第7期 23.3.1 相似三角形 23.3.2 相似三角形的判定-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

中考数学华东师大第6~9期 线理柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学华东师大第6~9期 第6期2版 6.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 23.1.1成比例线段 9=孚或=号解得4=4或：=1所以当M,N运动4。 基础训练1.D;2.D;3.B; 或1s能使矩形CFVM与矩形AEFD相似. 4.2;5.3；6.6. 能力提高7.(1)证明：因为∠BAD的平分线交BC于点 7.△ABC是直角三角形，理由：设44=6十3=c+8= 3 2 4 E,所以∠BAE=∠EAF.因为四边形ABCD是平行四边形，所 k,则a=3k-4,b=2k-3.c=4h-8. 以AD∥BC.所以∠EAF=∠AEB.所以∠BAE=∠AEB.所以 因为a+b+c=12,所以3k-4+2k-3+4-8=12, AB=BE.同理AB=AF.所以BE=AF.因为AD∥BC,所以四 所以k=3,所以a=5,b=3,c=4,所以62+c2=32+42= 边形ABEF是平行四边形.因为AB=BE,所以四边形ABEF是 25=a2,所以△ABC是直角三角形 菱形. 能力提高8.(1)BD=12. (2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，所以AB=BE=EF (2)根据题意可设AD=x,则BD=5x,所以AB=6x. =FA.又因为四边形CDFE是平行四边形，所以FD=CE,EF 因为点C把线段AB分为2：3的两段，所以4C=号4B =CD,所以AB=BE=EF=FA=CD. 设FD=CE=x,因为四边形ABCD是平行四边形，且AD 号所以cD=AC-0=号-=子 =BC=4,所以AF=BE=CD=EF=4-x,因为□ABCD∽ 因为CD=7,所以了=7，解得x=5.所以4B=6x=30, 口6C0P,所以是-号即。=4：整理得-12x+16 =0,解得x=6±25，因为x<4,所以x=6-25,所以AF 23.1.2平行线分线段成比例 =4-6+25=25-2. 基础训练1.D:2.B:3.2;4.6;5. 3 第6期3版 6.证明：因为口ABCD,所以AB∥CD,AD∥BC,所以CS EF 题号12345678 答案BBCD CD BB 器-年所u紫-乐即c=·6R =9了；10.8：11.18：12号或-2 能力提高7.（①）因为AD∥BE∥CF,所以5=E= AC DF 13.51.2;14.22. 号，所以70=号.所以E=4,所以nF-DE+5F=4 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= +10=14 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB (2)因为点G是DE的中点4D∥E,0G=3,所% =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 16.(1)因为(a+b):(b+c):(c+a)=7:14:9,设a %=宁所以01=6，因为A0∥BE∥CP,所以盟-能 +b=7k,b+c=14h,c+a=9k,则a+b+c=15k,所以a= 所以品=号，所以PH=15 k,b=6k,c=8k,所以a:b:c=1:6:8. 23.2相似图形 (2,驶的值为-品 基础训练1.C:2.D:3.5 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 2；46； 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 5.2y=3x或3y-2x=10. 以BE=BC 中考数学华东师大第6~9期 (2)A北=BC理由：因为D∥BP,所以S-能因为DF ×( CD BD )= AP AD =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC. 第6期4版 18.(1)过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF 重点集训营 所以C=BD,因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC,所以 AGF=DC' 1:2 9 BG=GF, a 4.26. 因为DG∥CP,所气-品因为E为AD的中点，所以 第7期2版 AE=ED,所以AF=FG=BG,所以A 1 23.3.1相似三角形 BF=2 基础训练1.C；2.A；3.12;4.2√13 (2)过点D作DH∥CF,交AB于点H.因为DH∥CF,所 能力提高5.(1)因为AB∥CD,所以△ABE∽△DCE, 嘴=畿 所以荒-提=吕=子又因为B∥R,所以器=荒= 因为瓷=士，所以品=太，所以FH=MF,由)知m 3 =BH,所以BH=FH=kMF,所以BF=2AF,所以S AF BF 2kAF (②)因为cD∥E,所以△BEF~△BCD,所品-品， 1 二2水 又因为C0=15,器=子所以EP=CD影-15×2子3 2 19.(1)如图1，连结BC,设AB=x,由翻折的 6. 性质得，∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF =∠BDF=90°. 23.3.2相似三角形的判定（第一课时） 因为∠ACE=∠ACB+∠ECB=∠BCF= 基础训练1.D;2.B;3.70;4.1.4. ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 能力提高5.(1)作图略. 