第9期 3.4.2 相似三角形的性质 3.5 相似三角形的应用 3.6 位似（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

21.(8分)如图16，D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的 23.(9分)龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物， 25.(10分)如图20，在菱形ABCD中，M为AD的中点，BM与AC 点，DE∥AB,∠A=∠DR若82=子5am=50,求四边形AFDR 是中华民族最具代表性的传统文化之一.恰逢龙年，政府部门在某 的交点为E,点F在边BC上，AF交BM于点G,且∠BGF=∠ABC. 广场上做了一个龙形雕像.某数学兴趣小组想要利用所学知识测量 (1)求证：△BAG∽△BMA: 的面积. 该雕像的高度.如图18，雕像的高度为AB,在地面BC上取E,G两 (2)若∠ABC=60°，连接CG,求证：CG⊥BM, 点，分别竖立两根高均为1.5m的标杆EF和GH,两标杆间隔EG为 8m,并且雕像AB,标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后 退2m到D处（即ED=2m),从D处观察A点，A,F,D三点在一条 直线上；从标杆GH后退3m到C处（即CG=3m),从C处观察A点， 2 A,H,C三点也在一条直线上.已知B,E,D,G,C在同一直线上，AB⊥ BC,EF⊥BC,GH⊥BC,请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出 该龙形雕像的高度， H D 图18 初 中数学 湘教 中考同 22.(8分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图17 初中数学·湘教中考同 步 所示 26.(10分)如图21，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点F,延 达标检测卷 (1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△AB,C; 长BC到点E,使CE=BC,连接DE,连接AE交BD于点G,交CD于 (2)以点M(1,2)为位似中心，作出△AB,C按1：2放大后的 点H. 位似图形△A,B,C2; 24.(9分)如图19，△ABC中，DE∥BC,BE与CD交于点0，AO 步达标检测卷 (1)求证：DG=FG·BG: (3)求点A2的坐标以及△ABC与△A,B,C2的周长比 与DE,BC分别交于点N,M. (2)若AB=14,BC=24,求线段GH的长度 (I)若点M是BC的中点，求证：DN=EN; (2)若ON:OM=2:5,四边形BCED的面积为42，求△ABC的 面积. 图17 参考答案见11期 本版责任编辑：郭晓红 报纸编辑质量反馈电话 2025年8月28日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 数理括 第 9 期总第1153期 (湘教中考) 0351-5271248 参考答案 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 8-治 出如图3所示的平面几何图形，已知点D,A,E 8期2版 3.4.1相似三角形的 相似三角形 在地面的同一水平线上，∠C=90°，AC=2.5 解得QB=16.8(米)，经检验符合题意， 判定（第一课时） 1.B:2.D: 用处多不 米，BC=3米，点C到地面的距离是2.4米.求凉 所以AB=AQ+QB 亭最高点B到地面的距离BN的长（结果精确到 2 ○湖南沈贵华 =1.4+16.8=18.2(米) 0.1米). 相以三角形的知识在日常生活中有着十分 答：塔的高度为18.2米. 广泛的应用，尤其是在测量高度和距离方面.现 解：如图4，过点C作CG1 例2如图2是凸透镜 从试题中选取三例解析如下，供同学们学习时 DE于G,CH⊥BN于H, 成像示意图，CD是蜡烛AB 3.4.1相似三角形的 参考 则四边形CGNH是矩形， 通过凸透镜MN所成的虚 判定（第二课时） 例1在《数书九章》（宋 所以LGCH=∠CHB 像，已知蜡烛的高AB为D D B O 1.D:2.B 秦九韶)中记载了一个测量 =90° 3.70;4.4 4.8cm,蜡烛AB离凸透镜 塔高的问题：如图1所示，AB 图2 NH=CG=2.4米 3.4.1相似三角形的 MW的水平距离OB=6 表示塔的高度，CD表示竹竿 cm,该凸透镜的焦距OF为10cm,AE∥OF,求 在Rt△AGC中，由勾股定理，得 判定（第三课时） 1.D;2.C; 顶端到地面的高度，EF表示 像CD的高. AG=AC2-CG2=0.7(米). 3.2或8： 人眼到地面的高度，AB,CD 解：因为AE∥OF 因为∠ACB=90°， 4.(1,4)或(3 EF在同一平面内，点A,C,E在一条水平直线 所以△CAE△COF, 所以∠ACG=∠BCH 4) 上.已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF 所以端= 又因为∠AGC=∠BHC=90°， 3.4.1相似三角形的 =1.4米，人从点F远眺塔顶B,视线恰好经过 所以△AGC△BHC, 判定（第四课时） 竹竿的顶端D,可求出塔的高度.