第1期 21.1 二次根式 21.2 二次 根式的乘除-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

中考数学华东师大第1~5期 发理柄 答案详解 2025~2026学年中考数学华东师大 第1~5期 =3; 第1期2版 21.1二次根式 基础训练1.B;2.B;3.D;4.B;5.一 (3)原式=-号√÷ a 6.(1)26;(2)2-5;(3)3x-10. 能力提高7.因为a为正数， 2 所以23-a<23. 因为√23-a为正整数， 子瓜 所以√23-a<√23. 因为4<23<5， 5.(1)②. 所以√23-a的最大值为4. 此时23-a=16,即a=7. 21.2.1二次根式的乘法：21.2.2积的算术平方根 基础训练1.D:2.C;3.D:4.166;5.16;6.32. 第1期3版 5 9 7.(1)原式=√3×25×3 题号12345678 答案ADA BDBDB 9 =N√25 =97；10.6;1L-8:235;13.214.205 三15原式=√x(~√)×√g×6 3 (②)原式=√0×含×号 3 3856 112 =42; (3)原式=35×6万×5 、4 8 3； =4 (2)原式-3万× 2×22 =-1353 =6×22 4 =122; 21.2.3二次根式的除法 基霜训练1：2B:3245 (3)原式=2万×4×÷5 2 =8÷5 4.(1)原式=5×5×5 5×5 V225 5 16()号 中考数学华东师大第1~5期 /641 =2; 3 81 =: (2)原式=√6 1 17.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高 (3)原式=√6÷2×3 为√2cm, =√6×2×3 所以长方体的长、宽分别为42cm,32cm =6. 所以这个长方体的体积为：4√2×32×2= 第2期2版 24√2(cm3). 21.3二次根式的加减 (2)根据题意，得E0=H0=√24=26cm,G0=F0= 基础训练 1.D;2.C;3.C;4.25;5.18. 15cm. 所以留下部分的总面积为：2×√5×2= 6)原武3万+竖号"2 12√10(cm2). 18原式=1+片宁+1+分-宁)+1+写 (2)原式=(26+号》-（停-） 子)+…+(1+2024-2025) =26+号吾+6 =36; =1×2024+1-2025 (3)原式=2+9+62-(2-9) =202438器 =2+9+62+7 =18+62. 19√5 7.)D-万=25-5×35=25-5=5 、125 (2)淇淇的说法正确，理由如下： n (2)规律√n+ 2-1=n n(n为正整数，n≥2). 厄-2月号万+6-25-2x号×35 Vn2-1 +6=25-6-5+6=5, 证明：√n+ n n(n2-1)+n n n2-1 n2-1 Wn2-1 所以x=5. n 因为√48=45， n√n- 所以x的值能与√4⑧合并， 20.(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2. 所以淇淇的说法正确. 所以x-3<0.所以原式=3-x-(2-x)=1. 重点集训营 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0. (1)-6;(2)22;(3)102;(4)2-5; 所以原式=-a-(a+b)-(b-a)=-a-2b. (5)-122;(6)-1+26;(7)5-36. (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, b-a-c<0,c-b-a<0. 第2期3,4版综合评估卷 所以原式=a+b+c-(a-b-c)-(b-a-c)-(c- b-a)=a+b+c-a+b+c-b +a+c-c+b+a=2a+ 题号123456789101112 答案DCBCABAC DADB 2b+2c. 第1期4版 二、1=-3,14.02a;15；1626-2c 重点集训营 三、17.(1)原式=4-6+26=4+√6. (2)原式=4-x2+x2-3x-1=3-3x (①原式=√6× 当x=2+1时， =4 上式=3-3(2+1)=3-32-3=-32. 2 中考数学华东师大第1一5期 18.√128×√50-2×（√13+1）×（√13-1）=80- 解得=了 2×12=56(平方米)， 则56×30=1680（元）， (3)根据题意，得上=5，万=35或二=35，B= a 所以要铺完整个通道，则购买地砖需要花费1680元. 5 以周清万言面 所以a= 了b=7或a=76=3 a-=a)2+a=3-20 所以ah=9或b=寸 又因为a,b都是正整数， 27.(1)3. 所以a-=-2a=3 (2)根据题意，得13-a1+1a-71=4. 当a<3时，3-a>0,a-7<0, 解得b=10. 所以(3-a)+(7-a)=10-2a=4, 1 20.因为a= 2+1 万-i(n-)+1) =2+1, 解得a=3(舍去)； 当3≤a≤7时，3-a≤0，a-7≤0， 所以a-1=2. 