第6期 23.1 成比例线段 23.2 相似图形-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

中考数学华东师大第6~9期 线理柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学华东师大第6~9期 第6期2版 6.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 23.1.1成比例线段 9=孚或=号解得4=4或：=1所以当M,N运动4。 基础训练1.D;2.D;3.B; 或1s能使矩形CFVM与矩形AEFD相似. 4.2;5.3；6.6. 能力提高7.(1)证明：因为∠BAD的平分线交BC于点 7.△ABC是直角三角形，理由：设44=6十3=c+8= 3 2 4 E,所以∠BAE=∠EAF.因为四边形ABCD是平行四边形，所 k,则a=3k-4,b=2k-3.c=4h-8. 以AD∥BC.所以∠EAF=∠AEB.所以∠BAE=∠AEB.所以 因为a+b+c=12,所以3k-4+2k-3+4-8=12, AB=BE.同理AB=AF.所以BE=AF.因为AD∥BC,所以四 所以k=3,所以a=5,b=3,c=4,所以62+c2=32+42= 边形ABEF是平行四边形.因为AB=BE,所以四边形ABEF是 25=a2,所以△ABC是直角三角形 菱形. 能力提高8.(1)BD=12. (2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，所以AB=BE=EF (2)根据题意可设AD=x,则BD=5x,所以AB=6x. =FA.又因为四边形CDFE是平行四边形，所以FD=CE,EF 因为点C把线段AB分为2：3的两段，所以4C=号4B =CD,所以AB=BE=EF=FA=CD. 设FD=CE=x,因为四边形ABCD是平行四边形，且AD 号所以cD=AC-0=号-=子 =BC=4,所以AF=BE=CD=EF=4-x,因为□ABCD∽ 因为CD=7,所以了=7，解得x=5.所以4B=6x=30, 口6C0P,所以是-号即。=4：整理得-12x+16 =0,解得x=6±25，因为x<4,所以x=6-25,所以AF 23.1.2平行线分线段成比例 =4-6+25=25-2. 基础训练1.D:2.B:3.2;4.6;5. 3 第6期3版 6.证明：因为口ABCD,所以AB∥CD,AD∥BC,所以CS EF 题号12345678 答案BBCD CD BB 器-年所u紫-乐即c=·6R =9了；10.8：11.18：12号或-2 能力提高7.（①）因为AD∥BE∥CF,所以5=E= AC DF 13.51.2;14.22. 号，所以70=号.所以E=4,所以nF-DE+5F=4 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= +10=14 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB (2)因为点G是DE的中点4D∥E,0G=3,所% =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 16.(1)因为(a+b):(b+c):(c+a)=7:14:9,设a %=宁所以01=6，因为A0∥BE∥CP,所以盟-能 +b=7k,b+c=14h,c+a=9k,则a+b+c=15k,所以a= 所以品=号，所以PH=15 k,b=6k,c=8k,所以a:b:c=1:6:8. 23.2相似图形 (2,驶的值为-品 基础训练1.C:2.D:3.5 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 2；46； 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 5.2y=3x或3y-2x=10. 以BE=BC 中考数学华东师大第6~9期 (2)A北=BC理由：因为D∥BP,所以S-能因为DF ×( CD BD )= AP AD =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC. 第6期4版 18.(1)过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF 重点集训营 所以C=BD,因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC,所以 AGF=DC' 1:2 9 BG=GF, a 4.26. 因为DG∥CP,所气-品因为E为AD的中点，所以 第7期2版 AE=ED,所以AF=FG=BG,所以A 1 23.3.1相似三角形 BF=2 基础训练1.C；2.A；3.12;4.2√13 (2)过点D作DH∥CF,交AB于点H.因为DH∥CF,所 能力提高5.(1)因为AB∥CD,所以△ABE∽△DCE, 嘴=畿 所以荒-提=吕=子又因为B∥R,所以器=荒= 因为瓷=士，所以品=太，所以FH=MF,由)知m 3 =BH,所以BH=FH=kMF,所以BF=2AF,所以S AF BF 2kAF (②)因为cD∥E,所以△BEF~△BCD,所品-品， 1 二2水 又因为C0=15,器=子所以EP=CD影-15×2子3 2 19.(1)如图1，连结BC,设AB=x,由翻折的 6. 性质得，∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF =∠BDF=90°. 23.3.2相似三角形的判定（第一课时） 因为∠ACE=∠ACB+∠ECB=∠BCF= 基础训练1.D;2.B;3.70;4.1.4. ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 能力提高5.(1)作图略. 