第3期 14.1 全等三角形及其性质 14.2 三角形全等的判定(SAS ASA AAS)-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（人教版2024 广东专版）

初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期(2025年7月) 第1期2版 又因为∠B=50°，所以∠BAC=∠ACD-∠B=30° 13.1三角形的概念 又因为∠BAC:∠CAD=3:2,所以∠CAD=20° 基础训练1.C;2.A;3.8,4,BE,∠BEC. 能力提高4.因为AD为△ABC的高，所以∠ADB=90° 13.2与三角形有关的线段 又因为∠B=40°，所以∠BAD=90°-∠B=50. 13.2.1三角形的边 ①当△ABC是锐角三角形时，如图1所示 基础训练1.C;2.C；3.三角形具有稳定性；4.3. 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70° 5.(1)在△ABC中，因为AB=7,BC=2,所以AB-BC< AC<AB+BC,即5<AC<9. 又因为AE平分∠BMC,所以∠BAE=7∠BAC=35 (2)因为△ABC的周长为偶数，AB+BC=9,为奇数，所以 所以∠AEC=∠B+∠BAE=75°. AC的长为奇数. 因为5<AC<9,所以AC=7=AB.所以△ABC的周长 为：9+7=16，△ABC是等腰三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 E 基础训练1.B;2.B;3.4. 图1 图2 4.(1)因为DE∥BC,∠2=40°，所以∠1=∠ACB, ②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示. ∠DCB=∠2=40°. 因为∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=30 因为CD是△ABC的角平分线，所以∠ACB=2∠DCB= 又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠BAC=15 80° 所以∠AEC=∠B+∠BAE=55°. 所以∠1=80° 综上所述，∠AEC的度数为75°或55°. (2)因为∠3=40°=∠DCB,所以FH∥CD. 第1期3版 因为FH⊥AB,所以∠FHB=90° 所以∠CDB=90°. 所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高. 题号12345678 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 二、9.三角形具有稳定性；10.7；11.115；12.26； 基础训练1.D;2.B;3.55. 13.64°；14.125°或55°. 4.因为FD∥EC,∠D=42°，所以LBCE=42. 三、15.图略. 因为CE是△ABC的角平分线，所以∠ACB=2∠BCE= 16.(1)因为∠ADC=60°，∠B=2∠BAD,∠B+∠BAD 840 =∠ADC,所以2∠BAD+∠BAD=60°. 又因为∠A=46°，所以∠B=180°-∠A-∠ACB=50° 解得∠BAD=20° 13.3.2三角形的外角 (2)因为∠B=40°，∠ADC=65°，所以∠BAD=∠ADC 基础训练1A;2.25°. -∠B=25° 3.因为CE平分∠ACD,∠DCE=40°，所以∠ACD= 因为AD平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD=50° 2∠DCE=80° 所以∠B+∠BAC=90° 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 所以△ABC是直角三角形. +∠PAN 17.(1)因为1a-b1+(b-c)2=0,所以a-b=0,b- ②∠B+∠C=2∠P.理由如下： c=0. 因为∠B+∠BDW=∠P+∠PAW,∠C+∠CAM=∠P 所以a=b,b=c +∠PDM,所以∠B+∠BDN+∠C+∠CAM=∠P+∠PAN 所以a=b=c +∠P+∠PDM.因为AP平分∠BAC,DP平分∠BDC,所以 所以△ABC是等边三角形. ∠CAM=∠PAW,∠BDN=∠PDM.所以∠B+∠C=2∠P. (2)因为a=5,b=2,所以5-2<c<5+2,即3<c< 第2期综合测评卷 因为三角形的周长为奇数，所以c是偶数.所以c=4或6. 题号12345678910 (3)由三角形的三边关系，得a-b<c,b-c<a,a+b> 答案CC BC AC BA D C 二、11.稳定性；12.6；13.20；14.74°；15.180°. 所以原式=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b 三、16.图略. -C. 17.因为∠ACD=∠BAC+∠B,所以∠ACD>∠BAC.因 18.(1)120°，155°. 为∠BAC=∠E+∠AFE,所以∠BAC>∠AFE.所以∠ACD (2)猪想：∠BPC=90+7∠A理由如下： >∠AFE 因为△ABC的两条角平分线BD,CE交于点P,所以∠PBC 18.因为△ABC的两条高AD,CE相交于点O,所以∠AEC =∠ABC,∠PCB=7∠ACB =∠ADC=90°.因为∠ACE=45°，∠DAC=20°，所以∠EAC =90°-∠ACE=45°，∠ACD=90°-∠DAC=70°.