第9期 23.5 位似图形 23.6 图形与坐标-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

4 素养·拓展 数理极 (上接第3版) 20.(12分)如图15，在平面直角坐标系中， 19.(12分)如图14，已知A(-3,2),点A,B的坐标分别为A(0,a),B(b,a),且a,b B(-1,-2),C(1,-1).将△ABC向右平移满足(a+b-6)2+√B-a-2=0,现同时将 重点集圳营 3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点A,B分别向下平移2个单位长度，再向左平移 △AB1C· 1个单位长度，分别得到点A,B的对应点C,D. 1.如图1，△OAB与△OA'B'位似，其中A, (1)在平面直角坐标系中画出△AB,C1,连结AC,BD,AB,BC. B的对应点分别为A',B',A',B'均在图中正方 并写出顶点A的坐标； (I)求点C,D的坐标及△BCD的面积； 形网格格点上，若线段AB上有一点P(m,n), 则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为 (2)求△AB,C的面积； (2)在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在 (3)已知点P在x轴上，以A,C,P为顶点 的三角形面积为了，请直接写出P点的坐标 点M,使△BMD的面积是△BCD面积的？若 存在，请求出点M的坐标，若不存在，试说明理 由 A 图1 图2 2.如图2，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心 15 的位似图形，且相似比为13，点A,B,E在x轴 上，若正方形BEFG的边长为3，则D点坐标为 3.如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的三 个顶点的坐标分别为C(1,2),B(2,3),A(4,1). (1)以原点 0为位似中心，在 第三象限内画 个△ABC1,使它 与△ABC的相似 比为2：1： -8-76-5-4-3-2-1101 (2)点B,的 坐标为 (3) 求 △A,B,C,的面积 图3 数理报社试题研究中心 (参考答案见11期) 数理报社试题研究中心 (参考答案见11期) 444 第8期2版参考答案 二910：03：12：23：18：4 23.3.3相似三角形的性质 辅助线 三、15.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 周周练 基础训练1.C；2.A;3.A;4.16:5.16; AB=CD,AB∥CD,所以∠B=∠HCE.因为点E为BC 1.如图1，矩形OABC中，点A,C分别在x 6.30. 边的中点，所以BE=EC.因为∠AEB=∠HEC,所以 轴、y轴上，点B的坐标为(k,2k),连结OB,将 能力提高7.四边形AFDE的面积为24. △ABE≌△HCE,所以AB=CH.所以DC=CH,因为G 矩形OABC沿OB折叠，点A的对应点为点D,则 23.3.4相似三角形的应用 为DF的中点，所以CG是△DFH的中位线，所以CG∥点D的坐标为 (用含k的式子表示) 基础训练1.B;2.3.6;3.12. EH.因为DF⊥AE,所以CG⊥DF 能力提高4.该龙形雕像的高度为13.5m 16.0A的高度是6.3m. 23.4中位线 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN 基础训练1.C;2.D:3.B:4.142;5.3 能力提高6.(1)H是0E的中点. △B,△4E△MC,所-答会=所 ,取0中点连结0，因边彩0是器-器又丙为点M是c的中点所以w=c, A 图2 矩形，对角线AC,BD交于点O,所以点O是AC的中点.因 所以DN=EN. 2.如图2，正方形ABCD的顶点A,D分别在 为点M是AD的中点，所以CD∥OM,0M=2CD= (2)SAABC =50 x轴，y轴上，点B(3,1)在直线l:y=kx+4上 直线1分别交x轴，y轴于点E,F.将正方形 之AB=3=DE,所以∠MOH=∠DEH因为∠OIM= 18.(1)因为AD∥A'D',所以∠PAD=∠PA'D', ∠PDA=∠PD'A.所以△PAD~△PA'D.所以AD AD ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰 好落在直线l上，则m的值为 ∠EHD,所以△OHM≌△EHD,所以OH=EH,即H是 OE的中点 贷所以沿-PW30,解得PW=180,所以灯泡离地 w米▣彩 (2)连结OF,因为点M是AD的中点，所以AM= PM 厚Y‘(w-‘乙)，0学旦犁本孔‘b+x-= 面的高度PM为180cm. 之4D=2,所以M=FA+AM=4.因为0N∥cD,所 (头平￥明1渐厚甲水嫉￥兴甲‘( (2)设横向影子A'B,D'C的长度和为xcm,同理可得 乙)3H举单环班其三毙舌斯部‘N☑OV云 以∠FM0=∠ADC=90°，所以F0=√FM+MO= aVV云OVaV1昏‘N⊥H0TN3/) ‘W⊥0TWaa【些群】1乙 5.因为点G是EF的中点，点H是OE的中点，所以GH= =12cm,所以横向影子A'B,D'C的长度和为12cm 阴d 2r0=3 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°- 学R业采‘山用坐‘彩昱业￥)41御 ∠ABC.因为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=18O ‘w=Ha1乙：1KAM斟‘aHQV∽☑a0V 第8期3版参考答案 ∠BGF因为∠AGB=180°-∠BGF,所以∠AGB=十 ‘1士形斗Oa卒‘a垂‘聘xTa 题号12345678 ∠MAB.又因为∠ABG=∠MBA,所以△BAG∽△BMA. 