第3期 2.1 分式的概念及基本性质 2.2 分式的加法和减法-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（湘教版2024）

八年级数学湘教第1~5期 线理橘 答案详解 2025~2026学年八年级数学湘教 第1~5期 1期2版 =4x2+4x+1 1.1多项式的因式分解 =(2x+1)2; 1.C;2.D;3.-2,2. (3)原式=-ab(1-2a2+a4) 4.解：(1)因为3x(x-2)=3x2-6x, =-ab(a2-1)2 所以因式分解3x2-6x=3x(x-2)正确； =-ab(a+1)2(a-1)2 (2)因为(x+1)(x-2)=x2-x-2≠x2-3x+2, 5.解：x2-9y2+4z2+4xz 所以因式分解x2-3x+2=(x+1)(x-2)不正确； =(x2+4z2+4z）-9y2 (3)因为(3+2x)(3-2x)=9-4x2, =(x+2z)2-(3y)2 所以因式分解9-42=(3+2x)(3-2x)正确. =(x+2z+3y)(x+2z-3y). 1.2提公因式法 因为x+2z=3y, 1.B; 所以x+2z-3y=0. 2.x(y-2);3.-5. 所以原式=6y·0=0,其值为定值. 4.解：(1)原式=3(a-7)； 1期3,4版 (2)原式=3x(x-2+4y); 一、选择题 (3)原式=(3a+b)(2a-3b+4a) 题号123456789 10 =(3a+b)(6a-3b) 答案CAD DBDAA CC =3(3a+b)(2a-b). 提示： 1.3.1公式法（平方差公式） 5.解：因为M=x2+y2,N=2, 1.A;2.D;3.D; 所以M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2. 4.(x+1)2(x-1) 因为(x-y)2≥0， 5.解：(1)原式=(x+5y)(x-5y); 所以M≥N. (2)原式=(x-y)(a2-b2) 6.解：因为关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全 =(x-y)(a+b)(a-b); 平方公式分解因式， (3)原式=(x2+9)(x2-9) 所以ax=±2×6x,所以a=±12. =(x2+9)(x+3)(x-3) 7.解：无盖的长方体纸盒的底面积为(b-2a)2, 6.解：(1)小禾的解答是从第①步开始出错的，错误的原 侧面积为4a(b-2a), 因是：去括号时，+3y未改变符号. 所以M=(b-2a)2-4a(b-2a) (2)(3x+y)2-(x+3y)2 =(b-2a)(b-2a-4a) =(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y) =(b-2a)(b-6a). =(4x+4y)(2x-2y) 8.解：因为a-b=3, =8(x+y)(x-y). 所以a2-b2=(a-b)(a+b)=3(a+b), 1.3.2公式法（完全平方公式） 所以a2-62-6b+2 1.C;2.-8; =3(a+b)-6b+2 3.(2m-1+2n)(2m-1-2n). =3a+3b-6b+2 4.解：(1)原式=(2a+3b)2: =3a-3b+2 (2)原式=4(x2+x-6)+25 =3(a-b)+2 八年级数学湘教第1~5期 =3×3+2 所以b2+4b+4+2-6c+9=0, =11. 所以(b+2)2+(c-3)2=0, 9.解：因为2x3+x2-13x+6 所以b+2=0,c-3=0, =2x3+x2-10x-3x+6 解得b=-2,c=3, =x(2a2+x-10)-3(x-2) 所以a=-2+4=2, =x(2x+5)(x-2)-3(x-2) 所以a+b+c =(x-2)(2x2+5x-3) =2+(-2)+3 =(x-2)(2x-1)(x+3), =3. 所以2x3+x2-13x+6的因式有(x-2),(2x-1),(x+ 三、解答题 3) 19.解：(1)原式=[a+2b+(2a-b)][a+2b-(2a-b)] 10.解：因为a2(b+c)=b2(a+c)=2024, =(3a+b)(3b-a); 所以2(b+c）-b2(a+c)=0, (2)原式=ab2(62-4b+4) 即a2b+a2c-ab2-b2c=0, =ab2(b-2)2. 整理，得ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, 20.解：(a+b)2+a(a+b)+b(a+b)+(b+a)2 所以(a-b)(ab+ac+bc）=0. =(a+b)(a+b+a+b+a+b) 因为a≠b,所以a-b≠0， =3(a+b)2. 所以ab+ac+bc=0,即ab+bc=-ac. 因为a+b=10, 因为6(a+c)=2024, 所以原式=3×102=300（种）. 所以b(ab+bc)=2024, 答：这座商贸大楼共有商品300种. 所以abc=-2024. 21.解：因为20242024-202422 二、填空题 =202422×(20242-1) 11.3(m+1)(m-1);12.9,3;13.(x-3); =20242×(2024+1)×(2024-1) 142+2x+1,(+1;15.-6:169 =202420m×2025×2023 =2023×2024"×2025, 17.(x+2)(x+8);18.3. 所以n=2022. 提示： 22.