第3期 22.1 一元二次方程-22.2.3 公式法-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

素养·拓展H 数理招 (5)2=2x-1: 题型空间 重点集训喜 公式法解方程 1.解方程： 三点要记牢 (1)x2+2x-4=0: ⊙广西曲冰 6)-1= 一、分清a,b,c的符号 例1解方程：x2+3x-1=0. 解：因为4=1，b=3,c=-1, 所以2-4ac=32-4×1×(-1)=13, (2)3x2+3x-1=0: 所以x=二6±-4e。二3±压 2a 2 解得x1=3+3 2 ,南=-3、g 2 2.已知关于x的方程(k-1)x2+2kx-1= 二、将方程化为一般形式 0.请为k取一个正整数值，使得该方程是一元二 例2解方程：3x(x-1)-2=2x. (3)x(x+2)=8; 次方程，并解这个方程. 解：方程整理为3x2-5x-2=0, 所以4=3，b=-5,c=-2, 所以x=-b±公-4e_5±7 2a 6 1 解得x1=2,x2=-3 (4)(2x-1)2=x(3x+3); 三、b2-4a心≥0的方程才有实数根 例3解方程：2x2+3x+5=0. 解：因为a=2,b=3,c=5, 数理报社试题研究中心 所以2-4c=32-4×2×5=-31<0, (参考答案见下期) 所以方程没有实数根 十十十“十十十 十十+十十+十十…十…十十十…十十十…十”十”十 第2期2版参考答案 19.因为万-万(2-)D+D b a(2+1) 21.3二次根式的加减 基础训练1.D;2.C;3.C;4.25;5.18. a+a-经6=a-E+a3-2. 辅助线 周周练 6.(1)2;(2)6:(318+62 又因为a,6都是正整数，所以a-6=-2,a=3. 1.如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD= 解得b=10. 6,点E为边BC上的动点，连结AE,过点E作EF ()厄-号万=25-号×35=25-5 2+1 =5 20.因为a万-(2-1)（万+1 =2+1,1AE,且EF=AE,连结CF,则线段CF长度的 最小值为 所以a-1=2. (2)淇淇的说法正确，理由如下： 所以(a-1)2=2.所以a2-2a=1. 反-2层号万+6=25-2×9司 所以4a2-8a-3=4(a2-2a)-3=4×1-3=1 ×35+√6=25-6-3+6=5， 21.(山 所以x=5 图 图2 因为4⑧=45，所以x的值能与√48合并， 325 2.如图2，正方形ABCD的边长为22，点E 所以淇淇的说法正确. 所以54万=名 是AB边上的一个动点，点F是CD边上的一个 重点集训营 所以“口”内的符号为“÷” 动点，且AE=CF,过点B作BG⊥EF于点G, (1)-6;(2)22;(3)102;(4)2-5: 故填÷ 连结AG,则AG长的最小值为 (5)-122;(6)-1+26:(7)5-36. (3)因为9<1，厄>1，万>1， 恤帽 第2期3,4版综合评估卷参考答案 劓智莫1‘兰关三阴：，三郡部的‘HV 所以“口”内依次填入“+”“×”计算所得结果最大， 暴‘H学中明a0连‘a0TV0日‘0学可 一、 9厄×V万-45=号+25×3545= 3 荡qama8录学中明3V音0学‘HOaV 题号123456789101112 答案DCBCABACDADB 18、15 处项d本度散‘0学学明Ha与O 3 ‘Ova)‘V买【兰群】I-7 =、l13.x≥-3；140.2ab:15.；162b-2 四，2：2a65:2M26,253 /智具4D‘HyTd0示‘gTy形 三、17.(1)原式=4-6+26=4+√6. 尹H学用型采‘9=QV=O8‘b=&V= 五，2五(1)数对(5,4)的一对“对称数对为5,2) (2)原式=4-x2+x2-3x-1=3-3x aO加甲‘b=8V=Ya拍单 与(2,5 张其三毙专出YXH早灵‘。S=OY17 当x=2+1时， 到‘y学一难丁Da尹‘L☑买‘☑8=L8 上式=3-3(2+1)=3-32-3=-32. (2)因为数对(3，)的一对“对称数对”的两个数对相 到‘L学一雄丁Va尹【些群】砂1【孝是】 18.要铺完整个通道，则购买地砖需要花费1680元 同， (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 数评橘 2025年7月17日·星期四 初中数学 3期总第1147期 华东师大 中考 (上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F)邮发代号：21-207 所以1 3 重点精讲 对于二次三项式x2+px+q,如果能够把常 .解得y=子 巧用根的定义求值 数项g分解成两个因数a,b的积，并且a+b等 于一次项系数p,那么它就可以分解因式，即x (3)根据题意，得 ■■■ +px+q=x2+(a+b)x+ab =(x+a)(x+ =5,6=35或 ©广东江墨轩 b). 若ax品+bx0+c=0,则xo是一元二次方程 例3关于x的一元二次方程ar2-bx+ 当g>0时，g分解的因数a,b同号，且a,b =35,W6=√5 a ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根；反之，若是526=0有一个根为x=20,则方程a(x-2)2- 符号与p符号相同，如x2+14x+45=(x+ 1 所以a= 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个b(x-2)+526=0必有一根为 5)(x+9),x2-9x+14=(x-2)(x-7). 当q<0时，9分解的因数a,b异号，且其中绝 27或a=27,6=3. 