D'C'A',AC= 2∠EAG= 2∠DAB. A'C',AD=A'D',不可以证明△ACD≌△A'C'D'.所以满足这 五个条件不能得到四边形ABCD≌四边形A'B'CD'. 对于图③，∠EAF= ∠DAB.理由如下： 2 附加题1.(1)因为点F是AD的中点，所以AF=DF.在 如图3，在BE上截取BG=DF,连接 AF DF, AG.同图②法可得△ABG兰△ADF.易证 △AEF和△DHF中， ∠AFE=∠DFH,所以△AEF≌ △EAF≌△EAG.所以∠EAF=∠EAG=B FE FH, ∠CAK=Z∠DMB 1 △DHF(SAS). 图3 (2)因为△AEF≌△DHF,所以AE=DH,∠EAF= 1 (3)∠EAF=180°- 立∠DAB.理由如 ∠HDF.所以AB∥DH.所以∠B=∠HDC.因为AE=CD,所 下： DH DC, 如图4，在DC的延长线 G 以DH=DC.在△DHG和△DCG中 HG=CG,所以△DHG 上取点G,使得DG=BF,连 DGDG. ≌△DCG(SSS).所以∠HDG=∠CDG.所以∠B=2∠GDC. 接AG.因为∠ABC+∠ADC =180°，∠ABC+∠ABF= 2.(1)∠EAF= 子∠DAR理由如下： 图4 180°，所以∠ADG=∠ABF.在△ABF和△ADG中， 因为AB⊥CB,AD⊥CD,所以∠ABG=∠D=90°.在 AB AD. AB AD. ∠ABF=∠ADG,所以△ABF≌△ADG(SAS).所以AF= △ABG和△ADF中， ∠ABG=∠D,所以△ABG≌ BF DG. BG DF, AG,∠BAF=∠DAG.所以∠BAF+∠GAB=∠DAG+∠GAB, △ADF(SAS).所以∠BAG=∠DAF,AG=AF.所以∠BAG+ 即∠GAF=∠DAB.因为EF=BF+DE,所以EG=DG+DE ∠BAF=∠DAF+∠BAF,即∠GAF=∠DAB.因为EF=BE AEAE, +DF,所以EG=BE+BG=EF.在△AEF和△AEG中， =EF.在△AEF和△AEG中，AF=AG,所以△AEF≌ AE=AE, LEF EG, EF=EG,所以△AEF≌△AEG(SSS).所以∠EAF=∠EAG △AEG(SSS).所以∠EAF=∠EAG.因为∠EAF+∠EAG+ AF AG ∠GAF=360°，所以2∠EAF+∠DAB=360°.所以∠EAF= 2∠GAF= ∠DAB 180°-1 ∠DAB —64 素养·拓展 A 数理极 (上接第3版) 2.(12分)问题探究：(1)如图2-①，在四DE,请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系， 边形ABCD中，AB=AD,AB⊥CB,AD⊥CD,E,并说明理由. 附加题⊙ F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+DF,试探 (以下试题供各地根据实际情况选用) 究∠EAF与∠DAB的数量关系，小明同学探究 1.(8分)如图1，在△ABC中，D为边BC上此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF 一点，E为边AB上一点，且AE=CD,连接AD,F连接AG,先对比△ABG与△ADF的关系，再对 3 为AD的中点，连接EF并延长，交AC于点G,在比△AEF与△AEG的关系，可得出∠EAF与 FG上取点H,使FH=FE,连接HD,GD.若HG∠DAB的数量关系，则他的结论是 ,并 =CG,求证： 对此问题给出完整解题过程 (1)△AEF≌△DHF: (2)∠B=2∠GDC 图2 理解运用：(2)在四边形ABCD中，AB= AD,∠ABC+∠ADC=180°.如图2-②，点E, F分别在边CB,DC的延长线上，且DF=EF+ BE;如图2-③，点E,F分别在边BC,CD的延长 线上，且BE=EF+DF.请从图2-②和图2- :③中任选一种，写出∠EAF与∠DAB的数量关 系，并说明理由。 拓展延伸：(3)如图3，在四边形ABCD中， ∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,点F在CB的 :延长线上，点E在CD的延长线上，若EF=BF+ 数理报社试题研究中心 (参考答案见6期) 十十十十十十▣十十十十十十十十十十。十m十十十 题型空间 第3期2版参考答案 全等三角形无处不在 14.1全等三角形及其性质 基础训练1.C;2.48°； 3.120°，70°，12,10.4.图略 ©河南崔亚波 5.(1)因为△ABC兰△EDF,所以AC= 全等三角形是初中数学的重要内容，它存D,如图3. EF.所以AC-CF=EF-CF,即AF=CE. 