图1 ∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD=BC= (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= ∠BAC, 2x,所以AD=AB+BD=(√2+1)x,所以EF=CE=AD= (2+I)x,因为DE=AC=AB=x,所以DF=DE+EF=(2 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=∠BAC,所以∠BAD=∠C, 浙和-得a 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD∽△CBA. 23.3.2相似三角形的判定（第二课时） (2)相似.理由：由(1)知：A5纸长边为A4纸短边，长为 基础训练1.D;2.C；3.2或8； (万+D,A5纸短边长为兰)：，所以在5纸中，长边 4.(1,4)或(3,4). 能力提高5.(1)证明：因为正方形ABCD,所以∠A= 短边=5+)正=万，所以A4纸与A5纸相似. x ∠D=90°，AB=CD,因为CF=3FD,所以FD=子CD,因为 20.(I)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 6是40的中点，所以能=D=分4D,所以治=需=宁 点，所以点E是4中点，且品所以他=方 所以△ABE∽△DEF. =3 (2)△ABE与△BEF相似，理由：设AB=AD=CD=4a, (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连结BQ,CQ,则四 因为E为边AD的中点，CF=3FD,所以AE=DE=2a,DF= 边形AB0c是平行因边形，所以PM∥B0.PN∥c0,所以出 a,所以BE=25a,EF=5a,BF=5a,所以BF2=EF2+BE2, =68=6所= 即LBEF=90°，所以∠A=∠BEF=90,因为Ag==2, AE 2a (3)证明：过点D作DE∥Pw交B于，所以是-品 =-22-2,所以是-华所以△4E△EB歇 5a 又因为P∥AC,所以DE∥4C.所以始=忌所以铝-栏 AB AE 23.3.2相似三角形的判定（第三课时） ×铝-品品同理可得之出品所瑞+光治 基础训练1.A;2.C；3.18;4.①③. AB AC AD 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 一2 中考数学华东师大第6~9期 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=5,BC=25, 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC 在△4c和A40D0中，图为品=卓=5%29。 ∠BAE=LBCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE, 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF 5铝-言=5，所以%-8%-装所以△AC~△ACn (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, 5 ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= 第7期3版 ∠ABF.因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 题号12345678 (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 答案C CB C CB BB 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 二9.∠AED=LB(答案不惟-)：10.3；11.丁： 4. △BEF△c6P,所以器-器脚部-8器 12.30°或60°；13.(-4,0)，(-1,0)或(1,0)； 因为∠EFG=∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF 14.4或7. =∠BCF=45°.所以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG, 三、I5.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= ∠BEG=90°，所以BE⊥EG. ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 20.(1)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE, 以∠B=∠C=45.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 又∠DGE=∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又∠ACB= ∠BPE+∠BEP=135°. ∠FEG=90°，所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°， 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 所以∠EAC=∠BEF,所以△AGC∽△EFB. ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= ∠C,所以△BPE∽△CFP. ∠BEC=90°，因为LC=LC,所以△ACD△BCE,所以 CE (2)△BPE∽△CFP.理由如下： -能即光-是又因为上C=∠G,所以△CB△6E 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 ∠BEP=135°. Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 2BC=5, ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= ∠C,所以△BPE∽△CFP. 