根，则可得ax+bx。+c=0.这就是一元二次方 解析：令x-2=t,则at2-bt+526=0,因 所以ab=9或ab 程根的定义，利用一元二次方程根的定义解题为方程ax2-bx+526=0有一个根为x=20, 对值较大的因数符号与p符号相同，如x2-7x-60 是中考的常见考点 则方程a2-bt+526=0必有一根为t=20,所 =(x-12)(x+5),x2+x-72=(x-8)(x+9) 例题呈现 以a(x-2)2-b(x-2)+526=0有一根为x- 思维拓展 27.(1)3. (2)根据题意，得 例1已知x=-1是一元二次方程(a-2=20,解得x=22.故填x=22 3-a1+a-71=4. 2)x2-(a2-3)x-a+1=0的一个根，则a的 变式训练 探秘十字相乘法 当a<3时，3-a>0 值为 1.若x=1是一元二次方程x2+mx-1= -7<0,所以(3-a) ◎山东李小洁 +(7-a)=10-2a= 解析：将x=-1代入(a-2)x2-(a2-3)x0的一个解，则m的值为 一般地，(a1x+c)(a2x+c)=a1a2t 4,解得a=3(舍去)；当 a+1=0,得(a-2)+(a2-3)-a+1=0, 2.已知实数a是关于x的一元二次方程x2 3≤a≤7时，3-a≤0 a c2x++c c=a azx+(a c +azc)x a-7≤0，所以(a-3) 整理得a2-4=0,解得a=±2.因为a-2≠0， -3x-1=0的根，则a2-3a+3的值为 +(7-a)=4;当a>7 所以a≠2，所以a=-2.故填-2. 反过来，就得到a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+ 时，3-a<0,a-7>0 例2已知m是一元二次方程x2-3x+2= 3.若关于x的一元二次方程ax2-bx=c(a( 所以(a-3)+(a-7)》 C1C2=(a1x+c1)(a2x+c2). =2a-10=4,解得a 0的一个根，则代数式2m2-6m+2025的值为 ≠0)的一个实数根为2025，则方程cx2+bx= 我们发现，二次项ax2分解成axa2t,常数项 =7(舍去) a(ac≠0) 定有实数根x= c分解成c1C2,并且把a1x,a2x,c1,c2排列如下： 综上所述，a的取 值范围是3≤a≤7. 解析：因为m是一元二次方程x2-3x+2 /c1 28.(1)4;-4. 0的一个根，所以m2-3m+2=0,即m2-3m= (2)当a>0时，因 -2,所以2m2-6m+2025=2(m2-3m)+ C2 为3a+4a+5=3a+ :耄号引恤平杀 2025=2021.故填2021 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 -3a+3a+4 5 a1xc2+a2xc1,如果它们正好等于aax2+bx+c的 a 名师课堂 -次项bx,那么ax2+bx+c就可以分解成(ax =3(√a- 配方法微课堂 +G)(ax+c2),其中ax,G1位于上图的上 D 215 行，2x,92位于下一行. 所以当√a 四川 白清浅 像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮 配方法是解一元二次方程的基本方法，也 3)开方：根据平方根的意义，直接开平方 助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫 3a 是解决代数中有关二次式最值问题的常用方法得到两个一元一次方程，从而达到“降次”的目 做十字相乘法 即a= 5时 一般地，我们也可以用这种方法解一元二 3 之一.配方是通过“加上”并且“减去”相同的的，由此可得x-2=3或x-2=-5; 3a2+4a+5的最小值 项，把代数式中的某些项配成完全平方式，达到 (4)求解：解两个一元一次方程，得x1=2 次方程，请看下面的例题。 巧解的目的.下面就让我们走进一元二次方程 例用十字相乘法解下列方程： 是4+2√15. +5,x2=2-5. (3)设S△os为a, 的解法，一起来体会配方法的无限魅力吧！ (1)x2+6x-7=0; 温馨提示：(1)如果方程的二次项系数不是 (2)2x2-5x-3=0. 因为S△Aon:S△AoE 一、配方法的基本思路 1,要先利用等式的基本性质将其化为1； =OD:0B=S△c 用配方法解一元二次方程的基本思路是将(2)若一个方程完成配方后，方程右边的常 解：(1)x2+6x-7=0: S△C0 所以2：a=SAcm 方程转化为(x+m)2=n的形式，然后利用开平 数项是负数，这说明原方程在实数范围内无解。 /7 3,所以San=6 方达到降次的目的.当n≥0时，根据平方根的 练习：用配方法解一元二次方程：3x2-6x+ 2=0. 1 所以四边形ABCD 意义可求出它的根为x=-m±√n 因为-x+7x=6x,所以(x+7)(x-1)= 的面积为2+3+a+ 二、配方法的步骤 答案：x1= 3-√3 3+5 ,X2 0,解得x1=1,x2=-7. =(a+8)+5=( 如果方程的二次项系数是1，且一次项系数 (2)2x2-5x-3=0. 是2的整数倍，比如x2-4x+1=0,那么一般可 本周主讲 )2+5+26. a 按以下步骤解方程： 因为a>0,所以当 (1)移项：使方程的左边为含有未知数的项 22.1一元二次方程 -3 =√即a=6 22.2.1直接开平方法和因式分解法 因为2x×(-3)+x=-6x+x=-5x,所 (即二次项与一次项)，右边为不含未知数的项 时，四边形ABCD的面 (即常数项)，得x2-4x=-1; 22.2.2配方法 以(2x+1)(x-3)=0,解得=-2=3. 