第2期 21.3 二次根式的加减 第二十一章整章复习-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

中考数学华东师大第1~5期 发理柄 答案详解 2025~2026学年中考数学华东师大 第1~5期 =3; 第1期2版 21.1二次根式 基础训练1.B;2.B;3.D;4.B;5.一 (3)原式=-号√÷ a 6.(1)26;(2)2-5;(3)3x-10. 能力提高7.因为a为正数， 2 所以23-a<23. 因为√23-a为正整数， 子瓜 所以√23-a<√23. 因为4<23<5， 5.(1)②. 所以√23-a的最大值为4. 此时23-a=16,即a=7. 21.2.1二次根式的乘法：21.2.2积的算术平方根 基础训练1.D:2.C;3.D:4.166;5.16;6.32. 第1期3版 5 9 7.(1)原式=√3×25×3 题号12345678 答案ADA BDBDB 9 =N√25 =97；10.6;1L-8:235;13.214.205 三15原式=√x(~√)×√g×6 3 (②)原式=√0×含×号 3 3856 112 =42; (3)原式=35×6万×5 、4 8 3； =4 (2)原式-3万× 2×22 =-1353 =6×22 4 =122; 21.2.3二次根式的除法 基霜训练1：2B:3245 (3)原式=2万×4×÷5 2 =8÷5 4.(1)原式=5×5×5 5×5 V225 5 16()号 中考数学华东师大第1~5期 /641 =2; 3 81 =: (2)原式=√6 1 17.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高 (3)原式=√6÷2×3 为√2cm, =√6×2×3 所以长方体的长、宽分别为42cm,32cm =6. 所以这个长方体的体积为：4√2×32×2= 第2期2版 24√2(cm3). 21.3二次根式的加减 (2)根据题意，得E0=H0=√24=26cm,G0=F0= 基础训练 1.D;2.C;3.C;4.25;5.18. 15cm. 所以留下部分的总面积为：2×√5×2= 6)原武3万+竖号"2 12√10(cm2). 18原式=1+片宁+1+分-宁)+1+写 (2)原式=(26+号》-（停-） 子)+…+(1+2024-2025) =26+号吾+6 =36; =1×2024+1-2025 (3)原式=2+9+62-(2-9) =202438器 =2+9+62+7 =18+62. 19√5 7.)D-万=25-5×35=25-5=5 、125 (2)淇淇的说法正确，理由如下： n (2)规律√n+ 2-1=n n(n为正整数，n≥2). 厄-2月号万+6-25-2x号×35 Vn2-1 +6=25-6-5+6=5, 证明：√n+ n n(n2-1)+n n n2-1 n2-1 Wn2-1 所以x=5. n 因为√48=45， n√n- 所以x的值能与√4⑧合并， 20.(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2. 所以淇淇的说法正确. 所以x-3<0.所以原式=3-x-(2-x)=1. 重点集训营 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0. (1)-6;(2)22;(3)102;(4)2-5; 所以原式=-a-(a+b)-(b-a)=-a-2b. (5)-122;(6)-1+26;(7)5-36. (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, b-a-c<0,c-b-a<0. 第2期3,4版综合评估卷 所以原式=a+b+c-(a-b-c)-(b-a-c)-(c- b-a)=a+b+c-a+b+c-b +a+c-c+b+a=2a+ 题号123456789101112 答案DCBCABAC DADB 2b+2c. 第1期4版 二、1=-3,14.02a;15；1626-2c 重点集训营 三、17.(1)原式=4-6+26=4+√6. (2)原式=4-x2+x2-3x-1=3-3x (①原式=√6× 当x=2+1时， =4 上式=3-3(2+1)=3-32-3=-32. 2 中考数学华东师大第1一5期 18.√128×√50-2×（√13+1）×（√13-1）=80- 解得=了 2×12=56(平方米)， 则56×30=1680（元）， (3)根据题意，得上=5，万=35或二=35，B= a 所以要铺完整个通道，则购买地砖需要花费1680元. 5 以周清万言面 所以a= 了b=7或a=76=3 a-=a)2+a=3-20 所以ah=9或b=寸 又因为a,b都是正整数， 27.(1)3. 所以a-=-2a=3 (2)根据题意，得13-a1+1a-71=4. 当a<3时，3-a>0,a-7<0, 解得b=10. 所以(3-a)+(7-a)=10-2a=4, 1 20.因为a= 2+1 万-i(n-)+1) =2+1, 解得a=3(舍去)； 当3≤a≤7时，3-a≤0，a-7≤0， 所以a-1=2. 