第7期 3.1 比例线段 3.2 平行线分线段成比例 3.3 相似图形（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

22.(8分)如图8，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的， 24.(9分)如图10，已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1,2, 26.(10分)如图12，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD 矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若 1,于点A,B,C和点D,E,F和点Q,H,P,l2与l,相交于DE的中点G, 上，过点P作PM∥AC交AB于点M,作PN∥AB交AC于点N. 各种开本的凭形都相似，求品 的值 2 (1)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:1,求AM:AB的值： (1)如果EF=10,求DE,DF的长； (2)若点D是BC能中点米证错-袋 (2)如果QG=3,求PH的长， （3)若点D是8C上任登一点，求证：A世+A化-侣 图10 初中数学· 湘教中考同 步达 2双9分)如图9，在AC市D是c上点二 标检测卷 初中数学·湘教中考同步达标检测卷 S△四，则称AD为△ABC的黄金分割线， 25.(10分)如图11，在口ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点 SAABD E,∠ABC的平分线交AD于点F (1)求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则D是BC的黄金分 (1)求证：四边形ABEF是菱形； 割点； (2)若□ABCD∽□ECDF,且AD=4,求AF的长. (2)若S△Bc=20,求△ACD的面积（结果保留根号） 11 参考答案见下期 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话： 2025年8月14日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话， 羞理橘 第 7 期总第1151期 (湘教中考) 0351-5271248 参考答案 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 5期2版 名师课学 解：相似理由如下： 知识梳理 2.3一元二次方程根 因为A',D'是OA,OD的中点， 的判别式 1.D:2.D;3.D: 相似多边形的 详谈 4.-3；5.3. 识别写应用 所以D∥D,4D=D,明以把 4D=2 6.解：(1)有两个不相 平行线分线段成比例 等的实数根； 同理D=BC=4g= ○山西杨冰凯 CD BC AB (2)答案不唯一，满足 ©湖南贺永军 b2-8a=0(a≠0)即可 相似多边形的比叫做相似比.由定义可知 阴部-Cg AD' BC AB AD = 一、“口诀”帮你找对应线段 *2.4一元二次方程的根 两个多边形相似需同时满足：①对应角相等；② 2 与系数的关系 因为A'D'∥AD, 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截 1.D;2.C;3.C 对应边成比例.利用它可求相似多边形的边或 所得的对应线段成比例， 4.-5;5.15. 角，下面举例说明， 所以∠OA'D'=∠OAD,∠OD'A'=∠ODA, 同理∠OD'C=∠ODC,∠OCD'=∠OCD, 2.如图1，当1∥l2∥1时，都4D 6.(1)m=-6,另一根 例1如图1，四边形ABCD∽四边形 为-3；(2)m=-4. ∠OC'B'=∠OCB,∠OB'C'=∠OBC, DE 2.5一元二次方程的应用 GFEH,且∠A=∠G=70°，∠B=60°，∠E= 所以∠A'D'C'=∠ADC,∠D'C'B'=∠DCB, 可得被 EF 由比例的性质，还 1.B;2.D;3.2; 120°，DC=24,HE=18,HG=21.求∠D,∠F 4.9. 所以四边形A'B'CD'∽四边形ABCD. 5.(1)6;(2)12 的大小和AD的长， 例3如图3，把一个矩形 可传到胎层能。 图 重点集训营 AC 1.C:2.10. ABCD划分成三个全等的小矩形 3.(1)不存在理由略： (1)若原矩形ABCD的长AB= (2)1或3. 6,宽BC=4.问：每个小矩形 为便于记忆，上述6个比例可简单、形象化 5期3,4版 图3 与原矩形相似吗？