第8期 22.3相似三角形的性质 22.4图形的位似变换-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（沪科版 安徽专版）

4 素养·拓展 A 数理极 (上接第3版) 18.(10分)小明和几位同学做手的影子游 戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到 重点集圳营 辅助线周周练 物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物 体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他 位似变换中点的坐标的确定 1.如图1所示，AB=4,AC=2,以BC为底 们做了以下尝试 1.如图1，△OAB与△OA'B'位似，其中A, 边向上构造等腰直角三角形BCD,连接AD并 (1)如图16-①，垂直于地面放置的正方 B的对应点分别为A',B',A',B均在图中正方 延长至点P,使PD=AD,则PB的最大值为 形框架ABCD,边长AB为30cm,在其上方点P 形网格格点上，若线段AB上有一点P(m,n), 处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横 则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为 向影子A'B,D'C的长度和为6cm.那么灯泡离 地面的高度PM为多少？ (2)不改变图16-①中灯泡的高度，将两 A(受2) B.(m,n) 个边长为30cm的正方形框架按图16-②摆 C.(2m,2n) D.(2n,2m) 放，请计算此时横向影子A'B,D'C的长度和为 2.如图2，在口ABCD中，对角线AC和BD 多少？ 相交于点0，AD=5,AC=8,BD=6,延长BC 至点E,连接OE交CD于点F,若∠E= ∠ACD,则线段OF的长为 2 图2 2.如图2，在平面直角坐标系中，正方形 ▣怕 ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心 半迎 01小乙7=70散米锰率☑H座‘到 的位似图形，且相似比为1：3，点A,B,E在x轴 上，若正方形BEFG的边长为3，则D点坐标为 斗明N0￥里用0aY群滑·号-沿 d0 19.(12分)如图17，在菱形ABCD中，M为 3.如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的 用33V~01V组里3a∥M0号 AD的中点，BM与AC的交点为E,点F在边BC 三个顶点的坐标分别为C(1,2),B(2,3),A(4, 上，AF交BM于点G,且∠BGF=∠ABC. =子：0话都率衫码中张出 1). (1)求证：△BAG∽△BMA: Y钳‘b=30=a0R型采‘：等晋aDa （1)以原点0为位以中心，在第三象限内画 (2)若∠ABC=60°，连接CG,求证：CG⊥ L‘W学⊥aaTW00学g‘WO 个△A,B,C,使它与△ABC的相比为2：1； BM. (2)点B,的坐标为 跟‘N学中0准【些】广乙 ￥智具 ad‘H彩并学三d‘a‘a乐‘Aa=Va恬 渐凸本卓垂‘乙矿乙=HQ乙=d风 ‘z矿=1a单：三斟群￥aaHV -8-7-6-5-4-3-2-110123.45x pav7影‘st=4av7=0807 对= 得-阳恁鞋来留唑望刮明 图3 6/ 处坩三其具金群‘(H8‘d☒县‘☑ 20.(12分)如图18，矩形ABCD的对角线 数理报社试题研究中心 =dV到‘a学王V斗‘4avVH毙丁 AC,BD相交于点F,延长BC到点E,使CE= (参考答案见10期) 回g栲头a门【些】矿乙+bI【孝鼻】 外十十 BC,连接DE,连接AE交BD于点G,交CD于点 H. 第7期2版参考答案 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到 22.2相似三角形的判定（第一课时） OA=3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=5 (I)求证：DG2=FG·BG; 基础训练1B:2.D;3子；44：21 (2)若AB=14,BC=24,求线段GH的长 BC=25,在△ABC和△ACD中，因为6=5-5， 度 5.ch的长为号 器95光，所-光 22.2相似三角形的判定（第二课时） 基础训练1.D:2.B:3.70:4.1.4 所以△ABC∽△ACD. 能力提高5.(1)作图略. 第7期3版参考答案 (2)证明略. 题号12345678 22.2相似三角形的判定（第三课时） 基础训练1.D;2.C;3.2或8： 答案AC B CC B BB 4.(1,4)或(3,4). 能力提高5.(1)证明：因为四边形ABCD是正方 二、9.LAED=∠B(答案不推-)；10.号 形，所以∠A=∠D=90°，AB=CD,因为CF=3FD,所 11.丁；12.30°或60°；13. 3； 14.4或7 以FD=子CD,因为E是AD的中点，所以AE=BD 三、15.证明略. 子4D,所以始-2S-分所以△4BE△DER 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以 ∠ADC=∠BEC=90°，因为∠C=∠C,所以△ACD∽ (2)△ABE与△BEF相似，理由略. 22.2相似三角形的判定（第四课时） △c,所号-能即显-品压为Lc-c 数理报社试题研究中心 基础训练1.A;2.C;3.18; 所以△CAB∽△CDE. (参考答案见10期) 4能=福（答案不液一 (2)AB的长为约 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话： 2025年8月21日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 8 期总第1152期 沪科 0351-5271248 装理揭 中考(AH) 上接4版参考答案 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 17.