答案CACBBBDA 期0学丹【坐群】(-)是】 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 装理揭 2025年8月28日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 9期总第1153期 华东师大 0351-5271248 中考 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-207 (2)连结CM.因为四 万法技巧 、经纬定位法 边形ABCD为菱形，所以AB =BC=CD.因为∠ABC 此法需要两个数据 经度和纬度，此法 60°，所以△ABC为等边三 在地理学中有着极其广泛的应用！ 角形所以AC=CB=CD. 应似变换中 例1这么近，那么美，周末到河北，以下 又因为M为AD的中 点的坐标的确定 表示河北省石家庄地理位置最准确的是 点，所以CM⊥AD.又因为 山西赵华 AD∥BC,所以CM⊥BC 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以 与△AB'C'的相似比为1：2，点A是位似中心， 1)得=胎所以 A.在河北省中南部 原点为位似中心，变换后的图形与变换前图形已知点A(2,0),点C(α，b),∠C=90°，则点C B.距离沧州市约220公里 BG·BM=AB2.所以BG 的相比为k,那么原图上点(x,y)的对应点的的坐标为 (结果用含a,b的式子表 C.位于华北平原北部 坐标为(kx,y)或(-x,-y);对于位似中心 示) D.北纬38.02°，东经114.30 又因为LCBG 非原点的位似变换，解题时要充分发挥位似图 解析：过点C,C'分别作x轴的垂线CD, 解析：由题意可得只有选项D说明了河北 MBC,所以△BGC △BCM.所以∠BGC= 形的定义和相似三角形的性质的作用。 CD',垂足分别为D,D,因为△ABC与△AB'C 省石家庄的具体位置.故选D ∠BCM=90°.所以CG⊥ 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 的相似比为1：2，点A是位似中心，A(2,0),所 BM. 例1如图1，△AB0的顶点 以AD'=2AD.因为C(a,b),所以AD=a-2, 课堂在线 20.(1)证明：因为四 CD=b,所以AD'=2a-4,C'D'=2b,所以 边形ABCD是矩形，所以 坐标是A(2,6),B(3,1),0(0 AD∥BC,所以∠ADG= 0),以点0为位似中心，将△AB0 D'(2-2a+4,0),所以C'(6-2a,-2b).故填 确定位置 ∠EBG,∠DAG=∠BEG (6-2a,-2b). 所以△ADG∽△EBG,所 缩小为原来的？，得到△AB'0, 三、求位似中心的坐标 则点'的坐标为 图1 例3如图3，已知 巡医有方法 由题意，得AD∥CE 解析：因为以点O为位以中心，将△AB0缩小 矩形ABCO与矩形ODEF AD=CE,所以四边形 ⊙安徽巩树彬 是位似图形，M是位似中 ACED是平行四边形，所以 为原来的3，得到△A"B0,4(2.,6),所以当 AC∥DE,所以∠AFG 心，若点B的坐标为(4， 二、方向、距离定位法 ∠EDG,∠FAG=∠DEG △4'B'0在第一象限时，点A'的坐标为3×2,3 3),点E的坐标为(-2， 运用此法，需要两个数据：①方位角：②该 所以△AGF∽△EGD,所 3 方向上离观测点的距离.二者必须兼备 以-所以瓷 ×6),即(2,2)；当△A'B'0在第三象限时，点A'的 2 ),则图中点M的坐标 例2点A的位置如图 所以D2=FG·BC 为 1所示，则下列关于点A的 DG 坐标为-3×2，-3 ×6),即(- 3 -2).故填 解析：因为点B的坐标为(4,3)，点E的坐 位置叙述正确的是( (2)因为四边形 A.北偏西40°方向 ACED为平行四边形，AE CD相交于点H,所以DH= 2)或(- 3 -2) 标为-2，，所以4=3.01=4,0D=2 5km处 -DC =2AB =7.AD 因为矩形ABCO与矩形ODEF是位似图形，M是 B.距0点5km处 二、位似中心非原 C.在点0北偏西40°方向5km处 CE=24. 点，求图形上点的坐标 2 在Rt△ADH中，AH 例2如图2，在平 位似中心，所以M0-OD MA AB 3 =1 2 -,所以M0= D.在点0北偏西50°方向5km处 AD2+DR,所以AH 解析：由题意得90°-50°=40°，所以点A √72+24P=25,所以AE 面直角坐标系中，△ABC 0A=4,所以M点坐标为(-4,0).故填(-4,0) 在点0北偏西40°方向5km处.故选C 50. 三、平面直角坐标系定位法 因为 △ADG 入门向导 位似图形这样画 平面直角坐标系定位法是生活中最常用的 △EBG,所以AC AD 定位方法应用此法所需的两个数据一个是横 ,所以AG= cE,所 坐标，另一个是纵坐标， 二者缺一不可. 例3中国象棋 以AG=3AE= ,所以 3 ◎四川林伯远 是中华民族的文化瑰 GH AM-AG 例如图1，已知四边形ABCD,将这个四边形 (2)延长CA到点C,使AC=2AC: 宝，因趣味性强，深受 放大，使放大前后的图形对应线段的比为1：2 (3)延长BA到点B,使AB,=2AB: 第8期4版参考答案 大众喜爱.如图2，若 (4)连结B,C,CD,,则四边形AB,C,D,即 重点集训营 象棋棋盘上“马”的 1.40:239 为所求（如图3） 坐标为(1,2)，“车” 图2 3.(1)△0EF的周长 的坐标为(-2,2)，则 为22 “炮”的坐标为 (2)证明：由(1)可知 解析：根据题意可建立如图2所示的平面 EF=D,且F/AD,因 画法一：(1)延长AD到点D,使DD,=AD 直角坐标系，所以“炮”的坐标为(3,1).故填 为四边形ABCD的对角线交 (2)延长AC到点C,使CC=AC; (3,1). 于点O,所以点O为BD的中 (3)延长AB到点B1,使BB,=AB; 点又因为G为边AB的中 画法三：(1)任取一点0，连结OA并延长到 (4)连结DC1,C,B1,则四边形ABCD1即 本周主讲 点，所以OG为△ABD的中 点A,使AA,=OA; 位线，所以0G=7AD,0G 为所求（如图2）. (2)连结OB并延长到点B1,使BB,=OB; 23.5位似图形 说明：延长AD到点D,后，也可以过点D作 ∥AD,所以EF∥OG,EF= (3)连结OC并延长到点C,使CC,=OC; 23.6图形与坐标 OG,所以四边形OFEG是平 D,C∥DC,交AC的延长线于点C,再过点C (4)连结OD并延长到点D,使DD=OD; 主要内容：本期同学们需要掌握位似图形 行四边形. (全文完) 作C,B,∥CB,交AB的延长线于点B,得到四边 (5)顺次连结AB,BC,CD,DA,则四 的画法和性质，学会用坐标以及角度（方向） 形AB,CD· 边形AB,C,D1即为所求（如图4）. 