第7期 11.5 因式分解-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（华东师大版2024）

初中数学·华东师大八年级第6~9期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级第6~9期(2025年8月】 第6期2版 三、13(10+4y+4；(2)-3x+2y-石： 11.3乘法公式 (3)a2-462+4bc-c2. 11.3.1两数和乘以这两数的差 基础训练1.B;2.A;3.-2;4.0. 14(1)3592:(2)10609 59w-4;(2)-+80 15.(1)原式=(a2+3a)(a2-3a)-(16a-8a)÷(2a) =a-9a2-(16a3-8a)÷8a3=a4-9a2-2a2+a=a- 6.(11:(2)39号 11a2+a. 11.3.2两数和（差）的平方 (2)当a=-2时，原式=(-2)4-11×(-2)2+(-2) 基础训练1.A;2.C;3.19. =-30. 4.(1)16a2-24ab+962; 16.(1)因为a-b=1,2+62=17,(a-b)2=a2+62- (2)5x2-42x+16;(3)9980.01; 2ab,所以12=17-2ab,解得ab=8. (4)a2-4ab+4b2+6ac-12bc+9c2. (2)根据题意，得S影=。-2×宁b(a-6)=心+68 5.因为(x+y)2=25,(x-y)2=9,所以 ab. 0g=+P-x-门=子×5-9)=4 因为a+b=7,所以(a+b)2=72,即a2+2ab+b2=49. (2)+y=(x+y2+(x-y月]=7×(25+9) 因为ab=9,所以a2+62+2×9=49,即2+b2=31. 所以图中阴影部分的面积=31-9=22. =17; (3)令2025-x=m,x-2024=n,则m+n=2025- (3)x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=(2+y2)2-2(y)2= x+x-2024=1, 172-2×42=289-32=257. 因为(2025-x)(x-2024)=-6,所以mn=-6. 11.4整式的除法 所以(2025-x)2+(x-2024)2=m2+n2=(m+n)2 11.4.1单项式除以单项式 -2mn=12-2×(-6)=13. 基础训练1.D;2.A;3.3b2. 附加题1原武=2x×[1-)1+2)1+)1+ 4.(1)-4x3;(2)12xy2. 11.4.2多项式除以单项式 2是1+2]+2品 基础训练1.B;2.-2ay3+3y;3.92-6x+1 4.(1)-x2+2x;(2)2x-4. =2×[1-京)1+)1+1+)]+0 5.原式=-8xy =2×[1-是)1+)(1+0]+2品 当x=3y=分时，原式=12 =2×[(1-是1+)]+品 第6期3版 -题号12345678 =2×1-动)+京=2-品+京=2 答案C AA D C B D B 2.(1)①4；②4. 二、9.16-9x2；10.18x3y2;11.4；12.6. (2)设AC=x,BC=y 初中数学·华东师大八年级第6~9期 因为AB=8,所以x+y=8,所以(x+y)2=64 b). 因为S1+52=44,所以x2+y2=44,所以x2+y2+2y=4 (2)图略.2a2+5ab+26=(2a+b)(a+2b).所以这个 +2y=64,解得y=10.所以S△c=2y=5 长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b.所以此长方形的周长 为：2(2a+b+a+2b)=6a+6b. 第7期2版 16.(1)①25x2+10x-y2+1=(25x2+10x+1)-y2= 11.5因式分解 (5x+1)2-y2=(5x+1+y)(5x+1-y). 11.5.1因式分解的概念与提公因式法 ②x2-4y2+2x+4y=(x2-4y2)+(2x+4y）=(x+ 基础训练1.C;2.C;3.2(a-2); 2y)(x-2y）+2(x+2y)=(x+2y)(x-2y+2). 4.x2+6x+8=(x+4)(x+2);5.-5. (2)因为a2+562+c2-4ab-6b-10c+34=(a-4ab 6.(1)a(a+b+2);(2)4xy2(xy+2xz-3z): +462)+(b2-6b+9)+(c2-10c+25)=(a-2b)2+(b- (3)3(x-y)2(9x-4y). 3)2+(c-5)2=0,所以a-2b=0,b-3=0,c-5=0.解得 能力提高7.答案不惟一，略 a=6,b=3,c=5.