第2期 1.3 反比例函数的应用（答案见第4期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

16.(12分)根据牛顿第二定律，物体所受的力F与物体的质量 17.(12分)心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课 18.(15分)综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ m、物体的加速度a有如下关系：F=ma. 堂上，学生的注意力随学习时间的变化而变化开始学习时，学生的 器材：图12所示的是一架自制天平，支点0固定不变，左侧托盘 (1)当物体所受的力F(F≠0)一定时，物体的加速度α是它的 注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳 固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动.已知OA= 质量m的反比例函数，其函数表达式为a= ； 定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注 0C=12cm,BC=28cm,一个砝码的质量为100g. (2)如图10，在光滑的地面上摆着两辆一样的小车，一辆是空 意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图11所示 链接：根据杠杆原理，平衡时，左盘物体质量×OA=右盘物体 车（质量为m),另一辆装有石头（总质量为m2).用同样大小的力， (1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的 质量×OP(不计托盘与横梁质量)， 向同一个方向推这两辆小车，其加速度分别为a1,a2,那么a 注意力更集中？ 任务1：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托 a2(填“>”，“<”或“=”) (2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展 盘放置物体的质量为yg,OP长为xcm.当天平平衡时，求y关于x的 (3)已知小车的质量m=5kg,在光滑的地面上，用一定的力 素养，研学随练展收获，检学综练展成效”.其中重点环节“研学随练 函数表达式，并求y的取值范围； F(F≠0)（单位：N)推空车时，测得加速度a=9.8N/kg.当这辆小 展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求 任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操 车装上30kg的石块时，用同样大小的力F,向同一个方向推车，求此 学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合 作：左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图13.滑动 时小车的加速度a' 理？并说明理由 点P至点B处，空瓶中加人适量的水使天平平衡，再向瓶中加人等量 的水，发现点P移动到使PC长为12cm的位置时，天平平衡.求这个 空矿泉水瓶的质量 30 图10 10 (分 图11 图12 图13 初中数学·湘教中考同步达标检测卷 初中数学·湘教中考同步达标检测卷 参考答案见4期 本版责任编辑：郭晓红 报纸编辑质量反馈电话， 2025年7月10日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 装理橘 2 期总第1146期 (湘教中考) 0351-5271248 参考答案 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F 名师课堂 因为点B在反比例函数y= 1的图象上， 例3 上期2版 如图3，点D是 1.1反比例函数 反比例函数 口OABC内一点，AD与x轴平 1.A; -2 所以ab=1, 6.(1)s=600≤ 1 行，BD与y轴平行，BD=5 ≤C),是正比例函数。 携手几何图形 故经过点A的反比例函数表达式为y= BDC=120°，SARCD= 93 例2如图2，正方形 2 比例系数为6 ⊙湖南杨恒 ABCD的边长为5，点A的坐 若反比例函数y=左(x<0)的图象经过C,D (2)y= 20(x>0). 是反比例函数，比例系数 反比例函数中的k值和三角形、平行四边标为(4,0)，点B在y轴上， 为20 形、特殊的平行四边形的综合，是中考热点与必 两点，则k的值是 7.y=6 考内容 若反比例函数y兰（化≠ 解析：过点C作CE⊥y轴于点E,延长BD 1.2反比例函数的图象与性质 1.D;2.A;3.A; 例1如图1，△ABC是 0)的图象过点C,则k的值为 交CE于点F. 4.B;5.A;6.B; 7y-5 等腰直角三角形，直角顶点 解析：过点C作CE⊥y轴于点E. 因为四边形OABC为平行四边形， ；8.-6 因为点A的坐标为(4,0)，所以0A=4.又AB 所以AB∥OC,AB=OC. 9(10y=-3 C与坐标原点重合，若点B在 5,所以由勾股定理，得0B=√5-4平=3. 又因为BD∥y轴，所以∠COE=∠ABD 2)不同意，S△Bv是 定值 反比例函数y= 0 在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC= 因为AD∥x轴，所以∠ADB=90°，所以 重点集训营 1.B; 的图象上，则经过点A的反 90°，所以∠AB0+∠CBE=90°.