和距离来描述位置，在平面直角坐标系中研 画法二：(1)延长DA到点D,使AD1= 运用这些画图方法可以解决不少数学问 2AD: 究图形的平移，对称，旋转和位似变换. 2 素养专练 数理叔 23.6.1用坐标确定位置 并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的 对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是 跟踪训练 垦恐训练 1.小李在教室里的座位位置记作(2,5)，表 A B.-a+1 2 23.5位似图形 示他坐在第二排第五列，那么小王坐在第三排第 四列记作 ( C.、a-1 D.-+3 堡础训练 A.(4,3) B.(4,5) 1.如图1，在正方形网格中，以点0为位似中 C.(3,5) D.(3,4) 心，△ABC的位似图形可以是 ( 2.钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国 A.△DEF B.△DFH 的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图. C.△GEH D.△GDJ 下列描述能够准确表示钓鱼岛位置的是( A.海上的一个岛 图1 图2 B.福建省的正东方向 C.距离温州市约358千米 3.如图2，在平面直角坐标系xOy中，点C是 D.北纬2544.6，东经12328.4 x轴上一点，∠A=90°，0A=4,0B平分∠A0C 3.下列关于有序数对的说法正确的是 则点B(a-1,a-2)关于x轴的对称点是 图1 图2 2.如图2，在正方形网格中，两个阴影部分的 A.(3,4)与(4,3)表示的位置相同 4.在平面直角坐标系中，△ABC与△AB,C 格点三角形位似，则位似中心为 关于原点O位似，点A及其对应点A,的坐标分别 B.(a,b)与(b,a)表示的位置肯定不同 A.点M B.点N C.(3,5)与(5,3)是表示不同位置的两个有 为(-1,2)，(3，-6)，则△ABC与△A,B,C1的相 C.点P D.点Q 序数对 似比为 3.如图3，△ABC与△DEF是位似图形，点0 5.在平面直角坐标系中，规定一个点先向上 D.(2,2)与(2,2)表示两个不同的位置 为位似中心，且OA:OD=1:2,若△ABC的周长 4.如图1，货船A与港口B相距35海里，我们 平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度为 为8，则△DEF的周长为 ( 用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述港口B 1次运动.点P(-2,-3)经过 次这样 A.4 B.22 C.16 D.32 相对货船A的位置，那么货船A相对港口B的位 的运动后到达点P'(7,15). 6.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置 置可描述为 如图3所示 120 90 (1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的 150 △A,BC,: 180 34 (2)以点M(1,2)为位似中心，作出 图4 2109 △A,B,C,按1：2放大后的位似图形△A,B,C2; 4.如图4，点0是等边三角形PQR内一点， 40 300° 270° (3)求点A,的坐标以及△ABC与△A,B,C P',Q',R'分别是OP,0Q,OR的中点，则 图1 图2 的周长比 △P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时 5.如图2，雷达探测器测得A,B,C三个目标. △P'Q'R'与△PQR的相比为」 如果A,B的位置分别表示为(4,60°)，(2,210°)， 5.如图5，四边形 则目标C的位置表示为 ABCD与四边形 6.如图3，已知点A,B在 A'B'CD'是以点O为位 射线OX上，0A=2cm,AB= 1cm.如果OA绕点O按逆时 似中心的位似图形，已 A BX 针方向转动30°到0A',那么 图3 知=子，若四边形A8cD的面积是2.则四边 点A'的位置可以用(2,30°)表示，则将OB绕点 能刀提高 形A'B'CD'的面积为 0按逆时针方向转动120°到0B',那么点B的位 7.如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知 置可以表示为 A(-3,3),B(-4,-1),C(1,-2),将△ABC平移 能力提高 7.如图4是某公园的平面简图，若广场的位 点A的对应点为点D,点B的对应点为点E,点C的 6.如图6-①，图6-②，在4×6的正方形网 置记作(5,3)，试表示出图中其他地点的位置 对应点为点F 格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形 (1)将△ABC向左平移2个单位长度，再向 的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格，点上，按 牡丹亭 6 上平移3个单位长度，则点D的坐标为 湖心亭 要求画图 (2)若平移后D,E两点都在坐标轴上，则点 4 (1)在图6-①中，以点B为位似中心画一 东 F的坐标为 个三角形，使它与△ABC的相似比为2：1； 望春亭广场 (3)若在△ABC内部存在一点P,点P的坐 1 游乐园 (2)在图6-②中，画一个与△ABC相似的 标为(-3，y)(y>0),在(2)的平移下，点P的对 0 △BDE,要求所画的三角形的顶点在格点上，与 123456 7 应点为点Q,使得△BPQ的面积为5，求点P的坐 图4 △ABC的相似比不为1，且与(1)中所画的三角 标 形不相同： 23.6.2图形的变换与坐标 垦础训练 2345 1.