所以三角形ABC的周长为：6+3+5=14. 11.5.2公式法(1) 附加题1.(1)提公因式法； 基础训练1.C;2.A; (2)(1+x)26: 3.(am+5)(am-5);4.9或-7. 5.(1)(x+2y)(x-2y);(2)-(x-2y)2; (3)原式=子×4×(5+52+5+…+5) (3)(x+2;(4(4r+9)2+32-3). =子×4×5+4×5+4×5++4×5) 6.因为(a+2b)2-2a-4b+1=(a+2b)2-2(a+2b) =×(1+4+4×5+4×5+4×5+…+ +1=(a+2b-1)2=0, 4×5225-5) 所以a+2b=1.所以(a+2b)2o6=1. 11.5.2公式法(2) =(1+4)2-5 4 基础训练1.C;2.2m(m+3)2;3.64. =52w-5 4.(1)-4a(x-y)2;(2)3(x+y)(x-y）); 4 (3)a(x+2)2(x-2)2. 2.(1)是. 5.(1)由题意得M=3x2-4x-20-3x(x-3)=3x2-4x (2)由题意，得P=(x2+y)2-(x2)2=(x2+y+x2)(x2 -20-3x2+9x=5x-20; +y-x2)=y(2x2+y)=2x2y+y2. P=3x2-4x-20+(x+2)2=3x2-4x-20+x2+4x+ (3)N=4x2-9y2+8x-18y+k=(4x2+8x+4)-(9y2 4=4x2-16. +18y+9)+k+5=(2x+2)2-(3y+3)2+k+5. (2)P=4x2-16=4(x2-4)=4(x+2)(x-2). 因为V是“明礼崇德数”，所以k+5=0.所以k=-5. 能力提高6.x2-9y2+42+4xz=(x2+42+4xz)-9 第8期综合测评卷 =(x+2z)2-(3y)2=(x+2z+3y)(x+2z-3y).因为x+2z 题号12345678910112 =3y,所以x+2z-3y=0.所以原式=6y·0=0,其值是定值. 答案CD C D B CC CA B BD 第7期3版 二、13.-18x3;14.0;15.25cm2;16.10或-10. 题号 12345 67 8 三、17.(1)-y；(2)-6x3y2z+42y2z-2x2y: 答案ACCD (3)4m2-n2-6n-9. A B DC 18.(1)-y(3x-y)2; 二、9.(m-6)2；10.5；11.4；12.-3. (2)(a-b)(m+n)(m-n);(3)5000. 三、13.(1)2m(2x-3y+1);(2)(x-1)(x+4)(x-4); (3)(2a-b)2 19(1(5+36)(4a+2b)-4×2(2a+6-(3a+2b2 14.(1)10000;(2)147. =20a2+22ab+662-2(4a2+4ab+b2)-(9a2+12ab+ 15.(1)图中的面积可以表示为(2a+b)(a+b)或2a2+ 462) 3ab+b2;表示因式分解的等式为：2a2+3ab+b=(2a+b)(a+ =20a2+22ab+6b2-8a2-8ab-2b2-9a2-12ab- 2 初中数学·华东师大八年级第6~9期 463 义).所以∠1=∠3（等量代换） =3a2+2ab, 因为∠A0D+∠2+∠3=180°（平角的定义）， 所以绿化地带的面积为(3a2+2ab)平方米. 所以∠AOD+∠2+∠1=180°（等量代换）.所以OE与 (2)当a=5,b=20时，3a2+2ab=3×52+2×5×20 OF在同一条直线上 =75+200=275,即绿化地带的面积为275平方米. 12.2三角形全等的判定 20.(1)25; 12.2.1全等三角形的判定条件 (2)设202404=x.所以A-B=(x-3)(x+3)-(x- 基础训练1.A;2.C;3.A;4.1; 1)(x+1)=x2-9-2+1=-8<0.所以A<B. 5.35;6.①3④. 21.(1)原式=x3-x2+x2+9x-10=x2(x-1)+(x-1)(x 7.(1)因为△ABC≌△EDF,所以AC=EF.所以AC-CF +10)=(x-1)(x2+x+10); =EF-CF,即AF=CE. (2)原式=x2-3x2+x2-5x+6=x2(x-3)+(x-2)(x (2)因为△ABC≌△EDF,所以∠B=∠EDF -3)=(x-3)(x2+x-2)=(x-3)(x+2)(x-1) 因为∠ADE=2∠B, 22.【问题探究】方法1：(m+n)2-4mn; 所以∠ADF=∠ADE-∠EDF=∠B. 方法2：(m-n)2. 因为∠DAF=∠AFD=2∠B, 【得出结论】(m+n)2-4mn=(m-n)2. 