所以(a-3)+(7-a)=4; 所以(a-1)2=2. 当a>7时，3-a<0,a-7>0, 所以a2-2a=1. 所以(a-3)+(a-7）=2a-10=4, 所以4a2-8a-3=4(a2-2a)-3=4×1-3=1. 解得a=7(舍去). 2.(1)原武式=×25-354 综上所述，a的取值范围是3≤a≤7. =2-4 28.(1)当a>0时，因为a+4=(a)2-2·后.2+ a a 26是=664， a /a @周为。反后：号方3方 所以当石一后即。2时0+告的最小省为： 2 所以号4后=令 当a<0时，因为a+子=-(a-名. a 所以“☐”内的符号为“÷” ua(@-22。+产合” 故填÷ a (3)因为停<1反>1，历>1 所以-(-a-4)=-(/a-2)2-4≤-4， 所以“口”内依次填入“+”“×”计算所得结果最大， a 则号+应×历-45=9+25×35-45=18 所以当网名。即。-2时a+÷的最人值为 -113 -4. 3 故填4；-4. 四223.66：242：253 (2)当a>0时，因为30+4a+5=3a+4+三=3(a+ 五26（1)根据题意，得云=分存=2 名+4=3后-√g+4+2压， 所以数对(25,4)的一对“对称数对”为（写，2）与(2， 所以当后=V盒即a=5时，女+5的装小值 3 是4+2√1 (3)设S△oB为a, (2)因为数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同， 因为S△4op:S△AOB=OD:OB=S△com:S△coB, 6 所以2：a=Sacm:3,所以SAcoD= a 一3 中考数学华东师大第1~5期 所以四边形ABCD的面积为2+3+a+6=(a+6)+ 即当x=-3,y=-6时，(2x-y)2+(x+3)2+16=16, 此时5x2-4y+y2+6x+25取得最小值，最小值为16. 5=(a-√a 6)2+5+26. 22.2.3公式法 因为a>0, 基础训练1.C;2.D;3.9,x1=x2=3;4.1+2. 所以当a=√a ,即a=石时，四边形ABCD的面积的 %-3+2亚k=5-厘 2 (2)x1=5+√2I,x2=5-√2I; 最小值为5+26 (3)x1=3+√T,2=3-I. 第3期2版 第3期3版 22.1一元二次方程 一、 题号12345678 答案BCBC AC DC 基础训练1.C;2.B；3.2029；4.10; 5.5+5(1+x)+5(1+x)2=23. 二、9.-1；10.三；11.-1；12.x1=0,x2=5; 6.因为a(x2+1)+10(x+2)+c=0, 13.20或27；14.0<a<3. 所以ax2+10x+a+c+20=0. 三、15.(1)x1=3+22,x2=3-22; 因为一元二次方程a(x2+1)+10(x+2)+c=0化为一 (2)x1=-1,x2=3; 般形式后为6x2+10x-1=0, (3)x1=1+33 8 26=1-33 8 所以a=6,a+c+20=-1, 16.(1)他的求解过程从第②步开始出现错误 所以c=-27. 故填②， 22.2.1直接开平方法和因式分解法 (2)x2-8x=1,x2-8x+42=1+42,(x-4)2=17,x- 基础训练1.B;2.B;3.m≥0；4.x1=x2=2. 4=±7， 5.(1)x1=2,x2=-8; (2)x1=4,x2=-3; 解得x1=4+√17,2=4-7. 17.(1)③. =%多 (2)因为3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”， 能力提高6.(1)2；4. 所以m=3+n, (2)x1=-1,x2=6. 所以n=m-3, 22.2.2配方法 所以原方程为3x2+mx+m-3=0. 基础训练1.C;2.B;3.3;4.5. 因为m是此“完美方程”的一个根， 5.(1)x1=3+2,x2=3-√2； 所以3m2+m2+m-3=0, 1 (2)x1=1,2=25 即4m+m-3=0解得m=-1或m=子 18.(1)方程x2-3x-1=0两边同时除以x(x≠0)，得x (3)x1=5+3,x2=5-3. 能力提高6.(1)依题意，x2-4x+9=x2-4x+4+5= -3-1=0, (x-2)2+5. 所以x-1=3. 故填(x-2)2+5. 故填3. (2)因为x2+y2+4x-6y+13=0, (2)因为m是方程3x2-7x+3=0的根， 所以配方得x2+4x+4+y2-6y+9-4-9+13=0, 所以3m2-7m+3=0, 即(x+2)2+(y-3)2=0, 所以x=-2,y=3, 两边同时除以3加(m≠0)，得m-子+立=0， m 所以(-y)x=(-3)×(-2)=6. 所以m+⊥三7 (3)依题意，5x2-4xy+y2+6x+25=4x2-4xy+y2+ m3, +6x+9+16=(2x-y)2+(x+3)2+16, 所以(m+六=（ m 因为(2x-y)2+(x+3)2≥0， 1.49 所以当2x-y=0,x+3=0时， 所以m2+2+应=9： m 中考数学华东师大第1~5期 所以成+六= 23-3 (5)x=3+ 2； 19.