解：(1)原式=(m-2)(4x-3x) 16解：了方y =x(m-2）. 1 当x=1.5,m=6时，原式1.5×(6-2)=6. =-3x+y) (2)原式=(x-1)2+(2x+1)(x-1)+3(x+1)(x-1) =-3[(x+)2-2] =(x-1)(x-1+2x+1+3x+3) =3(x-1)(2x+1). =-号×(-5)×[2-2×(-5] 当x=-分时，原式=3×(-方-(-方×2+)=0 =亨x4=9 23.解：B-A=a2+a-7-a-2 17.解：因为(x+4)2=x2+8x+16, =a2-9=(a+3)(a-3). 所以b=16. 因为a>2,所以a+3>0. 因为(x+1)(x+9)=x2+10x+9, 当2<a<3时，a-3<0,此时A>B; 所以a=10, 当a=3时，a-3=0,此时A=B; 则x2+10x+16 当a>3时，a-3>0,此时A<B. =x2+(2+8)x+2×8 24.解：(1)图中的面积可以表示为 =(x+2)(x+8). (2a+b)(a+b)或2a2+3ab+b2: 18.解：因为a-b=4, 表示因式分解的等式为 所以a=b+4. 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) 因为ab+c2-6c+13=0, (2)图略.2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b). 所以b(b+4)+c2-6c+13=0, 所以这个长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b. -2 八年级数学湘教第1~5期 所以此长方形的周长为2(2a+b+a+2b)=6a+6b. 所以b+ac=11-30=-19. 25.解：(1)①25x2+10x-y2+1 8.解：因为边长为a,b的长方形周长为12，面积为5， =(25x2+10x+1)-y月 所以a+b=6,ab=5, =(5x+1)2-y2 所以(a+b)2=36, =(5x+1+y)(5x+1-y); 即a2+2ab+b2=36, ②x2-4y2+2x+4y 所以a2+62=36-2×5=26. =(x2-4y2）+(2x+4y) 则a3b+ab3=ab(a2+b) =(x+2y)(x-2y)+2(x+2y) =5×26 =(x+2y)(x-2y+2). =130. (2)因为a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0, 9.解：将m2=4n+a与n2=4m+a相减，得 所以(a2-4ab+462)+(62-6b+9)+(2-10c+25)=0, m2-n2=4n-4m, 所以(a-2b)2+(b-3)2+(c-5)2=0, 即(m+n)(m-n)=-4(m-n), 所以a-2b=0,b-3=0,c-5=0, 移项，合并同类项，得(m-n)(m+n+4)=0. 所以a=6,b=3,c=5. 因为m≠n,所以m-n≠0，所以m+n+4=0, 所以三角形ABC的周长为6+3+5=14. 即m+n=-4, 26.解：(1)提公因式法，2； 所以m2+2mn+n2=(m+n)2=(-4)2=16. (2)(1+x)225; 10.解：因为mn-2m-3n-20=0, (3)1+x+x(x+1）+x(x+1)2+…+x(x+1)9 所以m(n-2)-3n+6-6-20=0, =(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)-1] 所以m(n-2)-3(n-2)-26=0, =(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)"-2] 所以(m-3)(n-2)=26. =…=(1+x)" 因为m,n均为正整数， 2期检测卷 所以m-3为不小于-2的整数， 一、选择题 n-2为不小于-1的整数. 题号12345678910 因为26=1×26或26=-1×(-26)或26=2×13或 答案AAC CCDD CA A 26=-2×(-13), 提示： 所以m-3=1或m-3=26。 5.解：3a(x2-1)-36(x2-1) ln-2=26ln-2=1 =(3a-3b)(x2-1) 或m-3=2或m-3=1B, =3(a-b)(x+1)(x-1), ln-2=13ln-2=2, 因为x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应六个字：青，学， 所以m+n=32或m+n=20, 我，数，爱，高， 所以m+n的最小值是20. 所以将3a(x2-1)-36(x2-1)因式分解，结果呈现的密 二、填空题 码信息可能是：我学高青。 11.x(x+y)(x-y);12.4;13.72;14.6: 6.解：对于A.x2+2x+1=(x+1)2,可以； 15令；16,4或-4：17.6：18-1012. 对于B.x2-2x+1=（x-1)2,可以； 提示： 对于C+2+1=(分+)，可以： 16.解：将题目中的两个式子相加，得 a2-ab+b2-ab=16, 对于D.2+1加上-子，无法构成完全平方式，故选D 即(a-b)2=16, 7.解：因为77x2-13x-30 所以a-b=±4. =(7x+a)(bx+c) 17.解：因为a2+2ab+b2=c2+24, =7bx2 abx +7cx ac, 所以(a+b)2=c2+24, 7bx2+(ab +7c)x+ac, 所以(a+b)2-c2=24, 所以7b=77,ab+7c=-13,ac=-30, 所以(a+b+c)(a+b-c)=24. 