所以(a-3)+(7-a)=4; 所以(a-1)2=2. 当a>7时，3-a<0,a-7>0, 所以a2-2a=1. 所以(a-3)+(a-7）=2a-10=4, 所以4a2-8a-3=4(a2-2a)-3=4×1-3=1. 解得a=7(舍去). 2.(1)原武式=×25-354 综上所述，a的取值范围是3≤a≤7. =2-4 28.(1)当a>0时，因为a+4=(a)2-2·后.2+ a a 26是=664， a /a @周为。反后：号方3方 所以当石一后即。2时0+告的最小省为： 2 所以号4后=令 当a<0时，因为a+子=-(a-名. a 所以“☐”内的符号为“÷” ua(@-22。+产合” 故填÷ a (3)因为停<1反>1，历>1 所以-(-a-4)=-(/a-2)2-4≤-4， 所以“口”内依次填入“+”“×”计算所得结果最大， a 则号+应×历-45=9+25×35-45=18 所以当网名。即。-2时a+÷的最人值为 -113 -4. 3 故填4；-4. 四223.66：242：253 (2)当a>0时，因为30+4a+5=3a+4+三=3(a+ 五26（1)根据题意，得云=分存=2 名+4=3后-√g+4+2压， 所以数对(25,4)的一对“对称数对”为（写，2）与(2， 所以当后=V盒即a=5时，女+5的装小值 3 是4+2√1 (3)设S△oB为a, (2)因为数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同， 因为S△4op:S△AOB=OD:OB=S△com:S△coB, 6 所以2：a=Sacm:3,所以SAcoD= a 一3 中考数学华东师大第1~5期 所以四边形ABCD的面积为2+3+a+6=(a+6)+ 即当x=-3,y=-6时，(2x-y)2+(x+3)2+16=16, 此时5x2-4y+y2+6x+25取得最小值，最小值为16. 5=(a-√a 6)2+5+26. 22.2.3公式法 因为a>0, 基础训练1.C;2.D;3.9,x1=x2=3;4.1+2. 所以当a=√a ,即a=石时，四边形ABCD的面积的 %-3+2亚k=5-厘 2 (2)x1=5+√2I,x2=5-√2I; 最小值为5+26 (3)x1=3+√T,2=3-I. 第3期2版 第3期3版 22.1一元二次方程 一、 题号12345678 答案BCBC AC DC 基础训练1.C;2.B；3.2029；4.10; 5.5+5(1+x)+5(1+x)2=23. 二、9.-1；10.三；11.-1；12.x1=0,x2=5; 6.因为a(x2+1)+10(x+2)+c=0, 13.20或27；14.0<a<3. 所以ax2+10x+a+c+20=0. 三、15.(1)x1=3+22,x2=3-22; 因为一元二次方程a(x2+1)+10(x+2)+c=0化为一 (2)x1=-1,x2=3; 般形式后为6x2+10x-1=0, (3)x1=1+33 8 26=1-33 8 所以a=6,a+c+20=-1, 16.(1)他的求解过程从第②步开始出现错误 所以c=-27. 故填②， 22.2.1直接开平方法和因式分解法 (2)x2-8x=1,x2-8x+42=1+42,(x-4)2=17,x- 基础训练1.B;2.B;3.m≥0；4.x1=x2=2. 4=±7， 5.(1)x1=2,x2=-8; (2)x1=4,x2=-3; 解得x1=4+√17,2=4-7. 17.(1)③. =%多 (2)因为3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”， 能力提高6.(1)2；4. 所以m=3+n, (2)x1=-1,x2=6. 所以n=m-3, 22.2.2配方法 所以原方程为3x2+mx+m-3=0. 基础训练1.C;2.B;3.3;4.5. 因为m是此“完美方程”的一个根， 5.(1)x1=3+2,x2=3-√2； 所以3m2+m2+m-3=0, 1 (2)x1=1,2=25 即4m+m-3=0解得m=-1或m=子 18.(1)方程x2-3x-1=0两边同时除以x(x≠0)，得x (3)x1=5+3,x2=5-3. 能力提高6.(1)依题意，x2-4x+9=x2-4x+4+5= -3-1=0, (x-2)2+5. 所以x-1=3. 故填(x-2)2+5. 故填3. (2)因为x2+y2+4x-6y+13=0, (2)因为m是方程3x2-7x+3=0的根， 所以配方得x2+4x+4+y2-6y+9-4-9+13=0, 所以3m2-7m+3=0, 即(x+2)2+(y-3)2=0, 所以x=-2,y=3, 两边同时除以3加(m≠0)，得m-子+立=0， m 所以(-y)x=(-3)×(-2)=6. 所以m+⊥三7 (3)依题意，5x2-4xy+y2+6x+25=4x2-4xy+y2+ m3, +6x+9+16=(2x-y)2+(x+3)2+16, 所以(m+六=（ m 因为(2x-y)2+(x+3)2≥0， 1.49 所以当2x-y=0,x+3=0时， 所以m2+2+应=9： m 中考数学华东师大第1~5期 所以成+六= 23-3 (5)x=3+ 2； 19.