所以∠B 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠PBC+ =180°-∠EAC-∠ACD=65° ∠PB=I80,所以∠BPC+(LABC+∠ACB)=∠BPC 四、19（1)由三角形的三边关系，得3c-4>c, +7(180-∠A)=180 l2c-6<c. 解得2<c<6. 所以LBPC=90°+2∠A (2)因为c为偶数，所以c=4.所以a+b=8.所以△ABC 的周长为：a+b+c=12. (3)由(2)，得∠P=0+∠A,∠A=0+2∠P 20.(1)因为∠BED=55°，∠BAD=35°，所以∠ABE= 所以∠R=90+子∠P=90+(90+7A ∠BED-∠BAD=20°.因为BE为△ABD的角平分线，所以 ∠ABC=2∠ABE=40°.因为AF是△ABC的高，所以∠AFB =90°.所以∠BAF=90°-∠ABF=50° 附加题1.(1)是； (2)因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAC=2∠BAD (2)由△ADC是“倍余三角形”，∠ADC是钝角，分情况讨 =70°.所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70° 论： 21.因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD.设BD=CD ①当2∠DAC+∠C=90°时，2LDAC+36°=90°，解得 =x.因为AC=2BC,所以AC=4x.分为两种情况： ∠DAC=27°，所以∠ADB=∠C+∠DAC=63; ①若AC+CD=60,AB+BD=40,则4x+x=60,解得 ②当2LC+∠DAC=90°时，2×36°+∠DAC=90°，解 x=12,所以BC=2x=24,AB=28,AC=4x=48,因为BC+ 得∠DAC=18°，所以∠ADB=∠C+∠DAC=54° AB=24+28=52>AC,所以此时符合三角形三边关系； 综上所述，∠ADB的度数是54°或63°. ②若AC+CD=40,AB+BD=60,则4x+x=40,解得 2.(1)在△A0C中，∠A+∠C=180°-∠A0C.在△B0D x=8,所以AC=4x=32,AB=52,BC=2x=16,因为AC+ 中，∠B+∠D=180°-∠BOD. BC=32+16=48<AB,所以此时不符合三角形三边关系. 由对顶角相等，得∠AOC=∠BOD. 综上所述，BC=24. 所以∠A+∠C=∠B+∠D. 五、22.因为AE平分∠CAD,所以∠CAF=∠DAF.由折叠 (2)①∠C+∠CAM=∠P+∠PDM,∠B+∠BDN=∠P得，∠BAD=∠DAF所以∠CAF=∠DAF=∠BAD. 一2 初中数学·人教八年级(GDY) 第1~4期 (1)因为∠B=40°，∠C=35°，所以∠BAC=180°-∠B ∠EDF=36° -∠C=105所以∠C=写LBAC=35由折叠得，∠E 14.2三角形全等的判定 14.2.1边角边(SAS) =∠B=40°.因为∠EFC=∠C+∠CAF=∠EDF+∠E,所 基础训练1.B;2.C;3.B;4.1或7. 以∠EDF=30°. 5.因为AC∥CE,所以∠ACB=∠E.在△ABC和△CDE (2)因为∠EDF=20°，所以∠ADB+∠ADE=200°.由折 BC DE, 叠得，∠ADB=∠ADE.所以∠ADB=I00°.所以∠BAD= 中 ∠ACB=∠E,所以△ABC≌△CDE(SAS).所以∠B= 180°-∠ADB-∠B=80°-∠B.所以∠BAC=3∠BAD= AC CE, 240°-3∠B.因为∠B比∠C大10°，所以∠C=∠B-10°.在 ∠D △ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，即240°-3∠B+∠B+ 能力提高6.因为∠1+∠2=180°，∠1+∠ACB= ∠B-10°=230°-∠B=180°.解得∠B=50°. 180°，所以∠2=∠ACB.因为AD=CE,所以AD+CD=CD+ 23.(1)115,25; BC FE. (2)∠DPC,∠Q的度数不会发生变化.理由如下： CE,即AC=DE.在△ACB和△DEF中 ∠ACB=∠2，所以 因为∠A=50°，所以∠ACB+∠B=180°-∠A=130. AC DE. 因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB.因为DP △ACB≌△DEF(SAS).所以AB=DF. 平分∠ADE,CP平分∠ACB,所以∠PmG=∠ADE= 14.2.2角边角(ASA)、角角边(AAS) ∠B,∠ACP=∠PCB=LACB所以∠DPC=180- 基础训练1.A; 2.∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB;3.=. ∠P0G-∠PGD=I80-2(∠ACB+∠B)=1I5 4.因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG,所以180°-∠1- ∠AHC=180°-∠3-∠DHG,即∠A=∠D.因为∠1=∠2， 因为CQ平分∠ACF,所以∠ACQ=2∠ACF.所以 所以∠1+∠HCB=∠2+∠HCB,即∠ACB=∠DCE.在 ∠PC0=∠ACP+∠AC0=(∠ACB+∠ACF)=90所以 r∠ACB=∠DCE, △ABC和△DEC中 AC DC, 所以△ABC≌ ∠Q=∠DPC-∠PCQ=25. ∠A=∠D, 所以当∠B的度数发生变化时，∠DPC,∠Q的度数不会 △DEC(ASA). 发生变化 能力提高5.(1)DE=BD+CE, (3)45°或60°或120°或135°. (2)DE=BD+CE仍然成立.