请说明理由. -、1.A;2.B; 3.C;4.A;5.A 解：因为四边形ABCD∽四边形GFEH (2)若原矩形的长AB=a,宽BC=b,且每个小 6.D;7.D;8.C; ∠B=60°，∠E=120°， 矩形与原矩形相似，求矩形长α与宽b应满足的 9.B;10.C. 天，美=美另外，根据比例的性质，还可得到 全下 下 二、11.有；12.-7； 所以∠C=∠E=120°，∠F=∠B=60°. 关系式 因为∠A=∠G=70°，所以∠D=110° 解：(1)不相似理由如下： 斧即满足 DE 右 右 14.k>-1;15.10 因为四边形ABCD∽四边形GFEH, 因为原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4, 例1 16.-1;17.4: 所以划分后小矩形的长AD=4,完AE=2. 一个三层折叠花架如 图2所示，已知AB∥CD∥EF 18号或号 ,即原矩形与每个 AC 30 cm,CE 50 cm,BD 三199 解得AD=28. 小矩形的边不成比例， 45cm,求BF的长. 所以∠D=110°，∠F=60°，AD=28 20.2. 所以每个小矩形与原矩形不相似以 解：因为AB∥CD∥EF, 21.两根：-2,8，k=16 例2如图2，在四边形 22.m=-1. ABCD的边AB上任取一点 (2)因为原矩形的长AB=a,宽BC=b, 23.(1)10%; 所柴0 O(不与点A,B重合)，连接OC, 所以划分后小矩形的长AD=b,宽AE= (2)能. 3 又因为AC=30cm,CE=50cm,BD=45cm, 24.(1)2或-2； 0D,分别取OA,0B,OC,0D的 又因为每个小矩形与原矩形相似， 30 45 (2)有两不相等实根 中点A',B,C',D,连接A'D', 25.(1)-3和4，A= 所品-0所以号=立即。= 所以30+50=BR,所以BF=120(cm). 7 (2)略；(3)1. D'C',C'B',四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相 a 二、基本图形帮你学推论 26.(1)有两不相等实 似吗？为什么？ 3 1.推论：平行于三角形一边的直线与其他 (2)①k=2;②k=3 两边相交，截得的对应线段成比例. 时，周长14，k=4时，周长 方法探究日 k,用含k的式子来表示未知数，然后将其代入所 2.拓展：已知A,B,C三点不共线，DE∥ 6期 比例求 求式中求值即可 BC,则上述推论可延伸到如图3所示的三种情 -、1.B2.B; 例2已知号 四绝招 况，简称为“A”型和“X”型，上面的口诀同样适 3.A;4.B;5.D 6.A;7.C;8.D: ←1 用于这些基本图形 9.A;10.A 二、11.x(x+2)=35 ⊙湖南胡宽 解：设号=号=k,则a=36,6=56, 3×3k 12.4;13.-2: 绝招一、运用比例的性质 所以3a 14.4:15.13; 对已知的等式，利用比例的性质进行变形， 16.4或-2；17.5； 绝招三、代入消元法 18.13或10. 进而求出所求式子的值 在求一个比例式的值时，可根据已知等式， 图 三、19.(1)7，-1； 1 (2)3+E3-B 例1 若号=，求 +6的值 用其中一个字母表示其他字母，并代人所求的 例2如图4，在△ABC 比例式中，约去这个字母，即可求出其值 中，∠B=∠C=60°，点D为 20.一正实数根和 解法-因为%=弓，所以。= 1 -b 负实数根. 例3若x:y:=1:2:3,求+的值 AB边的中点，DE⊥BC于E Y-z 21.约2s. 若BE= 22.(1)略；(2)4 解：因为x:y=1:2,所以y=2x. 2,求AC的长 23.(1)60%; 所以a =3 因为x:z=1:3,所以z=3x, 解：作AF⊥BC于点F. (2)70. 24.x1=t2=-1. 所以+-5 因为DE⊥BC于点E, 25.(1)①不是②是； BE (2)0或-2：(3)9. 解法二：因为公-分所以哈=2， 0 绝招四、特殊值法 所以4F∥DE,房0- 26.(1)(4a -200a+ 2400): 所以片+1=2+1=3， 3s 例4若 =亏，求”：的值 4 c 因为点D为AB边的中点， (2)5米： 解：不妨令号音=亏=1， b (3)2米 航以0-等=1，所以B股=BF=方 所以=3，所以4。=专 X 故a=3,b=4,c=5, 因为∠B=∠C=60° 绝招二、等比设值法 对于有等比条件求比值的题目，可设比值为 所以原武3；4行 所以△ABC为等边三角形， 5 所以BF=CF=1,所以AC=BC=2. 2 素养专练 数理极 3.1比例线段 3.3相似图形 2.如图2，AD是△ABC的中线，E是AD上 1.已知3a=4b(a≠0，b≠0)，下列变形正确 1.