积的最小值为5+26. (2)配方：在方程的两边都加上一次项系数 (全文完) 22.2.3公式法 通过上面的例题，可以将十字相乘法解一 半的平方，把方程左边写成完全平方的形式， 元二次方程分为以下步骤：(1)竖分二次项与 主要内容：本期需掌握一元二次方程的定 即2-4+(-子)2=-1+(-)，(x-2) 常数项；(2)交叉相乘，积相加；(3)检验确定， 义，学会运用不同的方法解一元二次方程， 横写结果。 =3; 拆两头，凑中间，拆分常数项，验证一次项 2 素养专练 数理极 (3)2x2-22x+1=0. 方.例如：选取二次项和一次项配方：x2-4x+2= (x2-4x+4-4)+2=(x-2)2-2. 跟踪训练 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】将代数式配方：x2-4x+9= 22.1一元二次方程 (2)【类比应用】已知x2+y2+4x-6y+13= 厚础训练 能刀提高 0,求(-y)x的值； 1.下列方程中，是一元二次方程的是（ 6.由多项式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+ (3)【知识拓展】求当x,y为何值时，代数式 b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得到“十字 5x2-4xy+2+6x+25取得最小值？最小值为多 Ax2+3x=1 x B.2y-x=1 相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab 少？ C.x2=3x-1 D.x2-x3+2=0 =(x+a)(x+b).示例：分解因式：x2+5x+6= 2.若关于x的一元二次方程(m+1)x2+2x+ x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). m2-1=0的常数项为0，则m的值为（ (1)尝试：分解因式：x2+6x+8=(x+ A.±1B.1 C.-1D.0 )(x+ 3.若m是方程2x2+3x-2=0的根，则式子 (2)应用：请用上述方法解方程：x2-5x-6= 4m2+6m+2025的值为 Q 4.已知关于x的方程2x2-mx+n=0的根是 -1和3，则m-n= 5.今年4月份，某零售公司实现月纯利润为 22.2.3公式法 5万元，第二季度就突破到纯利润为23万元.若该 公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为 垦础训练 x,根据题意，可列方程为 1.用求根公式解一元二次方程3x2-2x=1 6.关于x的一元二次方程a(x2+1)+10(x+ 时，a,b,c的值是 () 2)+c=0化为一般形式后为6x2+10x-1=0. 22.2.2配方法 A.a=3,b=-1,c=-2 求a,c的值. B.a=3,b=-2,c=1 垦恐训练 C.a=3,b=-2,c=-1 1.将一元二次方程x2-6x-5=0配方后可 D.a=3,b=2,c=1 得方程为 ( 2若x=6±36,4×2×-3】是一元 A.(x+3)2=7 B.(x-3)2=7 2×2 C.(x-3)2=14 D.(x+3)2=14 二次方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c的值 22.2.1直接开平方法和因式分解法 2.现定义一种运算nc 多 =ad-bc,例如： b d A.5 B.7 C.-5D.-7 113 =1×4-2×3.若：1-x 3.嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2- 垦出训练 =5,则x的 24 1x-2 6x+口=0.若“口”表示一个数字，且一元二次方 1.解这个方程x(2x+3)-3(2x+3)=0最 值为 ( 程x2-6x+口=0有实数根，则“口”的最大值为 简单的方法是 A.2或-3 B.-2或3 ,此时方程的解为」 A.公式法 B.因式分解法 C.1或-6 D.-1或6 4.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2 C.配方法 D.直接开平方法 3.如果一元二次方程x2-4x+k=0经配方 的积，求得的答案比正确答案小1，则正数α的值 2.一元二次方程x2=1的解为 为 ( 后，得到(x-2)2=1,那么k的值为 A.x1=x2=1 4.若将一元二次方程x2-6x-2=0化成(x 5.解方程： B.x1=1,x2=-1 (1)x2-5x=-2: C.x=0 D.无实数根 +m)2+n=0的形式，则2m-n的值为 3.已知关于x的一元二次方程(x+1)2=m 5.解方程： 可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 (1)x2-6x=-7; 4.在实数范围内定义运算“*”和“△”，其规 (2)(x-2)2=6x; 则为a*6=d+,a△6=空则方程2= x△8的解为 (2)2x2+1=3x; 5.解方程： (1)(x+3)2-25=0; (3)72-3x-1=0 (3)x2-25x-4=0. (2)x2-x-12=0: 能刀提高 6.阅读材料：选取二次三项式ax2+bx+c(a 数理报社试题研究中心 ≠0)中的前两项，配成完全平方式的过程叫配 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 18.(10分)阅读下列材料，然后完成相应任 同 步 达 务 检测题（二 方程x2-4x-1=0两边同时除以x(x≠0)，得x -4-1=0,即x- =4 x 【检测范围：22.1-22.2.3】 因为(x-上)2=+ 的长是一元二次方程x2-17x+60=0的一个实数 x t2, (满分：120分) 根，则该三角形的周长是 所以x+ 兰=(-+2=18 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 14.