图1 ∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD=BC= (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= ∠BAC, 2x,所以AD=AB+BD=(√2+1)x,所以EF=CE=AD= (2+I)x,因为DE=AC=AB=x,所以DF=DE+EF=(2 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=∠BAC,所以∠BAD=∠C, 浙和-得a 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD∽△CBA. 23.3.2相似三角形的判定（第二课时） (2)相似.理由：由(1)知：A5纸长边为A4纸短边，长为 基础训练1.D;2.C；3.2或8； (万+D,A5纸短边长为兰)：，所以在5纸中，长边 4.(1,4)或(3,4). 能力提高5.(1)证明：因为正方形ABCD,所以∠A= 短边=5+)正=万，所以A4纸与A5纸相似. x ∠D=90°，AB=CD,因为CF=3FD,所以FD=子CD,因为 20.(I)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 6是40的中点，所以能=D=分4D,所以治=需=宁 点，所以点E是4中点，且品所以他=方 所以△ABE∽△DEF. =3 (2)△ABE与△BEF相似，理由：设AB=AD=CD=4a, (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连结BQ,CQ,则四 因为E为边AD的中点，CF=3FD,所以AE=DE=2a,DF= 边形AB0c是平行因边形，所以PM∥B0.PN∥c0,所以出 a,所以BE=25a,EF=5a,BF=5a,所以BF2=EF2+BE2, =68=6所= 即LBEF=90°，所以∠A=∠BEF=90,因为Ag==2, AE 2a (3)证明：过点D作DE∥Pw交B于，所以是-品 =-22-2,所以是-华所以△4E△EB歇 5a 又因为P∥AC,所以DE∥4C.所以始=忌所以铝-栏 AB AE 23.3.2相似三角形的判定（第三课时） ×铝-品品同理可得之出品所瑞+光治 基础训练1.A;2.C；3.18;4.①③. AB AC AD 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 一2 中考数学华东师大第6~9期 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=5,BC=25, 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC 在△4c和A40D0中，图为品=卓=5%29。 ∠BAE=LBCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE, 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF 5铝-言=5，所以%-8%-装所以△AC~△ACn (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, 5 ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= 第7期3版 ∠ABF.因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 题号12345678 (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 答案C CB C CB BB 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 二9.∠AED=LB(答案不惟-)：10.3；11.丁： 4. △BEF△c6P,所以器-器脚部-8器 12.30°或60°；13.(-4,0)，(-1,0)或(1,0)； 因为∠EFG=∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF 14.4或7. =∠BCF=45°.所以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG, 三、I5.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= ∠BEG=90°，所以BE⊥EG. ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 20.(1)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE, 以∠B=∠C=45.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 又∠DGE=∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又∠ACB= ∠BPE+∠BEP=135°. ∠FEG=90°，所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°， 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 所以∠EAC=∠BEF,所以△AGC∽△EFB. ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= ∠C,所以△BPE∽△CFP. ∠BEC=90°，因为LC=LC,所以△ACD△BCE,所以 CE (2)△BPE∽△CFP.理由如下： -能即光-是又因为上C=∠G,所以△CB△6E 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 ∠BEP=135°. Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 2BC=5, ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= ∠C,所以△BPE∽△CFP. 