理由如下： 第3期2版 因为∠BDA=∠BAC=a,所以∠BAD+∠DBA=∠BAD 14.1全等三角形及其性质 +∠EAC=180°-a.所以∠DBA=∠EAC. 基础训练1.C;2.48;3.120°，70°，12,10. r∠BDA=∠AEC, 4.如图1： 在△ABD和△CAE中 ∠DBA=∠EAC,所以△ABD≌ LAB CA, △CAE(AAS) 所以BD=AE,AD=CE. 图1 所以DE=AE+AD=BD+CE. 5.(1)因为△ABC≌△EDF,所以AC=EF.所以AC-CF (3)由(2)得△ABD≌△CAE. =EF-CF,即AF=CE. 所以S△ABD=S△CAE (2)因为△ABC≌△EDF,所以∠B=∠EDF.因为 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的 ∠ADE=2∠B,所以∠ADF=∠ADE-∠EDF=∠B.因为 高为h. ∠DAF=∠AFD=2∠B,所以在△ADF中，根据三角形内角和 定理，得∠DAF+∠AFD+∠ADF=5∠B=180°.解得∠B= 因为BC=3BF,Sac=18,所以SA=3Sac=6.所 36°.所以∠AFD=72°，∠EDF=36°.所以∠E=∠AFD-: 以S△FBD+S△ACE=6. —3 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 第3期3版 △EFC(SAS).所以∠NBC=∠CER.因为AD=CF=方AC, CN=CF,所以AD=AN.在△DEA和△NBA中， 题号12345678 .AD AN. 答案BA C BAD D B ∠DAE=∠NAB,所以△DEA≌△NBA(SAS).所以∠DEA 二、9.27；10.答案不惟一，如∠B=∠C;11.30; AE AB 12.120°；13.3<EF<7;14.3或7. =∠NBA.因为∠ABC=∠NBA+∠NBC,所以∠ABC= 三、I5.因为△ABC≌△ADE,所以∠AED=∠ACB= ∠DEA+∠CEF 105°.因为∠D=25°，所以∠DAE=180°-∠D-∠AED= 附加题1.(1)如图3，延 50°.因为∠CAD=10°，所以∠GAC=∠DAE+∠CAD=60°. 长AD交BC于点H.因为BD平分 所以∠G=∠ACB-∠GAC=45. ∠ABC,所以∠ABD=∠HBD.因 16.(1)因为C是线段AB的中点，所以AC=BC.因为CD 为AD⊥BD,所以∠ADB 平分∠ACE,CE平分∠BCD,所以∠ACD=∠DCE=∠ECB 图3 ∠HDB=90°. 在△ABD和 AC BC, ∠ABD=∠HBD. =60°.在△ACD和△BCE中， ∠DCA=∠ECB,所以△ACD △HBD中 BD BD 所以△ABD≌△HBD(ASA). CD CE, I∠ADB=∠HDB, ≌△BCE(SAS). (2)因为△ACD≌△BCE,所以∠E=∠D=40°所以 所以S△n=S△Bm,AD=HD.所以S AACD=SACD-因为△BDC ∠B=180°-∠E-∠ECB=80° 的面积是5，所以S△c=SAAm+S△ACH=2S△HD+2S△HCm= 17.(1)因为∠BEG=∠CDG,所以180°-∠BEG=180° 2S△Bmc=10. -∠CDG,即∠AEB=∠CDA.因为∠BEG=∠BAC,所以 (2)如图3，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CE⊥BD ∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAD.所以∠ABE=∠CAD.在 的延长线于点E.则∠BFC=∠CEB=90°.因为∠ABC= ∠AEB=∠CDA. 2∠ACB,BD平分∠ABC,所以∠BCF=∠CBE.在△BCF和 △BAE和△ACD中， ∠ABE=∠CAD,所以△BAE≌ ∠BFC=∠CEB, AB CA. △CBE中 ∠BCF=∠CBE,所以△BCF≌△CBE(AAS).所 △ACD(AAS) BC CB (2)因为△BAE≌△ACD,所以SAE=SAAD·因为BF= 以BF=CE因为SAax=BD.CE=5,Sc=4C,BF 2CF,所以SABF=2 SAACF,SARDF=2 SACDFT,所以SAARD=S AABF =10,所以AC=2BD -S△BDF=2S△ACF-2S△cDF=2S△ADC:所以S△mE=S△ABD- S△B4E=S△AD·所以小麦种植区△BDE里需要施肥2O0千克 2.(1)∠DFE: 18.(1)△DEG≌△CBG.理由如下： (2)∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°； 因为CG为△BCE的中线，所以BG=EG.因为DE∥BC, (3)BE=CF+CE.理由如下： 所以∠D=∠BCG,∠DEG=∠CBG.在△DEG和△CBG中， 如图4，延长BA,CD交于点G.因为 ∠D=∠BCG, ∠ACD是∠ABD的“边垂角”，所以CG ∠DEG=∠CBG,所以△DEG≌△CBG(AAS) ⊥BD,AC⊥BG.所以∠EDC=∠EDF EG BG, =∠EAB=∠CAG=90°.所以∠B+ B 图4 (2)∠ABC=∠DEA+∠CEF.理由如下： ∠AEB=90°，∠C+∠DEC=90°.因为∠AEB=∠DEC,所以 如图2，在CD上截取CN=CF, ∠B=∠C, 连接BN.在△BCN和△EFC中， ∠B=∠C.在△ABE和△ACG中 AB AC. 所以 CN =CF. ∠BAE=∠CAG, ∠NCB=∠F,所以△BCW≌ △ABE≌△ACG(ASA).所以AE=AG,BE=CG.因为∠FAC BC EF, =45°，所以∠GAF=∠CAG-∠FAC=45°=∠FAC.