根据以上信息， 1.A;2.C: 求塔的高度. 所以院=子 船C脚六 3.18: 解：过F作FQ⊥AB于Q,交CD于H, 因为AB∥CD 所以BH=0.84(米)， 4.①③. 则FH=CE=10米，QH=AC=20米， 所以△OAB∽△OCD 所以BN=BH+NH≈3.2（米）. 重点集训营 FQ=AE=AC+CE=30米， 1.D: 所2-8号- 答：凉亭最高点B到地面的距离BN的长约为 EF=CH=AQ=1.4米， CD 2.2或号 3.2米 所以DH=CD-CH=7-1.4=5.6(米) 解得CD=12(cm). 3.略. 因为DC∥BA, 答：像CD的高为12cm. 名师课堂 8期3,4版 所以△FDH△FBQ, 例3漯河某景区内建有 一、 所瑞器 供游客休息的凉亭.某数学小 生质应用小越鼎 1.A;2.C: CBO 组欲测量凉亭的高度，故抽象 3.D;4.C; 十十十十 十“十十“十“十十十“十十十十十十十十 方法技巧 ⊙山东王文静 5.D;6.B 已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°，则点C 位似变换申鼠 应用一：相似三角形周长的比等于相似比 7.C;8.C 的坐标为 (结果用含a,b的式子表 例1若两个相似三角形周长的比为1：4， 9.B:10.B 示). 点的坐标的确定 则这两个三角形对应边的比是 二、11.∠D 解：过点C,C'分别作x轴的垂线CD,C'D' A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16 LB(答案不唯一)； 垂足分别为D,D', 山西赵华 解：因为两个相似三角形周长的比为1：4， , 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 因为△ABC与△AB'C'的位比为1：2，点 所以相似三角形对应边的比为1：4.故选B. 例1如图1，△AB0的顶点坐 A是位似中心，A(2,0), 13.甲和丙； 标是A(2,6),B(3,1),0(0,0),以 所以AD'=2AD. 应用二：相似三角形面 积的比等于相似比的平方 14.70: 因为C(a,b),所以AD=a-2,CD=b, 点0为位似中心，将△AB0缩小为 例2如图，在平行四 15.丁； 所以AD'=2a-4,C'D'=2b, 16.30°或60°： 原来的，得到△A'B"0,则点A的 所以D'(2-2a+4,0), 边形ABCD中，E是线段AB 所以C'(6-2a,-2b) 上一点，连接AC,DE交于 17.3或3√2： 坐标为 故填(6-2a,-2b). 点R若 2 18.4或7. 解：因为以点0为位似中心，将 EB = 三、求位似中心的坐标 三、19~23.证 △AB0缩小为原来的5，得到△NB'0,A(2,6), 例3如图3，已知矩 明略. 形ABCO与矩形ODEF是 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 24.(1)略. 所以当△A'B'0在第一象限时， 位似图形，M是位似中心， 所以AB=CD,AB∥CD (2)△ABE △BEF. 点的坐标为（兮×2写×6， 若点B的坐标为(4,3)，点 所以∠AEF=∠CDF,LEAF=∠DCF, M 所以△EAF∽△DCF. 25.(1)略 即（子2： E的坐标为(-2,3)，则 图3 因为品=名 (2)21 图中点M的坐标为 EB 3 (3)略. 当△A'B'0在第三象限时， 解：因为点B的坐标为(4,3) 所以AE 点的坐标为(-号×2.-号×6： CAB 26.(1)略 点E的坐标为(-2，号)， (2)△BPE 所以>ár 4 即(-号，-2小 所以AB=3,01=4,0D= CD 25 △CFP. (3)动点P运 动到BC中点位置 故填（号2）或(-号，-2)月 因为矩形ABC0与矩形ODEF是位似图形， 故填去 3 应用三：相似三角形对应高的比等于相似比 时，△BPE与△PFE 二、位似中心非原 M是位似中心，所以0=D= 例3已知△ABC∽△DEF,且AC:DF= 相以 点，求图形上点的坐标 3= 21 2:3,BC与EF边上的高分别记为h,和h2,则 例2 如图2，在平 所以M0=0A=4, h1:h2= 面直角坐标系中，△ABC 所以M点坐标为(-4,0) 解：因为△ABC∽△DEF,AC:DF=2:3, 与△AB'C'的位似比为 故填(-4,0). 所以h,:h2=AC:DF=2:3. 1:2,点A是位似中心， 【对应练习见《重点集训营》】 故填2：3. 2 素养专练 人 数理极 3.4.2相似三角形的性质 则树高CD为 重点集训营 1.若两个相似三角形的相似比为2：3，其中 A.3.1m B.4.6m 1.如图1，△OAB与△OA'B'位似，其中A,B 较小的三角形的周长为8，则较大的三角形的周 C.5.3m D.4.2m 的对应点分别为A',B',A',B均在图中正方形网 长为 ) 格格点上，若线段AB上有一点P(m,n),则点P在 A'B'上的对应点P'的坐标为 ( ) A.6 B.8 C.12 D.16 A(咒2 B.(m,n) 2.如图1，在△ABC中，点D,E分别在边AB C.(2m,2n) D.(2n,2m) 和4C上，连接DE,右8=宁则6x:Sa 图 图2 2.