因为△4CD~△BCE,所以品所以4D= 所 (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， AC=空所以AB=AC= 理由如下： 3 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB.因 =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC△ACB,所以AD:AC= △BPE∽△PFE. AC:AB,所以AC=AB·AD. 第7期4版 (2)因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.因为∠DAC= 重点集训营 ∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为∠AFD=∠CFE,所以 △AFD∽△CFE 1.D:22或号 18I)证明：因为号-能-长所以△ABC一△4DE, 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)因为△ACE兰△ABF,所以AE=AF,∠CAE= ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 ∠B,因为A=A0·AB,4C=AB,所以5-提即号- ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 ∠EBC=∠BAD=21° 长所以△4ACE∽△40 (3)证明由(1)知∠BAD=∠C4E因为光-长所以光 第8期2版 23.3.3相似三角形的性质 =是所以△MBD△ACE 基础训练1.C;2.A;3.A; 3 中考数学华东师大第6~9期 46:516:630 第8期3版 能力提高7.因为DE∥AB,所以∠A=∠CED,因为∠A 题号 1234 5678 答案CA CBBBDA =∠EDF,所以∠CED=∠EDF,所以DF∥AC,所以△BDF 一△BCA,所以Am=( 二、9.10； 10.3；11.22；12.3:13.2;14. 2 SABCA BC 为铝子所以 三、15.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB= 因为 BD BC=BD+CD= ，所以兰 SABCA CD,AB∥CD,所以∠B=∠HCE,因为点E为BC边的中点，所 （822=去因为S=0,所以Sm=8 以BE=EC, 因为∠AEB=∠HEC,所以△ABE≌△HCE,所以AB= 同理可证得△CDE∽△CB,所以2二=(0：=号， CH,所以DC=CH,因为G为DF的中点，所以CG是△DFH的 SABCA BC 中位线，所以CG∥EH,因为DF⊥AE,所以CG⊥DF 所以SACDE=18,所以四边形AFDE的面积为SAc-S△BmF- 16.因为A0⊥OE,且BF⊥DF,所以△AOD∽△BFD, S△cDE=24. 23.3.4相似三角形的应用 △A0E~△CPE,所以品=器-8号=1，设0F=,则40 基础训练1.B;2.3.6;3.12. =0D=x+0.7, 能力提高4.由题意得，AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,EF 又因为△40E一△GFE,所以品华即吗- 2.8+x2.8 =GH=1.5m,EG=8m,ED=2m,CG=3m,因为∠FDE= 解得x=5.6,经检验x=5.6是原方程的解，所以A0=x+0.7 ∠ADB,∠C=∠C,所以△ABD△FED,△ABC△HGC,所 =6.3m 嘴品悠瓷 答：0A的高度是6.3m 因为EF=G=15m,所品=品因为BD=B比+ 17.(I)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, DE =2+BE,BC BE EG+CG =3+8+BE =11+BE, △E△4wc,所器-器器-所以器-器又 所以E=E解得E=16m,则BD=E+DE= 3 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN=EN 16+2=18(m), (2)因为DE∥Bc,所以器=8%=号.因为DE∥BC, 因为品-铝所以哈-品解得B=13.5m 所以△D0E△C0B,所=-8=号 答：该龙形雕像的高度为13.5m. 因为DE∥BC,所以△M0E△MBC,所以=（瓷 23.4中位线 基础训练1.C;2.D:3.B:4.142;5.3. 25,设5A0E=4x(x>0),则SA4t=25x,因为四边形BCED 4 能力提高6.(1)H是OE的中点. 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以SB=50, 证明：取AD中点M,连结OM,因为四边形ABCD是矩形 18.(I)因为AD∥A'D',所以∠PAD=∠PA'D',∠PDA= 对角线AC,BD交于点O,所以点O是AC的中点， 乙Pm所以△PD一△PO,所以品=品所以号- 因为点M是AD的中点，所以CD∥OM,OM= P-30,解得PM=180,所以灯泡离地面的高度PM为 PM AB=3=DE,所以∠M0H=∠DEH因为∠0M= 180cm ∠EHD,所以△OHM≌△EHD,所以OH=EH,即H是OE的中 (2)设横向影子A'B,DC的长度和为xcm,同理可得 点 △PD△PD,所以治-微即0”=器解得x (2)连结OF,因为点M是AD的中点，所以AM= 12cm,所以横向影子A'B,D'C的长度和为12cm 2,所以FM=FA+AM=4, 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC,因 因为OM∥CD,所以∠FMO=∠ADC=90°，所以FO= 为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=18O°-∠BGF,因为∠AGB= FM+MO=5,因为点G是EF的中点，点H是OE的中点， 18O°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG=∠MBA,所 以△BAG∽△BMA 所以GH=之0=多 5 (2)连结CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 4 中考数学华东师大第6~9期 CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 能力提高6.