第8期 3.4.1 相似三角形的判定（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

21.(8分)如图18，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂 23.(9分)如图20，四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠ADC= 25.(10分)如图22，点B,D,E在一条直线上，BE与AC相交于 足为D,E为BC上一点，连接AE,作EF⊥AE交AB于F.求证： ∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE.求证： △AGC∽△EFB. (1)AC2=AB·AD; 点F,将=脂-长 (2)△AFD∽△CFE. (I)求证：∠BAD=∠CAE; (2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数： (3)连接EC,求证：△ABD∽△ACE. 图22 初中数学· 湘教中考同 初中数学·湘教中 26.(10分)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，P为BC上的 动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P处，三 考同 22.(8分)如图19，在△ABC中，∠BAC=2∠C 24.(9分)如图21，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在 角板可绕P点旋转. 步达标检测卷 (1)在图中作出△ABC的内角平分线AD(要求：尺规作图，保留 CD上，且CF=3FD. (1)如图23-①，当三角板的两边分别交AB,AC于点E,F时， 作图痕迹，不写证明)； (1)求证：△ABE△DEF: 求证：△BPE∽△CFP: (2)求证：△ABD△CBA, (2)△ABE与△BEF相似吗？为什么？ (2)将三角板绕点P旋转到图23-②情形时，三角板的直角顶 步达标检测卷 点交BA的延长线于点E,斜边交AC于点F,则△BPE与△CFP还 相吗（只需写出结论）？ 图21 (3)在(2)的条件下，连接EF,则动点P运动到什么位置时， △BPE与△PFE相似？请说明理由 尽套 图23 参考答案见下期 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话 2025年8月21日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 第 8期总第1152期 (湘教中考) 0351-5271248 数理摑 参考答案 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 7期2版 重点精讲 而∠BDE=∠CAD 3.1比例线段 所以∠ADE=∠C=∠B. 1.D;2.D: 由条件定方法 因为∠DAE=∠DAE, 3.2；4.3. 所以△ADE∽△ABD 5.△ABC是直 ⊙湖南高良 提示：当已知条件只涉及角时，可用判定定 图4 角三角形. 类型1：已知条件涉及平行线 理1来证明两个三角形相似.解决这类题时，要 AB 3.2平行线分线段 例1如图1，在△ABC 注意图中公共角、对顶角等隐含条件 证明：因为所以品 成比例 中，∠DEF=∠B,DE∥BC 类型3：已知条件既有角又有边 因为品=%=授 AC AB 1.D;2.B 求证：△ADE∽△EFC. 例3如图3，在 3.2;4.6: 证明：因为DE∥BC, △ABC中，CD=CE,2AD 5 所以0=光=0 所以∠DEF=∠EFC =3AE,2BD=3CD,求证： △ADE∽△ABC. 所以△ADC∽△A'D'C 3.3相似图形 △ABD∽△ACE. 提示：当已知条件只涉及边时，利用判定定 1.C;2.D 因为∠DEF=∠B, 证明：因为CD=CE,所以∠CDE 理3来证明两个三角形相似是常用方法.判断三 所以∠EFC=∠B,所以EF∥AB,所以 36:4号 ∠CED,所以∠ADB=∠AEC, 边是否成比例时，可先将三角形的边按大小顺 △EFC∽△ABC,所以△ADE△EFC. 因为2AD=3AE,2BD=3CD 序排列. 【对应练习见《重点集训营》】 5.当M,N运动 提示：当已知条件涉及平行线时，可直接利 4s或1s能使矩形 用P.78中的结论来证明两个三角形相似， 所以0-0-0= 题型空间 CFNM与矩形AEFD 类型2：已知条件只涉及角 所以△ABD∽△ACE. 网格中的 相似. 例2如图2，在△ABC 提示：当已知两个三角形的两边对应成比 中，AB=AC,点D,E分别在 相似三角形 重点集训营 例时，要考虑其夹角是否相等，利用判定定理2 1.4cm; BC,AB上，且∠BDE = 来证明三角形相似. ©云南陈少明 26 5 ∠CAD,△ADE与△ABD相 一、确定相似比 类型4：已知条件只涉及边 似吗？