因为△4CD~△BCE,所以品所以4D= 所 (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， AC=空所以AB=AC= 理由如下： 3 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB.因 =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC△ACB,所以AD:AC= △BPE∽△PFE. AC:AB,所以AC=AB·AD. 第7期4版 (2)因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.因为∠DAC= 重点集训营 ∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为∠AFD=∠CFE,所以 △AFD∽△CFE 1.D:22或号 18I)证明：因为号-能-长所以△ABC一△4DE, 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)因为△ACE兰△ABF,所以AE=AF,∠CAE= ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 ∠B,因为A=A0·AB,4C=AB,所以5-提即号- ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 ∠EBC=∠BAD=21° 长所以△4ACE∽△40 (3)证明由(1)知∠BAD=∠C4E因为光-长所以光 第8期2版 23.3.3相似三角形的性质 =是所以△MBD△ACE 基础训练1.C;2.A;3.A; 3 中考数学华东师大第6~9期 46:516:630 第8期3版 能力提高7.因为DE∥AB,所以∠A=∠CED,因为∠A 题号 1234 5678 答案CA CBBBDA =∠EDF,所以∠CED=∠EDF,所以DF∥AC,所以△BDF 一△BCA,所以Am=( 二、9.10； 10.3；11.22；12.3:13.2;14. 2 SABCA BC 为铝子所以 三、15.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB= 因为 BD BC=BD+CD= ，所以兰 SABCA CD,AB∥CD,所以∠B=∠HCE,因为点E为BC边的中点，所 （822=去因为S=0,所以Sm=8 以BE=EC, 因为∠AEB=∠HEC,所以△ABE≌△HCE,所以AB= 同理可证得△CDE∽△CB,所以2二=(0：=号， CH,所以DC=CH,因为G为DF的中点，所以CG是△DFH的 SABCA BC 中位线，所以CG∥EH,因为DF⊥AE,所以CG⊥DF 所以SACDE=18,所以四边形AFDE的面积为SAc-S△BmF- 16.因为A0⊥OE,且BF⊥DF,所以△AOD∽△BFD, S△cDE=24. 23.3.4相似三角形的应用 △A0E~△CPE,所以品=器-8号=1，设0F=,则40 基础训练1.B;2.3.6;3.12. =0D=x+0.7, 能力提高4.由题意得，AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,EF 又因为△40E一△GFE,所以品华即吗- 2.8+x2.8 =GH=1.5m,EG=8m,ED=2m,CG=3m,因为∠FDE= 解得x=5.6,经检验x=5.6是原方程的解，所以A0=x+0.7 ∠ADB,∠C=∠C,所以△ABD△FED,△ABC△HGC,所 =6.3m 嘴品悠瓷 答：0A的高度是6.3m 因为EF=G=15m,所品=品因为BD=B比+ 17.(I)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, DE =2+BE,BC BE EG+CG =3+8+BE =11+BE, △E△4wc,所器-器器-所以器-器又 所以E=E解得E=16m,则BD=E+DE= 3 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN=EN 16+2=18(m), (2)因为DE∥Bc,所以器=8%=号.因为DE∥BC, 因为品-铝所以哈-品解得B=13.5m 所以△D0E△C0B,所=-8=号 答：该龙形雕像的高度为13.5m. 因为DE∥BC,所以△M0E△MBC,所以=（瓷 23.4中位线 基础训练1.C;2.D:3.B:4.142;5.3. 25,设5A0E=4x(x>0),则SA4t=25x,因为四边形BCED 4 能力提高6.(1)H是OE的中点. 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以SB=50, 证明：取AD中点M,连结OM,因为四边形ABCD是矩形 18.(I)因为AD∥A'D',所以∠PAD=∠PA'D',∠PDA= 对角线AC,BD交于点O,所以点O是AC的中点， 乙Pm所以△PD一△PO,所以品=品所以号- 因为点M是AD的中点，所以CD∥OM,OM= P-30,解得PM=180,所以灯泡离地面的高度PM为 PM AB=3=DE,所以∠M0H=∠DEH因为∠0M= 180cm ∠EHD,所以△OHM≌△EHD,所以OH=EH,即H是OE的中 (2)设横向影子A'B,DC的长度和为xcm,同理可得 点 △PD△PD,所以治-微即0”=器解得x (2)连结OF,因为点M是AD的中点，所以AM= 12cm,所以横向影子A'B,D'C的长度和为12cm 2,所以FM=FA+AM=4, 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC,因 因为OM∥CD,所以∠FMO=∠ADC=90°，所以FO= 为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=18O°-∠BGF,因为∠AGB= FM+MO=5,因为点G是EF的中点，点H是OE的中点， 18O°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG=∠MBA,所 以△BAG∽△BMA 所以GH=之0=多 5 (2)连结CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 4 中考数学华东师大第6~9期 CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 能力提高6.