(1)因为(x+5)(x+9)=5, (64-3+,五k-3-回 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 2 2 所以(x+7)2-22=5, 2.答案不惟一，如取k=2,则方程为(2-1)x2+2×2x- 所以(x+7)2=9, 1=0, 所以x+7=3或x+7=-3, 将方程化为一般形式，得x2+4x-1=0, 解得x1=-4,x2=-10. 因为a=1,b=4,c=-1, 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4， 所以62-4ac=16+4=20, -10. 所以x=二4±2如 2×1 故填7；2；-4；-10. (2)因为(x-5)(x+7)=12, 所以x1=-2+5,x2=-2-5. 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 第4期2版 所以(x+1)2-36=12, 所以(x+1)2=48, 22.2.4一元二次方程根的判别式 所以x+1=45或x+1=-45 基础训练1.C;2.A;3.4;4.四. 5.(1)证明：因为4=(2k+1)2-4×1×(k-3)=42 解得x1=-1+45,x2=-1-45. +13>0, 20.(1)设y=x2+x,原方程可化为y2+2y-8=0, 所以该方程总有两个实数根. 解得y=-4,2=2, (2)答案不惟一，如当k=3时，方程为x2+7x=0,解得 当y=-4时，x2+x=-4,即x2+x+4=0, x1=0,x2=-7. 因为b2-4ac=1-16=-15<0, *22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 所以方程无解， 基础训练1.A;2.16;3.20. 当y=2时，x2+x=2,即x2+x-2=0, 4.(1)因为2,3是方程x2+px+9=0的两根， 解得x1=-2,2=1, 故原方程的根为x1=-2,2=1. 所以2+3=-是=-p,2×3=q, (2)设3x+2=y,原方程可化为y+2-3=0,即y-3y 所以p=-5,9=6. (2)因为两个不同的实数m,n满足m2+5m-3=0,n2+ +2=0, 5n-3=0, 解得y=1,3=2, 所以m≠0，n≠0，m≠n,m,n可看作方程x2+5x-3= 当y=1时，3x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的 0的两根， 所以m+n=-5,mn=-3, 解， 当y=2时，3x+2=2,解得x=-2,经检验是原方程的 所以四+”=m+ =(m+m2-2mm m mn mn 解， (-5)2-2×(-3》=-31 -3 3 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. 即只+只的值为-引 第3期4版 22.3实践与探索（第一课时） 重点集训营 基础训练1.D;2.C;3.25%；4.5. 能力提高5.(1)依题意，得BC=(32-2x)m,羊的活动 1.(1)x1=-1+5,x2=-1-5; (2x=3I=3团 范围的面积为S矩形ABcD一S正方形aEFG, 6 6 所以x(32-2x)-12=95, (3)x1=-4,x3=2; 整理得x2-16x+48=0, 22本=7-35 (4)x1=7+35 解得x1=12,2=4, 2； 所以AB的长为12m或4m. 5 中考数学华东师大第1~5期 (2)羊的活动范围的面积不能为130m2.理由如下： 根据题意，得(900-30y)(y+1)=3900, 依题意，得x(32-2x)-1=130, 解得y1=4,y2=25. 整理得2x2-32x+131=0, 答：应该增加4条或25条生产线。 因为4=(-32)2-4×2×131=-24<0， 18.(1)1:3. 所以方程无实数解， (2)猜想：sm=sm-1+5-2 所以羊的活动范围的面积不能为130m2. 证明：根据根的定义，得a2-α-1=0， 22.3实践与探索（第二课时）》 两边都乘以-2，得a”-a1-a-2=0①， 基础训练1.B;2.C;3.63;4.19. 同理，B-B-1-B2=0②， 能力提高5.(1)y=10x+100. ①+②，得(a+B)-(a-1+B-1)-(a-2+B-2）=0, (2)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=1760, 因为3.=a+B,-1=a-1+B-1,82=a-2+B2, 整理得x2-10x-24=0, 所以3。-5n1-5n-2=0,即=5-1+5n-2 解得1=-2（舍去），x2=12, 19.