(1)如图2所示，△MBN即为所求. CB =CD. 又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥BC,所 以C1上BC由)得品一能所以BG·BM=AB.所以 BG·BM=BC.所以EC=BC B元=BM 图2 图3 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC△BCM.所以 (2)如图3所示，△BDE即为所求，此时△ABC∽△EBD, ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 相似比为√2. 23.6.1用坐标确定位置 以∠ADG=∠EBG,∠DAG=∠BEG,所以△ADG△EBG, 基础训练1.D;2.D;3.C; 所u%-瓷 4.(北偏东40°，35海里)；5.(5,150°)；6.(3,120). 由题意，得AD∥CE,AD=CE,所以四边形ACED是平行 7.根据图象可得，湖心亭(2,5)，望春亭(3,2)，牡丹亭(8， 四边形，所以AC∥DE,所以∠AFG=∠EDG,∠FAG= 6),东门(9,3)，游乐园(7,1). ∠D5c所以△46rAc0.所%=能所以%-形 23.6.2图形的变换与坐标 DG' 基础训练1.A;2.D;3.(4,-3)；41:3;5.9. 所以DG2=FG·BG. 6.(1)图略. (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, (2)图略. 所以DH=DC=2AB=7,AD=CE=24 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△AB2C2的周长比是 1:2. 在Rt△ADH中，AF=AD2+Df,所以AH=7+24 能力提高7.(1)(-5,6). =25,所以AE=50. (2)当△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单 因为△ADG~△EBC,所以架=提=子，所以AG= 位长度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F 2CE,所以AG=号4E=9,所以Gh=AH-AG=亭 的坐标是(4，-1)； 当△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长 第8期4版 度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F的坐 重点集训营 标是(5，-5).故填(4，-1)或(5，-5) 1.40;2.32 (3)若平移方式为：向上平移1个单位长度，向右平移3个 2 单位长度，则点Q(0,y+1),分别过点Q,B作x轴，y轴的平行 3.(1)因为E,F分别为线段OA,OD的中点，所以OE= 线，两平行线交于点H,则BH=y+2,QH=4, 01.,0F=0D.即EF为△A0D的中位线，所以EF=4D 因为S△BN=S△m观-SABm-S△H0P,所以5= 2×(y+ =6,因为四边形ABCD为矩形，所以AC=BD,OA=OC,OD= OB,所以OD=OA=16,所以OE=OF=8,所以△OEF的周 2)×4-分×(y+2)×1-分×4×1，解得y=弩，因为号 长为0E+0F+EF=22. <3,所以点P的坐标是(-3号： (2)证明：由(1)可知，EF=2AD,且EF∥AD,因为四边 若平移方式为：向下平移3个单位长度，向右平移4个单位 形ABCD的对角线交于点O,所以点O为BD的中点，又因为G 长度，则点Q(1,y-3),分别过点Q,B作y轴的平行线，再过点 为边AB的中点，所以OG为△ABD的中位线，所以OG= P作x轴的平行线，三条平行线交于点M,N,则BM=y+1,QW 之4D.0c∥AD,所以EF∥0c,BF=0G,所以四边形0PEG =3,NP=4,PM=1,MN=5, 是平行四边形 因为Sa叫=S#形mw-S6BP-SA0,所以5=Y+)+3 2 第9期2版 23.5位似图形 ×5-号×(g+1)x1-方x3x4,解得y=子，因为子< 基础训练 1c,2.:3.C,41:2:5 3,所以点P的坐标是(-3，子) 中考数学华东师大第6~9期 所以点P的坐标为(-3，弩)或(-3，子》。 al×3=号，所以a=3或a=5, 第9期3版 所以点P的坐标为(3,0)或(5,0). 题号1234 567 8 20.(1)因为(a+b-6)2+√6-a-2=0,所以 [+6-6=0所以0=2 所以A(0,2),B(4,2), 0.(2,4:.(54；2多或 b-a-2=0, 1b=4, 二、9.2车3号； 将点A,B分别向下平移2个单位长度，再向左平移1个单 17,2:14号 位长度，分别得到点A,B的对应点C,D,所以C(-1,0),D(3, 0) 三、15.略. 16.(1)如图4所示，△ABC1即为折求. 因为AB∥CD,AB=CD=4,所以SaBm=2×CD×OA (2)如图4所示，△AB,C2即为所求. =4. (2)因为△BMD的面积是△BCD面积的子，所以△BMD 的面积=子×4=5， 当点M在x轴正半轴上时，设点M(m,0),所以S△D=2 012345678910x 图4 ×DM×A0=5,所以DM=5,且点D(3,0),所以点M(8,0)或 17.(1)建立平面直角坐标系略.坐标为：点A(-3,-1), 点M(-2,0)(舍去)； 点B(-2,0),点E(1,3),点F(2,4) 当点M在y轴正半轴上时，设点M(0,n),点M在线段OA (2)0.3×(8+7)×2=9(平方米). 上时，因为S△wD=S梯形4ODB-S△Aw-S△OD=5,所以 答：地毯要9平方米. 3+到2-宁x3xa-分×4x(2-)=5,所以m=4(含 2 1&()因为△4BC与△DEF的相似比为1：2，所以祭= 去).