在于众多的情境中，下面举例加以说明，供同学 (2)∠E=36 们赏析. 14.2三角形全等的判定 一、网格图中的全等三角形 14.2.1边角边(SAS) 例1如图1，图形的各个顶点都在3×3正 基础训练1.B;2.C；3.B:4.1或7. 方形网格的格点上，则∠1+∠2的度数是 5.因为AC∥CE,所以∠ACB=∠E.在 BC DE. △ABC和△CDE中， ∠ACB=∠E,所以 图3 AC CE. 根据题意，得AB=5. △ABC≌△CDE(SAS).所以∠B=∠D. 在△EFB中，最长边BF1=4. 能力提高6.因为∠1+∠2=180°，∠1 在△EF,B中，最长边BE<4. +∠ACB=180°，所以∠2=∠ACB.因为AD 在△EF3B中，最长边EF3=4 =CE,所以AD+CD=CD+CE,即AC=DE. 图1 图2 所以△EF,B,△EFB,△EF,B都不与 BC FE, 解：如图2. △ABC全等 在△ACB和△DEF中，{∠ACB=∠2，所以 tAB CD, AC DE. .AD BF, 在△ABC和△CDE中，{∠ABC=∠CDE,所 △ACB≌△DEF(SAS).所以AB=DF 在△ACD和△BEF2中，{∠ADC=∠BFE,所 BC DE, 14.2.2角边角(ASA)、角角边(AAS) CD EF2, 基础训练1.A; 以△ABC≌△CDE(SAS). 以△ACD≌△BEF,(SAS). 2.∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB; 所以∠1=∠DCE. 所以AC=BE. 3.=. 所以∠1+∠2=∠DCE+∠2=∠DBE= CD BF2, 4.因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG,所以 45°. 在△BCD和△F,BF,中，{∠BDC=∠F,F,B,所 180°-∠1-∠AHC=180°-∠3-∠DHG,即 故填45， 二、平面直角坐标系中的全等三角形 BD FF2, ∠A=∠D.因为∠1=∠2，所以∠1+∠HCB =∠2+∠HCB,即∠ACB=∠DCE.在△ABC 例2在平面直角坐标系中，点A(-3,0), 以△BCD≌△F,BF,(SAS) 所以BC=F4B. r∠ACB=∠DCE, B(2,0),C(-1,2),E(4,2),如果△ABC与 和△DEC中，{AC=DC, 所以△ABC △EFB全等，那么点F的坐标可以是( AB EF, I∠A=∠D, A.(6,0) B.(4,0) 在△ABC和△EF,B中，{BC=F,B,所以 ≌△DEC(ASA):, C.(4,-2) D.(4,-3) AC EB, 能力提高5.(1)DE=BD+CE. 解：F,F2,F3,F4的坐标分别为(6，O),(4,△ABC≌△EF4B(SSS) (2)DE=BD+CE仍然成立.理由略 0),(4,-2),(4,-3),过点C作CD1AB于点 故选D. (3)SAFm+SAGE=6.(下转1,4版中缝) 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话， 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 装理橘 2025年7月23日·星期三 初中数学 第 4 期总第1144期 人教 0351-5271248 八年级(GDY) 上接4版参考答案 第3期3版参考答案 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-156 -、1.B;2.A; 3.C:4.B: “HL”是一种特殊的判定三角形全等的方 专题辅导 5.A;6.D 法，尽管它只能在直角三角形中施展拳脚，但很 7.D;8.B. 多题的顺利解答都依赖于它.下面就让我们一 “HL”的魅力展示 二、9.27； 10.答案不惟 起欣赏吧！ ◎福建李墨萱 -,如∠B=∠C; 一、“HL”携手高线 ⊥ON,垂足分别为点D,E,且AD 点，E,F分别在BA,BC上，且满 11.30;12.120°： 13.3<EF<7; 例1如图1，AD是△ABC =BE.求证：OD=OE 足DE=DF.若∠BED=140° 14.3或7. 的高，E为AC上一点，连接BE交 证明：如图2，连接CA,CB, 则∠BFD的度数是 ( 三、15.因为 AD于点F,且BF=AC,FD 因为CF垂直平分AB,所以 A.40 B.50° △ABC≌△ADE,所 以∠AED=∠ACB CD.求证：BE⊥AC. CA CB. C.60 D.70° =105°.因为∠D= 证明：因为AD是△ABC的 因为CD1OM,CE⊥ON,所以∠CDA= 解：如图3，作DG⊥AB于点G,DH⊥BC 25°，所以∠DAE= 高，所以∠ADC=∠BDF=90° ∠CEB=90° 点H. 180°-∠D-∠AED =50°.