因为∠OAB+ △COE兰△ABD(AAS),所以OE=BD=√3 2.-4<y<-3 3.(1)y1=x-4,y2 比例函数表达式为， ∠ABO=90°，所以∠OAB=∠CBE, 解析：过点A作AE⊥x轴于E,过点B作BD r∠OAB=∠CBE, 因为5m=8D,CF=95所以CF=9 (2)32. ⊥x轴于D,则∠AE0=∠ODB=90° 在△ABO和△BCE中， ∠AOB=∠BEC, 因为∠BDC=120°，所以∠CDF=60°， 上期3,4版 AB BC, 、1.D;2.B; 由题意，得OA=OB,∠AOB=90° 所以∠DCF=30°，所以由勾股定理，得 3.C;4.B:5.C 所以△ABO≌△BCE(AAS), 6.C;7.D;8.A 所以∠EAO+∠EOA=∠AOE+∠BOD= DF=33,所以点D的纵坐标为43 9.D;10.D. 所以OA=BE=4,CE=OB=3, 90°， 所以OE=BE-OB=4-3=1, 设C(m,√5)，D(m+9,45). 12.-2; 所以∠EAO=∠DOB,所以△AEO≌ 13.x<0或x>2; 所以点C的坐标为(-3,1). 因为反比例函数)=点(x<0)的图象经 4y=名 △ODB(AAS),所以AE=OD,OE=BD. 15.8；16.(2,6); 设点B的坐标为(a,b),则AE=OD=a, 因为反比例函数y=(k≠0)的图象过过C,D两点，所以k=尽m=45(m+9),解得 17.号<m<4: OE=BD=b,所以点A的坐标为(-b,a), 点C,所以k=xy=-3×1=-3 m=-12,所以k=-123」 1号器 + 三、19.(1)y 6 归纳总结 解：根据题意有v·t=s,所以t= (3)分别计算出水温达到100℃前达到80 (2)2. ℃和达到100℃后再降到80℃所需时间即可. 20.(1)y=- 解决买际间题的」 故t与，之间的函数图象为反比例函数图 解：(1)因为开机加热时水温每分钟上升 (2)-9≤y<-6. 21.(1)k<2: 三环节 象，且根据实际意义可知v>0,t>0 20℃， (2)y1<2 2.()-2,-6 O山东邢丽丽 所以其图象在第一象限，C正确 所以水温从20℃加热到100℃，所需时间 2,-子；(2)图略： 利用反比例函数解决实际问题一般按照以 故选C. 为0_20=4(min）.故填4 下三个环节进行： 例2办公区域的自动饮水机，开机加热时 20 少该 ①“求式”，建立一个反比例函数的数学模水温每分钟上升20℃，水温到100℃时停止加 (2)由题可得，点(4,100)在反比例函数图 称：图时随x大 :②图象均在x轴的下 型，即利用待定系数法求出反比例函数的表达热，此后水温开始下降.水温y(℃)与开机通电象上， 而减小；x 0 式 时间x(min)成反比例关系.若水温在20℃时 可 设反比例函数表达式为y=么 23.(D分 ②“应用”，应用反比例函数的性质解决实 接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之 t, 2①-之 际问题； 间的函数关系如图所示 将点(4,100)代入，可得k=400, ③“注意”，在解答实际问题时，要注意自变 (1)水温从20℃加℃)* 所以y-0当y=20时=”=20 量的取值范围， 热到100℃，需要 100 >0>x2时，y1<y2: 下面举例进行说明，供同学们参考. 所以水温下降过程中，y与x的函数表达式 24.(1)(6,4); min; (2)15. 例1已知甲、乙两地相距s(单位：km),汽 (2)求水温下降过程 2 为y=400(4≤x≤20). 25.(1)y1= 车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间 中，y与x的函数表达式， c(min (3)当0<x<4时，设y=kx+20,将(4 -x+4; 号 (单位：h)关于行驶速度v(单位：km/h)的函数 并写出自变量x的取值范围： 26.(1)①(4,2) 图象是 100)代人，可得4k+20=100,解得k=20, 2= (3)如果上午8点接通电源，那么8：20之 (2)①k=2,D(1,2) 所以当0<x<4时，y=20x+20. (4,):②△0DE是 前，水温不低于80℃的时间有多长？ 当y=80时，20x+20=80,解得x=3; 直角三角形，△ODE的面 分析：(1)根据开机加热时水温每分钟上升 当y=0时，0 =80,解得x=5 20℃即可求出水温从20℃加热到100℃所需 分析：根据实际意义，写出函数解析式，根 时间； 所以水温不低于80℃的时间为5-3= 据函数的类型以及自变量的取值范围即可进行 (2)根据反比例函数过点(4,100)，可求出2（分钟 判断 关系式； 答：水温不低于80℃的时间有2分钟. 2 素养专练 数理极 1.3反比例函数的应用 (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x 4.如图4，在平面直角坐标系中，反比例函数 1.阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动 的函数表达式； y= (2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否 兰(x>0)的图象与矩形0ABC的边4B.BC 整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理 分别交于点M,N,且M为AB的中点，点B(4,3) 学知识一 杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力 在15天以内达到不超过最高允许的1.0mg/L?