当点M在线段OA的延长线上时，因为S△BwD=S梯形ODB+ 3,所以DF=2AC=4 5am-56n=5,所以8+9x2+分×4xa-2)-号 2 (2)因为∠0=22°，∠ABC=38°，所以∠0CB=180°- ×3×n=5,所以n=4,所以M(0,4). 22°-38°=120° 综上所述，当点M(0,4)或(8,0)时，△BMD的面积是 4BC与△DEF位似，点0为位似中心 △BCD面积的子 器 第9期4版 EE 重点集训营 所以△OBC∽△OEF,所以∠OFE=∠OCB=120°. 19.（1)图略，顶点A的坐标为(0,3). 1.(2m,2m:2.(3,0. (2)△ABG的面积=4×4-分×2x4-号×2×1 3.(1)图略. (2)(-4,-6) 7×4×3=5 (3)6×4-7×4x4-方×2×2-7×2×6=8 (3)设点P的坐标为(a,0),由(1)得点C1的坐标为(4， 所以△ABC1的面积为8. 0),则CP=14-a1, 因为以A,G,P为顶点的三角形面积为子，所以？×4- —64 素养·拓展 数理极 知识能理k 详谈平行线分线段成比仍 重点集训营 1.如图1，AC,BD交于点E,AE=1,EC= ⊙江西张明 2,DE=3,当BD= 时，AB可与CD平 一、“口诀”帮你找对应线段 所以BF=120cm.故填120. 行 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截， 二、基本图形帮你学推论 所得的对应线段成比例 1.推论：平行于三角形一边的直线与其他 2.如图1，当1∥12∥1时，都可4D, 两边相交，截得的对应线段成比例. 得品-保由比的性质还可得 2.已知△ABC,DE是截线，上述推论包含 到BC=E.A8-DEAC-Dr Bc 了如图3所示的三种情况，可以简单称为“A”型 AB=DE'AC=DF'AB=DE'AC 图1 和“X”型，上面的口诀同样适用于这些基本图 形 2.如图2，AD是△ABC的中线，E是AD上 =那品- EF 一点，AE=子4D,BE的延长线交AC于点F,则 为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简 上。上下下 单的形象化的语言来表示：卡=卡正=正全 怨的值为 3.如图3，正方形ABCD的 图3 [奎正全尘美：美另外，根锯比 上金 全下下全 边长为6，E为CD边中点，G为 = 例2如图4，在△ABC中， BC边上一点，连结AE,DG,相 例的性质还可待车提-斧-品即满足“ ∠B=∠C=60°，点D为AB边 右 的中点，DE⊥BC于E,若BE= 交于点R老%=专，则FE的 左， ?,则4C的长为 长度是 图3 右 4 4.如图4，以△EBC的边BC 例1一个三层折叠花架如图 解析：作AF⊥BC于点F,因为DE⊥BC于 为边作正方形ABCD,AD与BE 2所示，已知AB∥CD∥EF,AC= 30 cm,CE 50 cm,BD 45 cm, 点E以AF∥DE,房所以0-=因为点D为 CE分别交于点F,G,若BF= CAD EF,AF=1,BC=12,求CE的 则BF的长为 cm. AB边的中点，所以0=E=1,所以BE=EF 长 解析：因为AB∥CD∥EF,所 图 ,又因为AC=30cm, =分因为∠B=∠C=60,所以△MBC为等 图2 边三角形，所以BF=CF=1,所以AC=BC= 数理报社试题研究中心 CE=50em,BD=45cm,所以30+50=BF, 30 45 (参考答案见下期) 2.故填2. (2)设增加y条生产线.根据题意，得(900-30y)(y+1)= 第4期2版参考答案 3900,解得y1=4,2=25 22.2.4一元二次方程根的判别式 答：应该增加4条或25条生产线， 辅助线 基础训练1.C;2.A;3.4;4.四. 18.(1)1:3. 周周练 5.(1)证明：略. （2)猜想：5m=5n-1+5m-2 (2)答案不惟一，如当k=3时，方程为x2+7x=0,解得x1 证明：根据根的定义，得a2--1=0,两边都乘以α-2，得 1.如图1，在矩形ABCD中，点E在AB上 =0,x2=-7. a”-a-1-a-2=0①，同理，B”-B-1-B-2=0②，①+② 且BE=2AE,连结ED,点F为ED的中点，连结 *22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 得(a+B")-(a-l+B-1)-(a-2+B-2)=0, AF,BF,FC,若∠BFC=90°，BF=5,则DE的 基础训练1.A;2.16;3.20. 因为sn=a+B”51=a-1+B-1,5a2=a0-2+B-2, 长为 4.(1)p=-5,9=6. 所以。--1-s2=0,即s。=$1+-2 (2)是+÷的值为-头 19.(1)5. (2)(180-2x). 22.3实践与探索（第一课时） (3)依题意，得AB=AE=xcm,由(2)可知AD=(180 基础训练1.D;2.C;3.25%;4.5 2x)cm,EG=(140-3x)cm,因为矩形ABCD的面积为4000cm2 能力提高5.(1)AB的长为12m或4m 所以AB·AD=4000,即x(180-2x)=4000,整理得x2-90x (2)羊的活动范围的面积不能为130m2.理由：依题意，得x(32 +200=0,解得x1=40,2=50,当x=40时，EG=140-3 图1 图2 -2x)-1=130,整理得22-32x+131=0,因为4=(-32)2-×40=20(cm),因为EG的高度不小于18cm,所以x=40符合 2.如图2，四边形ABCD是菱形，点E是CD 4×2×131=-24<0,所以方程无实数解，所以羊的活动范围题意.当x=50时，EG=140-3×50=-10(cm),不合题意， 的中点，连结AE,将△ADE沿AE折叠得 的面积不能为130m2 舍去.所以x的值为40. △AFE,连结BD,分别交AF于点M,交AE于点 22.3实践与探索（第二课时） 20.(1)2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2 N.