因为∠CAD [AC BC, 因为D是∠ABC的平分线上一点，DGL =10°，所以∠GAC 在Rt△BDF和Rt△ADC中 rBF=AC,所 在Rt△ACD和Rt△BCE中， 所 LFD =CD, LAD BE. AB,DH⊥BC,所以DG=DH,∠DGE=∠DHE =∠DAE+∠CAD =60°.所以∠G= 以Rt△BDF≌Rt△ADC(HL) 以Rt△ACD≌Rt△BCE(HL). =90° ∠ACB-∠GAC= 所以∠C=∠BFD, 所以CD=CE 45 在Rt△DEG和Rt△DFH中， DE=DF,所 LDG DH. 16.(1)因为C 因为∠DBF+∠BFD=90°， 在Rt△OCD和Rt△OCE中 0C=0C,所 是线段AB的中点 所以∠C+∠DBF=90°. CD CE, 以Rt△DEG≌Rt△DFH(HL) 所以AC=BC.因为 所以∠BEC=90°.所以BE⊥AC 以Rt△OCD≌RL△OCE(HL) 所以∠DEG=∠DFH. CD平分∠ACE,CE 平分∠BCD,所以 二、“L”携手线段的垂直平分线 所以OD=OE. 又因为∠BED=140°，所以∠BFD= ∠ACD=∠DCE= 例2如图2，A,B两点分别在射线OM,OW 三、“HL”携手角的平分线 ∠DEG=180°-∠BED=40° ∠ECB=60°在 例3 上 故选A. △ACD和△BCE中 上，CF垂直平分AB,交AB于点F,CD⊥OM,CE 如图3，BP平分∠ABC,D为BP rAC BC. ∠DCA=∠ECB 名师点晴 解：过点D分别作DE⊥BC交BC的延长线 CD CE, 所以△ACD ≌ 直击角平分线的性质与判定 于点E,DF⊥AB交BA的延长线于点F,DG⊥ △BCE(SAS). AC于点G,如图4.因为BD平分∠ABC,DE1 (2)因为△ACD ©广东 潘晓琦 兰△BCE,所以∠E =∠D=40°.所以 角的平分线的性质：角的平分线上的点到 三、说明面积之间的数量关系 BC.,DF1AB,所以∠DBC=∠ABC,DF ∠B=180°-∠E 角两边的距离相等 例3如图3，在△4B0 DE.因为2∠ACD=∠ABC+∠BAC,∠ACE= LECB=80° 角的平分线的判定：角的内部到角两边距 中，∠CAB和∠CBA的平分 ∠ABC+∠BAC,所以∠ACE=2∠ACD,即CD 17.(1)略 (2)小麦种植 离相等的点在角的平分线上 线交于点P,连接PC.若 平分∠ACE.又因为DE⊥BC,DG⊥AC,所以 区△BDE里需要施 一、求点到直线的距离 △PAB,△PBC,△PAC的面 DE=DG.所以DF=DG.所以AD平分∠CAF 肥200千克 例1如图1，在△ABC 18.(1)△DEG 积分别为S,S2,S3,则 中，∠C=90°.若AC=9,DC ）因为∠CAD=43°，所以∠CAF=2LCAD= 兰△CBG.理由略 A.S,<S,+S3 86°.所以∠BAC=180°-∠CAF=94°.所以 (2)∠ABC 号AC,BD平分∠ABC,则点 B.S,=S2+S3 LDEA+∠CEF.理 C.S S2 +S ∠BDC=∠DCE-LDBC=2∠ACE 由略. D到AB的距离是 附加题 A.4 B.3 C.2 D.1 D.无法确定S,与S2+S3的大小N (∠ACE-∠ABC)= 1.(1)SAAx=10. 解：过点D作DH⊥AB于点H,如图1.因为 解：过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥ 2 ∠BAC= (2)略. 47°.故填47 2.(1)∠DFE; AC =9,DC = A4C,所以DC=3.因为BD平分 AC于点E,PF⊥BC于点F,如图3.因为∠CAB (2)∠AQB 和∠CBA的平分线交于点P,所以PD=PE= ∠APB或∠AQB+ ∠ABC,∠C=90°，DH⊥AB,所以CD=DH= PF.因为S2= 1 ∠APB=180°； 3,即点D到AB的距离是3.故选B. .S,=2 C·PE,所以 本（周 主讲) (3)BE CF 二、求三角形的面积 14.2三角形全等的判定(SSS,尺规作图 CE.理由略 例2如图2，已知在四 S:+S=AC+BC)·PD因为S=AB HL) 边形ABCD中，DE⊥BC,BD PD,AB<AC+BC,所以S1<S2+S3,故选A. 14.3角的平分线 平分∠ABC,AB=6,DE = 学习目标：1探索判定三角形全等的方法 四、求角度 4,则△ABD的面积是 (SSS,HL),并能利用其进行证明. 