如图2，数学兴趣小组下午测得一根长为 的值为 ( 0.8m的竹竿影长是1m,同一时刻测量树高时发 A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3 现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得 0.4 留在墙壁上的影高1.2m,地面上的影长为3m, 隆2 请你帮算一下，树高是 m. 2.如图2，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的 3.如图3，AD,BC为两 位似图形，且位比为1：3，点A,B,E在x轴上 路灯，身高均为1.8m的小 若正方形BEFG的边长为3，则D点坐标为 图1 明、小亮站在两路灯之间， 3.两个相似三角形的面积之比为1：4，小三 两人相距6.5m,小明站在 3.如图3，在平 角形一条边上的中线长为4，则另一个三角形对 P处，小亮站在Q处，小明在 面直角坐标系中 应边上的中线长为 ( △ABC的三个顶点 路灯C下的影长AP为2m,路灯BC高9m,则路灯 A.8 B.6 C.4 D.5 的坐标分别为A(4, 4D的高为 m. -8-7-6-5-4- 1),B(2,3),C(1, 4.如图2所示的是某家用晾衣架的侧面示意 2) 图，已知AB∥PQ,根据图中数据，P,Q两点间的 3.6位似 (1)以原点0为 距离是 ( ) 位似中心，在第三象限 图3 A.0.6m B.0.8m 1.如图1，在正方形网格中，以点0为位似中 内画一个△A,B,C,使它与△ABC的位比为2：1； C.0.9m D.1m 心，△ABC的位似图形可以是 ( ) (2)点B,的坐标为 5.如图3，D,E分别是△ABC的边AB,BC上 A.△DEF B.△DFH 数理报社试题研究中心 参考答案见11期 的点，DE∥AC,若SABE:SAE=1:3,则SADOR C.△GEH D.△GDJ 辅助线周周练 :SA4oc的值为 1.如图1所示，AB=4,AC=2,以BC为底边 向上构造等腰直角三角形BCD,连接AD并延长至 点P,使PD=AD,则PB的最大值为 图2 到4 2.如图2，在正方形网格中，两个阴影部分的 6.如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，棱长为 格点三角形位似，则位似中心为 ( 1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC,BC A.点M B.点N 上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为 C.点P D.点Q 2.如图2，在口ABCD中，对角线AC和BD相 3.如图3，△ABC与△DEF是位似图形，点O 交于点0，AD=5,AC=8,BD=6,延长BC至点 7.如图5，有一块三角形 为位似中心，且OA:OD=1:2,若△ABC的周长 余料ABC,它的边BC=18cm, E,连接0E交CD于点F,若∠E=∠ACD,则线 为8，则△DEF的周长为 ( 段OF的长为 高AD=12cm,现在要把它加 B F D A.4 B.22 C.16 D.32 工成长与宽的比为3：2的矩形 图5 零件EFCH,要求一条长边在BC上，其余两个顶 ▣搏米缸率y出驾·1 点分别在AB,AC上，则矩形EFGH的周长为 aV017'a∥N0名=39名 cm. =NO度‘9Ⅺ三}斟出唑电‘b=O0 图3 图4 =aOR型联‘张等音aOaV:‘N学士 3.5相似三角形的应用 4.在平面直角坐标系中，△ABC与△AB,C aaTN0}O学‘N0县‘N学中IO组乙 1.如图1-①，“矩”在古代指两条边成直角 关于原点0位似，点A及其对应点A,的坐标分别 ￥普具9Hd‘出彩 的曲尺，它的两边长分别为a,b.中国古老的天文 并学三d‘aa示‘☒日=V阳恬彩5本具 为(-1,2)，(3，-6)，则△ABC与△ABC的位 垂彩部‘z忆=Ha忆=da恬四采‘z小=4☑ 和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了 似比为 aaVO8VV甲‘，sh=dav7=aa07‘z “矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把 5.如图4，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是 “矩”仰立放可测物体的高度，如图1-②，从 0为位似中心的位似图形.已知队=名，若a日话面梁y继室 “矩”AFE的一端A望向树顶端的点C,使视线通 崭‘1a‘aa‘da瓣买‘Ha=dV到‘a学王V 过“矩”的另一端E,测得AB=1.5m,BD= 四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面斗‘gvvn,丁回烤兴aVM 6.2m.若“矩”的边EF=30cm,边AF=60cm, 积为 【些許】 7.如图5，已知零件的外径为30mm,现用个交叉卡钳（两条尺上沾油部分的长为60cm,桶高为80cm,那么桶内油面的高度 3.4.2~3.6同步达标检测卷 长AC和BD相等，OC=OD)测量零件的内孔直径AB.若OC:OA= 是 1:2,且量得CD=12mm,则零件的厚度x= 16.如图12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为余斜边上的高，若 ◆数理报社试题研究中心 A.3 mm B.3.5 mm C.4 mm D.4.5 mm AD=2,BD=6,则AC的长为 (答题时长120分钟，满分120分) 8.