为 (1)求反比例函数的表达式； ×动力臂”，若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别 什么？ y(mg/L) (2)连接OM,ON,MN,求△MON的面积. 为1200N和0.5m,则这一杠杆的动力F和动力 臂L之间的函数图象大致是 LLEU x(天)】 图4 2.如图1，曲线表示温度T(℃)与时间t(h) 之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的 一支.当温度T≤2℃时，时间t应 A不小于号 B不大于号h D.不大于h 7T℃) 4日 2 12345(h 图1 图2 3.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与 销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数 (统计数据见下表).已知该运动鞋的进价为180 元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2 400元，则其售价应定为 元 数理报社试题研究中心 售价x(元/双)200250300400 参考答案见4期 销售量（双）30242015 十…十”十十十4十十十十十十十十十十 4.如图2，一块砖的4，B,C三个面的面积比 辅助线周周练 是4：2：1，如果B面向下放在地上，地面所受压强 1.如图1，E,F分别为矩形ABCD边AB,AD上 为aPa,那么A面向下放在地上时，地面所受压强 重点集训营 的两点，BE,DF相交于G点，且BE=FD,∠FGB 为 =19°，则∠BGC= ( Pa. 1.如图1，点A,D分别在反比例函数y= (x 5.如图3是某种电子 A.71° B.80.5° y(℃) 理疗设备工作原理的示 70 <0),y=6(x>0)的图象上，点B,C在x轴上 C.81o D.71.5 意图，其开始工作时的温 35 度是20℃，然后按照一次 若四边形ABCD为正方形，且D的坐标是(2，n), 则k的值为 函数关系一直增加到70 025t x(分钟 ℃，这样有利于打通病灶 图3 图1 图2 部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关 系缓慢下降至35℃，然后在此基础上又沿着一次 2.如图2，PA=22,PB=42,以AB为边作 正方形ABCD,使得P,D两点落在直线AB的两 函数关系一直将温度升至70℃，再在此温度下沿 图1 侧，当∠APB变化时，则PD的最大值为() 着反比例函数关系缓慢下降至35℃，如此循环下 2.如图2，菱形OABC的一边OA在x轴的负 A.4+42 B.2+22 去. 半轴上，0是坐标原点，A点坐标为(-5,0)，对角 (1)t的值为 C.4+22 D.2+42 线AC和OB相交于点D,且AC·OB=40.若反比 (2)如果在0~t分钟内温度大于或等于50 十十”十十十十”十十十”十十十”十十十…十十”十十十十 ℃时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持 例函数y=:(x<0)的图象经过点D,并与BC 卸￥曹阴ado￥关 续时间为」 分钟 的延长线交于点E,则SAOCE= 三处三野g普‘斗0d利， 6.环保局对某企业排污情况进行检测，结果 3.如图3，在平面直角坐 唑钢4卫群部‘0d瓣买‘学四X胆韩 d学g0学‘学四旦Q学乐8学‘0aVV 显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的 浓度超过最高允许的1.0mgL.环保局要求该企 标系中，已知双曲线y=女化 恬散06转聊4HV学彩d☑vV琳乙 业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标整 <0,x<0)把Rt△AOB分成 醋但单搏口业采丁彩 0 本明a987)学g诺7s=ms影 改过程中，所排污水中疏化物的浓度y(mgL)与 W,W,两部分，且与AB,OA交 图3 时间x(天)的变化规律如图4所示，其中线段AB 于点C,D,点A的坐标为(-6,4).连接OC,若 血omS=Ss=mSf0 表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中 S△o4c=9,则k的值为 ,点D的坐标为 学壬10T03‘H学壬a8THO助3学1 硫化物的浓度y与时间x成反比例关系. 【兰部】 7.一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改 个IA 13.如图8，取一根长 1.3同步达标检测卷 变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现 100cm的匀质木杆，用细绳绑 10L 如图3所示的是该台灯的电流I(A)与电阻R(D)o2 在木杆的中点0处并将其吊 ◆数理报社试题研究中心 成反比例函数的图象，该图象经过点P(1100,O 1100 起来在中点的左侧距离O点 25 L(cm ) (答题时长120分钟，满分120分)】 0.2).根据图象可知，下列说法正确的是（ 图3 25cm(L,=25cm)处挂一个 图8 A1与R的函数表达式是1=没(R>0) 重9.8N(F,=9.8N)的物 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 体，在中点0右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧 1.