(1)如图2所示，△MBN即为所求. CB =CD. 又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥BC,所 以C1上BC由)得品一能所以BG·BM=AB.所以 BG·BM=BC.所以EC=BC B元=BM 图2 图3 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC△BCM.所以 (2)如图3所示，△BDE即为所求，此时△ABC∽△EBD, ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 相似比为√2. 23.6.1用坐标确定位置 以∠ADG=∠EBG,∠DAG=∠BEG,所以△ADG△EBG, 基础训练1.D;2.D;3.C; 所u%-瓷 4.(北偏东40°，35海里)；5.(5,150°)；6.(3,120). 由题意，得AD∥CE,AD=CE,所以四边形ACED是平行 7.根据图象可得，湖心亭(2,5)，望春亭(3,2)，牡丹亭(8， 四边形，所以AC∥DE,所以∠AFG=∠EDG,∠FAG= 6),东门(9,3)，游乐园(7,1). ∠D5c所以△46rAc0.所%=能所以%-形 23.6.2图形的变换与坐标 DG' 基础训练1.A;2.D;3.(4,-3)；41:3;5.9. 所以DG2=FG·BG. 6.(1)图略. (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, (2)图略. 所以DH=DC=2AB=7,AD=CE=24 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△AB2C2的周长比是 1:2. 在Rt△ADH中，AF=AD2+Df,所以AH=7+24 能力提高7.(1)(-5,6). =25,所以AE=50. (2)当△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单 因为△ADG~△EBC,所以架=提=子，所以AG= 位长度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F 2CE,所以AG=号4E=9,所以Gh=AH-AG=亭 的坐标是(4，-1)； 当△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长 第8期4版 度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F的坐 重点集训营 标是(5，-5).故填(4，-1)或(5，-5) 1.40;2.32 (3)若平移方式为：向上平移1个单位长度，向右平移3个 2 单位长度，则点Q(0,y+1),分别过点Q,B作x轴，y轴的平行 3.(1)因为E,F分别为线段OA,OD的中点，所以OE= 线，两平行线交于点H,则BH=y+2,QH=4, 01.,0F=0D.即EF为△A0D的中位线，所以EF=4D 因为S△BN=S△m观-SABm-S△H0P,所以5= 2×(y+ =6,因为四边形ABCD为矩形，所以AC=BD,OA=OC,OD= OB,所以OD=OA=16,所以OE=OF=8,所以△OEF的周 2)×4-分×(y+2)×1-分×4×1，解得y=弩，因为号 长为0E+0F+EF=22. <3,所以点P的坐标是(-3号： (2)证明：由(1)可知，EF=2AD,且EF∥AD,因为四边 若平移方式为：向下平移3个单位长度，向右平移4个单位 形ABCD的对角线交于点O,所以点O为BD的中点，又因为G 长度，则点Q(1,y-3),分别过点Q,B作y轴的平行线，再过点 为边AB的中点，所以OG为△ABD的中位线，所以OG= P作x轴的平行线，三条平行线交于点M,N,则BM=y+1,QW 之4D.0c∥AD,所以EF∥0c,BF=0G,所以四边形0PEG =3,NP=4,PM=1,MN=5, 是平行四边形 因为Sa叫=S#形mw-S6BP-SA0,所以5=Y+)+3 2 第9期2版 23.5位似图形 ×5-号×(g+1)x1-方x3x4,解得y=子，因为子< 基础训练 1c,2.:3.C,41:2:5 3,所以点P的坐标是(-3，子) 中考数学华东师大第6~9期 所以点P的坐标为(-3，弩)或(-3，子》。 al×3=号，所以a=3或a=5, 第9期3版 所以点P的坐标为(3,0)或(5,0). 题号1234 567 8 20.(1)因为(a+b-6)2+√6-a-2=0,所以 [+6-6=0所以0=2 所以A(0,2),B(4,2), 0.(2,4:.(54；2多或 b-a-2=0, 1b=4, 二、9.2车3号； 将点A,B分别向下平移2个单位长度，再向左平移1个单 17,2:14号 位长度，分别得到点A,B的对应点C,D,所以C(-1,0),D(3, 0) 三、15.略. 16.(1)如图4所示，△ABC1即为折求. 因为AB∥CD,AB=CD=4,所以SaBm=2×CD×OA (2)如图4所示，△AB,C2即为所求. =4. (2)因为△BMD的面积是△BCD面积的子，所以△BMD 的面积=子×4=5， 当点M在x轴正半轴上时，设点M(m,0),所以S△D=2 012345678910x 图4 ×DM×A0=5,所以DM=5,且点D(3,0),所以点M(8,0)或 17.(1)建立平面直角坐标系略.坐标为：点A(-3,-1), 点M(-2,0)(舍去)； 点B(-2,0),点E(1,3),点F(2,4) 当点M在y轴正半轴上时，设点M(0,n),点M在线段OA (2)0.3×(8+7)×2=9(平方米). 上时，因为S△wD=S梯形4ODB-S△Aw-S△OD=5,所以 答：地毯要9平方米. 3+到2-宁x3xa-分×4x(2-)=5,所以m=4(含 2 1&()因为△4BC与△DEF的相似比为1：2，所以祭= 去).当点M在线段OA的延长线上时，因为S△BwD=S梯形ODB+ 3,所以DF=2AC=4 5am-56n=5,所以8+9x2+分×4xa-2)-号 2 (2)因为∠0=22°，∠ABC=38°，所以∠0CB=180°- ×3×n=5,所以n=4,所以M(0,4). 