所以在△ADF中，根据三角形内角和定理，得∠DAF+ 【应用结论】(1)因为(x+y)2=x2+y2+2xy,x+y=4, ∠AFD+∠ADF=5∠B=180°.解得∠B=36°. 2+y=0,所以y=方[x+y2-(2+y)]=7×(6 所以∠AFD=72°，∠EDF=36°.所以∠E=∠AFD- -10)=3. ∠EDF=36° (2)①±2： 12.2.2边角边 ②22. 基础训练1.B;2.C；3.B;4.1或7. (3)由题意，得ED=AD-AE=2x-44,DG=DC-CG 5.因为AC∥DE,所以∠ACB=∠E. =x-30.所以MT=M0=(2x-44)+2(x-30).因为长方 在△ABC和△CDE中，因为BC=DE,∠ACB=∠E,AC= 形EFGD的面积是200，所以(2x-44)(x-30)=200.所以2(x CE, -30)(2x-44)=400. 所以△ABC≌△CDE(SAS). 令a=2x-44,b=2(x-30) 所以∠B=∠D. 所以ab=400,a-b=16. 能力提高6.因为∠1+∠2=180°，∠1+∠ACB= 所以(a-b)2=a2+b2-2ab=256. 180°，以∠2=∠ACB. 所以a2+b2=256+2ab=1056. 因为AD=CE,所以AD+CD=CE+CD,即AC=DE. 所以四边形M0RT的面积=MT=(a+b)2=a2+b2+ 在△ACB和△DEF中，因为CB=EF,∠ACB=∠2，AC= 2ab=1056+800=1856. DE, 第9期2版 所以△ACB≌△DEF(SAS). 12.1命题、定义、定理与证明 所以AB=DF 基础训练1.C;2.B; 第9期3版 3.三个角是三角形的内角，它们的和等于180°； 题号1 2345678 4.答案不惟一，如14； 答案CA C B C A DC 5.∠1，∠2（或∠2，∠1）；∠C;两直线平行，内错角相等； 二、9.两个角是同位角，这两个角相等；10.40°； ∠C:同位角相等，两直线平行 11.120°；12.64. 6.因为AB,CD相交于点O(已知)，所以∠AOC= 三、13.(1)假命题，反例：对顶角相等，但不是内错角。 ∠D0B(对顶角相等). (2)假命题，反例：121=1-21，但是2≠-2. 因为OE,OF分别是∠AOC,∠D0B的平分线（已知）， (3)假命题，反例：20°与50°都是锐角，但是20°+50°≠ 所以L1=∠A0C,∠3=∠D0B(角平分线的定 90°，两个锐角不互余。 3 初中数学·华东师大八年级第6~9期 14.因为△ABC≌△ADE,所以∠AED=∠ACB=105° 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=B. 因为∠D=25°，所以∠DAE=180°-∠D-∠AED= 因为a+∠B+∠ACB=180°， 50° 所以a+B=180°. 因为∠CAD=10°， 2.(1)EF BE DF. 所以∠GAC=∠DAE+∠CAD=60°. 如图1所示，延长EB到点G,使BG= 所以∠G=∠ACB-∠GAC=45°. DF,连结AG, 15.(1)因为C是线段AB的中点，所以AC=BC. 因为∠ABC=∠D=90°，所以 G B E 因为CD平分∠ACE,CE平分∠BCD, ∠ABG=180°-∠ABC=90°.所以 图1 所以∠ACD=∠DCE=∠ECB=60° ∠ABG=∠D. 在△ACD和△BCE中，因为AC=BC,∠DCA=∠ECB, 在△ABG和△ADF中，因为AB=AD,∠ABG=∠D,BG= CD =CE, DF, 所以△ACD≌△BCE(SAS). 所以△ABG≌△ADF(SAS), (2)因为△ACD≌△BCE, 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF. 所以∠E=∠D=40°. 因为∠BMF=子∠BMD, 所以∠B=180°-∠E-∠ECB=80° 16.(1)因为∠EAB=∠DAC=60° 所以∠BME+∠DAF=之∠BAD.所以∠BG+∠BAE= 所以∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,即∠EAC= ∠BAD. ∠BAD=LEAF,即∠GAE=∠EAE 2 在△AEC和△ABD中，因为AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC 又因为AE=AE, AD. 所以△AEG≌△AEF(SAS), 所以△AEC≌△ABD(SAS). 所以EG=EF: (2)设AB与EC交于点G, 因为EG=BE+BG, 因为△AEC兰△ABD,所以∠AEC=∠ABD. 