(1)因为(x+5)(x+9)=5, (64-3+,五k-3-回 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 2 2 所以(x+7)2-22=5, 2.答案不惟一，如取k=2,则方程为(2-1)x2+2×2x- 所以(x+7)2=9, 1=0, 所以x+7=3或x+7=-3, 将方程化为一般形式，得x2+4x-1=0, 解得x1=-4,x2=-10. 因为a=1,b=4,c=-1, 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4， 所以62-4ac=16+4=20, -10. 所以x=二4±2如 2×1 故填7；2；-4；-10. (2)因为(x-5)(x+7)=12, 所以x1=-2+5,x2=-2-5. 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 第4期2版 所以(x+1)2-36=12, 所以(x+1)2=48, 22.2.4一元二次方程根的判别式 所以x+1=45或x+1=-45 基础训练1.C;2.A;3.4;4.四. 5.(1)证明：因为4=(2k+1)2-4×1×(k-3)=42 解得x1=-1+45,x2=-1-45. +13>0, 20.(1)设y=x2+x,原方程可化为y2+2y-8=0, 所以该方程总有两个实数根. 解得y=-4,2=2, (2)答案不惟一，如当k=3时，方程为x2+7x=0,解得 当y=-4时，x2+x=-4,即x2+x+4=0, x1=0,x2=-7. 因为b2-4ac=1-16=-15<0, *22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 所以方程无解， 基础训练1.A;2.16;3.20. 当y=2时，x2+x=2,即x2+x-2=0, 4.(1)因为2,3是方程x2+px+9=0的两根， 解得x1=-2,2=1, 故原方程的根为x1=-2,2=1. 所以2+3=-是=-p,2×3=q, (2)设3x+2=y,原方程可化为y+2-3=0,即y-3y 所以p=-5,9=6. (2)因为两个不同的实数m,n满足m2+5m-3=0,n2+ +2=0, 5n-3=0, 解得y=1,3=2, 所以m≠0，n≠0，m≠n,m,n可看作方程x2+5x-3= 当y=1时，3x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的 0的两根， 所以m+n=-5,mn=-3, 解， 当y=2时，3x+2=2,解得x=-2,经检验是原方程的 所以四+”=m+ =(m+m2-2mm m mn mn 解， (-5)2-2×(-3》=-31 -3 3 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. 即只+只的值为-引 第3期4版 22.3实践与探索（第一课时） 重点集训营 基础训练1.D;2.C;3.25%；4.5. 能力提高5.(1)依题意，得BC=(32-2x)m,羊的活动 1.(1)x1=-1+5,x2=-1-5; (2x=3I=3团 范围的面积为S矩形ABcD一S正方形aEFG, 6 6 所以x(32-2x)-12=95, (3)x1=-4,x3=2; 整理得x2-16x+48=0, 22本=7-35 (4)x1=7+35 解得x1=12,2=4, 2； 所以AB的长为12m或4m. 5 中考数学华东师大第1~5期 (2)羊的活动范围的面积不能为130m2.理由如下： 根据题意，得(900-30y)(y+1)=3900, 依题意，得x(32-2x)-1=130, 解得y1=4,y2=25. 整理得2x2-32x+131=0, 答：应该增加4条或25条生产线。 因为4=(-32)2-4×2×131=-24<0， 18.(1)1:3. 所以方程无实数解， (2)猜想：sm=sm-1+5-2 所以羊的活动范围的面积不能为130m2. 证明：根据根的定义，得a2-α-1=0， 22.3实践与探索（第二课时）》 两边都乘以-2，得a”-a1-a-2=0①， 基础训练1.B;2.C;3.63;4.19. 同理，B-B-1-B2=0②， 能力提高5.(1)y=10x+100. ①+②，得(a+B)-(a-1+B-1)-(a-2+B-2）=0, (2)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=1760, 因为3.=a+B,-1=a-1+B-1,82=a-2+B2, 整理得x2-10x-24=0, 所以3。-5n1-5n-2=0,即=5-1+5n-2 解得1=-2（舍去），x2=12, 19.