证明：(1)因为 AC平分∠DAB,所以 ∠DAC=∠CAB.因为 名师课堂 例1 如图1是跷 /AD0= ∠ACB 跷板示意图，支柱OM 90°，所以△ADC :性质应用小超市 经过AB的中点O,OM △ACB,所以AD:AC AC:AB,所以AC ■■■■■■口 与地面CD垂直于点M AB·AD ◎山东王文静 相似三角形具有“周长比等于相似比；对应 OM=30cm,当跷跷板 (2)因为E为AB 2 S△AEF 的中点，所以CE=BE 中线的此、对应角平分线的比、对应高的比都等 S ACDF 的一端A着地时，另一 =AE,所以∠EAC T 端B离地面的高度为 ∠ECA.因为∠DAC = 于相似比：面积比等于相似比的平方”等性质】 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所 ∠CAB,所以∠DAC cm. ECA.又因为∠AFD 灵活运用上述性质，可以帮助同学们解决许多以AB=CD,AB∥CD,所以∠AEF=∠CDF 陈 ∠CFE,所以△AFD 相关问题。 ∠EAF=∠DCF,所以△EAF∽△DCF,因为 相似三角形用 A△CFE. 应用一：相似三角形周长的比等于相似比 A 18.(1)证明：因为 AE 2 AE D B BC AC ,所以 例1 若两个相似三角形周长的比为1：4， =子，所以 AB CD 号，所以SAr 图1 AD DE AE △ABC∽△ADE,所以 则这两个三角形对应边的比是 () 解析：过B作BE⊥ ∠BAC=∠DAE,所以 A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 (品：各故填 CD 3 CD于E,则OM∥BE ∠DAF ∠DAE-∠DAF,所以 解析：因为两个相似三角形周长的比为1： 应用三：相似三角形对应高的比等于相似比 因为0是AB的中点，所 ∠BAD= ∠CAE. 4,所以相以三角形对应边的比为1：4.故选B. 例3已知△ABC△DEF,且AC:DF= 以QA 多 (2)∠EBC=21 AB 2 易证得 (3)证明：由(1)知 应用二：相似三角形面积的比等于相似比 2:3,BC与EF边上的高分别记为h,和h2,则 △BAE∽△OAM,所 OM ∠BAD=∠CAE.因为 的平方 BE =AB=2,所以BE AB AC 所以 例2 如图，在平行四 h:h2等于 AD A6. C =20M=2×30=60(cm).故填60 AD 边形ABCD中，E是线段AB 解析：因为△ABC∽△DEF,AC:DF=2: 所以△ABD 例2《九章算术》中 AE' △ACE. 上- 点，连接AC,DE交于点 3,所以h,:h2=AC:DF=2:3.故填2：3. 有这样一个问题：“今有 19.(1)证明：因为 邑方不知大小，各中开门， 四边形ABCD是正方 方法技巧 形，所以AB= 出北门一百步立一表，出 BC ∠BAE ∠BCF 45°.因为BE=BF, 、∠BEF=∠BFE.所 位似变换中点的坐标的确贡 西门二百二十五步适可见 之，问邑方几何？”它的意 2 、∠AEB=∠CFB.所 思是：如图2，M,N分别是正方形城邑ABCD的 以△ABE≌△CBF.所 ⊙安徽赵华 边AD,AB的中点，ME⊥AD,NF⊥AB,已知EF 以AE= C 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以与△AB'C'的相似比为 (2)证明：因为 过点A,且ME=100步，NF=225步，那么该正 原点为位似中心，变换后的图形与变换前图形1：2，点A是位似中心，已 BEC =∠BAE 方形城邑的边长AD约为 步 ∠ABE =45°+∠ABE 的相似比为k,那么原图上点(x,y)的对应点的知点A(2,0),点C(a, /ABF= /EBF 解析：因为ME⊥AD,NF⊥AB,所以 ABE=45°+∠ABE 坐标为(kx,y)或(-kx,-ky);对于位似中心 b),∠C=90°，则点C'的 客2 ∠FNA=∠AME=90°.因为四边形ABCD是 所以∠BEC=∠ABF 非原点的位似变换，解题时要充分发挥位似图 坐标为」 (结果用含a,b的式子表示). 因为 ∠BAF=∠BCE 正方形，所以∠MAN=90°，所以∠F= =45°，所以△ABF 形的定义和相似三角形的性质的作用。 解析：过点C,C'分别作x轴的垂线CD, △CEB 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 CD',垂足分别为D,D'.因为△ABC与△AB'C ∠BM,所以△ANE∽△FN,所以器-货 (3)EB EG.BE LEG.理由略. 例1如图1，在平面直 的相似此为1：2，点A是位似中心，4(2,0)，所 设AD=2a步，则AM=AN=a步，因为ME= 20.(1)证明：因为 角坐标系中，矩形OABC的顶 以AD'=2AD,因为C(a,b),所以AD=a-2, 在△ABC中，∠BAC= 100步，WF=25步，所以2 =100，解得a 90°，AB=AC,所以∠B 点0在坐标原点，边OA在x CD=b,所以AD'=2a-4,CD'=2b,所以 ∠C=45°.因为∠B A 150(负值舍去)，所以正方形城邑的边长AD= 轴上，边OC在y轴上，如果矩 -6 D'(2-2a+4,0),所以C'(6-2a,-2b).故填 ∠BPE+∠BEP 2a=300步.故填300. 180°，所以∠BPE 形OA'B'C'与矩形OABC关 图1 (6-2a,-2b) 例3“矩”在古代 ∠BEP=135°.因为 ∠EPF=45°，∠BPE 三、求位似中心的坐标 指两条边呈直角的曲尺 ∠EPF ∠CPF 于点0位似，且相似比为)，那么点B'的坐标为 例3如图3，已知 (即图中的DEF).