(1)依题意，得四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是 所以50-12=38（元）， 正方形， 所以该商品的销售单价是8元时，商家每天获利 所以四边形EFHG,四边形CDGH,四边形CNMH均为矩 1760元 形， (3)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=3000, 所以AB=BF=EF=AE=GH=CD=45cm,DG=MN 整理得x2-10x+100=0, CH 40 em,EG FH. 因为4=(-10)2-4×1×100=-300<0， 因为矩形置物架ABCD是用总长为400cm的木板制作的， 所以方程无实数解， 所以EG+FH=400-(6×45+3×40)=10(cm), 所以商家每天的获利不能达到3000元. 所以EG=FH=5cm 故填5. 第4期3版 (2)因为AB=BF=EF=AE=GH=CD=xcm,DG= 题号12345678 MN =CH =40 cm,EG FH, 答案AAD DDBBC 所以EG+FH=400-(6x+3×40)=(280-6x)cm, 二9.-6；10.6：11.k>-4且k≠0：12.6 所以EG=FH=(140-3x)cm, 所以AD=AE+EG+DG=x+140-3x+40=(180- 13.4:14.①②③. 2x)cm. 三、15.(1)根据题意，得4=b2-4ac=4-4m≥0，解得 故填(180-2x). m≤1. (3)依题意，得AB=AE=xcm,由(2)可知AD=(180- 故m的取值范围为m≤1. 2x)cm,EG=(140-3x)cm, (2)根据题意，得与+=-合=2与=仁=m, 因为矩形ABCD的面积为4000cm2, a 所以AB·AD=4000,即x(180-2x)=4000, 因为2x1+2x2+x1x2=0, 整理得2-90x+2000=0, 所以2×2+m=0, 解得m=-4. 解得x1=40,x2=50, 16.设小圆形场地的半径为rm,则大圆形场地的半径为(， 当x=40时，EG=140-3×40=20(cm), 因为EG的高度不小于18cm, +6)m, 由题意得，T×(r+6)2=π×2×2， 所以x=40符合题意， 当x=50时，EG=140-3×50=-10(cm),不合题意，舍 解得1=6+62，r2=6-62<0(不合题意，舍去)， 去 所以小圆形场地的半径为(6+6√2)m 所以x的值为40. 17.(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x 20.(1)2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2. 依题意，得2250(1+x)2=3240, (2)△PBQ的面积不能等于10cm2,理由如下： 解得1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去) 设AP=xcm,则PB=(6-x)cm,BQ=2xcm, 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20% (2)设增加y条生产线。 根据题意，得7×2x(6-x)=10 6 中考数学华东师大第1~5期 整理，得2-6x+10=0. 原方程化为x2-2(x-3)+7=0, 因为4=(-6)2-4×1×10=-4<0， 即x2-2x+13=0, 所以方程没有实数根， 因为△=2-4ac=4-4×13=-48<0, 所以△PBQ的面积不能等于10cm2. 所以方程没有实数根； (3)号后，P0的长度等于6cm ②当x-3<0即x<3时， 原方程化为x2+2(x-3)+7=0, 即x2+2x+1=0,即(x+1)2=0, 第4期4版 解得x1=x2=-1. 重点集训营 综上所述，原方程的解为x1=x2=-1. 1.1-2；2.9；3.(1)48；(2)2.4.5. 四、22.4或-2；23.5；24.1；25.5. 5.(1)设平均下降率为x, 五26.(1)设销售量y与每千克降价x的函数关系式为y 由题意，得200(1-x)2=128, =kx +b, 解得x1=0.2=20%,2=1.8(不合题意，舍去) 将(3,75)和(5,105)代人得3k+6=75, 答：平均下降率为20%. 5k+b=105, (2)设单价应降低y元， 解得5， lb=30. 由题意，得(166-y-128)(20+之×4)=114， 所以销售量y与每千克降价x的函数关系式为y=15x+ 解得方=16，y2=12. 30. 因为要尽快减少库存，所以y=16. (2)405元. 答：单价应降低16元 (3)设商店获利480元需降价m元，则单件利润为(10-m)元， 第5期综合评估卷 销售量为(15m+30)千克. -、题号123456789101112 由题意得(10-m)(15m+30)=480, 答案CBDACD AACBAA 解得m1=6,m2=2(舍去)： 二、13.4；14.0（答案不惟一，k≥0即可）；15.4；16.8. 所以30-6=24（元）. 三、17.(1)x1=7,x2=-1; 所以饼干的销售价应定为每千克24元 27.