(1)依题意，得四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是 所以50-12=38（元）， 正方形， 所以该商品的销售单价是8元时，商家每天获利 所以四边形EFHG,四边形CDGH,四边形CNMH均为矩 1760元 形， (3)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=3000, 所以AB=BF=EF=AE=GH=CD=45cm,DG=MN 整理得x2-10x+100=0, CH 40 em,EG FH. 因为4=(-10)2-4×1×100=-300<0， 因为矩形置物架ABCD是用总长为400cm的木板制作的， 所以方程无实数解， 所以EG+FH=400-(6×45+3×40)=10(cm), 所以商家每天的获利不能达到3000元. 所以EG=FH=5cm 故填5. 第4期3版 (2)因为AB=BF=EF=AE=GH=CD=xcm,DG= 题号12345678 MN =CH =40 cm,EG FH, 答案AAD DDBBC 所以EG+FH=400-(6x+3×40)=(280-6x)cm, 二9.-6；10.6：11.k>-4且k≠0：12.6 所以EG=FH=(140-3x)cm, 所以AD=AE+EG+DG=x+140-3x+40=(180- 13.4:14.①②③. 2x)cm. 三、15.(1)根据题意，得4=b2-4ac=4-4m≥0，解得 故填(180-2x). m≤1. (3)依题意，得AB=AE=xcm,由(2)可知AD=(180- 故m的取值范围为m≤1. 2x)cm,EG=(140-3x)cm, (2)根据题意，得与+=-合=2与=仁=m, 因为矩形ABCD的面积为4000cm2, a 所以AB·AD=4000,即x(180-2x)=4000, 因为2x1+2x2+x1x2=0, 整理得2-90x+2000=0, 所以2×2+m=0, 解得m=-4. 解得x1=40,x2=50, 16.设小圆形场地的半径为rm,则大圆形场地的半径为(， 当x=40时，EG=140-3×40=20(cm), 因为EG的高度不小于18cm, +6)m, 由题意得，T×(r+6)2=π×2×2， 所以x=40符合题意， 当x=50时，EG=140-3×50=-10(cm),不合题意，舍 解得1=6+62，r2=6-62<0(不合题意，舍去)， 去 所以小圆形场地的半径为(6+6√2)m 所以x的值为40. 17.(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x 20.(1)2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2. 依题意，得2250(1+x)2=3240, (2)△PBQ的面积不能等于10cm2,理由如下： 解得1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去) 设AP=xcm,则PB=(6-x)cm,BQ=2xcm, 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20% (2)设增加y条生产线。 根据题意，得7×2x(6-x)=10 6 中考数学华东师大第1~5期 整理，得2-6x+10=0. 原方程化为x2-2(x-3)+7=0, 因为4=(-6)2-4×1×10=-4<0， 即x2-2x+13=0, 所以方程没有实数根， 因为△=2-4ac=4-4×13=-48<0, 所以△PBQ的面积不能等于10cm2. 所以方程没有实数根； (3)号后，P0的长度等于6cm ②当x-3<0即x<3时， 原方程化为x2+2(x-3)+7=0, 即x2+2x+1=0,即(x+1)2=0, 第4期4版 解得x1=x2=-1. 重点集训营 综上所述，原方程的解为x1=x2=-1. 1.1-2；2.9；3.(1)48；(2)2.4.5. 四、22.4或-2；23.5；24.1；25.5. 5.(1)设平均下降率为x, 五26.(1)设销售量y与每千克降价x的函数关系式为y 由题意，得200(1-x)2=128, =kx +b, 解得x1=0.2=20%,2=1.8(不合题意，舍去) 将(3,75)和(5,105)代人得3k+6=75, 答：平均下降率为20%. 5k+b=105, (2)设单价应降低y元， 解得5， lb=30. 由题意，得(166-y-128)(20+之×4)=114， 所以销售量y与每千克降价x的函数关系式为y=15x+ 解得方=16，y2=12. 30. 因为要尽快减少库存，所以y=16. (2)405元. 答：单价应降低16元 (3)设商店获利480元需降价m元，则单件利润为(10-m)元， 第5期综合评估卷 销售量为(15m+30)千克. -、题号123456789101112 由题意得(10-m)(15m+30)=480, 答案CBDACD AACBAA 解得m1=6,m2=2(舍去)： 二、13.4；14.0（答案不惟一，k≥0即可）；15.4；16.8. 所以30-6=24（元）. 三、17.(1)x1=7,x2=-1; 所以饼干的销售价应定为每千克24元 27.