22°-38°=120° 综上所述，当点M(0,4)或(8,0)时，△BMD的面积是 4BC与△DEF位似，点0为位似中心 △BCD面积的子 器 第9期4版 EE 重点集训营 所以△OBC∽△OEF,所以∠OFE=∠OCB=120°. 19.（1)图略，顶点A的坐标为(0,3). 1.(2m,2m:2.(3,0. (2)△ABG的面积=4×4-分×2x4-号×2×1 3.(1)图略. (2)(-4,-6) 7×4×3=5 (3)6×4-7×4x4-方×2×2-7×2×6=8 (3)设点P的坐标为(a,0),由(1)得点C1的坐标为(4， 所以△ABC1的面积为8. 0),则CP=14-a1, 因为以A,G,P为顶点的三角形面积为子，所以？×4- —64 素养·拓展 数理招 重点精逃 分析已知条件 重点集训营 确定证明方法 1.在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5, ◎山西王 潇 AC=7,将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角 类型1：已知条件涉及平行线 证明：因为CD=CE,所以∠CDE= 形与原三角形不相似的是 例1如图1，在△ABC中 ∠CED,所以∠ADB=∠AEC. ∠DEF=∠B,DE∥BC.求证： 因为2AD=3AE,2BD=3CD, △ADE∽△EFC. 证明：因为DE∥BC,所以 提册器 ∠DEF=∠EFC,△ADE△ABC.因为∠DEF 所以△ABD∽△ACE. =∠B,所以∠EFC=∠B,所以EF∥AB,所以 类型4：已知条件只涉及边 2.将三角形纸片△ABC △EFC∽△ABC,所以△ADE∽△EFC. 例4如图4，在△ABC和△A'B'C'中，点 按如图1的方式折叠，使点B 落在边AC上，记为点B',折 类型2：已知条件只涉及角 例2如图2，在△ABC中 D.D分别是A84g上的点，船- AB,当 痕为EF.已知AB=AC=3, BC=4,若以点B',F,C为顶 AB=AC,点D,E分别在BC,AB 点的三角形与△ABC相似，则BF= 上，且∠BDE=∠CAD,△ADE 0=AC=设时，求证：△A0c一 3.如图2所示，在等腰△ABC中，AB=AC 与△ABD相吗？为什么？ △A'D'C' 图2 点E,F在线段BC上，CE=BF,点Q在线段AB 解：△ADE△ABD,理由如下： 上，且AE=AQ·AB.求证： 因为在△ABC中，AB=AC,所以∠B= (1)∠CAE=∠BAF: ∠C.因为∠ADB=∠C+∠CAD=∠ADE+ (2)△ACE∽△AFQ. ∠BDE,而∠BDE=∠CAD,所以∠ADE=∠C =∠B.因为∠DAE=∠DAE,所以△ADE 图4 △ABD. 类型3：已知条件既有角又有边 证明：因为治-器所以0格 AB 图 例3如图3，在△ABC 因为0-长8所以0e 数理报社试题研究中心 中，CD=CE,2AD=3AE (参考答案见下期) 十”十十十十十 2BD=3CD,求证：△ABD AD △ACE. ='D,所以△ADC∽△A'D'C 第6期2版参考答案 因为AB=BE,所以四边形ABEF是菱形 辅助线 周周练 23.1.1成比例线段 (2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，所以AB=BE 基础训练1.D;2.D;3.B; =EF=FA.又因为四边形CDFE是平行四边形，所以 1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC 4.2;5.3；6.6 FD=CE,EF=CD,所以AB=BE=EF=FA=CD. =BC,在AC上取一点D,在AB上取一点E,使 7.△ABC是直角三角形，理由略 设FD=CE=x,因为四边形ABCD是平行四边形，且AD ∠BDC=∠EDA,过点E作EF⊥BD于点N,交 能力提高8.(1)BD=12. =BC=4,所以AF=BE=CD=EF=4-x.因为 (2)根据题意可设AD=x,则BD=5x,所以AB= CARCD0F.所0即；4：整 BC于点F,若CF=8,AD=I1,则CD的长为 6x.因为点C把线段AB分为2：3的两段，所以AC= 号B=号所以CD=AC-AD=号：-=子因理得子-2x+6=0,解得x=6士25，因为<4 所以x=6-25,所以AF=4-6+25=25-2. 为CD=7,所以气x=7,解得x=5.所以AB=6x=30, 第6期3版参考答案 23.1.2平行线分线段成比例 一、 题号12345678 基础训练1.D;2B:3.2:4.6:5.号 答案BBCDCDBB 1 6.证明：因为口ABCD,所以AB∥CD,AD∥BC,所 二9了：10.8：1.18：12.号或-2： 2.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC,∠D= 90°，BC=CD=12,∠ABE=45°，点E在DC 13.51.2;14.22 上，AE,BC的延长线相交于点F,若AE=10,则 能力提高7.(1)DE=4,DF=14. 三、15.证明略. S△E+S△CEr的值是 (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以 16.(1)因为(a+b):(b+c):(c+a)=7:14: 9,设a+b=7k,b+c=14k,c+a=9k,则a+b+c= p明mS+0w7s 能-8%=分所以0m=6因为4D∥E∥cP.所5品以=66ac,以6：c68 用米▣部x甲米‘盘4x士关四 以路-所以岛号所以H=15 (2)三：地的值为- 5 兴☑堼‘aa‘V业￥x出‘x=O c2 bc 孔‘0I=NW=V辨‘金专&aVV哗aWVV 23.2相似图形 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC= 昏‘NNaV度IOaV韩‘W壬VaT 基础训练1C2.:3号：46： ∠BEC.因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以 Wa&‘V0斗【些部】8t準0Z ∠BCE=∠BEC,所以BE=BC 1适[o旧Ha=H8甲‘a8☑ 5.2y=3x或3y-2x=10. 