所以EF=BE+DF 因为∠AGC=∠AEC+∠EAB=∠AEO+60°=∠GFB (2)(1)中的结论仍然成立. +∠ABD=∠GFB+∠AEC. 如图2所示，延长EB到点G,使BG 所以LAEC+60°=∠GFB+∠AEC. =DF,连结AG 所以∠GFB=60°. 因为∠ABC+∠D=180°，∠ABG+ 图2 所以∠DFC=∠GFB=60°. ∠ABC=180°，所以∠ABG=∠D. 附加题1.(1)①因为∠BAC=∠DAE, 在△ABG和△ADF中，因为AB=AD,∠ABG=∠D,BG= 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= DF, ∠CAE. 所以△ABG≌△ADF(SAS) 又因为AD=AE,AB=AC, 所以AG=AF,∠1=∠2. 所以△ABD≌△ACE(SAS). 因为∠EP=宁∠BAD, ②BC⊥EC,理由如下： 因为△ABD≌△ACE,所以∠B=∠ACE. 所以∠2+∠3=号∠BMD, 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE. 所以∠1+∠3=∠BAD=∠EA,即∠GAE=∠EA 又因为∠BAC=90°， 所以∠B+∠ACB=90° 又因为AE=AE, 所以∠BCE=90°. 所以△AEG≌△AEF(SAS). 所以BC⊥EC 所以EG=EF. (2)a+B=180°，理由如下： 因为EG=BE+BG, 由(1)得∠B=∠ACE. 所以EF=BE+DF 一4素养·拓展 数理极 品陈溘 同学们在做因式分 解的题目时，由于种种 原因，常会出现这样或 数学诊所 双剑合璧分辉咒君 那样的错误，现针对这 些常见的错误进行剖 ©山西刘红武 因式分解的方法有提公因式法、公式法等， 析，希望同学们有则改 四、拆项法+分组分解法 之，无则加勉， 分 同学们在因式分解时往往会使用多种方法相结 例4把多项式分解因式：x3-2x2+1= 南 易错点1：对因式 合.所以在因式分解时，应根据所给多项式的结 分解的定义理解不透 构特征，确定分解方法以及使用顺序，做到目的 分析：先将-2x2拆成-x2-x2,再用分组分 例1因式分解： 明确、思路清晰、方法恰当. 解法分解因式即可 x2-4-3x 一、提公因式法+平方差公式法 解：原式=x3-x2-x2+1 错解：原式=(x+ 例1分解因式：3x2y-3y= =x2(x-1)-(x+1)(x-1) 2)(x-2)-3x. 分析：先提取公因式3y,再利用平方差公式 =(x-1)(x2-x-1) 剖析：因式分解的 法分解因式即可. 故填(x-1)(x2-x-1) 结果是几个整式的积的 解：原式=3y(x2-1)=3y(x+1)(x-1). 五、拼凑法+平方差公式法 形式，出现错解的原因是对因式分解的定义理 故填3y(x+1)(x-1). 例5分解因式：4x+1. 解不透，概念模糊 二、提公因式法+两数和（差）的平方公式法 分析：将此多项式先加上4x2凑成一个完全 正解：原式=(x+1)(x-4) 例2因式分解：a3-6a2+9a= 平方式，再减去4x2,利用平方差公式法分解因式 易错点2：公因式提不“净” 分析：先提取公因式a,再利用两数和（差） 即可 例2因式分解：4m-2m2= 的平方公式法分解因式得出答案， 解：原式=4x+1+4x2-4x2 错解：原式=2(2m-m2). 解：原式=a(a2-6a+9)=a(a-3)2 =(2x2+1)2-(2x)2 故填2(2m-m2). 故填a(a-3)2. =(2x2+2x+1)(2x2-2x+1). 剖析：错解的原因是没有把括号中多项式 三、整式的乘法+两数和（差）的平方公式法 六、十字相乘法+两数和（差）的平方公式法 的公因式m提取出来 例3因式分解：x2-y(2x-y)= 例6分解因式：(x2-4x)2+7(x2-4x)+ 正解：原式=2m(2-m) 12. 故填2m(2-m). 分析：先运用单项式与多项式相乘的法则 分析：将x2-4x看成一个整体，利用十字相 易错点3：提公因式后丢项 计算，再运用两数和（差）的平方公式法分解因 乘法和两数和（差）的平方公式法分解因式即 例3多项式2x3-4x2+2x因式分解为 可. 式即可. 解：原式=x2-2xy+y=(x-y)2. 解：原式=(x2-4x+4)(x2-4x+3) 错解：原式=2x(x2-2x) 故填(x-y)2 =(x-2)2(x-1)(x-3). 故填2x(x2-2x). 剖析：在提取公因式时，如果一个多项式有 第6期2版参考答案 14.(1)359924 (2)10609. n项，那么提取公因式后，剩下的多项式仍为n 11.3乘法公式 5 11.3.1两数和乘以这两数的差 基础训练1.B;2.A;3.