(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程” (2)y1=-3,2=2 1 (2)整理方程得(x-m)(x+1)=0, 18.每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”， 所以x=m或x=-1, 19.(1)证明：因为x2+(m-4)x-2m=0, 因为方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方 所以4=b2-4ac-(m-4)2-4×(-2m)=m2+16> 程”， 0, 所以m=-1+1或m=-1-1, 所以该方程总有两个不相等的实数根。 所以m=0或-2. (2)因为该方程的两根互为相反数， (3)由题可得4=62-4a×1=62-4a≥0， 所以x+x2=-(m-4)=0, 所以解方程得x=二b±√B-4恤 所以m=4. 2a 20.(1)设全天包车数的月平均增长率为x, 因为关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数，a>0)是 根据题意可得25(1+x)2=64, “差1方程”， 解得x1=0.6=60%,x2=-2.6(舍去). 所以-b+-a-b-公-42：1， 2a 2a 答：全天包车数的月平均增长率为60%. 所以62=a2+4a, (2)设租金降价a元，则(120-a)(64+1.6a)=8800, 因为t=10a-b2, 解得a1=10,a2=70. 所以t=6a-a2=-(a-3)2+9≤9， 因为要尽可能让利顾客， 所以t的最大值为9. 所以a=70. 28.(1)(4a2-200a+2400). 答：当租金降价70元时，公司将获利8800元 21.①当x-3≥0即x≥3时， (2)由题意得60×40-(4a2-200a+2400)= 3×60 中考数学华东师大第1~5期 ×40, rk=35, 解得 解得a=5,a2=45(舍去). Lb=20000 答：此时通道的宽为5米。 所以y2=35x+20000. (3)当a=10时，花圃面积为800平方米，所以花圃面积最 因为花圃面积为4a2-200a+2400, 少为800平方米. 所以通道面积为2400-(4a2-200a+2400)=-4a2+ 根据图象可设y1=mx,y2=kx+b, 200a, 将点(1200,48000)代入y1得1200m=48000, 所以35(4a2-200a+2400)+20000+40(-4a2+200a) 解得m=40, =105920. 所以y=40x, 解得a1=2,a2=48(舍去). 将点(800,48000)，(1200,62000)代入2得 答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为 r800k+b=48000. 105920元. l1200k+b=62000, —8—4 素养·拓展 数理极 名师课堂 闪耀在二次根式中的数学思想 重点集圳营 ⊙山西叶城 一、数形结合思想助力二次根式的化简 值 计算： 例1实数a,b,c在数轴上对应点的位置 解：因为x2-3x+1=0,所以x-3+ 如图1所示，化简(a)2+√(a-b-c)了-b ()× -aI的结果是 0,即x+1 =3,所以原式= √x+)-2 a 图1 =万. (2)② A.a-2b-c B.c-a 6 C.-a+2b+c D.a-c 变式训练2：已知a-b=-万，ab=分则 解析：由题意得a>0,c<b<0,1c1> 1al>1b1,所以a-b-c=a+(-b)+(-c) 代数式√+2-2ab+d2+b2+ab的值等于 >0,b-a<0, 所以(a)2+√(a-b-c)7-lb-al=a 三、分类讨论思想在二次根式计算中的应 (3)6÷2 1 ×5. +(a-b-c)-(a-b)=a+a-b-c-a+ b=a-c.故选D. 例3化简：√-2x+1= 变式训练1：实数在数轴上的位置如图2所 数理报社试题研究中心 示，则化简√a2+4a+4-(a-5)2的结果 解析：因为√2-2x+1=√(x-1)7, (参考答案见下期) 为 () 当x>1时，x-1>0,所以√2-2x+1= -3a-2 x-1. -1 0 1 图2 当x<1时，x-1<0,所以√-2x+1= A.7 B.-7 辅助线周周练 C.-2a+7 D.2a-7 1-x. 二、整体思想巧妙解决二次根式求值问题 故填|x-1 在平面几何的考查中，辅助线的添加往往 例2已知2-3x+1=0,求+的 变式训练3：化简：3-2 是难点，因此本学期我们将开辟一个专门练习 3x-2 添加辅助线的学习板块，希望同学们好好练习 1.如图1，菱形ABCD的边长为4，且∠DAB 题型空间 =60°，E是BC边的中点，P为BD上一动点，若 解密二次根式的题型 △PCE的周长最小，则其最小值为 4 ©山东郝文静 一、开放型 故填66 例1如果一个无理数a与⑧的积是一个 小结：此类题型注重知识的应用.解题时， 有理数，写出a的一个值是 特别要注意实际情况 图1 2 解析：因为8=22，(2)2=2，所以a是 三、规律型 2.