小南 180°，所以∠BPE CPF 135°，所 ）矩形ABC0与矩形 利用“矩”测量大树AB ∠BEP=∠CPF,又因 A.（3,2) B.（-3,2)或(3，-2)ODEF是位似图形，M是 的高度.如图3，小南通 为∠B= ∠C, 所以 △BPE∽△CFP. C.(-3,-2) D.(2,3)或(-2，-3) 位似中心，若点B的坐 过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使 (2)△BPE 解析：由图可得B(-6,4),因为矩形 标为(4,3)，点E的坐标 斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直 △CFP.理由略 OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且相似比 线上.已知“矩”的两边长分别为EF=0.2m, (3)动点P运动到 BC中点位置时，△BPE 为(-2，号)，则图中点M的坐标为 为 DE=0.3m,点D到地面的距离DM为1.6m, △PFE相似，理由 ,所以当矩形OA'B'C'在第二象限时，点B 解析：因为点B的坐标为(4,3)，点E的坐 测得AM=21m,则树高AB为 m. 第7期4版参考答案 解析：根据题意，得∠DEF=∠BCD= 的坐标是(-6× 重点集训营 2,4 2),即(-3,2)：当矩形标为(-2，)，所以4B=3,01=4,0D= 2 90°，∠EDF=∠CDB,所以△DEF△DCB, 相似三角形的判定 1.D;2.2或2 OA'B'C'在第四象限时，点B'的坐标是(6× 因为矩形ABCO与矩形ODEF是位似图形，M是 所以EF BC DE =CD 3.略 因为EF=0.2m,DE=0.3m,AM=CD (全文完) -4×),即(3，-2).故选B. 位以中心，霸贸治=亨：所以w 0.2BC 2 =21m,所.号-2=号，解得BC=14m 二、位似中心非原点，求图形上点的坐标 =0A=4,所以M点坐标为(-4,0).故填 因为AC=DM=1.6m,所以AB=AC+BC= 例2如图2，在平面直角坐标系中，△ABC(-4,0) 15.6m.故填15.6. 素养专练 数理极 22.3相似三角形的性质（第二课时） 22.4图形的位似变换 跟踪训练 基础训练 垦础训练 1.如图1-①，“矩”在古代指两条边成直角 1.如图1，在正方形网格中，以点0为位似中 22.3相似三角形的性质（第一课时） 的曲尺，它的两边长分别为a,b.中国古老的天文 心，△ABC的位以图形可以是 ( 和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了 A.△DEF B.△DFH 堡础训练 “矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把 C.△GEH D.△GDJ 1.若两个相似三角形的相似比为2：3，其中 “矩”仰立放可测物体的高度，如图1-②，从 较小的三角形的周长为8，则较大的三角形的周 i “矩”AFE的一端A望向树顶端的点C,使视线通 长为 ( 过“矩”的另一端E,测得AB=1.5m,BD= A.6 B.8 C.12 D.16 6.2m.若“矩”的边EF=30cm,边AF=60cm, 则树高CD为 ( 图1 图2 2.如图1，在△ABC中，点D,E分别在边AB A.3.1m B.4.6m 2.如图2，在正方形网格中，两个阴影部分的 和AC上，连接DE,若 =1,则S AADE:S西边形Dc C.5.3m D.4.2m 格点三角形位似，则位似中心为 2 A.点M B.点N 的值为 C.点P D.点Q A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3 3.如图3，△ABC与△DEF是位似图形，点O 0.4m 为位似中心，且OA:0D=1:2,若△ABC的周长 ① 图1 图2 为8，则△DEF的周长为 ( 2.如图2，数学兴趣小组下午测得一根长为 A.4 B.22 C.16 D.32 0.8m的竹竿影长是1m,同一时刻测量树高时发 图2 现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得 3.两个相似三角形的面积之比为1：4，小三 留在墙壁上的影高1.2m,地面上的影长为3m, 角形一条边上的中线长为4，则另一个三角形对 请你帮算一下，树高是 m 应边上的中线长为 3.如图3，AD,BC为两 图3 图4 A.8 B.6 C.4 D.5 路灯，身高均为1.8m的小 4.在平面直角坐标系中，△ABC与△A,B,C, 4.如图2所示的是某家用晾衣架的侧面示意 明、小亮站在两路灯之间， 关于原点0位似，点A及其对应点A,的坐标分别 图，已知AB∥PQ,根据图中数据，P,Q两点间的 两人相距6.5m,小明站在 为(-1,2)，(3，-6)，则△ABC与△ABC的相 P处，小亮站在Q处，小明在 图3 似比为 距离是 ) A.0.6m B.0.8m 路灯C下的影长AP为2m,路灯BC高9m,则路灯 5.如图4，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是 C.0.9m D.I m AD的高为 以点0为位似中心的位图形，已知件=子，若 5.如图3，D,E分别是△ABC的边AB,BC上的 能刀提高 四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面 点，DE∥AC,若SARDE:SACDE=1:3,则SADOE 4.龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神 积为 SA4Oc的值为 异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一， 能刀提高 政府部门在某广场上做了一个龙形雕像.