在 初中数学·人教八年级(GDY)第1~4期 AG AE, 5.因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B'= △AGF和△AEF中， ∠GAF=∠EAF,所以△AGF≌ 90°.在Rt△ABD和Rt△A'B'D中， 「AB=A'B'所以R△ABD AFAF. LAD A'D', △AEF(SAS).所以GF=EF在△EDF和△EDC中， ≌Rt△A'B'D'(HL).所以∠B=∠B.在△ABC和△A'B'C DF DC. AB A'B', ∠EDF=∠EDC,所以△EDF≌△EDC(SAS).所以EF= 中， ∠B=∠B',所以△ABC≌△A'B'C'(SAS). EDED, BC B'C'. EC.所以BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE. 14.3角的平分线 第4期2版 基础训练1.B;2.A;3.117 14.2三角形全等的判定 4.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略.因为AD⊥CD,所以 14.2.3边边边(SSS) ∠ADC=90°.因为AB∥CD,所以∠BAD=180°-∠ADC= 基础训练1.C:2.B:3.3. 90°.所以AD⊥AB.因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, AC DB. 所以PA=PQ=PD. 4.连接BC,图略.在△ABC和△DCB中 AB=DC,所以 第4期3版 BC CB, △ABC≌△DCB(SSS).所以∠A=∠D. 题号1234567 8 5.(1)因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 答案C CBADDD AB DE, 二、9.3；10.答案不惟一，如CE=BF; EE在△ABC和△DEF中， AC=DF,所以△ABC≌ 11.130°；12.2；13.9；14.40°或140° BC EF, 三、15.图略 △DEF(SSS).所以∠A=∠D. 16.因为AC⊥OB,BC⊥OA,OC是∠AOB的平分线，所以 (2)因为∠A=70°，∠B=40°，所以∠ACB=180°-∠A ∠AEC=∠BDC=90°，CE=CD.在△AEC和△BDC中， -∠B=70°.因为△ABC≌△DEF,所以∠DFE=∠ACB= ∠AEC=∠BDC, 70,因为FG平分∠DFE,所以∠GFC=∠DFC=35所以 CE CD 所以△AEC≌△BDC(ASA).所以AC= L∠ACE=∠BCD. ∠CGF=∠ACB-∠GFC=35. BC. 能力提高6.8. 17.如图1，过点A作AH⊥DE于点 14.2.4尺规作图 H.所以∠AHD=∠AHE=90°.因为CD 基础训练1.C:2.C. =2,BD=3,所以BC=CD+BD=5. 3.图略. 因为DA平分∠CDE,∠C=90°，AH⊥ 14.2.5斜边、直角边(HL) DE,所以AC=AH.在Rt△ADC和 基础训练1.A;2.B;3.50°. AD=AD, 4.(1)在Rt△AEB和Rt△AFC中， AB=AC,所以 Rt△ADH中， 所以Rt△ADC≌Rt△ADH(HL).所 LAE AF, LAC AH. Rt△AEB≌Rt△AFC(HL).所以∠B=∠C=30°.因为∠BAC 以HD=CD=2.在Rt△ABC和Rt△AEH中 AB=AE·所以 =25°，所以∠CNB=∠C+∠BAC=55°.所以∠CDB=∠B LAC AH. +∠CNB=85 Rt△ABC≌Rt△AEH(HL).所以EH=BC=5.所以DE=HD ∠C=∠B, +EH=7. (2)在△ACN和△ABM中， AC =AB, 所以 AB =A'B', ∠CAN=∠BAM 18.(1)在△ABC和△A'B'C中， ∠B=∠B',所以 △ACN≌△ABM(ASA). BC B'C', 5 初中数学·人教八年级(GDY) 第1~4期 △ABC≌△A'B'C'(SAS).所以AC=A'C',∠BAC=∠B'A'C', (2)对于图②，∠EAF= ∠DAB理 AD =A'D' 由如下： ∠BCA=∠B'C'A'.在△ACD和△A'C'D'中 CD=C'D',所 如图2，在DF上截取DG=BE,连接 LAC A'C', AG.因为∠ABC+∠D=180°，∠ABC+ 以△ACD≌△A'C'D'(SSS).所以∠D=∠D',∠ACD= ∠ABE=180°，所以∠D=∠ABE.在 ∠A'C'D',∠DAC=∠D'A'C'.所以∠BAC+∠DAC= AD AB, ∠B'A'C'+∠D'A'C',∠BCA+∠ACD=∠B'C'A'+∠A'C'D', △ADG和△ABE中， ∠D=∠ABE,所以△ADG≌ 即∠BAD=∠BA'D',∠BCD=∠B'C'D'.所以四边形ABCD DG BE. ≌四边形A'B'CD'. △ABE(SAS).所以∠DAG=∠BAE,AG=AE.所以∠DAG+ (2)不能.理由如下： ∠BAG=∠BAE+∠BAG,即∠DAB=∠EAG.因为DF=EF AB =A'B', 在△ABC和△A'B'C'中 +BE=DG+GF,所以EF=GF.在△AEF和△AGF中， ∠B=∠B',所以△ABC≌ BC B'C', .AE AG. EF=GF,所以△AEF≌△AGF(SSS).所以∠EAF=∠GAF △A'B'C'(SAS).所以AC=A'C',∠BCA=∠B'C'A'.因为 AFAF. ∠BCD=∠B'CD',所以∠BCD-∠BCA=∠B'C'D' ∠B'C'A',即∠DCA=∠D'CA'.