已知关于x的一元二次方程aa2-2(a- 【任务】 题号12345 678 1)x+a-2=0(a>0),设方程的两个实数根分别 答案 为为x1,(其中x1>x),若y是关于a的函数，且 (1)已知方程x2-3x-1=0,则x-1= y=x1-a2,当y>0时，a的取值范围为 1.将一元二次方程5x2-1=4x化为一般形式 (2)若m是方程3x2-7x+3=0的根，求m2 后二次项系数为5，常数项为-1，则一次项系数为 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） ( 15.（12分)解方程： +的值 A.5 B.-4C.4 D.-1 (1)x2-6x+1=0: 2.用配方法解方程x2-4x=3时，方程两边应 同时 A.加上2 B.减去2 C.加上4 D.减去4 (2)x(x-3)=3-x; 3.关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的 个解为x=-1,则3a-3b+18的值为( 19.（10分)小明在解一元二次方程时，发现有 A.15 B.21 C.1 D.-1 这样一种解法，如：解方程x(x+4)=6. 4.能使方程x2-x=2成立的x的值为( (32r=7+1. 解：原方程可变形，得[(x+2)-2][(x+2) A.0 B.1 C.2 D.3 +2]=6,即(x+2)2-22=6,移项得(x+2)2= 5.《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问 10,直接开平方并整理，得x1=-2+√0，x2= 题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十 -2-10. 步.问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平 方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？若设长为 16.(10分)小明同学 一元二次方程x2-8x 我们称小明这种解法为“平均数法”。 x步，则可列方程为 ( -1=0的过程如下： (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+ A.x(x-12)=864B.x(x+12)=864 解：x2-8x=1,① 5)(x+9)=5时写的解题过程. C.(2x+12)2=864D.(2x-12)2=864 x2-8x+16=1,② 解：原方程可变形，得[(x+a)-b][(x+a) 6.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+ (x-4)2=1,③ +b]=5,即(x+a)2-b2=5,移项得(x+a)2= m2-3m+2=0的一个根为0，则一次函数y=(m x-4=±1，④ 5+2,直接开平方并整理，得x1=c,x2=d. -3)x+m+5的图象经过 ( x1=5,x2=3.⑤ 上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为 A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限 (1)他的求解过程从第】 步开始出错 C.第一、二、四象限D.第一、三、四象限 误； (2)请用“平均数法”解方程：(x-5)(x+7) =12. 7.对于两个不相等的实数a,b,我们规定 (2)请用正确的方法帮小明解这个方程 maxa,b}表示a,b中较大的数，如max{1,2=2. 若已知maxx2,x2-4x=9,则x的值为( A.3或-3 B.2+√3或2-3 C.-3或2+√3 D.3或2-13 8.如果a是一元二次方程x2-x=1的一个 17.(10分)定义：如果关于x的一元二次方程 20.(12分)材料：为解方程x4-x2-6=0,可 根，则代数赋-+2a+2025的值为（)a2+:+c=0a≠0)满足6=a+c,那么我们设=，于是原方程可化为y2,y-6=0,解得 A.2022B.2023C.2024D.2025 称这个方程为“完美方程” y1=-2,y2=3.当y=-2时，x2=-2不合题意 二、细心填一填（每小题4分，共24分） (1)下面方程是“完美方程”的是 舍去；当y=3时，x2=3,解得x1=5,x3=-5, 9.若方程(m-1)x21-x-2=0是关于x的 (填序号)； 故原方程的根为：x1=5,x2=-√5. 一元二次方程，则m= ①x2-4x+3=0:②2x2+x+3=0:③2x2 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： 10.若方程2x2-4x-10=0能配成(ax+p)2 x-3=0. (1)(x2+x)2+2(x2+x)-8=0; =9的形式，则直线y=px+q不经过第 (2)已知3x2+mx+n=0是关于x的“完美 象限 方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值， 2222=3 x 11.王老师在批改作业时发现，一位同学在用 配方法解一元二次方程时，配方后等号右边的数 字不小心被墨水污染了如下：(x-1)2=■.若该 方程的一个根为x=3,则另一个根为= 12.若关于x的方程(x+h)2+k=0(h,k均为 常数)的解是x=-3,2=2,则关于x的方程(x +h-3)2+k=0的解是 数理报社试题研究中心 13.