某数学 兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度， 6.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如 如图4，雕像的高度为AB,在地面BC上取E,G两 图5所示 点，分别竖立两根高均为1.5m的标杆EF和GH, (1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的 两标杆间隔EG为8m,并且雕像AB,标杆EF和 △AB1C1; 6.如图4，有一块三角形余料ABC,它的边BC GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2m到D处 (2)以点M(1,2)为位似中心，作出 =18cm,高AD=12cm,现在要把它加工成长与 (即ED=2m),从D处观察A点，A,F,D三点在 △ABC1按1：2放大后的位似图形△AB2C2; 宽的比为3：2的矩形零件EFCH,要求一条长边在 一条直线上；从标杆GH后退3m到C处（即CG= (3)求点A2的坐标以及△ABC与△A,B,C2 BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，则矩形 3m),从C处观察A点，A,H,C三点也在一条直线 的周长比 EFGH的周长为 cm. 上.已知B,E,D,G,C在同一直线上，AB⊥BC,EF 能力提高 ⊥BC,GH⊥BC,请你根据以上测量数据，帮助兴 趣小组求出该龙形雕像的高度. 7.如图5，D,E,F分别为△ABC的边BC,CA, AB上的点，DE/∥AB,∠A=∠ED若20-子， S△Ac=50,求四边形AFDE的面积 数理报社试题研究中心 (参考答案见10期) 数理极 素养·测评 3 的2倍，得到△A'OP',则Pp'的长为 同 步 检测题（七 【检测范围：22.3-22.4】 图11 1 15cm,BC边上的高为12cm,现要把它分割成若： 14.如图12，在△ABC中，AB=AC=5,BC= (满分：120分) 干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，6，点D为AC边的中点，点E为BC边上一动点，连 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 分割方式如图5所示（分割线的耗料不计），使最接ED并延长，交BA的延长线于点F,当点A恰好 题号1 2 34567 8 底层的小长方形的长为5cm的边在BC上，则按如为BF的中点时，DE的长为 答案 图方式分割成的小长方形零件最多有 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 15.(10分)已知△ABC在平面直角坐标系中 1.下列选项中的两个相似图形，不是位似图 形的是 的位置如图13所示，其中点A和点B的坐标分别 为A(2,6),B(6,2) (1)在第一象限画出△ABC以原点0为位似中 心的位以图形△A,BC,使△ABC与△AB,C,的相 比为2：1： 2.如果两个相似三角形的相比为16：9，那 8.如图6，DE平分等边△ABC的面积，折叠 (2)画出△A,B,C,绕点A,按逆时针方向旋转 么这两个三角形对应边上的高之比为 )△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H90°后的△A,B,C A.16:9 B.4:3 两点.若DG=1,EH=√5，则GH的长为( C.9:16 D.256:81 3.如图1，嘉嘉要测量池塘两岸A,B两点间的 A.2 B.3C.25D.4 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 距离，先在AB的延长线上选定点C,测得BC= 9.如图7，在平面直角坐标系中，△ABC和 5m,再选一点D,连接AD,CD,作BE∥AD,交CD 于点E,测得CD=8m,DE=4m,则AB的长为 AB △A'BC'是以原点0为位似中心的位似以图形， 012345678910 图13 ( A.3 m B.4 m C.5m D.6m 7,已知4(1,2)，则顶点A'的坐标为 16.(10分)小言家窗外有一个路灯，每天晚上 灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道 这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识 后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图14， 路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的 长度为DE,小言测得窗户距离地面高度BF= 图1 图2 图7 8 4.如图2，在△ABC中，点D在BC边上，连接 0.7m,窗高BC=1.4m,某一时刻，FD=0.7m, 10.如图8，平行于地面的圆桌正上方有一个 AD,点G在线段AD上，GE∥BD且交AB于点E,灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在的高度OA :DE=2.1,请你根据小言测得的数据，求出路灯 GF∥AC且交CD于点F,若、SA=4 S四边形EBDG ，AC=地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影 的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米， 9,则GF的长为 ( ）桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距 A.2 B.3 c号 D.6 离为 米 5.如图3是一个铁夹子的侧面示意图，点C是 11.