某校为了更好地开展大课间体育活动，增购了各种体育器 B.当R=100时，I=5 材.其中用3000元购买单价是x元/个的足球y个，则y与x的函数 秤与中点O的距离L(单位：cm)及弹簧秤的示数F(单位：N)满足 C.当R>1100时，I>0.2 表达式为 FL=F,L·若弹簧秤的示数F不超过7N,则L的取值范围是 D.当电阻R(2)越大时，该台灯的电流I(A)也越大 A.y=3000x B.y=3000 8.如图4所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述 x 三、解答题（本题共5小题，共55分） C.y=x+3000 D.y=x-3000 了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y(班级优秀人数占班级参 14.(8分)近日，火爆全网的泰山“机器狗”搬运货物事件引发 2.生活中有很多人体验过：若针尖刺到手指上会很痛.其实这 加竞赛人数的百分率)与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班 人们的热议，这不仅是一次科技现象，更是智能时代来临的信号.我 个体验与物理中压力F(N)、压强P(Pa)与受力面积S(m2)有关，它 和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成 们应当认识到，随着科技的发展，“机器狗”等智能设备即将融入我 门的关系式为：P-号，当上为定值时，如图，大致表示压强P与受力 绩优秀人数最多的是 ( 们的日常生活.若“机器狗”最快移动速度(m/s)是载重后总质量 A.1班 B.2班 C.3班 D.4班 面积S之间函数关系的是 ↑p(kgm3) m(kg)的反比例函数，即。=k已知一款“机器狗”载重后总质量 m 初 1班 m=40kg时，它的最快移动速度v=6m/s. 初 中 ·2班 (1)求v与m的函数表达式； 中 数学 4班 3班。 (2)若机器狗载重后总质量为100kg时，它的最快移动速度为 整 v(m) 多少？ 湘教· 3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时， 图4 图5 中 考 电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)是反比例函 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 同 数关系，它的图象如图1所示.若蓄电池电流为2A 9.当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度 步 达 时，电阻为 p(kg/m)是体积V(m)的反比例函数，它的图象如图5所示.当 A.62 B.92 0 4 R/ V=5m3时，气体的密度是 kg/m'. 检 C.152 D.182 图1 10.收音机刻度盘上的频率 个频率Hz 湘教中考同步达标检测卷 测 卷 4.某游泳池有1200m3水，设放水的平均速度为vm3/h,将池内 f(kHz)是波长A(m)的反比例函1600 (200,1500 数，其函数图象如图6所示，当入= 1400 的水放完需小时.若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小 1200 时至少应放水 ( 1000m时，该频道的频率为1000 15.(8分)如图9，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的 A.100m B.200m3 C.400m3 D.600m kHz. 800 5.已知电功率P(W)与电压U(V)、电阻R(2)的关系式是： 11.一个长方体物体的一顶点 600 总长度y(m)是面条横截面面积s(mm?)的反比例函数，其图象经过 400 A(2,64),B(m,100)两点. 2 R当两个灯泡并联接在电压为220V的电路中时，如果它们 所在A,B,C三个面的面积比是3：2 200 (1)求y与s之间的函数表达式： :1,如果分别按A,B,C面朝上将此 2006008001000波长m (2)求m的值，并解释它的实际意义 的电功率的比片-2，那么它们的电阻的此完 P R 物体放在水平地面上，地面所受的 图6 ym个 100 A.2 压力产生的压强分别为P,P,P(压强的计算公式为P= B.4 C. D. 5),则 P:PB:Pc y(度数) 0 6.装卸机装载货物，装完货物所需时间mm)个 20 y(min)与装载速度x(/min)之间的函数关系 12.验光师通过检测发现近视眼镜的 01m2345s/mm 500 图9 如图2所示.若要求在100min内（包括100min) 度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例， 350 装完这批货物，则装载速度x的取值范围是 y关于x的函数图象如图7所示.经过一段 ( 02 x(t/min 时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由 A.x>7 B.x<7 图2 0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数 0 0.20.250.5 x(米) C.x≥7 D.x≤7 减少了 度 图7