为什么？ 例1如图1是一个4×4 例4如图4，在△ABC和△A'B'C'中，点 4.13；5.26. 解：△ADE∽△ABD,理由如下： 的正方形网格，△ABC 与 7期3,4版 因为在△ABC中，AB=AC, n,分别是R分上的点，且8-招 当 △A,B,C1都是格点三角形，并 AB -、1.B;2.B; 所以∠B=∠C。 CD AB 且△ABC∽△A,B,C,求 3.C;4.D: 因为∠ADB=∠C+∠CAD △ABC与△A,B,C,的相比 5.A;6.A: =∠ADE+∠BDE △A'D'C. 解：由勾股定理，得AC1=1,AB1=2,AC 7.B;8.D; =2,AB=22. 9.B;10.B 因为AD∥BC,所以∠AFO=∠CBO. 由△ABC△A,B,C,知，△ABC与 二11.3 7 分法探究 因为∠AOF=∠COB △A,B,C,的相似比为AC:A,C,=AB:A,B,= 12.1:3: 等积式证明策略 所以△AOF△C0B, 2:1. 二、识别相似三角形 ◎湖南张博 所以8-8所 OA OF 例2在如图2所示的中 探究发现： 所以B02=OE·OF. 15.8; 国象棋棋盘（各个小正方形的 如图1，在Rt△ABC中 二、等积替换 边长相等)的格点上有A,B, 2 16.35 ∠BAC=90°，CD平分∠BCA, 例2如图3，已知CE是 C,D,F五点，则能使格点D,E 作AE⊥CD交BC于点E,垂足 1号成-2： Rt△ABC的斜边AB上的高，点P 与下列格点构成的三角形与 为F,作BG⊥AE,垂足为G.求 B 是CE的延长线上任意一点，BG 由格点A,B,C围成的△ABC 18.3x=2y或 证：AC2=CF·CD. 图1 ⊥AP.求证：CE2=ED·EP. 相似的是 3y-2x=10. 方法归纳：上述证明等积式的方法我们称 证明：因为CE是Rt△ABC的 A.①处 B.②处 三、19.(1)4； 之为“三点定形法”，一般步骤是：(1)把等积式 斜边AB上的高，BG⊥AP, C.③处 D.④处 (2)45. 转化为比例式；(2)观察成比例的四条线段确定 所以∠P+∠PAE=90° 解：根据网格特点和勾股定理可以求出对 20.4. 可能相以的两个三角形；(3)找出使这两个三角 ∠DBE+∠PAE=90°， 应三角形的边长，BC=1,AB=5,AC=22, 21.略. 形相似的条件 所以∠P=∠DBE. DF=42 22.2. 若在步骤(2)中，发现四条线段不在两个三 因为∠AEP=∠DEB=90°， A.点F与①的距离为2，点D与①的距 23.(1)略； 角形中，我们可以用相等的量替换其中一个或 所以△AEP△DB,所以 EP 离为34，与△ABC不相似，故此选项不符合 (2)30-105 两个量，包括等比替换，等积替换等 题意； 24.(1)DE= 变式探究 即AE·EB=DE·EP. 4,DF=14: B.点F与②的距离为2，点D与②的距离 一、等比替换 因为CE是Rt△ABC斜边AB上的高， (2)15. 例1如图2，E为平行四 所以∠AEC=∠CEB=90°. 为25,25：是=语与△4c相似故 25.(1)略； 5 2√2 边形ABCD的边CD延长线上 因为∠ACE+∠ECB=90°， (2)25-2. 此选项符合题意； 的一点，连接BE,交AC于O, ∠CAE+∠ACE=90°， 260 交AD于F.求证：BO=OE·OF 所以LECB=∠CAE, C.点F与③的距离为√/3，点D与③的 (2)(3)略 证明：因为AB∥DC, 所以△ACE∽△CBE, 距离为5，与△ABC不相似，故此选项不符合 所以∠BA0=∠OCE. 所以瓷=是即CE=AE·E 题意； 因为∠AOB=∠COE D.点F与④的距离为√7，点D与④的 因为AE·EB=DE·EP, 距离为3，与△ABC不相似，故此选项不符合题 F以△A0B~△C0E,所以验 OA 所以CE2=DE·EP. 意.故选B 素养专练 数理极 3.4.1相似三角形的判定（第一课时） 3.4.1相似三角形的判定（第三课时） 重点集训营 1.如图1，在△ABC中，DE∥BC,GF∥AC, 1.如图1，下列条件不能判定△ADB∽ 1.在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5,AC GF,DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角 △ABC的是 ( =7,将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与 形共有 ( A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABC 原三角形不相似的是 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 C.AB2=AD·AC D.AB·BC=AD·DB 759 C D 2.将三角形纸片△ABC按 刻 2.如图2，AD∥EF∥BC,点G是EF的中点， 2.