如图9，在平面直角坐标系中，口OABC的 连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D.这个侧面图 :顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一点，过点 是轴对称图形，直线OC是它的对称轴若DA= E作EF∥BC,交AB于点F,OC=2,∠A0C= 15mm,D0=24mm,DC=10mm,则点A与点B之 45°，点A的坐标为(4,0)，点F的横坐标为5，则EF 的长为 间的距离为 ( A.20 mm B.30 mm C.40 mm D.50 mm Y 17.(10分)如图15，△ABC中，DE∥BC,BE与 B CD交于点O,A0与DE,BC分别交于点N,M. (1)若点M是BC的中点，求证：DN=EN; 图9 图10 (2)若ON:OM=2:5,四边形BCED的面积 0 6 12.四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出为42，求△ABC的面积 图3 图4 :现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.如图 6.如图4，在平面直角坐标系中，已知点0(0， 0),4(6,0),B(0,8),以某点为位似中心，作出与 :10是古代测量员用四分仪测量一方井深度的示意 △AOB的相似比为k的位似△CDE,若点D(1,I), 图，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望 :井底点F,窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H,四 点C(4,1),则位似中心的坐标和k的值分别为 分仪为正方形ABCD,方井为矩形BEFG.若测量员 从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE A.(0,0),2 B.(2,2),7 为2，则井深BG为■ D1,)号 13.如图11，△A0C中三个顶点的坐标分别为 C.(2,2),2 A(4,0),0(0,0),C(4,3),AP为△A0C的一条中 7.有一块锐角三角形余料△ABC,边BC为线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来 (下转第4版)中考数学沪科(AH)第6~9期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学沪科(AH) 第6~9期 第6期2版 第6期3版 22.1.1相似多边形 题号1 2 345678 基猫训练1C:2D:3号： 答案BBC DCDBB 4.2y=3x或3y-2x=10. 7 二9.5； 10.8:1.18；12号或-2；13.51.2 5.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 14.22. 碧=号或=受解得1=4或1=1所以当M,N运动4s 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= 或1s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似 ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= 22.1.2成比例线段 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB 基础训练1.D;2.B;3.2;4.(25-2): =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 能力提高5.(1)BD=12. 16.(1)a=2,b=6,c=10. (2)根据题意可设AD=x,则BD=5x,所以AB=6x.因 (2)由(1)知a=2,b=6,又因为m是a,b的比例中项， 为点C把线段AB分为2：3的两段，所以4C=子4B=号， 所以m2=ab,即m2=12,所以m=±25，因为m>0,所以m 5, =25. 5-x=7 所以CD=AC-AD=12:-x 5x.因为cD=了所以5x 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 =7,解得x=5.所以AB=6x=30. 以BE=BC. 22.1.3比例的性质 (2)AB=BC.理由：因为AD∥EP,所以F=二，因为DF 基础训练1.D;2.A;3.(455-45)；4.3;5.6. CF BE' =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC BC'SAAND %又 能力提高6.(1)证明：因为=0△@=C0 18.(I)过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF, 为-二所以2：品所以D是c的成金分制 所以答=2.因为AD是△4BC的中线，所以BD=DC,所以 点 BG=G,因为DG/CE,所以气=品.因为E为4D的中点， (2)由I)知器-品所以BD-52'8c所以C= 2 所以4正=ED,所以4P=FG=BG,所以品=分 Bc-D=c-5c=3,5c,两为=是 = (2)过点D作DH∥CF,交AB于点H.因为DH∥CF,所 2 2 SAABC 35,所以So=3≥53=30-105 嘴-盖因为品=士所以嘴=士所以Fm=MP,由 2 2 (1)知FH=BH,所以BH=FH=kAF,所以BF=2kAF,所以 22.1.4平行线分线段成比例 AE-AF」 1 基础训练1.D:2.B:3,2:4.6;5号 BF=2kAF=2k 19.(1)如图，设AB=x,由翻折的性质得， 6(因为AD∥BE∥F,所以光=器=号，所以 ∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF=∠BDF =90°. 