若AF⊥CD于点G,MN=√2，则AN的长度 基础训练1.B;2.C;3.63;4.19 (2)△PBQ的面积不能等于10cm2,理由：设AP=xcm,则 为 能力提高5.(1)y=10x+100 PB=(6-x)cm,BQ=2xcm,根据题意，得2×2x(6-)= (2)该商品的销售单价是38元时，商家每天获利1760元 (3)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=3000,整理得 10.整理，得x2-6x+10=0.因为4=(-6)2-4×1×10= 头w甲型名 x2-10x+100=0,因为4=(-10)2-4×1×100=-300< -4<0,所以方程没有实数根，所以△PBQ的面积不能等 NW 0,所以方程无实数解，所以商家每天的获利不能达到3000元. 10cm2. W0=vO乙=NOz=NH张其三， 第4期3版参考答案 (3)号，后，PQ的长度等于6cm 厚金NHQV恬采‘张（卫头OWHO 处d田用联‘处，三厚金头WOV☑用影 一、 题号12345678 第4期4版参考答案 单围，9丛等单堡御书‘H学 答案AADD DBBC 重点集训营 N卒‘形垂用WWO学‘HWI‘O早 二9.-6：106：1.6>-且k≠0：126 1.1-2;2.9；3.(1)48；(2)2.4.5. 录‘0学⊥I8辛O州早县【兰群】￡乙 5.(1)平均下降率为20% 口媚插面 13.4;14.①②③. 兴☑興电‘☒P￥关4H彩四中张 三、15.(1)m的取值范围为m≤1. (2)设单价应降低)元，由题意，得(166-y-128)(20+之 料‘O&兴部☑斯电‘OH=Ha口面 (2)m=-4. ×4)=1144,解得y1=16,3=12.因为要尽快减少库存，所以 兴4H彩巧渐本‘H学上O8彩 16.小圆形场地的半径为(6+62)m y=16. 垂阴Oa4学丹【兰群】L/乙【号】 17.(1)该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%. 答：单价应降低16元 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 数评橘 2025年8月7日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 6期总第1150期 华东师大 0351-5271248 中考 第5期综合评估卷 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-207 参考答案 -、1.C;2.B;3.D 万法探究 例1 如图1，四边形 4.A;5.C;6.D:7.A; ABCD∽四边形GFEH,点 8.A;9.C;10.B:11.A A,B,C,D分别与点G,F 相 12.A 比例求值 二13.4；14.0（答 四绝招 E,H对应，且∠A=∠G 不惟一，k≥0即可)； 堂 15.4;168. ◎四川 顾 媛 =70°，∠B=60°，∠E= 三、17.(1)x1=7,x 绝招一、运用比例的性质 120°，DC=24,HE=18, 1 对已知的等式，利用比例的性质进行变形 解析：设号 b HG=21.求∠D,∠F的 (2)y1=-3,y2 =k,则a=3k,b=5k, 进而求出所求式子的值， 大小和AD的长 a+6的值为( 所以3a 3×3k 9k 山西 故 18.每人每周能够号 例1 a+26=3+2×5= 13k 13 召10人加人“志愿服务 B.2 9 杨冰凯 多边形的 13 19.(1)证明略 图1 （2}m=4. C.2 D.3 绝招三、代入消元法 20.(1)全天包车数的 在求一个比例式的值时，可根据已知等式， 解：因为四边形 月平均增长率为60%. 解法-：因为分=2，所以。= b (2)当租金降价 用其中一个字母表示其他字母，并代人所求的 ABCD∽四边形GFEH, 70元时，公司将获利 比例式中，约去这个字母，即可求出其值 ∠B=60°，∠E=120° 识别与应用 800元. 所以∠C=∠E= 21.原方程的解为x 所以 a+6= 3 ,故选A 例3若x:y:g=1:2:3,则2+产的值 y-z 120°，∠F=∠B=60°. =2=-1. 四、22.4或-2： 因为∠A=∠G=709 23.5:24.1:25.5 解析：因为x:y=1:2,所以y=2x 所以∠D=110°. 五、26.(1)销售量y与 解法二：因为号=，所以=2，所以 因为x:z=1:3,所以z=3x, 每干克降价x的函数关系式 因为四边形ABCD∽四边形GFEH 为y=15x+30. +1=2+1=3,所以+b=3,所以 a +b 所器 =-5.故填-5. (2)405元. 所器-品所装-兴 (3)饼干的销售价应 定为每千克24元 3 .故选A 绝招四、特殊值法 解得AD=28. 27.(1)①不是 绝招二、等比设值法 例4 若号 b = 方程”：②是“差1方程” 4 =，则 所以∠D=110°，∠F=60°，AD=28. C 对于有等比条件求比值的题目，可设比值为 例2如图2，在四边 (2)m=0或-2. (3)由题可得4= k,用含k的式子来表示未知数，然后将其代入所 解析：取a=3,b=4,c=5,易知a,b,c满 形ABCD的边AB上任取 4a×1=b2-4a≥0，所 求式中求值即可. 足已知条件， 点O(不与点A,B重合)，连 以解方程得x -b±B-4a.因为关 结OC,OD,分别取OA,0B 例2 2a 已知号 5,则 3a 3-4 a +2b 的值为 所以原式= .故填 5 0C,OD的中点A',B',C 于x的方程ax2+bx+1 D',连结A'D',D'C',CB 0(a,b是常数，a>0)是 题型空 差1方程”， 所以 四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相吗？为什 -b+-4a 么？ 解：四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD -b-02-4a =1,所以 特殊矩形求相似 理由：因为A',D'是OA,OD的中点， 2a =a2+4a.因为t=10d -b2,所以t=6a ○河南李彦英 m2 所以AD∥AD,4'D=AD, (a-3)2 +9≤9.