点A(-2,1)先向右平移3个单位长度，再 向下平移2个单位长度得到的点的坐标是 ( 34 A.(1,-1) B.(-5,-1) C.(-5,3) D.(1,3) 2.如图1，在△ABC中，A,B两个顶点在x轴 的上方，点C的坐标是(-1,0)，以点C为位似中 数理报社试题研究中心 心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C, （参考答案见11期) 数理极 素养·测评 3 ①(1,0)，(6,0)，(6,1)，(5,0)，(6，-1)，(6 0); 同 步 检测题（七 ②(2,0)，(5,3)，(4,0)； ③(2,0)，(5，-3)，(4,0) 观察所得到的图形，你觉得它像什么？ 【检测范围：23.5~23.6】 (满分：120分) C.(7,3) D.(7,2) 8.如图4，在桌面 一、精心选一选（每小题4分，共32分） ABCD上建立平面直角 题号1 2 3456 78 坐标系（每个小正方形 的边长为一个单位长 答案 度)，小球从点P(-4,0) 1.下列选项中的两个相似图形，不是位似图： 出发，撞击桌面边缘发 16.(10分)已知△ABC在平面直角坐标系中 形的是 生反弹，若小球以每秒 的位置如图11所示，其中点A和点B的坐标分别 C 2个单位长度的速度沿 为A(2,6),B(6,2). 图中箭头方向运动，则 (1)在第一象限画出△ABC以原点O为位似中 第2024秒时小球所在位置的纵坐标为 0 )心的位似图形△4，B,C,使△ABC与△A,B,C,的相 A.-2 B.0 比为2：1； 2.下列描述不能确定具体位置的是( C.1 D.2 (2)画出△AB,C,绕点A,按逆时针方向旋转 A.某影剧院6排8号 二、细心填一填（每小题4分，共24分）》 90°后的△AB2C2 B.新华东路210号 9.在火车票上“10车8号”可用有序数对(10 C.北纬32°，东经116 8)来表示，那么有序数对(2,3)表示的意义是 D.南偏西56° 3.如图1，如果小明的位置用(4,3)表示，小华 10.如图5，在平面直角坐标系中，△ABC和 的位置用(2,1)表示，那么小刚的位置可以表示成 B.(4,1) △1C是以原点0为位似冲心的位以图形，侣 A.(4,4) C.(1,4) D.(1,1) 分，已知4(1,2)，则顶点4的坐标为 012345678910 图11 小刚 8 小明 17.(10分)遗爱湖公园的亲水平台修建了许 多台阶（如图12所示），春季湖水上涨后有一部分 在水下.如果点C的坐标为(-1,1)，点D的坐标为 (0,2)(点C,D分别在第3,4级). 0 (1)请建立适当的直角坐标系，并写出点A, 图1 图2 图5 图6 B,E,F的坐标； 4.在平面直角坐标系中，某个图形上各点的 11.如图6，在平面直角坐标系中，点A,B的坐 (2)某一公司准备在湖边开展“母子亲水”活 纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的相反数，此： 标分别为(1,4)，(4,0)，将△A0B沿x轴正方向平 动，为防止滑倒要将8级台阶全铺上2米宽的防滑 时图形却未发生任何改变.下列说法正确的是 移至△CBD,此时点C的坐标为 地毯，经测量，每级台阶宽高都为0.3米.你能帮该 12.如图7，△A0C中三个顶点的坐标分别为 公司算一下地毯要多少平方米？ A.该图形是轴对称图形且关于y轴对称 A(4,0),0(0,0),C(4,3),AP为△A0C的一条中 B.该图形是轴对称图形且关于x轴对称 线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来 C.该图形是中心对称图形且关于原点中心对： 的2倍，得到△A'0P',则PP'的长为 称 D.该图形是任意图形均可 B 5.如图2，在平面直角坐标系中，已知点0(0 图12 0),A(6,0),B(0,8),以某点为位似中心，作出与 △AOB的相似比为k的位似△CDE,若点D(1,1), 点C(4,1),则位似中心的坐标和k的值分别为 图7 图8 13.如图8，点A(0,3),B(1,0),将线段AB平 B2.2 移得到线段DC,若∠ABC=90°，AD=2AB,则点 A.(0,0),2 C的坐标是 n1),号 2 C.(2,2),2 14.如图9，直线y=-3x 6.直线l1:y=x-2与直线l2:y=kx+b(k,b +4交x轴y轴于点A,B,点P B 18.(10分)如图13，△ABC与△DEF位似，点 为常数，k≠0)关于坐标原点中心对称，若(1，m)在第一象限内，且纵坐标为4. 0为位似中心 在直线l,上，则m的值为 若点P关于直线AB的对称点 (1)若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC A.1 B.2 C.3 D.4 :P'恰好落在x轴的正半轴上， A =2,求DF的长； 7.中国象棋历史悠久，战国时期就有关于它则点P'的横坐标为 图9 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） (2)若∠0=22°，∠ABC=38°，求∠0FE的 的正式记载，观察如图3所示的象棋棋盘，我们知 道，行“马”的规则是走“日”字对角（图中向上为 15.(10分)如图10，在平面直角坐标系中描 度数. 进，向下为退).如果“帅”的位置记为(5,1)，“马2：出下列各点，并将各组的点顺次连结起来 退1”后的位置记为(1,4)（表示第2列的“马”向 下走“日”字对角到达第1列的位置)，那么“马8 13 进7”后的位置可记为 1 23 6789 2 6-543-211p1234567 L3- 图3 A.(8,4) B.(7,4) 图10 (下转第4版)中考数学华东师大第6~9期 线理柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学华东师大第6~9期 第6期2版 6.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 23.1.1成比例线段 9=孚或=号解得4=4或：=1所以当M,N运动4。 基础训练1.D;2.D;3.B; 或1s能使矩形CFVM与矩形AEFD相似. 4.2;5.3；6.6. 能力提高7.