解得b=11, 因为a+b-c=4, 一3 八年级数学湘教第1~5期 所以a+b+c=24÷4=6, 23.解：(1)(2m+n)(m+2n); 即△ABC的周长为6. (2)由题意，得m+n=20÷2=10, 18解：由题意，得m2-7=之， 1 m2-n2=(m+n)(m-n)=40, 所以m-n=4, 即(m+(m-)=-方(m-. 所以m=7,n=3, 所以2m+n=17,m+2n=13, 因为m≠，所以m-≠0，所以m+2=一分 所以这张长方形纸板的面积为 所以m3-mn+n3=m·m2-mn+n·n (2m+n)(m+2n)=17×13=221(cm2). =m(+2024)-m+n(2m+202个 24.解：设另一个因式为(2x+n. 根据题意，得2x2+3x+k=（x-1)(2x+n). =2nn+2024m-m+2n+2024n 展开，得2x2+3x+k=2x2+(n-2)x-n. =2024(m+n) 所以-2=3解得=5， lk =-n, lk=-5. =2024×(-7)=-1012 所以另一个因式为(2x+5),k的值为-5. 三、解答题 25.解：(1)原式=x2-4x+4-1 19.解：(1)原式=(x-3)(x+2); =(x-2)2-1 (2)原式=9a2-6a+1-462 =(x-2+1)(x-2-1) =(3a-1)2-(2b)2 =(x-1)(x-3). =(3a-1+2b)(3a-1-2b). (2)原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 20.解：(n+7)2-(n-5)2 =(x2+2x-1)2-4 =(n+7+n-5)(n+7-n+5) =(x2+2x-1+2)(x2+2x-1-2) =(2n+2)×12 =(x2+2x+1)(x2+2x-3) =24(n+1). =(x+1)2(x-1)(x+3). 因为n为正整数，所以n+1为正整数， (3)原式=x+4x2+4-4x2 所以24(n+1)能被24整除， =(x2+2)2-(2x)2 即(n+7)2-(n-5)2能被24整除. =(x2+2+2x)(x2+2-2x). 21.解：(1)原式=40×(31.52-2×31.5×18.5+18.52) 26.解：(1)52+22. =40×(31.5-18.5)2 (2)k=13.理由如下： N=x2-6x+4y2+8y+k =40×169 =6760. =x2-6x+9-9+4y2+8y+4-4+ =(x-3)2+(2y+2)2+k-13. (2)原式=号×[(27)-(52] 因为N是“和数”， =寸×(2分+5号27分-5) 所以k-13=0, 解得k=13. =分×3x2 (3)因为m,n都是“和数”，设m=a2+2,n=2+d, 所以mn=(a2+b2)(c2+） =242. =a2c2+a2+b2c2+b 22.解：(1)(x-2); a c2+bd 2abed -2abed a'd +b2c2 (2)设x2+6x=y =(ac +bd)2+(ad-be)2, 原式=y(y+10)+25 所以mn也是“和数”. =y2+10y+25 3期2版 =(y+5)2 2.1.1分式的概念 =(x2+6x+5)2 1.D;2.D;3.4;4.-2. =[(x+1)(x+5)]2 =(x+1)2(x+5)2. 5.(0,252)300 a 一4 八年级数学湘教第1~5期 6解：(1)要使-±的值存在， 62-2 2a-b 4.解：a-b)(a-c)+(a-b)(a二 则2a-b≠0，即2a≠b, a2-c2 a+b =(a-b)(a-c) 所以当2a≠6时，-2a-2的值存在 =(a+c)(a-c) (a-b)(a-c) (2)要使+的值存在， =atc 则21x1+1≠0. a-b 因为21x1+1≥1， 当a=36-2e-1时碧光=+号=号 所以x为任意数21+的值都存在。 5解：根超题在，得兰日-地二=。 -U 2.1.2分式的基本性质 40 1.A;2.②④； 3.(1)2a2+2ab,(2)-a-b. 答：飞机比船舰先到390h 4解：(1)24a2:-4ah:60=-6a 2.2.2异分母分式的加减 -4ab 4ab 1.B;2.73.1. (2)2a3-6 2a2-ab 1 2a2b-ab2 6(2a2-ab)=b 4.解：(1)1-1 xx+2 5.解：(1)m+5m+6 m2-4 龙+2 x(x+2)x(x+2) =(m+2)(m+3) (m+2)(m-2) =龙+2-x x(x+2) =m+3 2 m-2 =2+2 当m=-3时只号=号=0 m-2 2子+ x2-2xy (2)y-4y+4 2(x-1) 2x =(x+1(x-1)+x+i =x(x-2y) xy(x-2y)2 2 2x = +i+x+ 1 -y(x-2y） =2(x+1) x+1 1 xy-2y2 =2. 当x=4,y=1时，1。 1 1 1 y-27=4x1-2×1下=2 ()+a++6(。++ 2.2.1同分母分式的加减 =1+6+1+a-a(1+b)+b(1+m) (1+a)(1+b)(1+a)(1+b) 1.D;2.1. 2+a+b a +b+2ab 3解：)22 1 =(1+a)(1+b)(1+a)(1+b 1 1 =2+a+6-a-b-2ab =2x-+2x- (1+a)(1+b) 2-2ab 2 =2x-T =I+a+b+ab (2)a-1-1 3期3,4版 a2-2aa2-2a 一、选择题 a-2 = 题号12345678910 a2-2a 答案BA CCCDBC AA a-2 =a(a-2) 提示： 1 3 =d 9.