-2;4.0 25感3ow 项.出现错解的原因是提出公因式2x后，剩下 的多项式漏掉一项 5aw-4；②)-y+0 +a=a4-l1a2+a. (2)当a=-2时，原式=(-2)4-11×(-2)2+ 正解：原式=2x(x2-2x+1)=2x(x- 1)2 6.(11:(2)399号 (-2)=-30. 16.(1)因为a-b=1,a2+b2=17,(a-b)2=a2 故填2x(x-1)2. 11.3.2两数和（差）的平方 +6-2ab,所以12=17-2ab,解得ab=8. 基础训练1.A;2.C;3.19. (2)根据题意，得 易错点4：公式混乱 4.(1)16a2-24ab+962; 5=2-2×b(a-b)=2+b2-ab. 例4因式分解：2x3-8x (2)5x2-42x+16:(3)9980.01: (4)a2-4ab+4b2+6ac-12bc+9c 因为a+b=7,所以(a+b)2=7,即a2+2ab+b2 错解：原式=2x(x2-4)=2x(x-2)2. 5.因为(x+y)2=25,(x-y)2=9,所以 49. 剖析：出现错解的原因是把平方差公式法 0g=x+-(x-]=×(☒-9)=4 因为ab=9,所以a2+b2+2×9=49,即a2+b2=31 a2-b2=(a+b)(a-b)与两数和（差）的平方 所以图中阴影部分的面积=31-9=22. (2r+y=(x+)2+x-yP]=3x(25202s3拿20024， (3)令2025-x=m,x-2024=n,则m+n= 公式法a2±2ab+2=(a±b)2混为一谈.平方 差公式法只含有两项，而两数和（差）的平方公 +9)=17: 因为(2025-x)(x-2024)=-6,所以mn.=-6. (3)x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2=(x2+y2)2 所以(2025-x)2+(x-2024)2=m2+n2=(m 式法则含有三项；平方差公式法中的平方项是 2(xy)2=172-2×42=289-32=257 +n)2-2mn=12-2×(-6)=13. 异号的，而两数和（差）的平方公式法中的平方 11.4整式的除法 11.4.1单项式除以单项式 附加题1.原式=2×[1-宁1+宁1+ 项是同号的 基础训练1.D;2.A;3.362. 正解：原式=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2). 4.(1)-4x;(2)12xy 1+1++ 易错点5：提出“_”后不变号 11.4.2多项式除以单项式 例5因式分解：-a2-4b2+4ab= 基础训练1.B;2.-2xy3+3xy;3.92-6x+1. =2×[1是)01+京)1+2)1+2]+品 4.(1)-x2+2x;(2)2x-4. 5.原式=-8xy. =2×1-1+01+1+品 错解：原式=-(a2+462+4ab)=-(a+ 当x=3,y=-时，原式=12. =2×[(1-2)(1+2]+2 1 2b)2 第6期3版参考答案 故填-(a+2b)2. -题号12345678 =2×1-品)+品=2-2+品=2 剖析：如果多项式的第一项的系数是负数 2.(1)①4：②4. 答案CAAD CB DB （2)设AC=x,BC=y. 一般要提出“-”，使括号中的第一项的系数为 二、9.16-9x2；10.18x3y2；11.4；12.6. 因为AB=8,所以x+y=8,所以(x+y)2三64 正.在提出“-”后，要注意改变各项的符号. 1 因为S+S2=44,所以x2+y2=44,所以x2+y2+2xy 三、13.(1)x2+4xy+4y2；(2)-3x+2y- 69 正解：原式=-(a2-4ab+4b2)=-(a-2b)2. (3)a2-462+4bc-c2. =4+2y=64,解得y=10.所以S△=2y=5 故填-(a-2b)2. 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话， 0351-5271268 2025年8月13日·星期三 初中数学 报纸发行质量反馈电话， 数评橘 第 7 期总第1151期 华东师大 0351-5271248 八年级 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-206 八年级数学华东师大 第一学期编辑计划 入门向导 众所周知，利用 提公因式法分解因 第1期 式的关键是正确找 10.1平方根和立方根 学习因式分解“四认清” 出公因式.