由∠DCA=∠D'C'A',AC= 2∠EAG= 2∠DAB. A'C',AD=A'D',不可以证明△ACD≌△A'C'D'.所以满足这 五个条件不能得到四边形ABCD≌四边形A'B'CD'. 对于图③，∠EAF= ∠DAB.理由如下： 2 附加题1.(1)因为点F是AD的中点，所以AF=DF.在 如图3，在BE上截取BG=DF,连接 AF DF, AG.同图②法可得△ABG兰△ADF.易证 △AEF和△DHF中， ∠AFE=∠DFH,所以△AEF≌ △EAF≌△EAG.所以∠EAF=∠EAG=B FE FH, ∠CAK=Z∠DMB 1 △DHF(SAS). 图3 (2)因为△AEF≌△DHF,所以AE=DH,∠EAF= 1 (3)∠EAF=180°- 立∠DAB.理由如 ∠HDF.所以AB∥DH.所以∠B=∠HDC.因为AE=CD,所 下： DH DC, 如图4，在DC的延长线 G 以DH=DC.在△DHG和△DCG中 HG=CG,所以△DHG 上取点G,使得DG=BF,连 DGDG. ≌△DCG(SSS).所以∠HDG=∠CDG.所以∠B=2∠GDC. 接AG.因为∠ABC+∠ADC =180°，∠ABC+∠ABF= 2.(1)∠EAF= 子∠DAR理由如下： 图4 180°，所以∠ADG=∠ABF.在△ABF和△ADG中， 因为AB⊥CB,AD⊥CD,所以∠ABG=∠D=90°.在 AB AD. AB AD. ∠ABF=∠ADG,所以△ABF≌△ADG(SAS).所以AF= △ABG和△ADF中， ∠ABG=∠D,所以△ABG≌ BF DG. BG DF, AG,∠BAF=∠DAG.所以∠BAF+∠GAB=∠DAG+∠GAB, △ADF(SAS).所以∠BAG=∠DAF,AG=AF.所以∠BAG+ 即∠GAF=∠DAB.因为EF=BF+DE,所以EG=DG+DE ∠BAF=∠DAF+∠BAF,即∠GAF=∠DAB.因为EF=BE AEAE, +DF,所以EG=BE+BG=EF.在△AEF和△AEG中， =EF.在△AEF和△AEG中，AF=AG,所以△AEF≌ AE=AE, LEF EG, EF=EG,所以△AEF≌△AEG(SSS).所以∠EAF=∠EAG △AEG(SSS).所以∠EAF=∠EAG.因为∠EAF+∠EAG+ AF AG ∠GAF=360°，所以2∠EAF+∠DAB=360°.所以∠EAF= 2∠GAF= ∠DAB 180°-1 ∠DAB —64 素养·拓展 数理招 (上接第3版) 【迁移运用】(1)如图3，CD,BE是△ABC 第1期2版参考答案 附加题⊙ 的两条高，且交于点F,则∠DAE的“边垂角”是 13.1三角形的概念 基础训练1.C；2.A; 3.8,4,BE,∠BEC (以下试题供各地根据实际情况选用) (2)若∠AQB是∠APB的“边垂角”，则 13.2与三角形有关的线段 1.(8分)如图1，在△ABC中，∠ABC= ∠AOB与∠APB的数量关系是 ； 13.2.1三角形的边 2∠ACB,BD平分∠ABC,AD⊥BD. (3)如图4，∠ACD是∠ABD的“边垂角”， 基础训练1.C;2.C; (1)若△BDC的面积是5，求△ABC的面且AB=AC,BD交AC于点E,延长CD至F,使 3.三角形具有稳定性；4.3. 积； DF=CD,连接AF,EF,且∠FAC=45°，写出 5.(1)在△ABC中，因为AB=7,BC=2,所 以AB-BC<AC<AB+BC,即5<AC<9. (2)求证：AC=2BD BE,CF,CE的数量关系并说明理由 (2)△ABC的周长为16，△ABC是等腰三 角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 基础训练1.B;2.B;3.4. 4.(1)∠1=80°.(2)略. 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 基础训练1.D;2.B:3.55 4.∠B=50°. 13.3.2三角形的外角 基础训练1.A;2.25.3.∠CAD=20° 能力提高4.∠AEC的度数为75°或559 第1期3版参考答案 题号12345678 答案B ACDABC A 2.(12分)【阅读理解】定义：如图2，在同 二、9.三角形具有稳定性；10.7； 平面内，点A,B分别在射线PM,PN上，过点A垂 11.115;12.26;13.64°； 直于PM的直线与过点B垂直于PN的直线交于 14.125°或55°. 点Q,则把∠AQB称为∠APB的“边垂角”. 三、15.图略. 16.(1)∠BAD=20 (2)略 17.(1)△MBC是等边三角形 (2)c=4或6. 数理报社试题研究中心 (3)原式=-a+36-c (参考答案见下期) (下转1,4版中缝) 十十”十十 十州十十十州十”十 十十十十十十”十十十十十十m十十”十+十十十 品味方法 因为AE平分∠CAB, 所以∠FAE=∠BAE 截长补短来帮忙 在△AEF和△AEB中 子3a22220200 AF AB. ∠FAE=∠BAE, ◎山西江鸿哲 LAE AE, 问题：如图1，已知AC∥ 所以∠C=∠AFE. 所以△AEF≌△AEB(SAS). BD,AE,BE分别平分 因为AC∥BD,所以∠C+∠D=180° 所以EF=EB,∠F=∠ABE. ∠CAB,∠DBA,且CD经过 又因为∠EFB+∠AFE=180°， 因为BE平分∠DBA, 点E,试判断AB与AC+BD 所以∠EFB=∠D. 所以∠ABE=∠DBE. 的数量关系，并说明理由， 因为BE平分∠DBA, 所以∠F=LDBE. 方法一：截长法 所以∠FBE=∠DBE, 因为AC∥BD,所以∠ECF=∠D. 思路分析：在线段AB上截取AF=AC,连接 ,∠EFB=∠D, LECF=∠D, EF,根据“SAS”可得△CAE≌△FAE,则LC= 在△BEF和△BED中，{∠FBE=∠DBE 在△CEF和△DEB中，{∠F=∠EBD, ∠AFE,从而得出∠EFB=∠D.