(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程” (2)y1=-3,2=2 1 (2)整理方程得(x-m)(x+1)=0, 18.每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”， 所以x=m或x=-1, 19.(1)证明：因为x2+(m-4)x-2m=0, 因为方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方 所以4=b2-4ac-(m-4)2-4×(-2m)=m2+16> 程”， 0, 所以m=-1+1或m=-1-1, 所以该方程总有两个不相等的实数根。 所以m=0或-2. (2)因为该方程的两根互为相反数， (3)由题可得4=62-4a×1=62-4a≥0， 所以x+x2=-(m-4)=0, 所以解方程得x=二b±√B-4恤 所以m=4. 2a 20.(1)设全天包车数的月平均增长率为x, 因为关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数，a>0)是 根据题意可得25(1+x)2=64, “差1方程”， 解得x1=0.6=60%,x2=-2.6(舍去). 所以-b+-a-b-公-42：1， 2a 2a 答：全天包车数的月平均增长率为60%. 所以62=a2+4a, (2)设租金降价a元，则(120-a)(64+1.6a)=8800, 因为t=10a-b2, 解得a1=10,a2=70. 所以t=6a-a2=-(a-3)2+9≤9， 因为要尽可能让利顾客， 所以t的最大值为9. 所以a=70. 28.(1)(4a2-200a+2400). 答：当租金降价70元时，公司将获利8800元 21.①当x-3≥0即x≥3时， (2)由题意得60×40-(4a2-200a+2400)= 3×60 中考数学华东师大第1~5期 ×40, rk=35, 解得 解得a=5,a2=45(舍去). Lb=20000 答：此时通道的宽为5米。 所以y2=35x+20000. (3)当a=10时，花圃面积为800平方米，所以花圃面积最 因为花圃面积为4a2-200a+2400, 少为800平方米. 所以通道面积为2400-(4a2-200a+2400)=-4a2+ 根据图象可设y1=mx,y2=kx+b, 200a, 将点(1200,48000)代入y1得1200m=48000, 所以35(4a2-200a+2400)+20000+40(-4a2+200a) 解得m=40, =105920. 所以y=40x, 解得a1=2,a2=48(舍去). 将点(800,48000)，(1200,62000)代入2得 答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为 r800k+b=48000. 105920元. l1200k+b=62000, —8—1 20.(9分)小明在解决问题：已知a= ,求2a2-8a+1的 23.清朝数学家梅文鼎在著作《平三角举要》 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述过 2+3 中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积 程，解答下列问题： 1 2-3 的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过 值，他是这样分析与解答的：因为a= (1)当2≤a≤5时，化简：√(a-2)7+√(a-5)7= 2+万=(2+5)(2-5 程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论： =2-3,所以a-2=-5.所以(a-2)2=3.所以a2-4a=-1. 如图5，AD是锐角△ABC的边BC上的高，则BD= 图5 (2)若等式√(3-a)7+√(a-7)7=4成立，求a的取值范 所以2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. (BCAC)AB=7,8G=6.AG -5 BC 围 请你根据小明的分析过程，解答如下问题：若α= 1,求4a2 2-1 时，则△ABC的面积为 -8a-3的值， 24已知+y>0.且w=3则+ 25.若两个不相等实数a,b满足a+3,万=8，b+3a=8,则a +√B的值为 数 五、耐心解一解（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 理 26.我们规定用(a,b)表示一对数对，给出如下定义：记m= 报 后=6(a>0.6>0),将(m)与(，m)称为数对a,的 数 对“对称数对”，例如：(4,1)的一对“对称数对”为（分，1）与(1， 数理报·初中数学 学 21.(0分)有个填写运算符号的游戏：在口口v万口4,5 28.阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念， 华 中的每个“口”内，分别填人“+”“_”“×”“÷”中的某一个（可重复 . 