下列多边形一定相似的是 点，AB=AD,BE的延长线交AC于F,则C的 4 FC 的是 ( A.两个等腰三角形B.两个平行四边形 值为 A= 3 号 C.两个正五边形 D.两个六边形 4 4 3.如图3，正方形ABCD的边长为6，E为CD 2.如图1，四边形ABCD和EFGH相似，则a和 c- 边中点，G为BC边上一点，连接AE,DG,相交于点 x的大小分别为 a A.75°，30 B.75°，33 ，则PE的长度是 = 2.已知a,d,b,c依次成比例线段，其中a= C.80°，30 D.80°，33 3cm,b=4cm,c=6cm,则d的值为 ( ) A.8 cm n 22 E H 110° C.4 cm 580 16 图3 图4 12 cm 3.在比例尺为1：100000的地图上，A,B两地 4.如图4，在△ABC中，E是BC中点，AD是 图1 图2 的距离为2cm,那么A,B两地的实际距离为 3.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思 ∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于点F.若AB= 11,AC=15,则FC的长为 E km. 绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于 4.已知26+=2e+a=2a+b 二月花.”如图2是两片形状相同的枫叶图案，则x 5.如图5，以△EBC的边BC为边 =m,且a+ a b + 的值为 作正方形ABCD,AD与BE,CE分别交 b+c≠0，则m= 4.如图3，将一张 于点F,G,若BF=EF,AF=1,BC 5.已知a,b,c是△ABC的三边，且满足4+4 ☐ABCD(AD<AB<2AD) 12,则CE的长为 3 图5 T 纸片，以它的一边为边长剪 =6+3=c+8,若a+b+c=12,试判断△ABC 去一个菱形ADEH,在余下的 数理报社试题研究中心 2 41 平行四边形中，再以它的一 图 参考答案见下期 的形状，并说明理由， 十十十十+十十“十 边为边长剪去一个菱形FECG,若剪去两个菱形 后所剩下的口FHBG∽口ABCD,则口ABCD的相 辅助线周周练 邻两边AD与AB的比值是 1.如图1，在矩形ABCD中，点E在AB上，且 5.如图4，在矩形ABCD中，AB=12,BC= BE=2AE,连接ED,点F为ED的中点，连接AF, 3.2平行线分线段成比例 16,E,F分别是AB,CD上的点，且AE=DF=8,BF,FC,若∠BFC=90°，BF=5,则AF的长为 1.如图1，l,∥2∥，两条直线与这三条平 两动点M,N都以2cm/s的速度分别从C,F两点 行线分别交于点A,B6和D,5F,已灯 3 二2' 沿CB,FE向B,E两点运动，判断当M,N运动多长 时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明 若DF=10,则DE的长为 你的结论. D A.2 B.3 C.5 ).6 图1 图2 2.如图2，四边形ABCD是菱形，点E是CD的 中点，连接AE,将△ADE沿AE折叠得△AFE,连 接BD,分别交AF于点M,交AE于点N.若AF1 2.如图2，DE∥FG∥BC,若EG=3CG,则 CD于点G,MN=√2，求AN的长度 BD与BF之间的数量关系是 A.BD =3BF B.BD =4BF C.BD -3BF D.BD 2BF 3.在△ABC中，点D,E分别在边BA,CA的延 长线上，若AD:AB=1:2,AC=4,那么当AE= 时，DE∥BC. 4.如图3，练习本中的横格线都平行，且相邻 两条横格线间的距离都相等，若AB=2cm,则线 段BC= cm 至w业Y=恶= ￥‘vOz=N0z=NH‘:琪三其厚巅头NHaV 重点集训营 适影业采‘处（卫头WWHO处R‘处 1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 其三其厚留義头NOVVH散‘钢：等X单 隆图3 图4 相交于点O,0E∥DC交BC于点E.若AD=阴晏‘H学士HN交‘衫垂阴HN门学 5.作业本中有一道题：“如图4，在△ABC中， 8cm,则0E的长为 g‘HN‘Ha‘1门瓣要‘0学士I8在OV瓣录乙 点D为AC的中点，点E在BC上，且BE=3CE, 血搏未一伞烤士毙中丁q烤 AE,BD交于点F,求AF:EF的值”，小明解决时碰 :琪三其厚国单‘aV散岁关4H‘Oa缸其甜 到了困难，哥哥提示他过点E作EG∥BD,交AC ☑群电“OH=H8[口兴4H的彩G形 于点G.最后小明求解正确，则AF:EF的值为 本群‘H学士了a彩锤朔O8W4学丹T 【兰群】 B.2 C.3 D.4 18.