下列四个三角形中，与如图2中△ABC相 如图1的方式折叠，使点B落 在边AC上，记为点B',折痕为 =号，若EF=6,则AD的长为 EF 似的是 BC EF.已知AB=AC=3,BC= A.6 R号 D.15 4,若以点B',F,C为顶点的三 C.7 7 角形与△ABC相似，则BF= 3.如图3，BD是△ABC的中 3.如图2所示，在等腰△ABC中，AB=AC,点 线，点E在线段BC上，连接AE交 3.如图3，在△ABC中，AB=8,BC=16,点P E,F在线段BC上，CE=BF,点Q在线段AB上， BD于点F,过点D作DG∥BC,若 是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ 且AE2=AQ·AB.求证： 时，△BPO与△BAC相以 (1)∠CAE=∠BAF; (2)△ACE△AFQ. 4.如图4，AB∥GH∥CD,点 图3 H在BC上，AC与BD交于点G,AB=2,CD=3 3 求GH的长. 2 A 0 1234x 图3 图4 4.如图4，在已建立直角坐标系的4×4的正 方形方格中，△ABC是格点三角形（三角形的三个 :4 数理报社试题研究中心 顶，点是小正方形的顶点)，若以格点P,A,B为顶 参考答案见下期 点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P 的坐标是 辅助线周周练 3.4.1相似三角形的判定（第四课时） 1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= BC,在AC上取一点D,在AB上取一点E,使 1.已知△ABC三边长分别是1，√2,5，与 ∠BDC=∠EDA,过点E作EF⊥BD于点N,交 △ABC相似的三角形三边长可能是 ( ) BC于点F,若CF=8,AD=11,则CD的长为 3.4.1相似三角形的判定（第二课时） A.2,2,6 1.如图1，在矩形ABCD中，E,F分别是CD, B号18 BC上的点.若∠AEF=90°，则一定有( A.△AEF∽△ABFB.△ABF△ECF C1点g 原1， C.△ADE△AEF D.△ADE∽△ECF 2.如图1，在4×4的正方形网格中，是相似三 角形的是 A.①和② B.②和③ 2.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC,∠D= C.①和③ D.无法确定 90°，BC=CD=12,∠ABE=45°，点E在DC上 图1 AE,BC的延长线相交于点F,若AE=10,则SADE 2.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 +SACEF的值是 AB边的中点，AF⊥CD于点E,交BC边于点F,连 接DF,则图中与△ACE相似的三角形共有 ② 1 具阴a7s+7sR￥M 斟群￥‘xR米‘盘阴x上关平缸梨☑郡 A.2个 3.已知一个三角形的三边长分别为6cm, B.3个C.4个 D.5个 !封“a0Y￥x出x=001=NΨ=辨 3.如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 9cm,7.5cm,另一个三角形的三边长分别为 12cm,15cm, cm时，这两个三角形相似 '義舌aaVV唑aWVV1昏‘WWaV倭IOaV 40°，点D是边AC上的动点（点D不与点A,C重 4.在如图2所示的格点图中有5个格点三角形， 韩‘N士VaTW8Wa平‘VI斗乙 合)，当∠BDC= 度时，△ABC 分别是：①△ABC,②△ACD,③△ADE,④△AEF, 1新适血怕Ha=H8甲‘AHaV △BDC. ⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是 云HaV毙斟其苦郢‘x乙=HaM‘x= (只填序号) a0‘a0=Ha子=a低弹钢得4唑缯钢 :其三崭部‘W士Ha T waa‘a8= HQ庋音⊥‘Haa7=H7适唐義Y单钢 4.如图4，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E是 阴本舞褂架-票3aV∽0vv部 BC上一点，BE=1,AE与BD交于点F,则DF的 昏‘H⊥明aa卒oa T Ha/a丹1 长为 【兰群】 使△ABC△RPQ,则第三个白子R应放的位置是 (填 3.4.1同步达标检测卷 入X区今 “甲”“乙”“丙”或“丁”). 16.如图13，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24, ◆数理报社试题研究中心 点P是BC边上的动点（点P与点B,C不重合），过动点P作PD∥ (答题时长120分钟，满分120分) 8.如图5，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边 BA交AC于点D.