解：因为x2+x-3 A 5 八年级数学湘教第1~5期 A(x-3) 3(x-2) 1 =x-2)(x-3)+(x=2)(x-3) y3= 1 1 =2-x, =4(x-3)+3(x-2) x-2x-2 （x-2)(x-3) 1 1 =A+3)x-(3A+6) 4=1-(2-0=x-五 (x-2)(x-3) 所以这列式子的结果以十产二2-×为-个循环，反 2+3- 6x+B 复出现. 所以4±324=g-- 6x+B 因为2026÷3=675…1， (x-2)(x-3) 1 所以A+3=6, 所以y2s=1=x- 1-(3A+6)=B, 三、解答题 解得A3, LB=-15. 19解：1)要使号的值存在。 0因为+=1山， 则2x-3≠0，解得x≠之， 3 所以1+，+1+。+1+=14， 'x+y 所以当大子时，号的值在在 x+y+2++y+2+x+y+区=14， (2)要使6(x+3》的值存在， x+y y+z z+x 1x|-12 所以a+++,+4, 则1x1-12≠0，解得x≠±12， 所以1+11 14 (x+3的值存在 所以当x≠±12时，x-12 以x+y+y+:+z+xx+y+云 a-4ab2 而1+ 1+ 7 20.解。-4a6+4ab “x+yy+zz+x6 a(a2-4b2) 所以石 7 a(a2-4ab+4b2) =a(a+2b)(a-2b) 所以x+y+z=12. a(a-2b)2 二、填空题 =4+26 a-2b l212a≠6：13.2：4-6：5-4 当a=-2.6=宁时， 16. n0 17.12；18.1 m mn .x-1 1 1 提示： a+26 a-26 -2+2×立-2出 1 以解3+与己+8 -2-2×2 =-21=3 x2-9 4y 5x 2(x-3) 2(x+3) 2x+18 (x+3(x-3）-(x+3)(x-3)+(x+3)(x-3) = 21.解：(Dx+x-刀+7+- 4y 5x 2x+6 =(x+3)(x-3) =(x+y)(x-y)+(x+y)(x-)(x+)(x-) 4y+4x =x-3 =(x+y)(x-y） 由于x为整数，且原式为整数， 、4 x-Y 所以x-3=±1或±2， a-32a+4 所以x=4或2或5或1， 2+2。+8+2n+14+2 所以4+2+5+1=12. a(a-3) 2aa++a0+22a+2 = a+2 18解：因为=1 =2a品+-2 a-3 所以归= 1 1 1- =(a-3)(a+1)+2(a-3)-4(a+1)2 x-1x-1 2(a+1)2 —6 八年级数学湘教第1~5期 =-302-8a-13 2(a+1)2 所以原式=3×(，2)=5=-1 -2+6 4 22.解：因为abc=1, 26.解：(1)将等号右边通分，得 1 所以b+b+=ab+b+abe=a++e ac A B x+6+4-3x 1 A(4-3x)+B(x+6) be+c+l=a(be+e+1)=abe+ac+a=I+ac+a (x+6)(4-3x) 23.解：)-2×-4与2 2-4与，一2是一对整合分式.理由如 =-3A+B)x+(4A+6B) -3x2-14x+24 下： 11x 因为2-4+ -3x2-14x+24 2-4+x-2 所以3A+B=11, =-2-4x+2(x+2) l4A+6B=0, x2-4 x3-4x 解得1=-3， lB=2. x2-4 (2)在已知等式中取x=3,有C+D=6. =x, 所以2x-4与2 取x=1,有-C+D=4. 2-4与一2是一对整合分式 解6+D=6,得C= ②)答案不惟一如N=的后牛+尝 l-C+D=4,lD=5. a +b 4期2版 2解+若亚明如下 2.3.1分式的乘除 a3+63 1.A;2.D;3.20-36 2ab a3+(a-b) a2-16 2a (a+b)(a2-ab+b2)】 =[a+(a-b)][a2-a(a-b)+(a-b)] 4.解：0。-80+16+4a (a+b)(a2-ab+b2) =a+4)(a-4).2a =a+(a-b)](a2-ab+6) (a-4)2a(a+4) a +b =（a+4)(a-4).2a (a-4)2·a(a+4) a+(a-b) 25.解：(1)“方法二”中运用的分式的基本性质是分式的 2 a-4 分子与分母同时除以一个不等于0的整式，分式的值不变. x2-92 故答案为：分式的分子与分母同时除以一个不等于0的整 2+2+二3 x+y 式，分式的值不变 =x+3y)(x-3y.x+y (2)因为xy≠0， (x+y)2 x-3y 所以原式=(3x-5xy-3y)÷y =(x+3y)(x-3y）·(x+2 (x+6xy-y）÷y (x+y)2·(x-3y) =+3y x+y 1+6-工 y u-2 =(x+2)(x-2).1,1 x-2x-2 11+6 (x+2) y x (x+2)(x-2) 因为二”=2， =(x+2)(x-2)(x-2 xy 1 =x-2 所以-↓=2， x y 2.3.2分式的乘方及乘除混合运算 所以人、1 y元=-2， 1B:2宁 -7 八年级数学湘教第1~5期 3解：(2.g 2.4.3整数指数幂的基本性质 -8· 1D2-435 4.