(1)证明：因为∠BAD的平分线交BC于点 7.△ABC是直角三角形，理由：设44=6十3=c+8= 3 2 4 E,所以∠BAE=∠EAF.因为四边形ABCD是平行四边形，所 k,则a=3k-4,b=2k-3.c=4h-8. 以AD∥BC.所以∠EAF=∠AEB.所以∠BAE=∠AEB.所以 因为a+b+c=12,所以3k-4+2k-3+4-8=12, AB=BE.同理AB=AF.所以BE=AF.因为AD∥BC,所以四 所以k=3,所以a=5,b=3,c=4,所以62+c2=32+42= 边形ABEF是平行四边形.因为AB=BE,所以四边形ABEF是 25=a2,所以△ABC是直角三角形 菱形. 能力提高8.(1)BD=12. (2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，所以AB=BE=EF (2)根据题意可设AD=x,则BD=5x,所以AB=6x. =FA.又因为四边形CDFE是平行四边形，所以FD=CE,EF 因为点C把线段AB分为2：3的两段，所以4C=号4B =CD,所以AB=BE=EF=FA=CD. 设FD=CE=x,因为四边形ABCD是平行四边形，且AD 号所以cD=AC-0=号-=子 =BC=4,所以AF=BE=CD=EF=4-x,因为□ABCD∽ 因为CD=7,所以了=7，解得x=5.所以4B=6x=30, 口6C0P,所以是-号即。=4：整理得-12x+16 =0,解得x=6±25，因为x<4,所以x=6-25,所以AF 23.1.2平行线分线段成比例 =4-6+25=25-2. 基础训练1.D:2.B:3.2;4.6;5. 3 第6期3版 6.证明：因为口ABCD,所以AB∥CD,AD∥BC,所以CS EF 题号12345678 答案BBCD CD BB 器-年所u紫-乐即c=·6R =9了；10.8：11.18：12号或-2 能力提高7.（①）因为AD∥BE∥CF,所以5=E= AC DF 13.51.2;14.22. 号，所以70=号.所以E=4,所以nF-DE+5F=4 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= +10=14 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB (2)因为点G是DE的中点4D∥E,0G=3,所% =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 16.(1)因为(a+b):(b+c):(c+a)=7:14:9,设a %=宁所以01=6，因为A0∥BE∥CP,所以盟-能 +b=7k,b+c=14h,c+a=9k,则a+b+c=15k,所以a= 所以品=号，所以PH=15 k,b=6k,c=8k,所以a:b:c=1:6:8. 23.2相似图形 (2,驶的值为-品 基础训练1.C:2.D:3.5 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 2；46； 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 5.2y=3x或3y-2x=10. 以BE=BC 中考数学华东师大第6~9期 (2)A北=BC理由：因为D∥BP,所以S-能因为DF ×( CD BD )= AP AD =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC. 第6期4版 18.(1)过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF 重点集训营 所以C=BD,因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC,所以 AGF=DC' 1:2 9 BG=GF, a 4.26. 因为DG∥CP,所气-品因为E为AD的中点，所以 第7期2版 AE=ED,所以AF=FG=BG,所以A 1 23.3.1相似三角形 BF=2 基础训练1.C；2.A；3.12;4.2√13 (2)过点D作DH∥CF,交AB于点H.因为DH∥CF,所 能力提高5.(1)因为AB∥CD,所以△ABE∽△DCE, 嘴=畿 所以荒-提=吕=子又因为B∥R,所以器=荒= 因为瓷=士，所以品=太，所以FH=MF,由)知m 3 =BH,所以BH=FH=kMF,所以BF=2AF,所以S AF BF 2kAF (②)因为cD∥E,所以△BEF~△BCD,所品-品， 1 二2水 又因为C0=15,器=子所以EP=CD影-15×2子3 2 19.(1)如图1，连结BC,设AB=x,由翻折的 6. 性质得，∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF =∠BDF=90°. 23.3.2相似三角形的判定（第一课时） 因为∠ACE=∠ACB+∠ECB=∠BCF= 基础训练1.D;2.B;3.70;4.1.4. ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 能力提高5.(1)作图略. 图1 ∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD=BC= (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= ∠BAC, 2x,所以AD=AB+BD=(√2+1)x,所以EF=CE=AD= (2+I)x,因为DE=AC=AB=x,所以DF=DE+EF=(2 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=∠BAC,所以∠BAD=∠C, 浙和-得a 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD∽△CBA. 23.3.2相似三角形的判定（第二课时） (2)相似.理由：由(1)知：A5纸长边为A4纸短边，长为 基础训练1.D;2.C；3.2或8； (万+D,A5纸短边长为兰)：，所以在5纸中，长边 4.(1,4)或(3,4). 能力提高5.