同学们可以发现以下结果： 使用)，然后计算结果。 华 东 筛 (1)计算：5×V2-V27:45: (1)求数对(25,4)的一对“对称数对”； 当a>0时，因为a+1=(a)2-2a.2+()2+2a. e √aa 本 3 (2)若数对(3，y）的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的 (2若 值； ÷m×27045=号，则“口”内的符号是 (6、 马)2+2，所以当a=二，即a=1时，a+的最小值 √a (3)若数对(a,b)的一对“对称数对”的一个数对是(5,35)， 为2. 求ab的值. 请利用以上结果解决下面的问题： 考综合评 估卷 (3)在5口2027-43”的“口”内填人运算符号，使 (1)当a>0时，a+4的最小值为 ;当a<0时，a+ 计算结果最大，并直接写出最大值 4的最大值为 (2)当a>0时，求30+4a+5的最小值 (3)如图6，已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若 27.阅读下列解题过程： △AOD的面积为2，△BOC的面积为3，求四边形ABCD面积的最小 例：若代数式√/(a-1)7+√(a-3)7的值是2，求a的取值范 值 型 解：原式=1a-11+la-31 当a<1时，原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a= B卷（共60分） 1(舍去)： 图6 当1≤a≤3时，原式=(a-1)+(3-a)=2; 四、细心填一填（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 当a>3时，原式=(a-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a= 2计第月·V- 3(舍去) 综上所述，a的取值范围是1≤a≤3. (参考答案见下期)】 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 数理摑 2025年7月10日：星期四 初中数学 第 2期总第1146期 华东师大 中考 【上接2版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-207 18.原式=(1+ 入门向导 技巧一、运用乘法公式 )+1+ ?三次根式的加减运算“三字诀 例1若x=3-√2025，则代数式x2-6x )+1+ +9的值为 34 ⊙四川闵雪 A.2007 B.-2003 +(1+2024 二次根式的加减运算是本节学习的重点， C.2025 D.-2020 2025)=1×2024+1 解：原式=(2)+1-3-25-22+5 其关键在于掌握二次根式的加减运算的三个基 解析：因为x2-6x+9=(x-3)2,而x=3 2025 =20242024 本步骤 2025,所以x2-6x+9=(x-3)2=(3- 2025 =2+1-1-22+3 9)V5 1.化：将算式中的各项都化成最简二次根 √2025-3)2=2025 =2-22+5 式.这是二次根式的加减运算的关键步骤， 故选C. 2.找：在各项都化为最简二次根式后，找出 例4 计算5√写 -√/20+ 5-2 变式训练1：(5-1)2-6÷ 125 52×5 被开方数相同的二次根式， 解：原式店× -4×5+ 方法指号 5 3.合：将被开方数相同的二次根式合并.合 V24 并时，同整式加减中合并同类项类似，只合并二 5+2 (2) 二次根式的运算 规律： 次根式前面的“系数”，二次根号及被开方数不 (5-2)(5+2) n+-1 n 变 ☒ =5-25+5+2 技巧多8 √n2-(n为正整数， n (5)2-22 ◎山西杨智 1≥2). =5-25+√5+2 技巧二、逆用幂的运算法则 例1 计算2+3√2-⑧的结果是 证明：√n+元 =2. n2- 例2计算：(5-2)225(5+2)224 ( n(m-)+n= n2-1 A.0 B.22 意事领 A.W5+2 B.√5-2 n n C.4 D.62 1.在二次根式的加减运算中，如果有括号， C.2024 D.2025 20.(1)隐含条件2 解析：原式=2+32-2√2=22. 可以先化简，再去括号；也可以先去括号，再化 解析：(5-2)2西(5+2)224=(5- x≥0.解得x≤2. 故选B 简.注意符号不要出错 2)2024(5+2)24(5-2)=[(5-2)(5+ 所以x-3<0.所 以原式=3-x-(2- 2.化简要彻底，化简后，被开方数不同的二 例2 2)]24(5-2)=(5-4)2024(5-2)=5- x)=1. 计第：6×（后-6， 次根式不能合并，对于没有合并的二次根式不 (2)根据数轴，得a 解：原式=1-6=-5. 能漏掉，它们是结果的一部分 故选B <0,a+b<0,b-a>0 所以原式= 例3计算：2(2+ 1 I⑧-⑧ 3.