6.设运动ts能使矩形CFWM与矩形AEFD相似，由 2)AE=BC理由：因为AD/EF,所器-能因为 云aHaV拍毙单苦‘x乙=HaMx 题意得=氵或=》，解得1=4或=1所以当 DF=FC,所以AE=BE.因为BE=BC,所以AE=BC. =0‘I0=H8片=Wa度单 18(0品=2 衅单：单三義群￥‘N士H日TWa M,N运动4s或1s能使矩形CFWM与矩形AEFD相似： 能力提高7.(1)证明：因为∠BAD的平分线交 (2)过点D作DH∥CF,交AB于点H.因为DH∥ ag‘aa=Ha度眉⊥‘Haa7=H7恬 BC于点E,所以∠BAE=∠EAF.因为四边形ABCD是 c所以品品因为品所以品-古所以 影雪，X单钢新本￥阳= aV TV 平行四边形，所以AD∥BC.所以∠EAF=∠AEB.所以 ∠BAE=∠AEB.所以AB=BE.同理AB=AF所以BEFH=MF,由(I)知FH=BH,所以BH=FH=kMF, M‘aHa7∽aav7I婚‘H⊥彩斗阴 =AF.因为AD∥BC,所以四边形ABEF是平行四边形. (下转1,4版中缝) aa卒aTHa/a丹【些許】e【号】 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话 初中数学 0351-5271268 2025年8月14日·星期四 报纸发行质量反馈电话： 7 期总第1151期 华东师大 0351-5271248 数理括 中考 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-207 所以BF=2hMF 1 方法探究 地雷1：忽视对应角 AF 例1 在△ABC和 19.(1)如图，连结 BC,设AB=x,由翻折的 等积式证明策略 △A'B'C'中，∠A=∠A' = 45°，∠B=26°，∠B1 性质得，∠ACF=∠HDF _ O江西王玲 /ACB =HDB/BCF 109°，它们是否相似？ ∠BDF=90 探究发现：如图1，在 ∠CDF,求证：CE·CF=DF·DG 错解：因为∠A = Rt△ABC中，∠BAC=90° 证明：因为∠GFC=∠CFD,∠FCG LA',∠B≠∠B',所以 CD平分∠BCA,作AE⊥CD GF 交BC于点E,垂足为F,作 DE,所以△FCG∽△FDC,所以= △ABC和△A'B'C'不相 似 BG⊥AE,垂足为G.求证： 又因为AC∥DE,所以△FCG∽△DEG,所 刘 剖析：错解是对三角 因为 ∠AE AC2=CF·CD 以G LACB+∠ECB 品即-品m-0为 维 形的对应角概念不清而致 ∠BCF =∠BCE 思路分析：根据比例的基本性质，欲证AC2 AB∥CE,∠ABC=∠BDE,所以∠ECD= 错.在△ABC中，∠A= LECF,∠ECF=45° =CP.CD,只瑞证明-2而相似三角形的 45°，∠B=26°，所以C 所以∠ACB=∠ECF EDC,所以ECED,所以年= EC' 所以 =180°- ∠A-∠B= =45°，所以BC=√2x 对应边成比例，所以只需证明由这四条线段所 CE·CF=DF·DG 109°.所以∠C=∠B'.又 所以BD=BC=Dx, 所以AD=AB+BD 确定的两个三角形相似即可.由线段AC,CF确 二、等积替换 因为∠A=∠A',所以△ABC∽ 八A (2+1)x,所以EF= 定的三角形是△ACF,由线段CD,AC确定的三 例2如图3，已知CE是 正解： CE=AD=(2+1)x 角形是△ACD,根据题意和图形可知这两个三 因为DE=AC=AB Rt△ABC的斜边AB上的高，点 地雷2：忽视对应边 ,所以DF=DE+EF 角形已有两组对应角相等，于是问题得证（同学 P是CE的延长线上任意一点， =(万+2)x,所以 们自己完成证明过程) BG⊥AP.求证：CE2=ED·EP 例2 如图1，在梯形 D 方法归纳：上述证明等积式的方法我们称 ABCD中，AD∥BC,对角线 (2+2)x=万 证明：因为CE是Rt△ABC (2+1)x 之为“三点定形法”，一般步骤是：(1)把等积式 的斜边AB上的高，BG⊥AP,所 AC,BD相交于点O,试说明： △AOB与△DOC是否相似？ 图 (2)相似.理由：由 转化为比例式；(2)观察成比例的四条线段确定 以∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90 (1)知：A5纸长边为A4 可能相似的两个三角形；(3)找出使这两个三角所以∠P=∠DBE. 错解：△AOB∽△DOC.理由：在△AOB与 纸短边，长为(2 1)x,A5纸短边长为 形相似的条件 又因为∠AEP=∠DEB=90°，所以△AEP △D0C中，因为AD∥BC,所以A9=D0 C0=B0 (2,所以在A5 若在步骤(2)中，发现四条线段不在两个三 △DEB,所以AE 角形中，我们可以用相等的量替换其中一个或 DE EB,即AE·EB=DE 又因为∠AOB=∠DOC,所以△AOB △DOC. 纸中，长边：短边 (2+1)达=反，所以 两个量，包括等比替换，等积替换等 EP. 剖析：错解误用了“两边对应成比例且夹 2+2x 变式探究 因为CE是Rt△ABC斜边AB上的高，所以 ∠AEC=∠CEB=90° 2 一、等比替换 角相等的两个三角形是相似三角形”，由于10 O A4纸与A5纸相似 因为∠ACE+∠ECB=90°，∠CAE+∠ACE DO 20.(1)4 例1如图2，在四边形 =90°，所以∠ECB=∠CAE,所以△ACE~ 云，变形得A=,很明显AO与C,DO ABDE中，∠ABC=∠BDE,点C (2)证明：延长AD 与B0不在同一个三角形中，所以不能说明 至点Q,使DQ=AD,连 在边BD上，且AC∥DE,AB∥ △CBR期饶-兰即CR=AB,版 △AOB与△DOC相似， 结BQ,CQ,则四边形 CE,点F在边AC上，连结BF,DF, 又因为AE·EB=DE·EP,所以CE ABQC是平行四边形 正解： 所以PM∥BQ,PN DF交CE于点G.