根据“AAS”可 BEBE, EF EB, 得△BEF≌△BED,则BF=BD,从而得到AB 所以△BEF≌△BED(AAS) 所以△CEF≌△DEB(AAS). 与AC+BD的数量关系. 所以BF=BD. 所以FC=BD. 解：AB=AC+BD.理由如下： 因为AB=AF+BF,所以AB=AC+BD. 因为AB=AF=AC+FC, 如图2，在AB上截取 方法二：补短法 所以AB=AC+BD. AF=AC,连接EF 思路分析：延长AC到点F,使AF=AB,连 温馨提示：截长法和补短法是解决全等三 因为AE平分∠CAB 接EF根据“SAS”可得△AEF兰△AEB,则∠F 角形中线段的和、差、倍、分等题目的常用方法。 所以∠CAE =∠ABE,EF=EB.再根据“AAS”可得△CEF 若题目的条件或待求结论中含有“a=b+c”,需 ∠FAE. 兰△DEB,则FC=BD,从而得出AB与AC+BD 要添加辅助线时，应考虑截长法或补短法，其具 AC AF 的数量关系。 体做法为：在最长的线段上截取一条线段与较 在△CAE和△FAE中 ∠CAE=∠FAE, 解：AB=AC+BD.理由如下： 短的线段相等，或是将一条较短的线段延长，使 AEAE 如图3，延长AC至点F,使AF=AB,连接之与最长的线段相等，再利用全等三角形的知 所以△CAE兰△FAE(SAS). EF. 识进行说明. 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话： 兹评橘 2025年7月16日：星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话， 第 3期总第1143期 人教 0351-5271248 八年级(GDY) 上接4版参考答案) 18.(1)120°，155 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-156 (2)猜想： 入门向导 解：(1)因为AE∥DF,所以∠A=∠D. ∠BPC=90° 因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC 分∠1理市略， 伴你走进全等的世界 即AC=DB. AE DF, (3)∠P, 在△AEC和△DFB中， ∠A=∠D 1350+2A ◎江西郭春花 AC DB. 全等三角形是平面几何领域极为重要的研 对应边，∠D与∠C是对应角，∠AED与∠BEC 所以△AEC≌△DFB(SAS) 附加题 究工具，为攻克复杂的几何难题搭建了理论与是对应角. (2)如图3，过点E 1.(1)是； 方法的桥梁，接下来，让我们一同推开全等知识 三、全等三角形的性质与判定 作EH⊥AC于点H,过点 (2)∠ADB 的 度数是54°或63 世界的大门，探索其中的奥秘 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相F作FM1AC于点M. 一、正确理解全等三角形的含义 2.(1)略 等，周长相等，面积相等，对应边上的高、中线和 所以Sax=AC 能够完全重合的两个三角形如叫作全等三角 角平分线相等。 (2)①∠C 形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶 ∠CAM=∠P 判定：两边和它们的夹角分别相等的两个EH,Sa=BC·E 图3 ∠PDM,∠B 点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角， 三角形全等；两角和它们的夹边分别相等的两 因为AB= ∠BDN=LP 我们也把它们称为全等三角形的对应元素.点A个三角形全等；两角分别相等且其中一组等角 BC,所以BC= ∠PAN. 与点D,点B与点E,点C与点F对应时，△ABC 的对边相等的两个三角形全等；三边分别相等 因为SAEc=6,所以SADEC=4.5. ②∠B+∠C= 与△DEF全等可记为△ABC≌△DEF 的两个三角形全等（此判定方法见下期） 因为△AEC兰△DFB,所以SAAB=S△FE 2∠P.理由略 二、准确辨认全等三角形的对应元素 例 如图2，点4， 所以EH=FM. 第2期综合测评卷 辨认全等三角形的对 B,C,D在同一条直线 所以S ABEC=S△cB: 应元素，最简单也是最有 所以S边形BEcr=2 SABEC 9 参考答案 -、1.C;2.C 效的方法是：先找全等三 上，AB=CD=号BC, 3.B;4.C;5.A; 角形的对应顶点，再确定 AE=DF,AE∥DF 6.C;7.B;8.A; 对应边和对应角.如图1 图1 (1)求证：△AEC 本周主进 9.D;10.C. 若△ADE≌△BCE,∠1与∠2是对应角，AD与≌△DFB; 14.1全等三角形及其性质 二、11.稳定性； BC是对应边，则AE与BE是对应边，DE与CE是 (2)若SAc=6,求四边形BECF的面积 14.2三角形全等的判定SAS,ASA,AAS) 12.6:13.20 十十十十十十十十十十十 学习目标：1理解全等形、全等三角形的 14.74°； 名师点睛 概念，能识别全等三角形中的对应顶，点、对应 15.180°. 三、16.图略. 例析全等三角形的基本图形 边、对应角 2.掌握判定三角形全等的条件(SAS, 17.略. ASA,AAS),并能在解题中进行有条理的说 18.∠B=65° ◎广东褚端沛 明 四、19.(1)c的取 全等三角形中有两个基本图形，一个可用 有些习题可运用“等长线段加上（或减去） 认知重点：1.掌握全等三角形的性质， 值范围为2<c<6. 来证明线段相等，另一个可用来证明角相等.