一个三角形的两边长分别是8和7，第三边 (参考答案见下期)中考数学华东师大第1~5期 发理柄 答案详解 2025~2026学年中考数学华东师大 第1~5期 =3; 第1期2版 21.1二次根式 基础训练1.B;2.B;3.D;4.B;5.一 (3)原式=-号√÷ a 6.(1)26;(2)2-5;(3)3x-10. 能力提高7.因为a为正数， 2 所以23-a<23. 因为√23-a为正整数， 子瓜 所以√23-a<√23. 因为4<23<5， 5.(1)②. 所以√23-a的最大值为4. 此时23-a=16,即a=7. 21.2.1二次根式的乘法：21.2.2积的算术平方根 基础训练1.D:2.C;3.D:4.166;5.16;6.32. 第1期3版 5 9 7.(1)原式=√3×25×3 题号12345678 答案ADA BDBDB 9 =N√25 =97；10.6;1L-8:235;13.214.205 三15原式=√x(~√)×√g×6 3 (②)原式=√0×含×号 3 3856 112 =42; (3)原式=35×6万×5 、4 8 3； =4 (2)原式-3万× 2×22 =-1353 =6×22 4 =122; 21.2.3二次根式的除法 基霜训练1：2B:3245 (3)原式=2万×4×÷5 2 =8÷5 4.(1)原式=5×5×5 5×5 V225 5 16()号 中考数学华东师大第1~5期 /641 =2; 3 81 =: (2)原式=√6 1 17.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高 (3)原式=√6÷2×3 为√2cm, =√6×2×3 所以长方体的长、宽分别为42cm,32cm =6. 所以这个长方体的体积为：4√2×32×2= 第2期2版 24√2(cm3). 21.3二次根式的加减 (2)根据题意，得E0=H0=√24=26cm,G0=F0= 基础训练 1.D;2.C;3.C;4.25;5.18. 15cm. 所以留下部分的总面积为：2×√5×2= 6)原武3万+竖号"2 12√10(cm2). 18原式=1+片宁+1+分-宁)+1+写 (2)原式=(26+号》-（停-） 子)+…+(1+2024-2025) =26+号吾+6 =36; =1×2024+1-2025 (3)原式=2+9+62-(2-9) =202438器 =2+9+62+7 =18+62. 19√5 7.)D-万=25-5×35=25-5=5 、125 (2)淇淇的说法正确，理由如下： n (2)规律√n+ 2-1=n n(n为正整数，n≥2). 厄-2月号万+6-25-2x号×35 Vn2-1 +6=25-6-5+6=5, 证明：√n+ n n(n2-1)+n n n2-1 n2-1 Wn2-1 所以x=5. n 因为√48=45， n√n- 所以x的值能与√4⑧合并， 20.(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2. 所以淇淇的说法正确. 所以x-3<0.所以原式=3-x-(2-x)=1. 重点集训营 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0. (1)-6;(2)22;(3)102;(4)2-5; 所以原式=-a-(a+b)-(b-a)=-a-2b. (5)-122;(6)-1+26;(7)5-36. (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, b-a-c<0,c-b-a<0. 第2期3,4版综合评估卷 所以原式=a+b+c-(a-b-c)-(b-a-c)-(c- b-a)=a+b+c-a+b+c-b +a+c-c+b+a=2a+ 题号123456789101112 答案DCBCABAC DADB 2b+2c. 第1期4版 二、1=-3,14.02a;15；1626-2c 重点集训营 三、17.(1)原式=4-6+26=4+√6. (2)原式=4-x2+x2-3x-1=3-3x (①原式=√6× 当x=2+1时， =4 上式=3-3(2+1)=3-32-3=-32. 2 中考数学华东师大第1一5期 18.√128×√50-2×（√13+1）×（√13-1）=80- 解得=了 2×12=56(平方米)， 则56×30=1680（元）， (3)根据题意，得上=5，万=35或二=35，B= a 所以要铺完整个通道，则购买地砖需要花费1680元. 5 以周清万言面 所以a= 了b=7或a=76=3 a-=a)2+a=3-20 所以ah=9或b=寸 又因为a,b都是正整数， 27.(1)3. 所以a-=-2a=3 (2)根据题意，得13-a1+1a-71=4. 当a<3时，3-a>0,a-7<0, 解得b=10. 所以(3-a)+(7-a)=10-2a=4, 1 20.因为a= 2+1 万-i(n-)+1) =2+1, 解得a=3(舍去)； 当3≤a≤7时，3-a≤0，a-7≤0， 所以a-1=2. 所以(a-3)+(7-a)=4; 所以(a-1)2=2. 当a>7时，3-a<0,a-7>0, 所以a2-2a=1. 所以(a-3)+(a-7）=2a-10=4, 所以4a2-8a-3=4(a2-2a)-3=4×1-3=1. 解得a=7(舍去). 2.(1)原武式=×25-354 综上所述，a的取值范围是3≤a≤7. =2-4 28.(1)当a>0时，因为a+4=(a)2-2·后.2+ a a 26是=664， a /a @周为。反后：号方3方 所以当石一后即。2时0+告的最小省为： 2 所以号4后=令 当a<0时，因为a+子=-(a-名. a 所以“☐”内的符号为“÷” ua(@-22。