下面举例 第2期 介绍公因式的几种 ◎四川潘志敏 专题辅导 10.2实数 类型，供同学们赏 因式分解是初中数学中一种重要的恒等变 例如：x2-3x+2=x(x-3)+2,这种变形只对 第3期 析 形，指的是把一个多项式表示成若干个整式的积 前面两项进行了分解，最后的结果是和的形式， 第10章复习与小结 、单项式公因 的形式正确理解因式分解的概念是进行因式分 ⑧ 第4期 这不是因式分解：ab+bc+ac=abc( 1+ 公因式类 解的前提和基础.同学们在学习这一知识时，要 单项式公因式 11.1幂的运算 认清以下几点 要做到“三看”： 赵少 第5期 方)，后面的式子的分母中出现了字母，不是整 一、认清因式分解与整式乘法的关系 看系数：若各 11.2整式的乘法 式，因而不是因式分解 项系数都是整数，则 因式分解是和差化积，整式乘法是积化和 第6期 四、认清因式分解的特殊要求 应选取各项系数的 差，是两种互逆的恒等变形的过程，因此因式分 11.3乘法公式； 因式分解应分解到不能再分解为止，相同的 最大公约数； 11.4整式的除法 解的结果是否正确，可以用整式乘法来检验.如 因式要写成幂的形式，每一个因式要尽量化简例 二看字母：选取 知多 (a+1)(a-1)=a2-1就是整式的乘法，而a 第7期 如：a3-64a=a(a2-64)这个分解就不彻底，因为 各项都含有的字母； .1=(a+1)(a-1)就是因式分解 a2-64还可以再分解为(a+8)(a-8). 三看字母的次 11.5因式分解 第8期 二、认清因式分解的对象 数：选取各个字母的 例 下列从左到右的变形中，属于因式分 因式分解的对象不仅要是整式，而且还必 最低次数 第11章复习与小结 解的是 1.数字公因式 第9期 须是多项式，如果不是多项式也就谈不上因式 A.(x+2y)2=x2+4xy+41 例1 若m+n=4,则2m+4mn+2n1 12.1命题、定义、定理与 分解，例如：yz=x·y·y·z就不是因式分解， B.-18xy3=-6x2y2·3x2y 5的值为 证明； 这是因为xyz是单项式，它本身就是整式的积 C.x(2x-y)+2y(2x-y)=(2x-y)(x+2y) A.27 B.11 C.3 D.0 12.2全等三角形的判定 的形式再例如：a- 1 b (ab-1)也不是因 D.x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1 解：因为m+n=4,所以2m2+4mn+2n2 b 分析：根据因式分解的意义求解， 5=2(m +2mn+n2)-5=2(m+n)2-5 条件 解：选项A中，等式从左到右的变形属于整 27. 12.2三角形全等的判定 式分解，这是因为a-不是整式 式的乘法；选项B中，等式左边是单项式，不能 故选A (SAS) 三、认清因式分解的结果 因式分解；选项C中，等式左边是多项式，等式 2.字母公因式 第10期 因式分解的结果是几个整式的积的形式， 例2把多项式x2-3x分解因式是 右边是整式的积，属于因式分解；选项D中，等 期中复习 不是部分的积，也不是积的和；因式要为整式 式的右边不是积的形式.故选C 第11期 A.x(x+3) B.x(x-3) 12.2三角形全等的判定 C.(x+3)2 D.(x+3)(x-3) 名师点睛 解：x2-3x=x(x-3) (ASA,SSS) 因式分解大秀场 故选B. 第12期 3.组合公因式 12.2三角形全等的判定 例3将2x2y -8x2y因式分解为 (HL) 第13期 ◎湖南李丽珍 解：原式=2x2y(y2-4)=2x2y(y+2)(y 因式分解是初中数学的重要知识，同时它 +9的值为 12.3等腰三角形 2) 也是一种重要的数学模型，与因式分解有关的 第14期 分析：先将a2-b2因式分解为(a+b)(a 故填2x2y(y+2)(y-2) 题型颇多，现撷取几例，供同学们参考 b),再根据a+b=1即可得解. 二、多项式公因式 12.4逆命题和逆定理 一、简便运算 例4分解因式(a2+a)2-(a+1)2的结 第15期 解：因为a+b=1,所以a2-b2+2b+9=(a 例1计算852-130×85+652的结果是 +b)(a-b)+2b+9=a-b+2b+9=a+b+ 果是 第12章复习与小结 9=10.故填10. 解：原式=[a(a+1)]2-(a+1)2 第16期 分析：利用两数和（差）的平方公式法分解 四、判断三角形的形状 =a2(a+1)2-(a+1) 13.1勾股定理及其逆定 因式，进而计算得出结果 例4若三角形的三边长分别为a,b,c,且 =(a+1)2(a2-1) 理； 解：原式=852-2×65×85+652=(85- 满足ab-ac=b2-bc,则这个三角形一定是 =(a+1)2(a+1)(a-1) 13.2勾股定理的应用 65)2=202=400.故填400 =(a+1)3(a-1). 