解：(1)m3÷(m4)2 =m3÷m8 8y3·x 三m3-(-8) =m3. (2)a262·（a2b-2)3 2()+() =a262·a66 =8y 器( =a2(-6).b2+6 =a8·b =8y.9x2(-2 16y·x2y 、93 (3)(2x3y2)2÷(x2y)3 3 1 1 2.4.1同底数幂的除法 =2x7)‘x) 1 1.C;2.D;3.2. =4y·xy 4.解：(1)(m4)2÷m 1 =m3÷m3 =4x y 三m8-3 =m. 4r7 4期3,4版 (2)(-ab)6÷(-ab)2÷(-ab) =ab÷a2b2÷(-ab) 一、选择题 =-a6-2-1·66-2-1 题号12345678910 =-a3b3 答案BDBDBBDB D C 5.解：因为43×8m1÷2m+7 提示： =22(m+3)×23(m+0÷24m+7 10.解：原式= 2a .(a-1)2(a+1)2 a-1(a+1)(a-1) 4a2 =22m+6X23咖3÷24m+7 2a2 .(a-1)2(a+1)2 =2m+2=16=24, =(a-1)产(a+1) 4a2 所以m+2=4, =a+1 2 解得m=2. 2.4.2零次幂和负整数指数幂 由于户生是正整数.(a-1a+)≠0，a≠0. 1B:2:3-琴：47 所以a为大于1的奇数描述最准确。 二、填空题 5.解：(1)3+(-2)°-17 1.<；122.8×10m;13.±(g+0；140 1 =9+1-17 =-7. 154,16-7.2:1814 2()+22 提示： =士+ 17.解：最后甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为29-2+ 2',29+2-(2+2）=29-2,5+(2+2)-2'=5+2. 2 因为一共有29+29+5=63（个）球，且最后三个袋子中 =2+4 的球的个数相同， 9 所以最后三个袋子中的球都是21个， 二4 所以29-2=21,5+2=21， —8 八年级数学湘教第1~5期 所以2=8,2=16， =x.+1 所以2-y=2÷2=16÷8=2. x-1x 18.解：因为大正方形的面积为49， +1 x-1 所以(a+b)2=49. 又因为a>b>0,所以a+b=7. 当=10时出8出号 因为中间小正方形的面积为1， 23.解：(1)因为(a")”=a, 所以(a-b)2=1, 所以am“=a, 所以(a+b)2-(a-b)2=48, 所以mn=6. 所以a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=48, 因为(a)2÷a=a3, 所以ab=12, 所以a2m=a23, 所以(0-6)s“÷(6a-6) 所以2m-n=3. (2)因为33·9m4÷272m-1=729, =(a2+b)(a-b)(a+b)·d+B‘6(a- ab 1 所以33·32m+8÷36m-3=36, =ab(a+b) 所以33+2+8-6m3=36, 6 所以3+2m+8-6m+3=6, =2×7 解得m=2. 6 24.解：原武=(a-合(a+(+子(d+)(a+) =14. 三、解答题 =a(a-a(a2+(c+(a+) 19.解：他的计算不对.正确过程如下： =a(a-c+(+) 64m÷16"×4 =(43)m÷(42)”×4 =a(a-(+） =43m÷42×4 =a(a6-) =43m-2n+1 20.解：依题意，得(3.6×104)÷(6×101)=(3.6÷6) =a-六 ×104-1=600(滴)， 25解：(1)根据题意，得(p+z)=a, 所以需要这种杀菌剂600÷15=40（毫升）. b(v甲-Uz)=a. 21解：1（会）÷(-) 所以仰=a+b, 26 =品() (2)因为里=4+b=7 为2=6-=3, =-62.64 9a6 所以a+6=子6-子， 2 =-3a26 所以号=， 2 所以号=号 2 -2x+32x-3》.(4-2)‘2x-3 1 a 2x-1 26 2×6 =2(2x+3) ab =4x+6. 2ab Fa+b÷6-a =2ab.b-4 atb ab -【别奇 =26-2a a +b =( 1 1 26.解：(1)因为x+3x+2=(x+2)(x+3 9 八年级数学湘教第1~5期 1 x+3×x+2=（x+2)（x3 检验：把x=头代入原方程，得左边=-4=右边， 4 1 1 1 x+3-x+2子x+2X、 因此x=号是原方程的解 所以分式，十2不是分式+3的“可存异分式” (2)方程两边同乘最简公分母x(x+1)(x-1),得 4(x-1)-3(x+1)=0. 故答案为：不是 解得x=7. (2)设4的可存异分式”为N, 4 3 检验：把x=7代人原方程，得左边=7+77之一70 则，4-N=产4×N, =右边， 所以（产4+xN=产4 因此x=7是原方程的解。 (3)方程两边同乘最简公分母3x-6,得 所以N=x之4(4+ 3(5x-4)=4x+10-(3x-6). 解得x=2. 4 2x-4 检验：把x=2代人原方程，方程两边的分式的分母都为0， =.x-4 这样的分式没有意义， x-42x-4 因此，x=2不是原分式方程的根，从而原分式方程无解 x =2x-4 2.5.2分式方程与实际问题 1.D;2.C;3.B;4.200;5.甲. 故答案为：2x-4 6.解：设从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需 (3D因为分式号是分式A的可作异分式， 时间为x小时 根据题意，得30=2.8×530 所以4-号=A×牛号 x+3 3x+3 5 所以A1-)-0+号 2x+3 解得x=子 经检验，x=弓是原分式方程的解，且符合题意。 