若∠ACE= DE·EP CQ,所以44」 AB P 地雷3：忽视可传递性 A0 题型空间」 AP 例3如图2，锐角三角形 ABC的高CD与BE交于点O,则 (3)证明：过点 D 网格中的相仙三角形 作DE∥PM交AB于E, 图中的相似三角形有 ( ○四川 江明轩 A而又因为 A.3对 B.4对 一、确定相似比 形与由格点A,B,C围成的△ABC相似的是 图1 C.5对 D.6对 PM∥AC,所以DE∥ 例1如图1是一个4×4的 4C,所以-所以 错解：根据“两角对应相等，两三角形相 正方形网格，△ABC与△A,B,C A.①处B.②处C.③处D.④处 似”得到△ABE∽△ACD,△ABE∽△OBD AB AD 都是格点三角形，并且△ABC一 解析：根据网格特点和勾股定理可以求出 △ADC△OEC,△DOB∽△EOC.故选B. 同理可 △A,B,C,则△ABC与△A,B,C 对应三角形的边长，BC=1,AB=√5，AC= 剖析：相似三角形具有可传递性，由△ABE 的相似比是 △OBD和△DOB∽△EOC及△ADC ,所以A, BD 22,DF=42,A.点F与①的距离为2，点D AB AC 解析：由勾股定理，得AC1=1,AB1=2, △OEC,还可得两对相似三角形：△ABE∽ AP 与①的距离为34，与△ABC不相似，故此选 AC=2,AB=2√2，由△ABC∽△ABC1可 △OCE和△DOB∽△DAC 第6期4版参考答案 知，△ABC与△AB,C,的相比=AC:AC,= 项不符合题意；B.点F与②的距离为2，点D与 正解 重点集训营 1是：2 1 AB:AB1=√2：1.故填2：1. ②的距离为25，则25=2=42 =了=22’ 与△ABC 二、识别相似三角形 .4.26 例2在如图2所示的中 相似，故此选项符合题意；C.点F与③的距离为 本周主讲 3 23.3.1相似三角形 (全文完) 国象棋棋盘（各个小正方形 √3，点D与③的距离为5，与△ABC不相似， 23.3.2相似三角形的判定 的边长相等)的格点上有A, 故此选项不符合题意；D.点F与④的距离为 主要内容：本期同学们要了解相似三角 B,C,D,F五点，则能使格点 √17，点D与④的距离为3，与△ABC不相似， 形，掌握相似三角形的判定方法，并能灵活运 D,F与下列格点构成的三角 用 故此选项不符合题意.故选B. 2 素养专练 数理极 3.如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= (1)求证：△ABE∽△DEF; 40°，点D是边AC上的动点（点D不与点A,C重 (2)△ABE与△BEF相似吗？为什么？ 跟踪训练 合)，当∠BDC = 度时，△ABC∽ △BDC. 23.3.1相似三角形 基础训练 1.如图1，△ABC中，DE∥BC,AD=3,DB= 2,则△ADE与△ABC的相比是 ( A.3:2 B.2:3C.3:5 D.5:3 4.如图4，在矩形ABCD中，E是边BC的中 点，连结AE,DF⊥AE于点F.若AB=4,BC=6, 则EF的长为 能力提高 23.3.2相似三角形的判定（第三课时） 5.如图5，在△ABC中，∠BAC=2∠C. (1)在图中作出△ABC的内角平分线AD(要 垦础训练 图1 2.如图2，△ABC中，已知DE∥BC,EF∥ 求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明)； 1.已知△ABC三边长分别是1,2,5，与 AB,老0=了，则BF:BC的值为 (2)求证：△ABD∽△CBA △ABC相似的三角形三边长可能是 () ( A.1:3 A.2,2,6 B.1:2C.2:3D.3:4 89g 3.如图3，△ABC中，CD平分∠ACB交AB于 D,DE∥BC交AC于E,AC=6,DE=4,则BC= 图 c15 9,g 2.如图1，在4×4的正方形网格中，是相似三 角形的是 ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.无法确定 图3 4 4.如图4，在边长为6的正方形ABCD的外 23.3.2相似三角形的判定（第二课时） 侧，作等腰三角形ADE,AE=DE=5,若F为BE 3 的中点，连结AF并延长，与CD相交于点G,则AG 屋配训练 图1 3.已知一个三角形的三边长分别为6cm 的长为 1.如图1，下列条件不能判定△ADB :9cm,7.5cm,另一个三角形的三边长分别为 能刀提高 △ABC的是 12cm,15cm, .cm时，这两个三角形相 A.∠ABD=∠ACB 似 5.如图5，AD,BC相交于点E,AB∥CD∥ B.∠ADB=∠ABC 4.在如图2所示的格点图中有5个格点三角形， EF,B,F,D在一条直线上，AB=10,CD=15. C.AB2=AD·AC 分别是：①△ABC,②△ACD,③△ADE,④△AEF (水器的值： D.AB·BC=AD·DB ⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是 (只填序号) (2)求EF的长 图 2.下列四个三角形中，与如图2中△ABC相 似的是 能刀提高 5.如图3，在平面直角坐标系中，已知A(3, 0),B(0,4),C(4,2),作CD1x轴，垂足为点D B 连结AB,BC,AC.求证：△ABC△ACD. 3.如图3，在△ABC中，AB=8,BC=16,点P 23.3.2相似三角形的判定（第一课时） 是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ 垦础训练 时，△BPO与△BAC相以 1.如图1，在矩形ABCD中，E,F分别是CD BC上的点.若∠AEF=90°，则一定有( 3 2 A.△AEF△ABFB.△ABF∽△ECEF C.△ADE∽△AEFD.△ADE∽△ECF 0 1 图3 4 4.如图4，在已建立直角坐标系的4×4的正 方形方格中，△ABC是格点三角形（三角形的三个 顶点是小正方形的顶点)，若以格点P,A,B为顶 点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P 2.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 的坐标是 AB边的中点，AF⊥CD于点E,交BC边于点F,连 结DF,则图中与△ACE相似的三角形共有 能刀提高 5.