在运算的过程中，二次根式中根号外的 变式训练2：(2-5)25(2+5)24-21 a-(a+b)-(b 数字因数是分数的，不要写成带分数的形式，而 a）=-a-2b. (3)由三角形的三 (22-5) 要写成假分数的形式 11-停) 边关系，得a+b+c> 0,a-b-c<0,b-a 专题铺导 技巧三、运用因式分解 <0,c-b-a<0. 例3已知a=5+3,b=5-3,则a3 所以原式=a+b 强化四种意识解题如虎添翼 b3-ab+ab2= c-(a-b-c)-(b- ©重庆沈知秋 解析：a3-b3-a2b+ab2=a3-a2b+ab2 -c)-(c-b-a)= +b+c-a+b+c-b 二次根式的混合运算综合性强、灵活性大， =3-23+1+5-9 -b3=a2(a-b)+b2(a-b)=(a-b)(a2+ +a+c-c+b+a=2a 要想学好这部分内容，必须强化如下四种意识 b2)=(a-b)[(a-b)2+2ab]. =-25 +2b+2c. 一、化简意识 当a=5+3,b=5-3时，a-b=(5 第1期4版参考答案 变式训练3：计算：(25-32)2 例1计算：√27+√2-√45 +3)-(5-3)=6,ab=(5+3)(5-3) 四、分母有理化意识 重点集训营 =-4, (1)原式= 解：原式=35+25-35=55-35. 例4计算：2+√05-3.仁+一1 所以原式=6×(62-2×4)=6×(36- 变式训练1：计算：W5-2√20+√25， 3+2 8)=6×28=168. 2)原武-√侣 二、顺序意识 解：原式=2√5+ -√5 故填168. 2 例2计算：(2-1)+√2÷6. 变式训练3：若a=√5+1，b=5-1,求 =2: 3-万 a2b+ab2的值， (3)原式 解：原式=2-1+2=22-1. (5+2)(5-2) =√6÷5x3 变式训练2：计算：（√2+√8）-(8 =25+5-月+5-万 本周主讲 6×2×3=6. 2 27) 21.3二次根式的加减 (全文完) 三、运算律意识 :28-号 第二十一章整章复习 主要内容：本期需掌握同类二次根式的定 例3计算：(5-1)2+(5+3)×(5-3) 解：原式=(5)2-23+1+(5)2-32 变式训练4：计算：历-3+5+20 义、二次根式的混合运算，并对整章内容进行 哈 复习回顾」 素养专练 数理极 第1期2版参考答案 跟踪训练 21.1二次根式 图2 基础训练1.B;2.B;3.D;4.B;5.一 21.3二次根式的加减 6.(1)26;(2)2-5;(3)3x-10. 能力提高7.因为a为正数，所以23-a<23. 屋础训练 因为√/23-a为正整数，所以√23-a<√/23. 因为4<√23<5，所以√23-a的最大值为4 1.下列二次根式中，与⑧能合并的是 此时23-a=16,即a=7. ( 重点集训喜 21.2.1二次根式的乘法；21.2.2积的算术平方根 A.5 B.12 基础训练1.D;2.C;3.D:4.166;5.16; C.√16 D./72 6.32 2.甲、乙两人各在黑板上写了一个算式，则 计算下列各题： )原武=√层品=√层=导 5 其中计算结果为有理数的算式 (1)2×5-√24； 甲：2(8-2)； (2)原式=√30×号×号=√80×号=4： 乙：(5-5)(5+5). + X A.只有甲是 (3)原武=35x65×55-54×55-B5E 8 8 4 B.只有乙是 21.2.3二次根式的除法 C.甲和乙都是 D.甲和乙都不是 2丽8×： 基础训练1.B;2.B:3.245 5 3.已知√/32-2=a2-2=b2,则a+ 4()原武=B×压×5：2西=3： √5×5 b的值是 ( A.5 B.6 C.7 D.8 4.对于任意正实数4，b,定义一种新的运算： (3)38-4√2 1 +2√18； (3)原式=-子√6÷吾=-子√6x a⑧b=√ad-a,如384=/3×4-5= 5.请你计算5⑧9= 5.(1)②. 5.如图1，大正方形的面 1 积为48，小正方形的面积为 12,则阴影部分的面积是 (4)5+-20: 第1期3版参考答案 3-√5 6.计算： -、题号12345678 1 )8+ 答案ADABDBDB -0.5; 二9子：106：1.-8：1235；13.2 14.2025. (5)(6-224)×5-62 三(原武=厚x(-停×√g×6 2(a+-(-： 3 2)原贰-35×后×2-6×2万-1n, 3)原式武=2万×4×5÷5=8÷5=号 (3)(2+3)2-(2+3)(2-3) (6)(2+3-6)(2+5+6): 16()号 1 4 9 (2)原武=√×√号×√6 /641 2 3 1 ()√x压+(5-2)-(v+s 7.如图2，嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏， 17.