5 所以A= 号(1-别 答：从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需时间 2x+3.3x+3-2x-3 -3x+5 3x+3 为号小时 2x+3,3x+3 7.解：(1)设甲加工服装x件，乙加工服装y件， 3x+3 =2x+3 根据题意，得：+y=280, ly=2x-80, ②分式A的值为1,3,5. 解得120， 因为整数使得分式A的值是正整数，A=2红+3=2+ y=160. 所以甲加工服装120件，乙加工服装160件. 故答案为：120,160. (2)设乙每天加工服装m件， 所以x=1时，A=5;x=3时，A=3;x=-3时，A=1, 则甲每天加工服装(m-5)件 所以分式A的值是1,3,5. 5期2版 根据题意，得120=160 m-5=m 2.5.1分式方程及其解法 解得m=20. 1.B;2.C;3.4;4.2y2-3y+1=0: 经检验，m=20是原分式方程的解，且符合题意. 5.m≥3且m≠6. 答：乙每天加工服装20件 6.解：(1)方程两边同乘最简公分母(x-3)(x-2),得 8.解：(1)设乙图书每本价格为x元， x-2=-3(x-3). 则甲图书每本价格为2.5x元. 解得x=号 根据题意，得00-0=24 x2.5x -1023.(9分)若分式A,B的和化简后是整式，则称A,B是一对整合 2点10分)已-2g0求分生：的能 26.(10分)先阅读下列解法，再解答后面的问题， 分式 仙财“与，二2是合是对合分式并说明： 该题没有给出x,y的值，怎样求出分式的值？有两种方法： 已大=+g求48的 方法一：因为-x=2,所以y-x=2xy,所以x-y=-2xy,所 解法一：将等号右边通分，得 (2)已知分式M,N是一对整合分式.M-,2,直接写出两个 A B 以原式=3x》-5=3×(,2xy)-5y==11y=-1 -+x22 符合题意的分式N （x-y)+6xy -2xy +6xy 4xy 4 =A(x-2)+B(x-1)=(A+B)x-(2A+B) 方法二：因为xy≠0，所以将分式的分子、分母同时除以xy得， (x-1)(x-2) x2-3x+2 原式- 3x-4 =-3x+2 (1)“方法二”中运用的分式的基本性质是 ； 苏以。g2 lB=2. (2)请你将“方法二”中的剩余解题过程补充完整 解法二：在已灯等式中取：=0，有-A+号-2.整理，得21 +B=4取=3，有分+B=子，整理，得A+2B=5.解 2A+B=4,得A=1: 初中数学 A+2B=5,B=2. 初 11x A B (1)已知-3-14+24x十6+43x,用上面的解法一求 中数学 湘教 A,B的值； 八年 务=2+”2用面的法求c0 (2)已知，x+3 湘教八年 级同 步 240分)%去指数-器-号 的值 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验， 发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下 测卷 级同步达标检测卷 a3+b3 猜想。+(a-b) 一，并证明此猜想的正确性（提示：a +b3=(a+b)(a2-ab+b2)). 参考答案见下期 本版责任编辑：郭晓红 报纸编辑质量反馈电话 2025年7月16日·星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 数评橘 3 期总第1147期 (湘教八年级) 0351-5271248 1期2版参考答案 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/川F 1.1多项式的因式分解 .C;2.D;3.-2 名师点睛 x项系数都化为正数，且系数的绝对值最小，则 4.(1)(3)正确，(2)不正确 专色销导 1.2提公因式法 -2x+y 1.B;2y(y-2);3. 分式的基本性质 -x-3y 直击 .(1)3(a-7): (2)3x(x+4y-2) 分析：先将原分式的分子与分母都提取 (3)3(3a+b)(2a-b) 大观园 一”号，然后根据分式的基本性质，将分式的分 分式加减的应用 1.3.1公式法粼平方差公式) 1.A:2.D:3.D: 子、分母同除以-1即可得解。 。浙江应思涵 .(x+1)2(x-1). ⊙湖南彭辉 -(2x-y) 2x -Y 分式的加减运算应用广泛，下面举例加以 5.(1)(x+5y)(x-5y); 分式的分子与分母都乘同一个非零整式， 解：原式= (2)(x-y)(a+b)(a -(x+3y) =x+3y 说明，供同学们参考. (3)(x2+9)(x+3)(x-3): 所得分式与原分式相等，这是分式的基本性质， 二、判断分式的值的情况 一、判断关系 6.(1)第①步，去括号时 现就有关分式的基本性质的运用讲解如下，供 +3y未变号； 例3 若将产中的字母a,6的值分别旷 例1 已知分式A ,B= (2)8(x+y)(x-y) 同学们参考. x2-4 x+2 1.32公式法（完全平方公式 1.C;2. 一、分式的变形 大为原来的3倍，则分式的值 -8; 2-x ,其中x≠±2，则A与B的关系是( 3.(2m-1+2n)(2m A.扩大为原来的3倍 2n): 0.4a-1 21 A.A=B B.A =-B .(1)(2a+3b)2: 例1 不改变分式的值，把分式 (2)(2x+1)2: B.