它等长线段后仍相等”求解 2.掌握运用三角形判定方法说明三角形 (2)△ABC的周 全等，会解决相关求边、角问题， 长为12. 们在全等三角形的证明中应用非常广泛，下面 例2如图3，AD,BC相交 20.(1)∠BAF 举例说明 于点0，且0B=0C,0A=0D, 或因为∠AOD=∠BOC(已知)， =50. 基本图形① 延长AD到点F,延长DA到点E, 所以∠AOD-∠COD=∠BOC-∠COD, (2)∠C=70° AE=DF,连接CF,BE.求证：BE 即∠AOC=∠BOD. 21.BC=24. 性质：如图1，等长线段加上（或减去）同一 ∥CF 例3如图5，已知 五、22.(1)∠CAF 线段后仍相等 证明：因为OA=OD,AE= DF,所以OA+0A=OC,0B=OD =35°，∠EDF=30° AE=OD+DF,即OE=OF (2)∠B=50° 8b d ∠BOD=∠AOC.求证： 图1 23.(1)115,25； OE OF. ∠B=∠D 一般推理步骤为：因为AB=CD(已知)， (2)∠DPC, 在△OBE和△OCF中 EOB=∠FOC, 证明：因为∠BOD= 所以AB+BD=CD+BD,即AD=CB: ∠Q的度数不会发 OB OC. ∠A0C, 或因为AD=CB(已知)， 生变化理由略. 所以△OBE≌△OCF(SAS). (3)45°或60 所以AD-BD=CB-BD,即AB=CD. 所以∠B0D-∠AOD=∠AOC-∠AOD, 所以∠E=∠F 即∠AOB=∠COD 或120°或135 例1如图2，点A,B,C 所以BE∥CF ,0A=0C, D在一条直线上，AF=DE, ∠A=∠D,AC=DB.求证： 基本图形② 在△AOB和△COD中， ∠AOB=∠COD, △ABF≌△DCE. OB OD. 图2 证明：因为AC=DB, 性质：如图4，等角加上（或 所以△AOB≌△COD(SAS) 所以AC-BC=DB-BC,即AB=DC 减去)同一角后仍相等。 所以∠B=∠D, AF DE, 般推理步骤为：因为 编者语：遇到全等三角形的基本图形时，观 在△ABF和△DCE中，∠A=∠D, ∠AOC=∠BOD(已知)， 察题中条件对应的图形是否有重合的部分，运 AB DC, 所以∠AOC+∠C0D= 用“有重合相减，无重合相加”即可得到判定两 所以△ABF≌△DCE(SAS). ∠BOD+∠COD,即∠AOD=∠BOC; 个三角形全等的一个条件，进而得解。 2 素养专练 数理极 开闭，若∠BAC=130°，则∠BAD的度数为 3.如图3，△ABC中BC边上的高为h1,△DEF 跟踪训练 ( )中DE边上的高为h2,则h, h2(填 A.50° B.55° “>”“=”或“<”) GENZONGXUNLIAN C.65° D.无法确定 14.1全等三角形及其性质 3.如图3，在2×2的正方形网格中，∠1+∠2 3.6 的度数是 113 屋出训练 A.100° B.90c C.80° D.60° 67C D 图3 1.下列属于全等形的是 4.如图4，已知AC=DC,∠1=∠2=∠3.求 口☐OOA分心 证：△ABC≌△DEC B 图3 图4 2.已知图1中的两个三角形全等，则∠1的度 4.如图4，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6, 数是 延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B 10 0° 出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终 点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 时，△ABP和△DCE全等. 72°d 85C C' 85°85B 5.如图5，点B,C,E在同一条直线上，AC∥ 12 图1 图2 DE,AC=CE,BC=DE.求证：∠B=∠D 3.如图2，四边形ABCD与四边形A'B'CD'全 能刀提高 等，则∠D'= -,∠A= ,B'C'= 5.在直线m上依次取互不重合的三个点D,A, AD E,在直线m上方有AB=AC,且满足∠BDA= 4.如图3，沿图中的虚线画线，把下面的图形 ∠AEC=∠BAC=x. 划分为两个全等的图形（用2种不同方法） 【积累经验】(1)如图5，当α=90°时，猜想线 段DE,BD,CE之间的数量关系是 图3 D E m 5.如图4，△ABC兰△EDF,点B和点D是对 能刀提高 图5 图6 应顶点，AB和ED是对应边，点A,F,C,E在一条直 6.如图6，点A,D,C,E在同一直线上，CB= 【类比迁移】(2)如图6，当0°<<180°时， 线上 EF,∠1+∠2=180°，AD=CE.求证：AB=DRF.问题(1)中的结论是否仍然成立？如成立，请说明 (1)求证：AF=CE: 理由 (2)连接AD,若∠DAF=∠AFD=∠ADE= 【拓展应用】(3)如图7，在△ABC中，∠BAC 2∠B,求∠E的度数 是钝纯角，∠BAD<∠CAE,直线m与CB的延长线 交于点F,若BC=3BF,△ABC的面积是18，请求 出△FBD与△ACE的面积之和， 14.2三角形全等的判定 14.2.1边角边(SAS) 14.2.2角边角(ASA)、角角边(AAS) 堡础训练 垦砂训练 1.如图1，AC和BD相交于点O,若OA=OD 1.王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如 用“SAS”证明△AOB兰△DOC还需 ( 图1所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全 A.AB =DC B.OB OC 样的瓷砖，下列携带方式可行的是 + C.