2华0=号，所以DE=4,所以DF=DE+P=4+10= DE 因为∠ACE=LACB+∠ECB=∠BCF= ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 14. ∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD=BC=√2x,所以AD= (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以C = DE AB+BD=(2+1)x,所以EF=CE=AD=(2+1)x,因为 =宁所以0M=6,因为AD少能∥c,所以器=是 QG PH DE=AC=AB=,所以D=E+=(万+2)，所以5 所以分=子，所以PH=15 -5+2E=5+2=万 (2+1)xW2+1 中考数学沪科(AH) 第6~9期 (2)相似.理由：由(1)知，A5纸长边为A4纸短边，长为 所以BE=25a,EF=5a,BF=5a, （万+)x,A5纸短边长为(2兰)x,所以在A5纸中，长边： 所以BFP=EF2+BE2,即∠BEF=90, 所以∠A=∠BEF=90°， 短边=5+)x=万，所以A4纸与A5纸相似. (2x 阴端-易2等祭2 20.(I)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 所以是-=所以△4E一△ 点所以点E是中点，且光-怨所以-器=号 22.2相似三角形的判定（第四课时） 基础训练1.A;2.C;3.18; (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连接BQ,CQ,则四 边形4B0C是平行因边形，所以PW∥B0.PN∥c0,所以岩 4%-品（答案不推一） 品光品所瑞光 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= AB=AC 3,OB=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=√5，BC=25, (3)证明：过点D作DE∥Pw交AB于E,所以是-治 在△c和△D中，两为%=气-5%=25-， 2 又因为PN∥4c,所以E∥AC,所以装-品所以瑞-是 ABBC 能-后-5，所治-器-把所△4c△dn 西×记同理可得=化xD, x AE=APCD 绕-6品所以岩+袋-光 第7期3版 ×畏+0=铝 题号12345678 答案ACBCCBBB 第6期4版 重点集训营 =9.∠ABD=∠B(答案不旅-：10.子；1山.T 平行线分线段成比例 14em:26;3.9:413:526 1230°或60：13写；44或7 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= 第7期2版 ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 22.2相似三角形的判定（第一课时） ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又因为∠DGE= 基醒训练上：2,3子：44：21 ∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又因为∠ACB=∠FEG=90°， 所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC= 5CH的长为号 ∠BEF,所以△AGC∽△EFB. 22.2相似三角形的判定（第二课时） 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= 基础训练1.D:2.B:3.70:4.1.4. ∠BEC=90°，因为∠C=∠C,所以△ACD∽△BCE,所以 CE 能力提高5.(1)作图略。 2)证明：因为AD平分LBAC,所以∠BAD=方∠B4C, =瓷母是=又因为∠C=LC,所以△cB△cE (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=方∠BMC, Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= 所以∠BAD=∠C,又因为∠ABD=∠CBA, 所以△ABD△CBA. 6Cc=5,因为△4CD△BCE,所品-能所以4D 22.2相似三角形的判定（第三课时） 9,所以4C=亭所以AB=AC=空 3 基础训练1.D;2.C;3.2或8； 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB. 4.(1,4)或(3,4). 因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB,所以AD: 能力提高5.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所 以∠A=∠D=90°，AB=CD, AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD. (2)因为E为AB的中点，所以CE=BE=AE,所以∠EAC 因为CF=3fD,所以FD=子CD, =∠ECA.因为∠DAC=∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为 因为E是AD的中点，所以A北=ED=之4D, ∠AFD=∠CFE,所以△AFD∽△CFE. 所以治-踢=子所以△AE△DER 1R)证明：因为品=能=长所以△4C一△0E, 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)△ABE与△BEF相似，理由如下： ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. 