听以i 特殊矩形一：对折后与原矩形相似 特殊矩形二：截去一个矩形后与原矩形相 的最大值为9. 例1如图1，一般书本 似 所以A'D' 2 28.(1)(4a2-200a+ AD 400 的纸张是原纸张多次对开 例2 如图2，在矩形 (2)此时通道的宽为 得到的，矩形ABCD沿EF对 时开 同理SD=BC=4g ABCD中，点E,F分别在边 BC AB 5米 开后，再把矩形EFCD沿MN (3)当a=10时，花圃 BC,AD上，沿FE截去矩形 面积为800平方米，所以花 对开，依此类推，若各种开 所以SD ABEF后，得到的矩形ECDF CD BC AB AD =2, 圃面积最少为800平方米 因为A'D'∥AD,所以∠OA'D'=∠OAD 根据图象可设y= mx,y. 本的矩形都相似，那么铝等丁 与原矩形ABCD相似，且矩 图2 ∠OD'A'=∠ODA. =x+b,将点(1200 形ABCD的面积是矩形ECDF面积的3倍，若AB 48000)代人y1得1200m 同理∠OD'C' =∠ODC,∠OC'D' =48000,解得m=40,所 A.0.618 2 C.2 D.2 =4,则矩形ABCD的面积为 ∠OCD,∠OC'B' ∠OCB,∠OB'C' 以 =40x,将点(800 48000),(1200,62000) 解析：设AB=a,AD=b, 解析：因为AB=4,所以CD=AB=4. ∠OBC,所以∠A'D'C'=∠ADC,∠D'CB'= 代人2并解得2=35 因为S矩形cD=3S矩形ECDF, ∠DCB, 20000.因为花圃面积为 42-200a+2400,所 根据折叠的性质可得4北：分 所以AD=3DF. 所以四边形A'B'CD'四边形ABCD 道面积为2400-(4a2 因为矩形AEFB∽矩形ABCD, 因为矩形ABCD∽矩形DFEC, 200a+2400)= 200a,所以35(4a2 -200 所以器=品即 AD 本周主讲 2 400)+20000 DF=4 40(-4a +200a) b 所以3DF2=16, 105920,解得a1=2,a2 23.1成比例线段 48(舍去). 所以2=，即= 答：通道宽为2米时 a 解得DP=45 23.2相似图形 3 修建的通道和花圃的总造 2 价为105920元. a 所以AD=3x4 主要内容：本期同学们要了解成比例线 =43 段、平行线分线段成比例，以及相似图形的判 a 1 所以S矩形cD=AB·AD=4×45=165 并能运用相似图形解决实际问题， 故选C. 故填165 2 素养专练 数理极 23.1.2平行线分线段成比例 23.2相似图形 跟踪训练 屋础训练 垦础训练 1.如图1，，∥2∥4，两条直线与这三条平 1.下列多边形一定相似的是 () 23.1.1成比例线段 行线分别交于点A,B,C和D,E,F,已知AB=3 A.两个等腰三角形 B.两个平行四边形 BC=2, C.两个正五边形 D.两个六边形 堡础训练 若DF=10,则DE的长为 2.如图1，四边形ABCD和EFGH相似，则a和 1.已知3a=4b(a≠0，b≠0)，下列变形正确 A.2 B.3 C.5 D.6 x的大小分别为 ( 的是 ( A.75°，30 B.75°，33 a A.=4 B. b C.80°，30 D.80°，33 3=4 c D异=台 A 22 D a 图1 图2 2.已知a,d,b,c依次成比例线段，其中a= 2.如图2，DE∥FG∥BC,若EG=3CG,则 1635°802 BD与BF之间的数量关系是 3cm,b=4cm,c=6cm,则d的值为（ 图1 图2 A.8 cm B.3 cm A.BD =3BF B.BD =4BF 3.如图2，将一张□ABCD(AD<AB<2AD) C.BD-3BF D.BD 2BF 纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形ADEH,在 C.4 cm n号m 余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去 3.在△ABC中，点D,E分别在边BA,CA的延 个菱形FECG,若剪去两个菱形后所剩下的 b三 3已知，4。a+。a÷6=点，则函数y 长线上，若AD:AB=1:2,AC=4,那么当DE∥ 口FHBG∽口ABCD,则口ABCD的相邻两边AD与 BC时，AE= AB的此值是 x+k的图象必经过 4.如图3，练习本中的横格线都平行，且相邻 4.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思 A.第一、二象限 B.第二、三象限 两条横格线间的距离都相等，若AB=2cm,则线 绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于 C.第三、四象限 D.第一、四象限 段BC= cm. 二月花.”如图3是两片形状相同的枫叶图案，则x 4.在比例尺为1：100000的地图上，A,B两地 的值为 的距离为2cm,那么A,B两地的实际距离为 km. 5.已知26+c=2c+4=-2a+b=m,且a+ a b b+c≠0，则m= 图3 网4 cm 12 cm 6.已知a,6c三条线段满足号=分=号 5.作业本中有一道题：“如图4，在△ABC中， 图3 图4 点D为AC的中点，点E在BC上，且BE=3CE, 5.如图4，矩形相框的外框矩形的长为 2,若b+d+∫=3，则a+c+e的值为 AE,BD交于点F,求AF:EF的值”，小明解决时碰 12dm,宽为8dm,上下边框的宽度都为xdm,左 7.已知a,b,c是△ABC的三边，且满足4十4 到了困难，哥哥提示他过点E作EG∥BD,交AC 右边框的宽度都为ydm.若内边框矩形和外边框 3 于点G.最后小明求解正确，则AF:EF的值为 矩形相以，则x,y应符合的条件是 =b号-8，若a+6+c=12试判断ABC 6.如图5，在矩形ABCD中，AB=12,BC= 2 6.如图5，已知口ABCD,点E是BA延长线上 16,E,F分别是AB,CD上的点，且AE=DF=8, 的形状，并说明理由. 一点，CE与AD,BD分别相交于点G,F.