第17期 二、解决整除问题 故填(a+1)3(a-1). 例2(-8)5+(-8)7能被下列数整除的是 A.直角三角形 B.等边三角形 第13章复习与小结 C.锐角三角形 D.等腰三角形 本周住讲 第18期 A.5 B.6 分析：将ab-ac=b2-bc分解因式整理可 14.1数据的收集； 11.5因式分解 C.7 D.9 得(b-c)(a-b)=0,进而可得结果 14.2数据的表示； 分析：将(-8)5+(-8)7提取公因式(-8) 解：因为ab-ac=b-bc 学习目标：1理解因式分解的意义，并感受 第14章复习与小结 即可求解 所以a(b-c)=b(b-c) 因式分解与整式乘法是相反方向的变形 第19~26期 解：因为(-8)3+(-8)7=(-8)×[1+ 所以a(b-c)-b(b-c)=0. 2.掌握并熟练运用提公因式法和公式法因 巩固提高（合刊） (-8)2]=65×(-8)5=13×5×(-8)5,所 所以(b-c)(a-b)=0. 式分解的基本方法， 以(-8)5+(-8)7能被5整除.故选A. 所以b-c=0或a-b=0. 认知重点：能够综合运用这两种方法进行 三、求整式的值 所以b=c或a=b. 因式分解， 例3已知a+b=1,则整式a2-b2+2b 所这个三角形一定是等腰三角形.故选D. 2 素养专练 人 数理极 11.5.2公式法(1) 11.5.2公式法(2) 跟踪训练 垦础训练 垦砂训练 GENZONGXUNLIAN 1.下列多项式中，能用平方差公式进行因式 1.分解因式：n-n= ( 11.5因式分解 分解的是 ( A.n3-n B.n(n2+1) 11.5.1因式分解的概念与提公因式法 A.x2+9 B.X2-6x+9 C.n(n+1)(n-1)D.n2(n-1) C.4x2-36 D.x2+4x+4 2.因式分解：2m3+12m2+18m= 屋础训练 2.已知a≠c,若M=a2-ac,N=ac-c2,则 3.如果a-b=4,ab=2,那么2a3b-4a2b2+ 1.对于①(x+1)(x-1)=x2-1,②x-2xy M与N的大小关系是 ( ）2ab的值为 =x(1-2y)从左到右的变形，表述正确的是 A.M>N B.M=N X 4.把下列各式分解因式： C.M<N ( D.不能确定 (1)-4ax2+8a.xy-4ay2; A.都是乘法运算 3.因式分解：am2-25=」 B.都是因式分解 4.若多项式x2-(m-1)x+16能用两数和 C.①是乘法运算，②是因式分解 (差)的平方公式进行因式分解，则m= D.①是因式分解，②是乘法运算 2.单项式24ab与4ab2的公因式是( 5.把下列各式分解因式： A.4 B.4a C.4ab D.4ab2 (1)x2-4y2; (2)(2x+y)2-(x+2y)2; 3.分解式：2a-4= 4.根据如图所示的拼图过程，写出一个多项 式的因式分解： 口0口0一 5.已知a+3b=0,则a3+3a2b-2a-6-5 (3)ax4-8ax2+16a. 的值为 (2)-x2-4y2+4xy; 6.把下列各式分解因式： (1)a2+ab+2a; 5.如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两 个整式下方箭头共同指向的整式 (2)4x2y3+8x2y2x-12xy2z (3)1 +(x+1)(x+2); (1)求整式M,P; (2)将整式P因式分解 3x(x-3) M 3x2-4x-20 [(x+2 (3)12(x-y)3+15x(y-x)2. (4)16x4-81y4 能刀提高 6.已知x+2z=3y,试判断x2-9y2+42+4xz 的值是不是定值如果是定值，求出它的值；如果 能刀提高 不是定值，请说明理由. 7.现有三个多项式：①2m2+m-4,②2m2+ 6.已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+ 9m+4,⑧2m2-m.请你选择其中两个进行加（或2b)226的值。 减)法计算，并把结果因式分解 (1)我选择 进行」 _法运算； (2)请写出解答过程. X 数理报社试题研究中心 (参考答案见9期) 数理极 素养·测评 5 16.(15分)将一个多项式适当分组后，可提 同步检】 公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解 法 例如：分解因式：2x2-2y+y2-4. TONGBUJIANCE 【检测范围：11.5】 原式=(x2-2xy+y2)-4 =(x-y)2-22 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 为关联多项式，则m的值为 =(x-y+2)(x-y-2). 