如图6，矩形相框的外边框矩形的长为 3.1~3.3同步达标检测卷 12dm,宽为8dm,上下边框的宽度都为xdm,左右 边框的宽度都为ydm;若内边框矩形和外边框矩 ◆数理报社试题研究中心 形相似，则x,y应符合的条件是」 图6 (答题时长120分钟，满分120分) 三、解答题（本题共8小题，共66分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 图2 19.(6分)求下列各式中x的值： 9.如图3，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边 (1)3,6,2,x成比例； 1.已知聋=(x≠0，y≠0)，下列变形正确的是 上，BE=BF.将△AEH,△CFG分别沿边EH,FG折叠，当重叠部分 B.3x =4y D.3y =4x y 与菱形ABCD相似且相似肚为1：4时，则的值为 AE 2若号=÷，则哈的值是 ( A号 c D.4 A R号 C.20 0.0 1 10.如图4，已知正方形ABCD的边长为a,延A (2)4:万=x:2T. 长BC到点E,使CE=BC,取CD的中点F,连接 3.下列图形不是相似图形的是 DE,BF,DE与BF的延长线相交于点G,则BG的 A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 长为 ( ) B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中，原有图案和放大 图案 B.26 初 3 a 中 C.某人的侧身照片和正面照片 D.大小不同的两张中国地图 25, 4.一个边长为a的正方形纸片，如果面积变成原来的6倍，则边 20(6分)若g=子，且2a+6=18,求a的值 初中数学· 翌 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 长应扩大为原来的 ( 中 A.6倍 B.3倍 C.2倍 D.√6倍 11.已知3x=7y(xy≠0)，则= 考 同 5.在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部 12.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平 步 以上)与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于 达 行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音 标检测卷 5-151=0.618,称为黄金分割比例），按此比例设计一座高 乐如图5，A,B,C为直线与五线谱横线相交的三个点， 22 则BC:AC= 湘教中考同步达标检测卷 度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是 A.(5-1)m B.(3-5)m 13.已知g=号 号，的值为 b C.(5-1)m D.(3-5)m 14若46二0=2，则号的值为 6.如图1，在△ABC中，D,E,F分别是边AB, 15.已知两个相似多边形的相似比为3：4，且它们的周长之差是 AC,BC上的点，DE∥BC,EF∥AB,且AD:DB= 6,则较小的多边形的周长是 3:4,那么CF:BF的值为 ( 21.(8分)如图7，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意 16.早在春秋战国时期，我国就开始生产和使用铁器.把焦炭、 A.4:3 B.3:7 一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG,且菱形AEFG一菱形 C.3:4 铁矿石一起放入“高炉”，在高温条件下，焦炭发生一系列反应生成 D.2:4 ABCD,连接EB,GD,求证：GD=EB. 一氧化碳(C0),最后一氧化碳把铁从铁矿石(Fe203)里还原出来 7.下列四组线段中，不成比例的是 化学反应遵循质量守恒定律，即：参加化学反应的各物质的质量总 A.a=4,b=8,c=5,d=10 和，等于反应后生成的各物质的质量总和.一氧化碳还原氧化铁的 B.a=1.1,b=2.2,c=3.3,d=4.4 C.a=2,b=215,c=5,d=53 化学方程式为：C0+Fe,0,mFe+nC0,则只的值为 D.a=0.8,b=3,c=0.64,d=2.4 8.如图2，D是△ABC的边AB的中点，过点D作BC的平行线交 2a 2b 2d AC于点E,连接BE,过点D作BE的平行线交AC于点F,若EF=1, 17.已知6+c+a= a+c+d= a+b+da+6+c=k,则 则AC的长为