+产合” 故填÷ a (3)因为停<1反>1，历>1 所以-(-a-4)=-(/a-2)2-4≤-4， 所以“口”内依次填入“+”“×”计算所得结果最大， a 则号+应×历-45=9+25×35-45=18 所以当网名。即。-2时a+÷的最人值为 -113 -4. 3 故填4；-4. 四223.66：242：253 (2)当a>0时，因为30+4a+5=3a+4+三=3(a+ 五26（1)根据题意，得云=分存=2 名+4=3后-√g+4+2压， 所以数对(25,4)的一对“对称数对”为（写，2）与(2， 所以当后=V盒即a=5时，女+5的装小值 3 是4+2√1 (3)设S△oB为a, (2)因为数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同， 因为S△4op:S△AOB=OD:OB=S△com:S△coB, 6 所以2：a=Sacm:3,所以SAcoD= a 一3 中考数学华东师大第1~5期 所以四边形ABCD的面积为2+3+a+6=(a+6)+ 即当x=-3,y=-6时，(2x-y)2+(x+3)2+16=16, 此时5x2-4y+y2+6x+25取得最小值，最小值为16. 5=(a-√a 6)2+5+26. 22.2.3公式法 因为a>0, 基础训练1.C;2.D;3.9,x1=x2=3;4.1+2. 所以当a=√a ,即a=石时，四边形ABCD的面积的 %-3+2亚k=5-厘 2 (2)x1=5+√2I,x2=5-√2I; 最小值为5+26 (3)x1=3+√T,2=3-I. 第3期2版 第3期3版 22.1一元二次方程 一、 题号12345678 答案BCBC AC DC 基础训练1.C;2.B；3.2029；4.10; 5.5+5(1+x)+5(1+x)2=23. 二、9.-1；10.三；11.-1；12.x1=0,x2=5; 6.因为a(x2+1)+10(x+2)+c=0, 13.20或27；14.0<a<3. 所以ax2+10x+a+c+20=0. 三、15.(1)x1=3+22,x2=3-22; 因为一元二次方程a(x2+1)+10(x+2)+c=0化为一 (2)x1=-1,x2=3; 般形式后为6x2+10x-1=0, (3)x1=1+33 8 26=1-33 8 所以a=6,a+c+20=-1, 16.(1)他的求解过程从第②步开始出现错误 所以c=-27. 故填②， 22.2.1直接开平方法和因式分解法 (2)x2-8x=1,x2-8x+42=1+42,(x-4)2=17,x- 基础训练1.B;2.B;3.m≥0；4.x1=x2=2. 4=±7， 5.(1)x1=2,x2=-8; (2)x1=4,x2=-3; 解得x1=4+√17,2=4-7. 17.(1)③. =%多 (2)因为3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”， 能力提高6.(1)2；4. 所以m=3+n, (2)x1=-1,x2=6. 所以n=m-3, 22.2.2配方法 所以原方程为3x2+mx+m-3=0. 基础训练1.C;2.B;3.3;4.5. 因为m是此“完美方程”的一个根， 5.(1)x1=3+2,x2=3-√2； 所以3m2+m2+m-3=0, 1 (2)x1=1,2=25 即4m+m-3=0解得m=-1或m=子 18.(1)方程x2-3x-1=0两边同时除以x(x≠0)，得x (3)x1=5+3,x2=5-3. 能力提高6.(1)依题意，x2-4x+9=x2-4x+4+5= -3-1=0, (x-2)2+5. 所以x-1=3. 故填(x-2)2+5. 故填3. (2)因为x2+y2+4x-6y+13=0, (2)因为m是方程3x2-7x+3=0的根， 所以配方得x2+4x+4+y2-6y+9-4-9+13=0, 所以3m2-7m+3=0, 即(x+2)2+(y-3)2=0, 所以x=-2,y=3, 两边同时除以3加(m≠0)，得m-子+立=0， m 所以(-y)x=(-3)×(-2)=6. 所以m+⊥三7 (3)依题意，5x2-4xy+y2+6x+25=4x2-4xy+y2+ m3, +6x+9+16=(2x-y)2+(x+3)2+16, 所以(m+六=（ m 因为(2x-y)2+(x+3)2≥0， 1.49 所以当2x-y=0,x+3=0时， 所以m2+2+应=9： m 中考数学华东师大第1~5期 所以成+六= 23-3 (5)x=3+ 2； 19.(1)因为(x+5)(x+9)=5, (64-3+,五k-3-回 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 2 2 所以(x+7)2-22=5, 2.答案不惟一，如取k=2,则方程为(2-1)x2+2×2x- 所以(x+7)2=9, 1=0, 所以x+7=3或x+7=-3, 将方程化为一般形式，得x2+4x-1=0, 解得x1=-4,x2=-10. 因为a=1,b=4,c=-1, 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4， 所以62-4ac=16+4=20, -10. 所以x=二4±2如 2×1 故填7；2；-4；-10. (2)因为(x-5)(x+7)=12, 所以x1=-2+5,x2=-2-5. 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 第4期2版 所以(x+1)2-36=12, 所以(x+1)2=48, 22.2.4一元二次方程根的判别式 所以x+1=45或x+1=-45 基础训练1.C;2.A;3.4;4.四. 5.(1)证明：因为4=(2k+1)2-4×1×(k-3)=42 解得x1=-1+45,x2=-1-45. +13>0, 20.(1)设y=x2+x,原方程可化为y2+2y-8=0, 所以该方程总有两个实数根. 