(1)证明：因为正方形ABCD,所以∠A= 短边=5+)正=万，所以A4纸与A5纸相似. x ∠D=90°，AB=CD,因为CF=3FD,所以FD=子CD,因为 20.(I)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 6是40的中点，所以能=D=分4D,所以治=需=宁 点，所以点E是4中点，且品所以他=方 所以△ABE∽△DEF. =3 (2)△ABE与△BEF相似，理由：设AB=AD=CD=4a, (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连结BQ,CQ,则四 因为E为边AD的中点，CF=3FD,所以AE=DE=2a,DF= 边形AB0c是平行因边形，所以PM∥B0.PN∥c0,所以出 a,所以BE=25a,EF=5a,BF=5a,所以BF2=EF2+BE2, =68=6所= 即LBEF=90°，所以∠A=∠BEF=90,因为Ag==2, AE 2a (3)证明：过点D作DE∥Pw交B于，所以是-品 =-22-2,所以是-华所以△4E△EB歇 5a 又因为P∥AC,所以DE∥4C.所以始=忌所以铝-栏 AB AE 23.3.2相似三角形的判定（第三课时） ×铝-品品同理可得之出品所瑞+光治 基础训练1.A;2.C；3.18;4.①③. AB AC AD 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 一2 中考数学华东师大第6~9期 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=5,BC=25, 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC 在△4c和A40D0中，图为品=卓=5%29。 ∠BAE=LBCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE, 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF 5铝-言=5，所以%-8%-装所以△AC~△ACn (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, 5 ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= 第7期3版 ∠ABF.因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 题号12345678 (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 答案C CB C CB BB 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 二9.∠AED=LB(答案不惟-)：10.3；11.丁： 4. △BEF△c6P,所以器-器脚部-8器 12.30°或60°；13.(-4,0)，(-1,0)或(1,0)； 因为∠EFG=∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF 14.4或7. =∠BCF=45°.所以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG, 三、I5.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= ∠BEG=90°，所以BE⊥EG. ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 20.(1)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE, 以∠B=∠C=45.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 又∠DGE=∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又∠ACB= ∠BPE+∠BEP=135°. ∠FEG=90°，所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°， 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 所以∠EAC=∠BEF,所以△AGC∽△EFB. ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= ∠C,所以△BPE∽△CFP. ∠BEC=90°，因为LC=LC,所以△ACD△BCE,所以 CE (2)△BPE∽△CFP.理由如下： -能即光-是又因为上C=∠G,所以△CB△6E 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 ∠BEP=135°. Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 2BC=5, ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= ∠C,所以△BPE∽△CFP. 因为△4CD~△BCE,所以品所以4D= 所 (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， AC=空所以AB=AC= 理由如下： 3 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB.因 =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC△ACB,所以AD:AC= △BPE∽△PFE. AC:AB,所以AC=AB·AD. 第7期4版 (2)因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.