若△ABC与△DAP相似，则∠APD= 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 上，DE与AC相交于点F,图中相似的三角形有 17.如图14，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2,CD=2,当 AB的长为 时，△ACB与△ADC相似. 1.如图1，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，且DE与BC不 A.3对 B.4对 C.5对 D.6 平行.下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是 B.AD c- BC 6 图5 图14 15 9.如图6，在三边都不相等的△ABC的边AB上有一点D,过点D 18.如图15，等边△ABC的边长为6，点D在AC上且DC=2,点 画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与△ABC相 E在BC上，连接AE交BD于点F,且∠AFD=6O°，若点M是射线BC 以，这样的直线最多可以画 上一点，当以B,D,M为顶点的三角形与△ABF相似时，BM的长为 A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 图1 图2 10.如图7，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DF∥BC, 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19.(6分)如图16，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为 初 2.如图2，D是△ABC边AB上一点，连接CD,则添加下列条件 ∠ABC的平分线BE交DF于点G,GH⊥DF,点E恰好为DH的中点， 初 中 后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是 ( 若AE=3,CD=2,则GH的长为 BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=30°，求证：△ABD∽ 中 数学 A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB A.1 B.2 C.3 D.4 △DCE. 数学 c怨-爬 D.AC2=AD·AB 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11.如图8，∠DAB=∠CAE,请补充一个条件： 使 中 3.要使△ABC与△DEF相似，∠A=50°，∠B=70°，∠D= △ABC∽△ADE. 考 60°，则∠E的度数为 同 步 A.50° B.709 C.609 D.以上都对 达 4.下列各组图形必相的是 ( 检 A.任意两个等腰三角形 湘教中考同步达标检测卷 测 B.有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形 C.两边及其中一边上的中线对应成比例的两个三角形 12.如图9，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC, D.两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形 5.如图3，在△ABC中，∠A=76°，AB=4,AC 若A=4,5C=2.测2瓷的值为 =6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三 13.如图10，不等长的两条对角线AC,BD相较于点0，且将四边 20.(6分)如图17，在平面直角坐标系中，已知A(3,0),B(0, 角形与原三角形不相似的是 图3 形ABCD分成甲、乙、丙丁四个三角形.若OA:OC=OB:OD,则甲、 4),C(4,2),作CD1x轴，垂足为点D,连接AB,BC,AC.求证： 乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 △ABC∽△ACD. 14.如图11，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，点D是边AC 76 676° 上的动点（点D不与点A,C重合），当∠BDC= 度时， A C △ABC∽△BDC. 6.如图4，在口ABCD中，E是AB的中点 EC交BD于点F,那么EF与CF的比是 甲5 A.2:1 B.1:2 C.1:3 D.3:1 60 7.在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆 图11 图12 图13 规在边AB上确定一点D,使△ACD∽△CBD,根据作图痕迹判断， 15.如图12所示，棋盘上有A,B,C三个黑子与P,Q两个白子，要 下列正确的是