缩小为原来的) C.A>B D.A<B (3)-ab(a+1)2(a-1)2 5a+0.36 分析：利用异分母分式的加法法则化简B, 5.是定值，0. 的分子、分母的各项系数都化成整数，且系数的 C.缩小为原来的 1期3,4版参考答案 从而得到A与B的数量关系 -、1.C;2.A;3.D 绝对值最小，所得的结果为 D.不变 1 1 解：B= 4.D;5.B;6.D;7.A; 分析：观察可知根据分式的基本性质，将分 分析：依题意分别用3a和3b去代换原分式 x+2+2-x 8.A;9.C;10.C 二、11.3(m+1)(m-1) 2-x+x+2 式的分子与分母同乘以10即可得解 中的a和b,利用分式的基本性质化简即可. = 12.9,3;13.(x-3)月 (x+2)(2-x) 解：将a,b的值分别扩大为原来的3倍后的 14.x2+2x+1,(x+1)2 04a -b×10 15.-6169 4a-5b 分式为a+3=3(a+6)= 1.a+b = 4 =-A. 解：原式 4-x2 x2-4 a+0.3b×10 2a+3b 3a·3b 9ab 3 ab 17.(x+2)(x+8)18.3. 所以A=-B. 三、19.(1)(3a+b)(3b-a): (2)ab2(b-2)2 例2 不改变分式的值，使分子、分母的含 所以分式的值缩小为原来的号 二、求待定字母 20.300种.21.2022 22.(1)x(x-2),6; x的取值应该满足 例2 已知 (2)3(x-1)(2x+1),0 数学诊所 23.2<a<3时，A> A.x≠-1 B.x≠2 B: 2x-6 1=3时，A=B 查杀分式中的 C.x≠-1或x≠2 D.x≠-1且x≠2 (x-1)(x-2),则A-B= a>3时，A<B. 24.(1)略； 病毒 x-2 1 分析：根据异分母分式的减法法则计算等 (2)图略.周长为6a+6b, 错解：因为(x+1)(-2)x+,所以要 式的左边，根据题意列出方程组，解方程组即 25.(1)①(5x+1+y)(5 ⊙安徽朱丽娜 x-2 +1=y): 分式的学习中经常会存在一些“病毒”，下 ②(x+2y)(x-2y+2) 使分式x+)在-2的值存在，则有x+1 A B 2)14 面就让我们一起目睹这些“病毒”的真面目吧！0，解得x≠-1.故选A. 解：x-2-x 26.(1)提公因式法，2： (2)(1+x)225; 病毒一、对分式的定义理解不透致错 剖析：出现错解的原因是对原分式进行了 A(2-x)-B(x-1) (3)(1+x)1, (x-1)(2-x) 2期检测卷参考答案 例1 下列各式：“，b,+3,5+，3(x 约分.要注意，在分式中，分子、分母都乘（或除 2’x,T4 以)同一个整式，可能会改变字母的取值范围， (-A-B)x+(2A+B) 、1.A;2.A;3.C (x-1)(2-x) 4.C;5.C;6.D7.D; 8.C;9.A;10.A. +1),0-b2 中，不是分式的为 在求使分式的值存在的字母的取值范围时，必 a +b =(A+B)x-(2A+B) 二、11.x(x+y）(x-y): 须根据原分式进行求解，而不能先约分后再求 （x-1)(x-2) 12.4;13.72;14.6 错解：因为4人_(a+b)(a-) 15.号164或-4 a+b a+b 根据题意，得A+B=2,解得A=4 x-2 正解：要使分式x+1)-2)的值存在， 12A+B=6 B=-2. 17.6;18.-1012. b,a (x2+1), 三、19.(1)(x-3)(x+2) -6是整式，所以填。b,3 2,4 所以A-B=6. (2)(3a-1+2b)(3a-1 则有(x+1)(x-2)≠0，所以x+1≠0且x 三、求代数式的值 2b). a2-b2 a +b 2≠0，解得x≠-1且x≠2.故选D. 20.略 例3 若1+ =-2,则分式 21.(1)6760;(2)242 剖析：出现错解的原因是对分式的定义理 病毒三、忽略分母不能为0的条件致错 22.(1)(x-2)4: (2)(x+1)2(x+5)2 解不透，分式是一种形式上的定义，不应该在变 例3若分式m-5 的值为零，则m x-xy+y m-5 23.(1)(2m+n)(m+2m); 3x +5xy +3y (2)221cm2. 形或化简之后去判断，即止是分式：5+ 分析：运用分式的加法法则将已知等式进 24.(2x+5),k= 5 a+b T 25.(1)(x-1)(x-3); A.-5 B.5 行通分变形，然后利用整体思想代入求值 (2)(x+1)2(x-1)(x+3) 的分母是T,表示圆周率，是常数，所以5+Y不 (3)(x2+2+2x)(x2+2 不 C.±5 D.0 错解：根据题意，得1m丨-5=0， 解：因为+ =Y+x=-2, xy 2x) 是分式 26.(1)52+22; 解得m=±5.故选C. 所以x+y=-2xy. (2)k=13,理由略 正解：填“ (x+y）-xy (3)略 -65+y3(x2+1) 2, π’4 剖析：错解的原因是只考虑了分式的分子 所以原式=3x+y)+5心 病毒二、提前约分致错 的值为0，而忽略了分母的值不能为0 -2xy -xy x-2 正解：根据题意，得ml-5=0,m-5≠0 例2要使分式(x+1)x-2)的值存在， =3×(-2x）+5y 解得m=-5.故选A =3. 2 素养专练 人 数理极 2.1.1分式的概念 2a2-ab 5.从A基地同时派出船舰与飞机执行搜寻任 要使分式42的值存在，则m的取值应 (2)2a2b-ab 1 务，已知飞机飞行的速度是船舰速度的40倍，设 任务地点离A基地的路程为akm.