如图2，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8. 化简成最简二次根式后含有2的数.故填 例3观察下列各式： ①+号=25 点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的 1 2(答案不惟一). 动点，连结EO并延长交CD于点F将四边形 小结：此类题不仅能巩固知识，形成技能， AEFD沿着EF附折，得到四边形A'EFD',边A'E交 而且能启发思维，培养能力.解题时，既要考虑问 ②+-： 边BC于点G,连结OG,OC,则△0GC面积的最小 题及明确的条件，又要考虑隐藏的条件 ③3+5=4/5 1Γ 值为 二、实际应用型 例2秦九韶公式是 厘[智葛+▣怕斗 (1)请观察规律，并写出第④个等式： 我国南宋数学家秦九韶曾 H9葛1插☑‘b=OH'￡=H0影‘O8 经提出的利用三角形的三 (2)请用含n(n≥1)的式子写出你猜想的 TH00学‘30=b=0耳窖W0‘甜 边求面积的计算公式，如 规律： HVT0乐4‘湾印90‘湾0乐‘90= 果一个三角形的三边长分别是a,b,c,记p= (3)请证明(2)中的结论. w0a03V云a0NV婚W0早每3a a+b+c,那么三角形的面积为S= 2 解：0V4+石-5，G 3W6 =班键于灯我【坐】9+乙 √p(p-a)(p-b)(p-c),这个公式在西方也 荸号开相小⑦ 1 被称为海伦公式如图，在△ABC中，∠A,∠B, (2)a+ n+2=(n+1 Vn+2 =aVR煮基☑甲胆售‘￡=3a1= ∠C所对的边分别为a,b,c.若a=5,b=6,c= 7,则△ABC的面积为 (3) 1 n2+2n+1 98▣YM‘09=38a7▣。09=aV07 √n+n+2 n+2 :等甲‘9学⊥斗明aV卒aVT 解析：根据题意，得p=a+b+c=9. 2 n+1)Z 1 √n+2=(m+）Vn+2 Oa/I学「智斗阻9aOd79开‘a0+Iv 所以SAAc=Vp(p-a)(p-b)(p-c) =a0+ad+Od=头阻9aOd7通Od 小结：此类题型考查归纳总结能力.解题 ‘d学上Ia卒aV必0a上关D学与V学 =9×(9-5)×(9-6)×(9-7) 时，要专注细节，重视变形和转化，多方位地分 单等甲【些群】乙+忆'T孝是】 =66. 析观察 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2025年7月3日·星期四 初中数学 报纸发行质量反馈电话： 期总第1145期 华东师大 0351-5271248 羞理橘 中考 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-207 中考数学华东师大 入门向导日 求解二次根式的问 编辑计划 第1期 21.1二次根式；21.2二次 聚焦 二次根式的双重非负性 题时，灵活运用不等式、 不等式组、分式的相关知 根式的乘 第2期 识，可找到很好的解题途 21.3二次根式的加减：第 ◎浙江李明昭 ,二次根式的被开方数的非负性 故选B. 径.下面举例说明，供同 第3期 次根 观 程：222. 学们参考. 方法和因式分解 例1若式子a-b+ :有意义，则 二、二次根式的非负性 ab 实验室 一、一元一次 川 法；22.2.2配方法；22.2.3 例3若√/(a-b)2=b-a,则 公式法 不等式参与 点P(a,b)在第」 象限 第4期 A.a>b B.a<b 凌 22.2.4 元二次方程根的 解析：由题意可得-a-b≥0，ab>0, 例1 若Ja-4有 判别式；*22.2.5一元 C.a≥b D.a≤b 羽 方程的根与系数的关 意义，则a的值可以是 系：22.3实践与探索 因为ab>0,所以a,b同号. 解析：因为√(a-b)7=b-a≥0，所以b 第5期 又因为-a-b≥0，所以a+b≤0， 复习 A.-1 期 所以a<0,b<0,所以点P(a,b)在第三象 23.1成比例线段；23.2相 限 故选D B.0 以图形 实验室 第7期 例4实数a,b在数轴上对应的点的位置 C.2 23.3.1相似三角形；23.3.2 故填三 相似三角形的判定 D.6 第8期 例2若二次根式x-3·x+1有意 如图所示，则化简√a2+2ab+-(√-a) 23.3.3相 :23.3.4相似 鸭精 解析：因为a-4有意义 义，则x的取值范围在数轴上可以表示为 +√a得 所以a-4≥0. 06 解得a≥4 23.5位似图形：23.6图形 与坠示 A.a-26 B.-a-2b 所以a的值可以是6. 第10期 第二十三章整章复习 C.-2a-b D.a+2b 故选D. 第11期 解析：由数轴得a<0,b>0,1a1>1b1 实验室二、一元一次不等式组加入 24.1测量：24.2直角三角 所以a+b<0,b-a>0, 例2已知2,5，m是某三角形三边的长， 4解 期 形；第 所以√a2+2ab+b-(√B-a)2+√ 则√(m-2)+√(m-8)7= 十四章整 25.1在重复试验中观察不确 解析：由题意得-3≥0，① A.2m-10 B.10-2nm =√(a+b)2-(B-a)2+√a=la+b C.10 D.6 定现象；25.2.1概率及其意 lx+1≥0，② b-a1+a=-(a+b)-(b-a) +( a) 义：25.2.2频率与概率 解析：根据三角形的三边关系，得3<m<7. 