解得y=-4,2=2, (2)答案不惟一，如当k=3时，方程为x2+7x=0,解得 当y=-4时，x2+x=-4,即x2+x+4=0, x1=0,x2=-7. 因为b2-4ac=1-16=-15<0, *22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 所以方程无解， 基础训练1.A;2.16;3.20. 当y=2时，x2+x=2,即x2+x-2=0, 4.(1)因为2,3是方程x2+px+9=0的两根， 解得x1=-2,2=1, 故原方程的根为x1=-2,2=1. 所以2+3=-是=-p,2×3=q, (2)设3x+2=y,原方程可化为y+2-3=0,即y-3y 所以p=-5,9=6. (2)因为两个不同的实数m,n满足m2+5m-3=0,n2+ +2=0, 5n-3=0, 解得y=1,3=2, 所以m≠0，n≠0，m≠n,m,n可看作方程x2+5x-3= 当y=1时，3x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的 0的两根， 所以m+n=-5,mn=-3, 解， 当y=2时，3x+2=2,解得x=-2,经检验是原方程的 所以四+”=m+ =(m+m2-2mm m mn mn 解， (-5)2-2×(-3》=-31 -3 3 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. 即只+只的值为-引 第3期4版 22.3实践与探索（第一课时） 重点集训营 基础训练1.D;2.C;3.25%；4.5. 能力提高5.(1)依题意，得BC=(32-2x)m,羊的活动 1.(1)x1=-1+5,x2=-1-5; (2x=3I=3团 范围的面积为S矩形ABcD一S正方形aEFG, 6 6 所以x(32-2x)-12=95, (3)x1=-4,x3=2; 整理得x2-16x+48=0, 22本=7-35 (4)x1=7+35 解得x1=12,2=4, 2； 所以AB的长为12m或4m. 5 中考数学华东师大第1~5期 (2)羊的活动范围的面积不能为130m2.理由如下： 根据题意，得(900-30y)(y+1)=3900, 依题意，得x(32-2x)-1=130, 解得y1=4,y2=25. 整理得2x2-32x+131=0, 答：应该增加4条或25条生产线。 因为4=(-32)2-4×2×131=-24<0， 18.(1)1:3. 所以方程无实数解， (2)猜想：sm=sm-1+5-2 所以羊的活动范围的面积不能为130m2. 证明：根据根的定义，得a2-α-1=0， 22.3实践与探索（第二课时）》 两边都乘以-2，得a”-a1-a-2=0①， 基础训练1.B;2.C;3.63;4.19. 同理，B-B-1-B2=0②， 能力提高5.(1)y=10x+100. ①+②，得(a+B)-(a-1+B-1)-(a-2+B-2）=0, (2)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=1760, 因为3.=a+B,-1=a-1+B-1,82=a-2+B2, 整理得x2-10x-24=0, 所以3。-5n1-5n-2=0,即=5-1+5n-2 解得1=-2（舍去），x2=12, 19.(1)依题意，得四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是 所以50-12=38（元）， 正方形， 所以该商品的销售单价是8元时，商家每天获利 所以四边形EFHG,四边形CDGH,四边形CNMH均为矩 1760元 形， (3)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=3000, 所以AB=BF=EF=AE=GH=CD=45cm,DG=MN 整理得x2-10x+100=0, CH 40 em,EG FH. 因为4=(-10)2-4×1×100=-300<0， 因为矩形置物架ABCD是用总长为400cm的木板制作的， 所以方程无实数解， 所以EG+FH=400-(6×45+3×40)=10(cm), 所以商家每天的获利不能达到3000元. 所以EG=FH=5cm 故填5. 第4期3版 (2)因为AB=BF=EF=AE=GH=CD=xcm,DG= 题号12345678 MN =CH =40 cm,EG FH, 答案AAD DDBBC 所以EG+FH=400-(6x+3×40)=(280-6x)cm, 二9.-6；10.6：11.k>-4且k≠0：12.6 所以EG=FH=(140-3x)cm, 所以AD=AE+EG+DG=x+140-3x+40=(180- 13.4:14.①②③. 2x)cm. 三、15.(1)根据题意，得4=b2-4ac=4-4m≥0，解得 故填(180-2x). m≤1. (3)依题意，得AB=AE=xcm,由(2)可知AD=(180- 故m的取值范围为m≤1. 2x)cm,EG=(140-3x)cm, (2)根据题意，得与+=-合=2与=仁=m, 因为矩形ABCD的面积为4000cm2, a 所以AB·AD=4000,即x(180-2x)=4000, 因为2x1+2x2+x1x2=0, 整理得2-90x+2000=0, 所以2×2+m=0, 解得m=-4. 解得x1=40,x2=50, 16.设小圆形场地的半径为rm,则大圆形场地的半径为(， 当x=40时，EG=140-3×40=20(cm), 因为EG的高度不小于18cm, +6)m, 由题意得，T×(r+6)2=π×2×2， 所以x=40符合题意， 当x=50时，EG=140-3×50=-10(cm),不合题意，舍 解得1=6+62，r2=6-62<0(不合题意，舍去)， 去 所以小圆形场地的半径为(6+6√2)m 所以x的值为40. 