图1 例4如图4，AC,BD是 2会“作一个角等于已知角”，并利用它进 四边形ABCD的对角线，BD 一步完成其他尺规作图」 解：过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点 3会作角的平分线，并能利用其性质解题 F,如图2.又因为BD平分∠ABC,DE⊥BC,所 平分∠ABC,2∠ACD 认知重点：1.会选取适当的判定方法进行 以DF=DE=4.因为AB=6,所以SABD= ∠ABC+∠BAC,已知∠CAD 三角形全等的判定 分B:DF=12.故填12 =43°，则∠BDC的度数为 2.会应用角的平分线的性质与判定解决 问题」 2 素养专练 数理极 14.2.4尺规作图 跟踪训练 垦础训练 GENZONGXUNLIAN 1.如图1，是尺规作△ABC的痕迹，则此作图 14.2三角形全等的判定 的已知条件是 ( 14.2.3边边边(SSS) A.已知两边及夹角 B.已知三边 基础训练 C.已知两角及夹边 1.下列三角形中，与图1所示的△ABC全等的 D.已知两边及一边对角 是 5.如图5，在△ABC和△A'B'C中，AB= A'B',BC=B'C',AD⊥BC于点D,A'D'⊥B'C'于 喝1 ! 点D',且AD=A'D'.求证：△ABC兰△A'B'C 图1 4 2.如图2，在△ABC中，∠A=78°，∠B=42 2.如图2，AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以点D在边AB上，以点C为圆心，小于线段CD长为 直接判定 ()半径画弧分别交线段BC,DC于点E,F,以点D为 A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△ACE 圆心，线段CF为半径画弧①交线段DC于点G,以 C.△BDE≌△CDE D.以上都不对 点G为圆心，线段EF为半径画弧，交弧①于点H, 作射线DH交AC于点I,则∠AID的度数为 ( A.50° B.55° C.60° D.65° 3.如图3，已知∠1，线段m,求作：△4BC,使 ∠A=∠1，AB=m,AC=2m(尺规作图，不写作1 图2 图3 法，保留作图痕迹) 3.如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD m 相交于点O,且AB=AD,CB=CD,则图中共有 图3 14.3角的平分线 对全等三角形 4.如图4，AC=BD,连接AB,CD,且AB=CD. 屋础训练 求证：∠A=∠D. 1.如图1，在△ABC中，B ∠C=90°，AD平分∠BAC,交 BC于点D,DE⊥AB,垂足为D E.若DE=3,BC=8,则BDC 的长为 () 图1 A.4 B.5 C.6 D.7 2.如图2，以点0为圆心，在x轴、y轴上分别截 14.2.5斜边、直角边(HL) 取OA,OB,使得OA=OB,分别以点A,B为圆心， 垦础训练 以大于}AB长为半径画弧，两弧交于点P,如果点 1.如图1，在△ABC和△DEF中，∠A=P的坐标为(3a,a+4),则a的值是 ( 5.如图5，点B,E,C,F在一条直线上，AB=∠EDF=90°，BC=EF,AC=DF,则能直接判定 A.2 B.3 C.4 D.5 DE,AC=DF,BE=CF,FG平分∠DFE交AC于△ABC≌△DEF的依据是 ( 点G. A.HL B.ASA C.SAS D.SSS (1)求证：∠A=∠D; (2)若∠A=70°，∠B=40°，求∠CGF的度 0 数 图2 图3 3.如图3，点0在△ABC内，且到三边的距离 图1 相等，若∠A=54°，则∠B0C= 2.如图2，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于 4.如图4，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC 点E,且AE=AC,若BC=7,BE=5,则△BDE的和∠DCB,AD过点P,且与CD垂直.求证：PA= 周长为 )iPD. A.14 B.12 C.9 D.7 3.如图3，在△ABC中，点F 在边BC上，FD⊥AC于点D,DE ⊥AB于点E,AD=CF,AE= CD,若∠CFD=40°，则∠A的A1 能刀提高 度数为 4.如图4，LE=LF=90°，AB=AC,AE三 6.如图6，AB=2,BC=AE= AF. 6,CE=CF,BF=8,若四边形 (1)当∠C=30°，∠BAC=25°时，求∠CDB ABDE的面积为8，则△CDF的面 的度数； ! 数理报社试题研究中心 积是 图6 (2)求证：△ACN≌△ABM. (参考答案见6期) 数理极 素养·测评 3 17.(12分)如图16，在△ABC中，∠C=90° 同步检测 D为BC边上一点，DA平分∠CDE,且AB=AE,若 CD=2,BD=3,求DE的长 TONGBUJIANCE 【检测范围：14.2.3~14.3】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 题号12345678 9.