第14期 由①得x≥3，由②得x≥-1， =-a-b-b+a -0 2b 25.2.3列举所有机会均等 所以m-2>0,m-8<0. 结果第 十五章整童 所以不等式组的解集为x≥3. 故选B 所以√(m-2)+√(m-8=m-2+8 期 册综合质量检测 专题辅导 m=6. 年级 次根式的乘除运算直通 故选D. 第16期 6.1 次函数；26.2.1 实验室三、分式介入 e函数y=ax2的图象 2 2.2二次函数 ◎江苏 纪伟光 例3若a2-3ab+b2=0,且a>b>0, c的图象与性质 第 果 在利用二次根式的乘、除法法则进行计算 以先类比分数的基本性质用 a_a·b 第17期 变形 哈+号的值为 26.2.2 “次乐数Y=ax+ 时，需要根据题目类型灵活选用法则或其逆变 b·B bx+c的图象与性质（第 果叶) 26.23 次函数 形进行计算，下面举例说明， 然后用(a)2=a进行化简. 2 2 的表达式：26.3实践写摆 一、a·√B型式子的计算方法 第18期 例3 计算：÷√ C.- 5 D.2 第二十 习 当a,b都不是平方数或者a,b相乘可以约 第19期 解析：因为a2-3ab+2=0, 27.1圆的认识 分时，使用法则a·万=√ab计算；当a,b中有 3 第20期 27.2与圆有关的位置关系 √20÷5 所以(b-a)2=a2-2ab+b2=ab,(b+ 第21期 平方因数时，则可以先利用√(=1a1化简，然 a)2=a2+2ab+=5ab. 27.3圆中的计算问题：27.4 3 正多边形和圆 后再求积 W20 ×5故填 因为a>b>0, 第22期 第 十 例1 所以b-a=-ab,b+a=5ab 第23 计算：8×√2 1抽样调查的 例4计算：32 ;8. 、 用样本估计 体；28.3借 /1 51 助调查做决策 解析：8×√2 =4=2.故填2. 哈+C /5ab 第24期 解析：3巨.35×5：6.故填，6 故选C. 第二十八章整章复习 5×5 第25期 例2计算：√8×√2= 九年级下册综合质量检测 三、二次根式的乘除混合运算 = 第26期 解析：8×√2=√9×2×√4×3 在进行二次根式的乘除混合运算时，有括 本周主讲 年级上下册综合质量检 测卷 32×25=66.故填66. 号的，先算括号里的，然后按照从左到右的顺序 21.1二次根式 第27~44期 高效复习（合刊） 第45~52期 二、型式子的计算方法 进行，注意结果要写成最简二次根式的形式， 21.2二次根式的乘除 满分冲刺（合刊） 6 主要内容：本期需掌握二次根式的定义 当6是a的约数时，可用口= 例5计算：48÷33×√2 进行计 有意义的条件，会对二次根式进行简单的乘 算；当b不是a的约数且a,b都不是平方数时，可 解：原式=4,5÷35×5_25 除运算以及化简求值 6 9 2 素养专练 数理极 21.2.1二次根式的乘法；21.2.2积的算术平方根 21.2.3二次根式的除法 跟踪训练 垦础训练 堡四训练 1.等式“m÷√8=2”中，m的值为( 1.若a·23=6,则a的值为 ( 21.1二次根式 A.2 B.45C.25 D.4 A.2 B.5 C. D.③ 2.如图，菱形的边长为 2 屋础训练 2,∠B=120°，则菱形的面 2.下列二次根式是最简二次根式的是 1.下列式子中，是二次根式的是 积为 ( ( A.-12 B.5 A.2 B.43 A./2B.万 c.5 D.n-4 c眉 D.28 C.25 D.4 2.若√(3a-1)下=1-3a,则a的取值范围 3.山西剪纸是最古老的民间艺术之一，被誉 3.下列运算正确的是 为流淌在刀尖上的舞蹈。张萌现用一张长方形彩 为 ( ) A.√2×5=7 纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案.若长方形 B.a≤ 1 B8E×√后=1 彩纸的长为45cm,完为26cm,且长方形彩纸 C.a>3 D.a≥3 的面积是正方形彩纸面积的√0倍，则正方形彩 C.W2×6=12 纸的面积为 cm2. 1■ 3.要把(2-)√一2中根号外的因式移入 n厘×√厚=3 4.计算： 根号内，下面式子正确的是 ) 4.王明的奶奶家有一块长为√24米，宽为 (1)5×5 A.√x-2 B./2-x 8米的长方形细地用来种植蔬菜，则该长方形田 C.-2-x D.-/x-2 地的面积为 平方米. 4.以下列数作为三角形的边长，其中能构成 5.若44=2a,√50=b2,则a+b= 直角三角形的是 A.5,2,5 B.1,3,2 6.将1，√2,5,6按下列方式排列.若规定 C.3,6,7 D.6,8,12 (m,n)表示第m排从左向右第n个数，则(15,7) 5.若y=√3-元+√2x-6+5,则点P(x, 与(100,9)表示的两数之积是 2)号÷32写x(-: y）)在第 象限 1 第一排 6.