设AB=AD=CD=4a, (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 因为E为边AD的中点，CF=3FD, ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 所以AE=DE=2a,DF=a, ∠EBC=∠BAD=21°. 2— 中考数学沪科(AH) 第6~9期 (3)证明：由(1)知∠8D=∠C4北因为8-长所以 ∠ADB,∠C=∠C,所以△ABD∽△FED,△ABC∽△HGC,所 AC =0所以△ABD~△ACE 结品-瓷因为球c=15m所以品品 BD BC' 因为BD=BE+DE=2+BE,BC=BE+EG+CG=3+8+ 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC, 3 ∠BAE=∠BCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE 、BE=1山+BE,所以2十BE=11十BE,解得BE=16m,则BD 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF. (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, =能+E=16+2=18(m),因为号品-能所以品-品 ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= 解得AB=13.5m ∠ABF因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 答：该龙形雕像的高度为13.5m (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 22.4图形的位似变换 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 5 基础训练1C:2.D;3.C:4了；5 △BEF△CGP,所以特=供即器-器因为∠BFG 能力提高 6.(1)图略 ∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF=∠BCF=45°.所 (2)图略. 以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG,∠BEG=90°，所以 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△AB2C2的周长比是 BE⊥EG. 1:2. 20.(I)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 第8期3版 以∠B=∠C=45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 题号1 2 345678 ∠BPE+∠BEP=135°.因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+ 答案CAC BBBDA ∠CPF=180°，所以∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP= ∠CPF,又因为∠B=∠C,所以△BPE∽△CFP. =924:103:1221213含或5 (2)△BPE∽△CFP.理由如下： 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ 三、15.图略 ∠BEP=135°.因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF= 16.0A的高度是6.3m 180°，所以∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, 为∠B=∠C,所以△BPE∽△CFP. (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， △4NE△AMc所u-器-所以-祭又 理由如下： 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DW=EN 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 (2因为DE∥c.所以器=器号因为DE/BC, △BPE∽△PFE. 所以△D0E一△C0B,所u2哈-胎=子，因为DE∥BC,所 第7期4版 重点集训营 以AC所=瓷：去设sm: 相似三角形的判定 >0),则S△c=25x,因为四边形BCED的面积为42，所以25x 1.D; 22或号 -4x=42,解得x=2,所以Sa4Bc=50. 18.(1)灯泡离地面的高度PM为180cm. 3.证明：(1)因为AB=AC,所以LB=∠C,因为CE=BF, (2)设横向影子A'B,D'C的长度和为xcm,同理可得 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= △PAD~△PHD,所以品-路即09需解得=2， LB,因为AB=A04B,4C=AB,所以号=是即号 所以横向影子A'B,D'C的长度和为12cm 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC,因 A长所以△ACE一△AFQ 为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=180°-∠BGF,因为∠AGB= 18O°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG=∠MBA,所 第8期2版 以△BAG∽△BMA. 22.3相似三角形的性质（第一课时） (2)连接CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 基础训练1.C;2.B;3.A;4.A; CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 56:630 CB=CD.