因为∠DAC= 重点集训营 ∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为∠AFD=∠CFE,所以 △AFD∽△CFE 1.D:22或号 18I)证明：因为号-能-长所以△ABC一△4DE, 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)因为△ACE兰△ABF,所以AE=AF,∠CAE= ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 ∠B,因为A=A0·AB,4C=AB,所以5-提即号- ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 ∠EBC=∠BAD=21° 长所以△4ACE∽△40 (3)证明由(1)知∠BAD=∠C4E因为光-长所以光 第8期2版 23.3.3相似三角形的性质 =是所以△MBD△ACE 基础训练1.C;2.A;3.A; 3 中考数学华东师大第6~9期 46:516:630 第8期3版 能力提高7.因为DE∥AB,所以∠A=∠CED,因为∠A 题号 1234 5678 答案CA CBBBDA =∠EDF,所以∠CED=∠EDF,所以DF∥AC,所以△BDF 一△BCA,所以Am=( 二、9.10； 10.3；11.22；12.3:13.2;14. 2 SABCA BC 为铝子所以 三、15.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB= 因为 BD BC=BD+CD= ，所以兰 SABCA CD,AB∥CD,所以∠B=∠HCE,因为点E为BC边的中点，所 （822=去因为S=0,所以Sm=8 以BE=EC, 因为∠AEB=∠HEC,所以△ABE≌△HCE,所以AB= 同理可证得△CDE∽△CB,所以2二=(0：=号， CH,所以DC=CH,因为G为DF的中点，所以CG是△DFH的 SABCA BC 中位线，所以CG∥EH,因为DF⊥AE,所以CG⊥DF 所以SACDE=18,所以四边形AFDE的面积为SAc-S△BmF- 16.因为A0⊥OE,且BF⊥DF,所以△AOD∽△BFD, S△cDE=24. 23.3.4相似三角形的应用 △A0E~△CPE,所以品=器-8号=1，设0F=,则40 基础训练1.B;2.3.6;3.12. =0D=x+0.7, 能力提高4.由题意得，AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,EF 又因为△40E一△GFE,所以品华即吗- 2.8+x2.8 =GH=1.5m,EG=8m,ED=2m,CG=3m,因为∠FDE= 解得x=5.6,经检验x=5.6是原方程的解，所以A0=x+0.7 ∠ADB,∠C=∠C,所以△ABD△FED,△ABC△HGC,所 =6.3m 嘴品悠瓷 答：0A的高度是6.3m 因为EF=G=15m,所品=品因为BD=B比+ 17.(I)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, DE =2+BE,BC BE EG+CG =3+8+BE =11+BE, △E△4wc,所器-器器-所以器-器又 所以E=E解得E=16m,则BD=E+DE= 3 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN=EN 16+2=18(m), (2)因为DE∥Bc,所以器=8%=号.因为DE∥BC, 因为品-铝所以哈-品解得B=13.5m 所以△D0E△C0B,所=-8=号 答：该龙形雕像的高度为13.5m. 因为DE∥BC,所以△M0E△MBC,所以=（瓷 23.4中位线 基础训练1.C;2.D:3.B:4.142;5.3. 25,设5A0E=4x(x>0),则SA4t=25x,因为四边形BCED 4 能力提高6.(1)H是OE的中点. 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以SB=50, 证明：取AD中点M,连结OM,因为四边形ABCD是矩形 18.(I)因为AD∥A'D',所以∠PAD=∠PA'D',∠PDA= 对角线AC,BD交于点O,所以点O是AC的中点， 乙Pm所以△PD一△PO,所以品=品所以号- 因为点M是AD的中点，所以CD∥OM,OM= P-30,解得PM=180,所以灯泡离地面的高度PM为 PM AB=3=DE,所以∠M0H=∠DEH因为∠0M= 180cm ∠EHD,所以△OHM≌△EHD,所以OH=EH,即H是OE的中 (2)设横向影子A'B,DC的长度和为xcm,同理可得 点 △PD△PD,所以治-微即0”=器解得x (2)连结OF,因为点M是AD的中点，所以AM= 12cm,所以横向影子A'B,D'C的长度和为12cm 2,所以FM=FA+AM=4, 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC,因 因为OM∥CD,所以∠FMO=∠ADC=90°，所以FO= 为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=18O°-∠BGF,因为∠AGB= FM+MO=5,因为点G是EF的中点，点H是OE的中点， 18O°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG=∠MBA,所 以△BAG∽△BMA 所以GH=之0=多 5 (2)连结CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 4 中考数学华东师大第6~9期 CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 能力提高6.(1)如图2所示，△MBN即为所求. CB =CD. 又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥BC,所 以C1上BC由)得品一能所以BG·BM=AB.所以 BG·BM=BC.所以EC=BC B元=BM 图2 图3 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC△BCM.所以 (2)如图3所示，△BDE即为所求，此时△ABC∽△EBD, ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 相似比为√2. 