∠A=∠D D.∠AOB=∠DOC A.只携带①去 B.只携带②去 C.只携带③去 D.携带②和③去 + 图2 2.油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中 图1 截面如图2所示，伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF, 2.如图2，已知∠C=∠D,只要再添加一个条 AE=方4B,4P=4C,当0沿A0滑动时，油纸伞件： ,就能使△ACB≌△BDA(填一个即 数理报社试题研究中心 可) （参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 16.(10分)如图16，C是线段AB的中点，CD 同步检测 平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE. (I)求证：△ACD≌△BCE; (2)若∠D=40°，求∠B的度数 TONGBUJIANCE 【检测范围：14.1~14.2.2】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 8.如图8，点C在线段AB上，DA⊥AB,EB⊥ 题号123456 7 AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,连 接AF,BF,BD,AE,BD与AE交于点M,∠AFB= 答案 58°，则∠AMB的度数为 ( 1.下列图形中，与图1全等的是 A.112°B.122° C.102°D.1009 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.如图9，是由6个全等的四边形拼成的图形 若AB=3,CD=2AB,则AF的长为 图1 A B 2.如图2，用螺丝钉将两根小棒AD A R Z BC的中点O固定，测得C,D之间的距离， D 图9 就可知道锥形瓶内径AB的长度，此方案 10.如图10，点E,F在BC上，BE=CF,∠AFB 17.(12分)李大爷有块三角形农田，如图17， 笔直的小路AG从农田△ABC中穿过，李大爷把农 依据的基本事实是 ( =∠DEC,AF,DE相交于点G,要使得△ABF≌ A.SAS B.ASA △DCE,则还需添加的条件为 田分成若干块分别种上小麦和油菜，其中△BDE 图2 和△ACD种植小麦，李大爷发现AB=AC,小路AG C.AAS D.SSA 与小路BC交于点F,且BF=2CF,点E,D在小路 3.如图3，已知△ABC兰△EBD,若AB=5, AG上，且∠BEG=∠CDG=∠BAC. BD=8,则CE的长为 (1)求证：△BAE兰△ACD: A.1 B.2 C.3 D.4 (2)小麦种植区△ACD里需要施肥200千克 图10 图图11 (同种农作物的施肥量和农田的面积成正比)，请 11.如图11，小明站在点C处目测甲、乙两楼 你帮李大爷算一下小麦种植区△BDE里需要施肥 楼顶上的点A和点E,使C,E,A三点在同一条直线 多少千克？ 上，已知点B,C相距20m,点D,C相距40m,乙楼 图3 的高BE为15m,EF∥BC,EF⊥AD,则甲楼的高 4.如图4，为了测量河两岸A,B两点间的距 AD为 m. 离，过点B作BM⊥AB,在BM上取两点C,D,使得 12.如图12，若AD=AB,AC=AG,∠DAB= BC=CD,再过D点作BM的垂线DE,使得点E,C, ∠GAC=60°，DG与BC交于点0，则∠D0C= A在同一直线上，若BD=12m,DE=8m,CE= 10m,则A,B两点间的距离是 ( A.6 m B.8 m C.10mD.12m 5.如图5，在△ABC中，AB>AC,AD平分 ∠BAC,交BC于点D,则下列结论正确的是 ( 图12 图13 A.AB-AC BD -DC 13.如图13，在△ABC中，D是边AC的中点 B.AB-AC BD-DC ∠EDF=90°，AF=5,CE=2,则EF长的取值范 18.(14分)在△ABC中，点D在CA的延长线 C.AB-AC BD-DC 围是 上. D.AB-AC与BD-DC的大小无法确定 14.如图14，在△4BC中 (1)如图18，过点D作DE∥BC,连接BE,与 ∠ACB=90°，AC=15cm, CD交于点G,连接CE,若CG为△BCE的中线， BC=6cm,CD为AB边上的 △DEG与△CBG全等吗？请说明理由， 高，点E从点B出发，在直线 (2)如图19，点E在BA的延长线上，AB=AE, BC上以3cm/s的速度移动， 图14 点F在AC的延长线上，连接CE,DE,EF,若AD= 图5 过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动 图6 CF=4C,LF=∠ACB,EF=BC,试判断 6.如图6，点B的坐标为(4,1)，AB=0B s时，CF=AB. 三、耐心解一解（共44分） ∠AB0=90°，则点A的坐标是 ∠ABC,∠DEA,∠CEF之间的数量关系，并说明理 ( 15.(8分)如图15，已知△ABC≌△ADE,点B:由. A.(2,4)B.(2,5)C.(3,4)D.(3,5) 和点D是对应顶点，BC的延长线交AD于点F,交 7.如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥ AE的延长线于点G,且∠ACB=IO5°，LCAD= AB,垂足为点H,AD平分LBAC,与CH相交于点10°，∠D=25°，求∠G的度数 D,过点D作DE∥BC,与边AB相交于点E,连接 2 CE,则下列结论中一定正确的是 ( A.AD DE B.AC =EC C.AD CD D.CD DE 图1 (下转第4版)