如图6是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上 17.如图13，△A0C中三个J顶点的坐标分别为A(4,0),0(0,0) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）】 点，CD⊥OA于点D.这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对 C(4,3),AP为△A0C的一条中线，以0为位似中心，把△A0P每条 1.下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是 称轴.若DA=15mm,D0=24mm,DC=10mm,则点A与点B之 边扩大到原来的2倍，得到△A'OP',则Pp'的长为 间的距离为 ( A.20 mm B.30 mm C.40 mm D.50 mm 9.有一块锐角三角形余料△ABC,边BC为15cm,BC边上的高 2.若△ABC~△A'B'C',相似比为1：2，则△ABC与△A'B'C 为12cm,现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和2cm的小长 方形零件，分割方式如图7所示（分割线的耗料不计），使最底层的 图12 12 的周长的比为 ( 18.如图14，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D为AC边 A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:4 小长方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方 的中点，点E为BC边上一动点，连接ED并延长，交BA的延长线于 3.如图1，已知△ADE△ACB,若AB=10,AC=8,AD=4, 形零件最多有 则AE的长是 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 点F,当点A恰好为BF的中点时，DE的长为 A.3.2 三、解答题（本题共8小题，共66分） B.4 C.5 D.20 19.(6分)已知△ABC和△A'B'C'是位似图形.△A'B'C的面 初 积为6cm,△A'B'C'的周长是△ABC的周长的一半.求△ABC的面 初 中 中 积 数学 图7 10.如图8，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到 湘教· 图 中 △FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点.若DG=1,EH=√3，则 4.如图2，在△ABC和△A,B,C,中，AB,∥AB,A,C,∥AC,C,为 GH的长为 ) 同 必 0C的中点，△AB,C,面积是5，则△ABC的面积为 A.2 B.√3 C.25 D.4 达 A.10 B.20 C.25 D.50 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 标检测卷 5.如图3，在平面直角坐标系中，已知点0(0,0)，A(6,0),B(0 11.如果两个相似三角形的位似比为16：9，那么这两个三角形 湘教中考同步达标检测卷 8),以某点为位似中心，作出与△AOB的位比为k的位似△CDE 若点D(1,1),点C(4,1),则位似中心的坐标和k的值分别为 对应边上的高之比为 12.如图9，嘉嘉要测量池塘两岸A,B两点间的距离，先在AB的 ( 延长线上选定点C,测得BC=5m,再选一点D,连接AD,CD,作BE A.(0,0),2 B(2.2, ∥AD,交CD于点E,测得CD=8m,DE=4m,则AB= 20.(6分)如图15，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的 位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平 C.(2,2),2 D.1,), 距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为16米，若小明的眼晴 6.如图4，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD,点G在线段AD 与地面距离为1.5米，求旗杆的高度 上，GB∥BD且交B于点E,cF∥AC且交CD于点F,若s SAAEG 图10 1 =号，AC=9,则GF的长为 13.如图10，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以原点 A.2 B.3 0.6 0为位以中心的位以图形，治=分，已知41,2)，则顶点的坐 标为 14.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相比为2：5， 则△ABC与△DEF的面积之比为 15.如图11，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶 边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入油桶部分的长为100cm,木棒