题号12345 678 11.若将(2x)”-625分解成(4x2+25)(2x+ (1)仿照以上方法分解因式： 5)(2x-5),则n的值是 答案 ①25x2+10x-y2+1; 12.已知m=4n+6,且m2-6mn+16n2=35 ②x2-4y2+2x+4y 1.多项式12ab2-8ad2bc的公因式是( )则m2n-4mn2的值为 (2)已知a,b,c为△ABC的三边长，a2+5+ A.4ab B.4a2b2 三、耐心解一解（共52分） -4ab-6b-10c+34=0,求△ABC的周长. C.2ab D.2abo 13.(15分)把下列各式分解因式： 2.下列从左到右的变形，属于因式分解的是 (1)4mx-6my+2m; ( A.4x2y=4x·xy B.x2+x+1=x(x+1)+1 C.2a2+4a=2a(a+2) D.(a+2)(a-2)=a2-4 (2)x2(x-1)-16(x-1); 3.若x+y=3,x-y=1,则x2-y2的值为 () A.1 B.2 C.3 D.-3 附加题⊙ 4.如果多项武x2+1加上一个单项式后，能够 (以下试题供各地根据实际情况选用)》 直接用两数和（差）的平方公式进行因式分解，则 (3)4(a+b)2-12(ab+b2)+9b2. 1.(10分)阅读下列因式分解的过程，再回答 添加的单项式不可以是 ( 所提出的问题： A.2x B.-2x 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 c .- =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) 5.如图1，有一张边长为b =(1+x)3. 的正方形纸板，在它的四角各 14.(12分)利用因式分解计算： (1)上述分解因式的方法是 剪去边长为a的正方形，然后将 (1)42.52+85×57.5+57.52; (2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ 四周突出的部分折起，制成一 …+x(x+1)2025的结果是 个无盖的长方体纸盒.用M表 (3)利用(2)中的结论计算：5+52+53+…+ 52025 示其底面积与侧面积的差，则M 可因式分解为 () A.(b-2a)(b-6a) B.(b-2a)(b-3a) (2)19×1.47+33×2.94+1.5×14.7. C.(b-a)(b-5a) D.(b-2a)2 6.甲、乙两位同学在对多项式x2+bx+c分解 因式时，甲看错了b的值，分解的结果是(x-4)(x 2.(10分)阅读下列材料： +5),乙看错了c的值，分解的结果是(x+3)(x 若一个正整数x能表示成a2-(a,b是正整 4),那么x2+bx+c分解因式正确的结果为 数，且a>b)的形式，则称这个数x为“明礼崇德 15.(10分)“以形释数”是利用数形结合思想数”，a与b是x的一个平方差分解，例如：5=32- A.(x-5)(x-4) B.(x+4)(x-5) 解答代数问题的一种体现，利用图2中边长分别为2？，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分 C.(x-4)(x+5) D.(x+4)(x+5) a,b的正方形，以及长为a,宽为b的长方形卡片若解；再如：M=2+2xy=x2+2xy+y-y2=（x 7.下列各式不是多项式23-3x2-2x+3的因干张，拼成图3的长方形. +y)2-y2(x,y为正整数)，所以M也是“明礼崇德 式的 ( (1)请用两种不同的整式表示图3的面积，写数”，(x+y)与y是M的一个平方差分解。 A.x-1 出一个表示因式分解的等式： B.x+1 (1)判断9 “明礼崇德数”（填“是” C.2x-3 D.3x-2 (2)利用上述方法，画出面积为2a+5ab+或“不是”)； 8.若a2(b+c)=b2(a+c)=2026,a≠b,则 2b2的长方形，并求出此长方形的周长（用含a,b的 (2)已知(x2+y)与x是P的一个平方差分 整式表示) abc的值为 解，求代数式P; (3)已知N=4x2-9y2+8x-18y+k(x,y是 A.2026 B.1013 C.-2026 D.-1013 正整数，k是常数，且x>y+1),要使N是“明礼崇 图 图3 德数”，试求出符合条件的k值， 二、细心填一填（每小题4分，共16分） 9.将多项式m2-12m+36因式分解的结果是 10.若两个多项式有公因式，则称这两个多项 数理报社试题研究中心 式为关联多项式，若a2+10ab+25b2与a2b+mab2 (参考答案见9期)