若飞机飞行的 满足 ) 速度为vkm/h,那么飞机比船舰先到多长时间？ A.m=0 B.m≠0 C.m=-2 D.m≠-2 5.先约分，再求值： 2如果分式3，中的x=2,1,那必这个 (1)m+5m+6,其中m=-3: m2-4 分式的值为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 3.在式子：①÷②2③青④：⑤ ⑥中，分式有—个 6 4分式号的管军于0则： x2-2xy (2)y-4r,y4,其中x=4,y=1. 5.填空： 2.2.2异分母分式的加减 (1)甲车用v千米/时的速度跑完A,B两地 的路程用了1小时，乙车每小时比甲车慢5千米， 1分式子的绿简公分 3 乙车跑完A,B两地的路程需要 小时； ( ) (2)某批发商用a元/个的价格，共花600元 A.x2+1 B.x(x2-1) 购进一种畅销商品，然后以每个比进价高5元的 C.x2-x D.(x+1)(x-1) 价格全部卖出，批发商共赚 元 2.2.1同分母分式的加减 2.已知非零有理数x,y满足士+1=2，则 6.下列分式中的字母满足什么条件时分式的 值存在？ 1.计算二+2的结果为 ( a X y+3x+3y的值是 xy ①-+ A.3 C.3 a? D.3 3已知x-++4则4 2x+1 A 2.对于a,b,c,d规 一种运算：cd a b X 为 d 4.计算： 点，按照此规则，化简 -1 1 的结果为 (1)1 x+1x+1 xx+2i (2)21x1+1 3计算： (1)2x--1-2x 2.1.2分式的基本性质 (2)2x-2+2x x2-1+x+1 1根据分式的基本性质，分式士可变形为 A.- x-2 B.- 1 -2 C.2+x D.一2+x 2下列四个分式心器②名通 经公：合：④：治其中是最简分式的是 4a2-b2 a2-b2 (填序号). 4.先化简，再求值：(a-b)(a-c) 3.根据分式的基本性质填空： (1)3a6.6a6 (a-b0(a-c其中a=3,6=-2,c=-1. b2-c2 a+b=)(a≠0)： = (b-a)3 4.约分： (1)24a26 -4ab1 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 A.3,-15 B.-15,3 C.-3.15 D.15,-3 a-4ab2 2.1~2.2同步达标检测卷 1 20.(6分)先约分，再求值：。24n6+4如，其中a=-2,6 ◆数理报社试题研究中心 + =11,则x+y+z的值为 ( y+z z+x (答题时长120分钟，满分120分) A.12 B.14 c号 D.9 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1在试子日g青+言+9申分试的个 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） y’x a 数是 ( 11.化简：2-2a A.5 B.4 C.3 D.2 2.计算2a-64 12.当a,b满足 a-6“a6的结果是 所号熟 A.1 B.-1 C.a+b D.a-b 1如果a+6=2,那么”。“G的监是 3.某呼吸机厂接到一批生产150台呼吸机（如右 14.对于分式+a,当x=3时，它的值为0；当x=1时，它的值 21.(8分)计算： 图)的订单，计划每天生产呼吸机a台，为了尽快完成 3x+b1 4r 5x 任务，改进技术后实际提前2天完成任务，则实际生产 不存在，则a+b= Dx+-刀+”y+ 多 这批呼吸机的天数为 ( 初 中 15.若m为非零有理数，分式x+2)不是最简分式，则m= 数 A.150 B.150 x2+m 学 a-2 a+2 c.150-2 D.150+2 中数学· 16.某学校为了做好卫生工作，从市场上购买了w瓶消毒液，原 湘 a a 计划每天用m瓶，后由于提高了要求，每天多用了n瓶消毒液，则这 八 4.下列式子从左至右变形不正确的是 必 些消毒液所用的天数比原来少了」 A分=元 4a a-3_2a+4 级 同 1n.已知是整数且，子3+写己++为整数则所有 (2)-3u+ 2 2a2+2aa2+2a+1a+2 x2-9 步 D品=品 合条件的x的值的和为 达标 1-x2 ,x的步骤如下： 1 1 检测卷 5.化简2-2x+11-x 18.已知y= -11-1-4=1-… 湘教八年级同步达标检测卷 品品 1-x2 1-x2+x2-x 1-x 1 原式= (x-1)2 (x-1)= 1-yn-1 -,则y26=一 (用含x的代数式表示) 1 三、解答题（本题共8小题，共66分） 2.(8分)已知uc=1,不改变分式的值，使分式b+6+ x-1 19.(6分)x取何值时，下列分式的值存在？ 1 1 上述解题过程中用到的依据有：①约分；②合并同类项：③同 c+c+的分母与c+a+的分母相同 分母分式的加减法则；④通分，排序正确的是 ( A.①②③④B.③②④①C.④③②① D.④②③① 6如果分式州+子的值为零，那么m的值是 ( A.m≠2 B.m=±2 C.m=-2 D.m=2 7.如果x>y>1,那么=-之的值是 x-1-x A.正数 B.负数C.零 D.不确定 (2)6(x+3) 1x1-12 、8若m为整数，则能使2也为整数的m有（ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6x +B 9已知，2+33=女则4，B的值分别为 3 (