17.(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x 20.(1)2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2. 依题意，得2250(1+x)2=3240, (2)△PBQ的面积不能等于10cm2,理由如下： 解得1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去) 设AP=xcm,则PB=(6-x)cm,BQ=2xcm, 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20% (2)设增加y条生产线。 根据题意，得7×2x(6-x)=10 6 中考数学华东师大第1~5期 整理，得2-6x+10=0. 原方程化为x2-2(x-3)+7=0, 因为4=(-6)2-4×1×10=-4<0， 即x2-2x+13=0, 所以方程没有实数根， 因为△=2-4ac=4-4×13=-48<0, 所以△PBQ的面积不能等于10cm2. 所以方程没有实数根； (3)号后，P0的长度等于6cm ②当x-3<0即x<3时， 原方程化为x2+2(x-3)+7=0, 即x2+2x+1=0,即(x+1)2=0, 第4期4版 解得x1=x2=-1. 重点集训营 综上所述，原方程的解为x1=x2=-1. 1.1-2；2.9；3.(1)48；(2)2.4.5. 四、22.4或-2；23.5；24.1；25.5. 5.(1)设平均下降率为x, 五26.(1)设销售量y与每千克降价x的函数关系式为y 由题意，得200(1-x)2=128, =kx +b, 解得x1=0.2=20%,2=1.8(不合题意，舍去) 将(3,75)和(5,105)代人得3k+6=75, 答：平均下降率为20%. 5k+b=105, (2)设单价应降低y元， 解得5， lb=30. 由题意，得(166-y-128)(20+之×4)=114， 所以销售量y与每千克降价x的函数关系式为y=15x+ 解得方=16，y2=12. 30. 因为要尽快减少库存，所以y=16. (2)405元. 答：单价应降低16元 (3)设商店获利480元需降价m元，则单件利润为(10-m)元， 第5期综合评估卷 销售量为(15m+30)千克. -、题号123456789101112 由题意得(10-m)(15m+30)=480, 答案CBDACD AACBAA 解得m1=6,m2=2(舍去)： 二、13.4；14.0（答案不惟一，k≥0即可）；15.4；16.8. 所以30-6=24（元）. 三、17.(1)x1=7,x2=-1; 所以饼干的销售价应定为每千克24元 27.(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程” (2)y1=-3,2=2 1 (2)整理方程得(x-m)(x+1)=0, 18.每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”， 所以x=m或x=-1, 19.(1)证明：因为x2+(m-4)x-2m=0, 因为方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方 所以4=b2-4ac-(m-4)2-4×(-2m)=m2+16> 程”， 0, 所以m=-1+1或m=-1-1, 所以该方程总有两个不相等的实数根。 所以m=0或-2. (2)因为该方程的两根互为相反数， (3)由题可得4=62-4a×1=62-4a≥0， 所以x+x2=-(m-4)=0, 所以解方程得x=二b±√B-4恤 所以m=4. 2a 20.(1)设全天包车数的月平均增长率为x, 因为关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数，a>0)是 根据题意可得25(1+x)2=64, “差1方程”， 解得x1=0.6=60%,x2=-2.6(舍去). 所以-b+-a-b-公-42：1， 2a 2a 答：全天包车数的月平均增长率为60%. 所以62=a2+4a, (2)设租金降价a元，则(120-a)(64+1.6a)=8800, 因为t=10a-b2, 解得a1=10,a2=70. 所以t=6a-a2=-(a-3)2+9≤9， 因为要尽可能让利顾客， 所以t的最大值为9. 所以a=70. 28.(1)(4a2-200a+2400). 答：当租金降价70元时，公司将获利8800元 21.①当x-3≥0即x≥3时， (2)由题意得60×40-(4a2-200a+2400)= 3×60 中考数学华东师大第1~5期 ×40, rk=35, 解得 解得a=5,a2=45(舍去). Lb=20000 答：此时通道的宽为5米。 所以y2=35x+20000. (3)当a=10时，花圃面积为800平方米，所以花圃面积最 因为花圃面积为4a2-200a+2400, 少为800平方米. 所以通道面积为2400-(4a2-200a+2400)=-4a2+ 根据图象可设y1=mx,y2=kx+b, 200a, 将点(1200,48000)代入y1得1200m=48000, 所以35(4a2-200a+2400)+20000+40(-4a2+200a) 解得m=40, =105920. 所以y=40x, 解得a1=2,a2=48(舍去). 将点(800,48000)，(1200,62000)代入2得 答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为 r800k+b=48000. 105920元. l1200k+b=62000, —8—