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高为 在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分 ÷5. cm, 别标有一个数，现从容器中摸取小球，若摸到白 所以长方体的长、宽分别为42cm,32cm 色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球 所以这个长方体的体积为：42×32×2= 上的数. 242(cm3). (1)若嘉嘉摸到如图2-①所示的两个小、 (2)根据题意，得E0=H0=√24=26cm,G0=F0 球，请计算出结果； =/15cm. (2)如图2-②，若嘉嘉摸出全部的球，计算 所以留下部分的总面积为：26×5×2= 结果为x,淇淇说x的值能与√48合并，你认为淇 数理报社试题研究中心12√0(cm2). 淇的说法正确吗？请说明理由. (参考答案见下期) (下转1,4版中缝) 小强 小华 三、耐心解一解（本大题共5小题，共44分） 《二次根式》综合评估卷 分别将两式平方，得 作一个直角三角形，两直角边长 17.（本题两个小题，每个小题4分，共8分) (万+5)2=5+26， 分别为巨，万，利用勾股定理，得 ◆数理报社试题研究中心 /2+3)2=5. 斜边长为： (考试用时：120分钟 满分：160分) 因为5+26>5,2+5>0 √(2)2+(5)2=5. 题号 三 /2+3>0, 由三角形中两边之和大于第三边 二 四 五 总分 所以2+5>2+3 得2+3>2+3. 得分 图1 A.小强对，小华错 B.小强错，小华对 A卷 (共100分) C.两人都对 D.两人都错 (2)先化简，再求值：(2+x)(2-x)+x(x-3)-1,其中x= 9.如图2，数轴上表示1和2的对应点分 C A B 2+1. 、精心选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 别为A,B,点B关于点A的对称点是C,设C点 0 1V2 图2 题号1 3456789101112 表示的数为x,则x+√2的值为 () 答案 A.1-√2 B.1+2 1.下列式子中，不属于最简二次根式的是 C.2-1 D.2 整 报 A.5 B.5 C.10 D.12 10.若等腰三角形的两边长分别为12和50，则这个三角形 18.(8分)如图4，某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD, 报 初 的周长为 ( 初 2.化简√3 的结果是 长BC为√28米，宽AB为√0米，现要在长方形绿地中修建两个形 数 A.25+102 B.45+52 中 状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长 学 C.45+102 A. 3 B.22 C.52 D.5 D.45+52或25+102 为（√3+1）米，宽为(3-1)米.除去修建花坛的地方，其它地 华 25 3 4 22 11.已知y=√(x-3)7-x+4,当x分别取正整数1,2,3,4,5， 东 方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺 师 3.已知△ABC的面积为12cm2,底边长为22cm,则该底边上 …,2025时，所对应y值的总和是 完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 的高为 ( ) A.2028 B.2029 C.2030 D.2031 12.我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无 考综合 A.3√2cm B.6√2cm G② 12 cm D.12√2cm 理数，如：对于√3+5-√3-5，设x=√3+5-√3-5，易 4.若√a与2是同类二次根式，则a的值可以是 评 知√3+5>√3-5，故x>0,由x=(√3+5-√3-5)2 A.9 B.12 C.18 D.20 =3+5+3-5-2√(3+5)(3-5)=2，解得x=2,即 5.下列计算错误的是 √3+5-√3-5=2.根据以上方法，化简W6-35 A.2+5=5 B.2×5=√6 √6+35的结果为 ( C.6÷2=5 D.(-22)2=8 A.-65B.-6 C.√6 D.-12 19.(9分)已知正整数a,b满足。0，-么=3-22，求a,b 2-12 6.已知√3x-6+√6-3x+y=2025,则√/2025灯的值为 二、细心填一填（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 的值， ( 13.二次根式√3+x有意义的条件是 A.20253 B.2025√2 14.若2=a,5=b,则√0.24用含a,b的式子表示为 C.2025 D.4050 7.若1<a<2,则化简√(1-a)2+√(2-a)7的结果是 15.如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC ( =5,BC=2.在AB的上方分别以AB,BC A.1 B.1-2a AC为直径作三个半圆，则图中阴影部分的面 C.3-2a D.2a-3 积之和为 图3 8.如图1是小强和小华对2+5与√2+3比较大小的过程， 16.已知a,b,c是△ABC的三边长，则化简√(a-c+b)7-|b 下列关于两人的思路判断正确的是 -a-c=