又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥ 能力提高7.四边形AFDE的面积为24. BC,所以CM1BC由()得始-g所以BG~BM=A6,所 22.3相似三角形的性质（第二课时） 基础训练1.B;2.3.6;3.12. 以BG·BM=BC2.所以BC=BC 人BC=BM 能力提高4.由题意得，AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,EF 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 =GH=L.5m,EG=8m,ED=2m,CG=3m,因为∠FDE= ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 3 中考数学沪科(AH) 第6~9期 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 2)em(0≤t≤多.因为∠B=∠B,∠EFB=∠CAB=90, 以△ADG△EBG,所以DC=AS由题意，得AD∥CE,AD= BG EG CE,所以四边形ACED是平行四边形，所以AC∥DE,所以 所以△BrE一R△BC,所以=能=器即学=号所 △AGF∽△BGD.所以尧-瓷所以瓷-尧所以DG= 以BF=gcm,EF=gcm,所以DF=(4-号)em,因为CD FG·BG ⊥DE,所以∠CDE=90°，所以∠ADC+∠EDF=90°，因为 (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, ∠BAC=90°，所以∠ADC+∠ACD=90°，所以∠ACD= 所以DH=之DC=之B=7,4D=CE=24.在R△ADH中， ∠BF,所以△4CD△mE,所以品=是即3E 4- = AP=AD2+DH,所以AH=√72+24=25，所以AE=50. 因为△ADG~△EBC,所以%-品=宁，所以4G=宁E, 所以1=帚秘 5 所以AG= 合4E=9所以GH=A-AG= 八、23.(1)证明：因为△ABC∽△ADE,所以∠B=∠D, 3 AB BC 第8期4版 品=因为P,G分别是BC,DE的中点，所以BF=2BC, 重点集训营 位似变换中点的坐标的确定 DG 2分1. DE,所以影 1BC 1 =脱=品所以△A6D 1.C; DE 2 3.（1)图略. △AFB (2)(-4,-6). (2)连接AF,AG,取BC的中点H,连接AH,因为4CF= 第9期综合评估卷 BC,4BG=BD,所以器-5又因为AC=士BC,则CP= 题号12345678910 答案DBCBACDBAB 子C=AC.设CF=a则BC=4a,所以B=CH=AH= 二11.2：1；12.4；13.14.4：14.2,2 3 2BC=2a,AC=2a,所以AC=CH=AH=2a,则△ACH是 三、15.甲、乙两地的实际距离是12.5km. 等边三角形，又因为CF=FH=a,所以AF⊥BC,因为∠ABC 16.不一定相似，理由：根据题意，得∠D=∠H=360°- 100°-90°-120°=50°，∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G, =30,所以F=宁4B,因为△MC△MDE,所以号=器 对应角都相等，但是两个四边形对应边的比值无法确定，所以 -怨<C=∠E,∠CB=∠BD=0所以先-能所以 四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似. 四、17.(1)图略. △AcF~△AEG所以6=长.∠CF=∠EAG又因为 (2)3:1. ∠CAB=∠EAD=90°，所以∠FAB=∠GAD.所以∠FAB+ (3)9+35+32. 18.(1)证明略. ∠BG=∠GD+∠G,即∠AG=∠BD又因为 = (2)证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,所以∠ABC =∠BCD,又因为∠BCE=∠ABD,所以∠DBC=∠DCE,因为 品所荒-拾所u△4PG640.所u品-品= ∠Bc=LmE所以△ecAB,所-品所以c- (3)连接P,由(2)得%-据所以PG-指·m,所以 DE·DB 当G在AF上，且AF⊥BC,D在AB上时，FG取得最小值.因为 五、19.这条河的宽度为30米. 20.(1)证明：因为AD⊥BC,DE⊥AC,所以∠ADC= AC=4,AE=2,△1BC△A0E,所以8能-治=2，当E在AC ∠AED=90°.因为∠DAC=∠DAE,所以△DAE∽△CAD,所 院-品所以A=ACA因为8=AC,所以AD 上，D在B上时，因为需-织所以凭-%-2，又因为∠C AB·AE. =∠AED=60,-先=2，所以△MEG△4CR所以 (2)瓷的值为号（提示：证△AGE一△DC). ∠AGE=∠AFC.又因为ED∥BC,所以A,G,F三点共线，所以 六、2L.(1)明德楼的高PA为12米 FG=AP-AG=AF-7AF=74R所以当AF⊥BC时，FG (2)塑像EF的影长FN为4米. 取得最小值，最小值为)AF.在R△ABC中，∠ABC=30°，AC 七.208安号 =4,所以BC=8,AB=43.在Rt△ABF中，∠ABC=30°，所 (2)过点E作EF⊥AB于点F,设运动时间为t秒时，CD⊥ DE,AD =t em,BD =(4 -t)cm,BE 2t cm,CE (5 以AF=2B=2.所以FG的最小值为5 4