如图5，在正方形ABCD中，E是AD的中 数理报社试题研究中心 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 点，点F在CD上，且CF=3FD. (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 17.(10分)如图15，四边形ABCD中，AC平分 ∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°，EA=EC.求证： 同 步) 达 检测题（五 (1)AC2=AB·AD: (2)△AFD∽△CFE. 【检测范围：23.3.1~23.3.2】 (满分：120分) 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.如图7，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 边上，要使△ABC∽△AED(点B与点E对应)，则 题号123 45 67 需要添加的一个条件是 （写出一个 即可). 答案 1.如图1，AB∥CD,AC, 18.(10分)如图16，点B,D,E在一条直线上， BD交于0，B0=7,D0=3,DC =6,则AB长为 ( BE与4C相交于点F8-骺-长 A.10 B.3.5 (1)求证：∠BAD=∠CAE; C.14 D.15 (2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数； 2.如图2，D是△ABC边 图1 (3)连结EC,求证：△ABD∽△ACE. 图8 AB上一点，连结CD,则添加下列条件后，仍不能判 10.如图8，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4, 定△ACD∽△ABC的是 )BC=2,D,E,F分别为BC,AB,AC上的点，若四边 A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB 形DEFC为正方形，则它的边长为 C.AD CD 11.如图9所示，棋盘上有A,B,C三个黑子与 ·AC=BC D.AC2=AD·AB P,Q两个白子，要使△ABC∽△RPQ,则第三个白 子R应放的位置是 (填“甲”“乙”“丙”或 “丁”) 男666.1 19.(12分)如图17-①，点E,F在正方形 图2 网3 ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°. 3.如图3，在口ABCD中，E是AB的中点，EC (1)当BE=BF时，求证：AE=CF: 交BD于点F,那么EF与CF的比是 609 (2)求证：△ABF∽△CEB: A.2:1B.1:2C.1:3 D.3:1 图9 图10 (3)如图17-②，延长BF交CD于点G,连结 4.下列各组图形必相似的是 ( 12.如图10，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠CEG,判断线段BE与EG的关系，并说明理由. A.任意两个等腰三角形 =60°，BC=24,点P是BC边上的动点（点P与点 B.有两边对应成比例，且有一个角对应相等 B,C不重合)，过动点P作PD∥BA交AC于点D 的两个三角形 若△ABC与△DAP相似，则∠APD= C.两边及其中一边上的中线对应成比例的两 13.如图11，在平面直角坐标系中有两点A(4, 个三角形 0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合)，兰 D.两边为4和5的直角三角形与两边为8和点C的坐标为 时，使得△BOC与△AOB 10的直角三角形 相似. 网17 5.在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规 在边AB上确定一点D,使△ACD∽△CBD,根据 作图痕迹判断，下列正确的是 图1 20.(12分)在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角 14.如图12，等边△ABC的边长为6，点D在 板，使45°角的顶点落在点P处，三角板可绕P点 :AC上且DC=2,点E在BC上，连结AE交BD于点 旋转. 6.如图4，在平行四边形ABCD中，点E,F分别F,且∠AFD=60°，若点M是射线BC上一点，当以 (1)如图18-①，当三角板的两边分别交AB, 在边AD,BC上，且EF∥CD,G为边AD延长线上B,D,M为顶点的三角形与△ABF相时，BM的长 AC于点E,F时，求证：△BPE∽△CFP; 点，连结BG,则图中与△ABG相似的三角形有 为 (2)将三角板绕点P旋转到图18-②情形 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 时，三角板的直角顶点交BA的延长线于点E,斜边 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 15.(10分)如图13，在Rt△ABC中，∠ACB= 交AC于点F,则△BPE与△CFP还相似吗（只需 90°，CD⊥AB,垂足为D,E为BC上一点，连结AE 写出结论)？ 作EF⊥AE交AB于F.求证：△AGC∽△EFB. (3)在(2)的条件下，连结EF,则动点P运动 到什么位置时，△BPE与△PFE相似？请说明理 由 图4 图5 7.如图5，在三边都不相等的△ABC的边AB 上有一点D,过点D画一条直线，与三角形的另 边相交所截得的三角形与△ABC相似，这样的直 16.(10分)如图14，AD和BE都是△ABC的 线最多可以画 高，相交于F点，连结DE ( (1)求证：△CAB∽△CDE: A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 H (2)若点D是BC的中点，CE=6cm,BE= 8.如图6，在四边形 8cm,求AB的长 ABCD中，∠A=∠C= 90°，DF∥BC,∠ABC的平 分线BE交DF于点G,GH ⊥DF,点E恰好为DH的 图6 中点，若AE=3,CD=2,则GH的长为( 图1 数理报社试题研究中心 A.1 B.2 C.3 D.4 (参考答案见下期)