计算： p 第二排 (1)√(-26)2； 6 1 第三排 5 6 1 2 第四排 56 12 万第五排 … 5(a>0,b>0. 7.计算： (2)√(3-2)2； 5.阅读材料，并回答问题： (3)9-6x+x2+(2x-7)2. 1 小君在学习二次根式时，化简，√位的过程如 下： 2)0× 3×04; 1 i 解：√位=厉 第①步 能刀提高 s、1 第②步 45 7.若a为正数，且√23-a为正整数，求 √23-a的最大值及此时a的值. =1×45 第③步 45×45 5 第④步 (3)√27×3位×55 8 (1)上述解答过程中，从第】 步开始 出现了错误（填序号）； (2)在下面的空白处，写出正确的解答过程 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 步 达 18.(0分)化简：1+京+n+1 标 检测题（一 n(n+1)+1] n(n+1)+1=1+ n(n+1)2 n(n+1) 【检测范围：21.1~21.2】 n(n+1)1+1 nn+l 大于1的整数，则n的最小值为 (满分：120分) 14.已知实数a满足√a-2025+12024-al= 利用题干申的结论计算：、√+ +12+22 一、精心选一选（每小题4分，共32分） a,则a-20242= 题号12 3 4 5 678 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 1+2京+京+1++年 答案 15.(12分)计算： 1.若二次根式√a-2在实数范围内有意义， )√×(-2)×56 1+2024+20251 则a的取值范围是 ( A.a≥2B.a≤2C.a>2D.a<2 2化简√25于等于 ( A5号 B.±101 2 (2)V27÷5x22: 19.(10分)先来看一个有题的现象：，√2号： c D.10 2 2 3.下列二次根式中，是最简二次根式的是 √停-2-2√得这里根号里的因数？经 过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨 ( 把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有 A.6 B.√0.3 C. D.√45 许多如3层4等 4.已知a=2,b=√10，用含a,b的代数式 表示√20，则这个代数式是 8)x4+(5 (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证： (2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含 A.a+bB.ab C.2a D.26 有上述规律的等式吗？证明你找到的规律. 5.若2<a<3,则(2-a)7-√(3-a) 的值为 A.5-2aB.1-2aC.2a-1D.2a-5 6.如图1，将一个小正方形放 入一个大正方形中，阴影部分的面 16.（10分)数学活动课上，陈老师出示了一组 积等于小正方形的面积，则大正方 形与小正方形的边长之比为 图1 93 A.2:1B.2:1C.4:1 D.5:1 20.(12分)阅读下面的解题过程，体会如何发 7.下列计算正确的是 现隐含条件，并解答下面的问题： A.√5+12=17B.2a.3a-6a 计算易 化简：（个-3x)2-11-x1. C4万÷2万=2万ng-25 (2)计算：-×-×√× 7 解：隐含条件1-3x≥0.解得x≤3所以1- 3 3 x>0.所以原式=1-3x-（1-x)=-2x. 8.如果ab>0,a+b<0,那么下面各式：① 【启发应用】 后-瓷@层语：3压*月 (1)按照上面的解法，化简：√(x-3)- （2-x)2: =-b,其中正确的是 () 【类比迁移】 A.①②B.②③C.①③D.①②③ 二、细心填一填（每小题4分，共24分） (2）实数a,b在数轴上的。0b一→ 9.若√24与最简二次根式√21-I可以合 位置如图3所示，化简：√a+ 图3 并，则t的值为 17.(10分)解答下列问题： √(a+b)7-lb-al; 10.已知a,b满足b=2-a+√a-2+3, (1)已知一个长方体的长、宽、高的此为4：3： (3)已知a,b,c为△ABC的三边长，化简： 则ab= 1,且高为2cm,求这个长方体的体积： √(a+b+c) +√(a-b-c)7 11.若2×√20=2×m5=m√n,则m (2)如图2，从正方形ABCD中裁去两个面积 √(b-a-c)7+√(c-b-a)7. 分别为24cm2和15cm2的正方形BHOE和OFDG, n= 12.对于正整数a,b定义新运算“⊙”，规定 求留下部分的总面积 a©b=3a·√b,则15◎3的运算结果为 24 cm 13.已知m为正整数，若√89m是整数，则根 据189m=√3×3×3×7m=33×7m可知 m有最小值3×7=21.设为正效老西是 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)