求证：CF 两动点M,N都以2cm/s的速度分别从C,F两点 =EF·GF 沿CB,FE向B,E两点运动，判断当M,N运动多长 时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明 你的结论 能刀提高 能刀提高 能刀提高 7.如图6，已知AD∥BE∥CF,它们依次交直 8.点C,点D是线段AB上任意两点， 线l1,l2,3于点A,B,C和点D,E,F和点Q,H,P,l2 7.如图6，在□ABCD中，∠BAD的平分线交 (1)如图1，若点D是线段BC的中点，AD= BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F 18,AC=6,求线段BD的长； 与相胶于n的中点c若授=号 (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，若点C把线段AB分为2：3的两 (1)如果EF=10,求DE,DF的长； (2)若口ABCD∽□ECDF,且AD=4,求AE 段(AC<BC),点D分线段AB为1：5的两段(AD (2)如果QG=3,求PH的长， 的长 <BD),DC=7,求线段AB的长 AD八 B XG H I /P 图6 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 ● 17.(10分)如图9，在四边形ABCD中，点E,F 分别在边AB,CD上，连结EC,EF,EC平分 同 步 检测题（四 ∠FEB,EF∥BC (1)求证：EB=BC; (2)若AD∥EF,DF=FC,请判断AE与BC 【检测范围：23.1~23.2】 的大小关系，并说明理由 (满分：120分) 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 9.已知5x=7(y≠0)，则时 题号12345678 10.五线谱是一种记谱法，通过 在五根等距离的平行横线上标以不 答案 同时值的音符及其他记号来记载音 1.下列每组图形是相以图形的为 乐.如图5，A,B,C为直线与五线谱 横线相交的三个点，若AC=12,则 O一☆☆□▣ AB的长为 图5 18.(10分)如图10，AD是△ABC的中线 11.已知两个相似多边形的相似比为3：4，且 (1)若E为AD的中点，射线CE交AB于点F 它们的周长之差是6，则较小的多边形的周长是 2.在比例尺为1：36000的某市旅游地图上， CBE 某条道路的长为5cm,则这条道路的实际长度为 2a 2b 12.已知+e+aFa+c+aa+6+d (2)若E为AD上-点，且品=射线CE交 A.0.18km B.1.8 km 2d C.18 km D.180 km a+b+c =k,则k=」 AB于点P,求器 3.如图1，某位同学用带 13.如图6所示，在长为10，宽为8的矩形中， 有刻度的直尺在数轴上作 截去一个矩形（图中阴影部分），若矩形ABCD 图，若PQ∥MW,点Q,点M 矩形FCDE,那么截去矩形的面积是 在直尺上，且分别与直尺上 的刻度1和3对齐，在数轴上 10 点N表示的数是10，则点P 表示的数是 B.3 D.5 图6 图7 19.(12分)如图11-①，将A4纸进行2次折 4.如果x:y=1:2,那么下列各式中不一定成 14.如图7是一张矩形纸片ABCD,点E为AD叠后，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图 立的是 中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A,B的11-②，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为 A.七+y=3 对应点分别为A',B',A'E与BC相交于点G,B'A'的 二，沿折痕剪开，可得2张A5纸. 1 B. y 延长线证点C省器=子，鼎的查为 (1)求A4纸较长边与较短边的比： D.+1.2 (2)A4纸与A5纸是否为相以图形？请说明理 y+i=3 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 5.已知成比例的四条线段的长度分别为 15.(10分)如图8，点E是菱形ABCD对角线 6cm,12cm,xcm,8cm,且△ABC的三边长分别 CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱 为xcm,3cm,5cm,则△ABC是 形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,连结EB A.等边三角形 B.等腰直角三角形 GD,求证：GD=EB. C.直角三角形 D.无法判定 6.如图2，D是△ABC的边AB的中点，过点D 作BC的平行线交AC于点E,连结BE,过点D作 BE的平行线交AC于点F,若EF=1,则AC的长为 A.1 B.2 C.3 D.4 20.(12分)如图12，在△ABC中，点D为BC 上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于 点M,作PN∥AB交AC于点N. (1)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:1,求 AM:AB的值； 图2 图3 16.(10分)已知(a+b):(b+c):(c+a)= 7.如图3，矩形EFGH的四个J顶点分别在菱形7：14：9，求： (2)若点D是BC的中点，试证明光-0 ABCD的四条边上，BE=BF.将△AEH,△CFG分 (1)a:b:c的值； 别沿边EH,FG折叠，当重叠部分与菱形ABCD相 (2),光的临 (3)若点D是BC上任意一点，试证明A+4公 AB AC 似阻相似比为1：4时，器的值为 AP AD A. c D.4 8.如图4，已知正方形 A ABCD的边长为a,延长BC到 点E,使CE=BC,取CD的中 点F,连结DE,BF,DE与BF B 的延长线相交于点G,则BG 图4 的长为 c D26 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)