23.6.1用坐标确定位置 以∠ADG=∠EBG,∠DAG=∠BEG,所以△ADG△EBG, 基础训练1.D;2.D;3.C; 所u%-瓷 4.(北偏东40°，35海里)；5.(5,150°)；6.(3,120). 由题意，得AD∥CE,AD=CE,所以四边形ACED是平行 7.根据图象可得，湖心亭(2,5)，望春亭(3,2)，牡丹亭(8， 四边形，所以AC∥DE,所以∠AFG=∠EDG,∠FAG= 6),东门(9,3)，游乐园(7,1). ∠D5c所以△46rAc0.所%=能所以%-形 23.6.2图形的变换与坐标 DG' 基础训练1.A;2.D;3.(4,-3)；41:3;5.9. 所以DG2=FG·BG. 6.(1)图略. (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, (2)图略. 所以DH=DC=2AB=7,AD=CE=24 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△AB2C2的周长比是 1:2. 在Rt△ADH中，AF=AD2+Df,所以AH=7+24 能力提高7.(1)(-5,6). =25,所以AE=50. (2)当△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单 因为△ADG~△EBC,所以架=提=子，所以AG= 位长度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F 2CE,所以AG=号4E=9,所以Gh=AH-AG=亭 的坐标是(4，-1)； 当△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长 第8期4版 度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F的坐 重点集训营 标是(5，-5).故填(4，-1)或(5，-5) 1.40;2.32 (3)若平移方式为：向上平移1个单位长度，向右平移3个 2 单位长度，则点Q(0,y+1),分别过点Q,B作x轴，y轴的平行 3.(1)因为E,F分别为线段OA,OD的中点，所以OE= 线，两平行线交于点H,则BH=y+2,QH=4, 01.,0F=0D.即EF为△A0D的中位线，所以EF=4D 因为S△BN=S△m观-SABm-S△H0P,所以5= 2×(y+ =6,因为四边形ABCD为矩形，所以AC=BD,OA=OC,OD= OB,所以OD=OA=16,所以OE=OF=8,所以△OEF的周 2)×4-分×(y+2)×1-分×4×1，解得y=弩，因为号 长为0E+0F+EF=22. <3,所以点P的坐标是(-3号： (2)证明：由(1)可知，EF=2AD,且EF∥AD,因为四边 若平移方式为：向下平移3个单位长度，向右平移4个单位 形ABCD的对角线交于点O,所以点O为BD的中点，又因为G 长度，则点Q(1,y-3),分别过点Q,B作y轴的平行线，再过点 为边AB的中点，所以OG为△ABD的中位线，所以OG= P作x轴的平行线，三条平行线交于点M,N,则BM=y+1,QW 之4D.0c∥AD,所以EF∥0c,BF=0G,所以四边形0PEG =3,NP=4,PM=1,MN=5, 是平行四边形 因为Sa叫=S#形mw-S6BP-SA0,所以5=Y+)+3 2 第9期2版 23.5位似图形 ×5-号×(g+1)x1-方x3x4,解得y=子，因为子< 基础训练 1c,2.:3.C,41:2:5 3,所以点P的坐标是(-3，子) 中考数学华东师大第6~9期 所以点P的坐标为(-3，弩)或(-3，子》。 al×3=号，所以a=3或a=5, 第9期3版 所以点P的坐标为(3,0)或(5,0). 题号1234 567 8 20.(1)因为(a+b-6)2+√6-a-2=0,所以 [+6-6=0所以0=2 所以A(0,2),B(4,2), 0.(2,4:.(54；2多或 b-a-2=0, 1b=4, 二、9.2车3号； 将点A,B分别向下平移2个单位长度，再向左平移1个单 17,2:14号 位长度，分别得到点A,B的对应点C,D,所以C(-1,0),D(3, 0) 三、15.略. 16.(1)如图4所示，△ABC1即为折求. 因为AB∥CD,AB=CD=4,所以SaBm=2×CD×OA (2)如图4所示，△AB,C2即为所求. =4. (2)因为△BMD的面积是△BCD面积的子，所以△BMD 的面积=子×4=5， 当点M在x轴正半轴上时，设点M(m,0),所以S△D=2 012345678910x 图4 ×DM×A0=5,所以DM=5,且点D(3,0),所以点M(8,0)或 17.(1)建立平面直角坐标系略.坐标为：点A(-3,-1), 点M(-2,0)(舍去)； 点B(-2,0),点E(1,3),点F(2,4) 当点M在y轴正半轴上时，设点M(0,n),点M在线段OA (2)0.3×(8+7)×2=9(平方米). 上时，因为S△wD=S梯形4ODB-S△Aw-S△OD=5,所以 答：地毯要9平方米. 3+到2-宁x3xa-分×4x(2-)=5,所以m=4(含 2 1&()因为△4BC与△DEF的相似比为1：2，所以祭= 去).当点M在线段OA的延长线上时，因为S△BwD=S梯形ODB+ 3,所以DF=2AC=4 5am-56n=5,所以8+9x2+分×4xa-2)-号 2 (2)因为∠0=22°，∠ABC=38°，所以∠0CB=180°- ×3×n=5,所以n=4,所以M(0,4). 22°-38°=120° 综上所述，当点M(0,4)或(8,0)时，△BMD的面积是 4BC与△DEF位似，点0为位似中心 △BCD面积的子 器 第9期4版 EE 重点集训营 所以△OBC∽△OEF,所以∠OFE=∠OCB=120°. 19.（1)图略，顶点A的坐标为(0,3). 1.(2m,2m:2.(3,0. (2)△ABG的面积=4×4-分×2x4-号×2×1 3.(1)图略. (2)(-4,-6) 7×4×3=5 (3)6×4-7×4x4-方×2×2-7×2×6=8 (3)设点P的坐标为(a,0),由(1)得点C1的坐标为(4， 所以△ABC1的面积为8. 0),则CP=14-a1, 因为以A,G,P为顶点的三角形面积为子，所以？×4- —6