如图9,0C平分∠AOB,点P在OC上，PD ⊥OA于点D,PD=3cm,点E是射线OB上的动 答案 点，则PE的最小值为 cm. 1.如图1，在Rt△ACD和Rt△BCE中，∠C= 一B 90°，点E在AC上，点D在BC上，AD与BE交于点 E O,AD=BE,DC=EC,则可判定Rt△ACD≌ p Rt△BCE的依据是 0 ( 4 图9 图10 A.SAS B.ASA C.HL D.SSS 10.如图10，点A,B,C,D在同一条直线上，BF ⊥AD,CE⊥AD,AE=DF,若要根据“HL”判定 △ACE≌△DBF,还需要添加条件 11.如图11，在四边形ABCD中，AB=CD,AD 经2 =BC,∠A+∠C=100°，则∠B= 2.如图2，在△ABC和△ADC中，AB=AD,BC =DC,∠B=110°，则∠D的度数为 ( 18.(14分)阅读下列材料，完成相应的任务. A.60°B.70°C.110° D.120° 根据全等形的定义可知：四条边分别相等、四 3.如图3，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠CAB,AB=5,△ABD的面积是5，则CD的长是 个角也分别相等的两个四边形全等. 图11 图12 智慧小组的同学进行了如下思考：如图17，在 12.如图12，E是正方形ABCD内一点，EF⊥ 四边形ABCD和四边形A'B'CD'中，连接AC, A B.2 C.3 D.4 AE交CD于点E,若AB=AE=5,EF=3,则CF A'C',这样两个四边形全等的问题就转化为 的长为 “△ABC兰△A'B'C”与“△ACD兰△A'C'D'”的 13.如图13，在△ABC中，点D在BC边上， 问题 ∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E,过点 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形 E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°，连接 图3 图4 ABCD和四边形A'B'C'D',先给出三个条件：AB= 4.如图4，EC1BD,垂足为C,A是EC上一点， DE.若AB=6,AD=4,CD=8,且S△4m=18,则 A'B',∠B=∠B',BC=B'C',小亮在此基础上又 △ABE的面积为 且AC=CD,连接AB,ED,AB=DE.若AC=3.5, 给出两个条件：AD=A'D',CD=C'D',他们认为 BD=9,则CE的长为 ( 满足这五个条件能得到四边形ABCD≌四边形 A.5.5 B.2.5 C.3 D.2 A'B'C'D'. 5.如图5，在△ABC中，D,E为边AC上两点， 任务： 连接BD,BE,DF⊥BE于点F,若∠A=90°，AD= 图13 (1)请根据小明和小亮给出的条件，求证：四 DF,DBF=25°，则∠BEC的度数为() 14.在△ABC和△DEF中，AB=DE,AC= 边形ABCD兰四边形A'B'C'D': A.115o B.120° C.125° D.140° DF,∠C=40°，AM,DN分别为BC,EF边上的高， (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给 且AM=DN,则∠DFE的度数为 出两个条件：AD=A'D',∠BCD=∠B'C'D',满足 三、耐心解一解（共44分） 这五个条件 (填“能”或“不能”)得到四 15.(8分)如图14，在△ABC中，点D是线段 边形ABCD兰四边形A'B'C'D',请说明理由 BC延长线上的点，点E在直线BC的上方.请利用 图5 图6 无刻度直尺和圆规作△DEC,使∠ECD=∠ACB, 6.如图6，在△ABC中，AB=AC,E,D,F是BC :CD=AB,CE=2AC(不写作法，保留作图痕迹). 的四等分点，则图中的全等三角形共有() A.1对B.2对C.3对 D.4对 7.如图7，D为等腰三角形ABC内一点，AC= BC=BP,AD=BD,∠DBP=∠DBC,∠C=62°， 则∠P的度数为 ( 图14 A.20° B.28° C.30° D.31° 16.(10分)如图15,0C是∠A0B的平分线 AC⊥OB于点D,BC⊥OA于点E.求证：AC=BC 图7 8.如图8，在四边形ABCD中，AB=AD 图15 ∠BAD=90°，DE⊥AC于点E,连接BE,若BE= BC,DE=8,AE=6,则CE的长为 A.1 B.2 C.4 D.6 (下转第4版)】