第7期 22.2相似三角形的判定-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（沪科版 安徽专版）

中考数学沪科(AH)第6~9期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学沪科(AH) 第6~9期 第6期2版 第6期3版 22.1.1相似多边形 题号1 2 345678 基猫训练1C:2D:3号： 答案BBC DCDBB 4.2y=3x或3y-2x=10. 7 二9.5； 10.8:1.18；12号或-2；13.51.2 5.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 14.22. 碧=号或=受解得1=4或1=1所以当M,N运动4s 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= 或1s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似 ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= 22.1.2成比例线段 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB 基础训练1.D;2.B;3.2;4.(25-2): =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 能力提高5.(1)BD=12. 16.(1)a=2,b=6,c=10. (2)根据题意可设AD=x,则BD=5x,所以AB=6x.因 (2)由(1)知a=2,b=6,又因为m是a,b的比例中项， 为点C把线段AB分为2：3的两段，所以4C=子4B=号， 所以m2=ab,即m2=12,所以m=±25，因为m>0,所以m 5, =25. 5-x=7 所以CD=AC-AD=12:-x 5x.因为cD=了所以5x 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 =7,解得x=5.所以AB=6x=30. 以BE=BC. 22.1.3比例的性质 (2)AB=BC.理由：因为AD∥EP,所以F=二，因为DF 基础训练1.D;2.A;3.(455-45)；4.3;5.6. CF BE' =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC BC'SAAND %又 能力提高6.(1)证明：因为=0△@=C0 18.(I)过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF, 为-二所以2：品所以D是c的成金分制 所以答=2.因为AD是△4BC的中线，所以BD=DC,所以 点 BG=G,因为DG/CE,所以气=品.因为E为4D的中点， (2)由I)知器-品所以BD-52'8c所以C= 2 所以4正=ED,所以4P=FG=BG,所以品=分 Bc-D=c-5c=3,5c,两为=是 = (2)过点D作DH∥CF,交AB于点H.因为DH∥CF,所 2 2 SAABC 35,所以So=3≥53=30-105 嘴-盖因为品=士所以嘴=士所以Fm=MP,由 2 2 (1)知FH=BH,所以BH=FH=kAF,所以BF=2kAF,所以 22.1.4平行线分线段成比例 AE-AF」 1 基础训练1.D:2.B:3,2:4.6;5号 BF=2kAF=2k 19.(1)如图，设AB=x,由翻折的性质得， 6(因为AD∥BE∥F,所以光=器=号，所以 ∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF=∠BDF =90°. 2华0=号，所以DE=4,所以DF=DE+P=4+10= DE 因为∠ACE=LACB+∠ECB=∠BCF= ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 14. ∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD=BC=√2x,所以AD= (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以C = DE AB+BD=(2+1)x,所以EF=CE=AD=(2+1)x,因为 =宁所以0M=6,因为AD少能∥c,所以器=是 QG PH DE=AC=AB=,所以D=E+=(万+2)，所以5 所以分=子，所以PH=15 -5+2E=5+2=万 (2+1)xW2+1 中考数学沪科(AH) 第6~9期 (2)相似.理由：由(1)知，A5纸长边为A4纸短边，长为 所以BE=25a,EF=5a,BF=5a, （万+)x,A5纸短边长为(2兰)x,所以在A5纸中，长边： 所以BFP=EF2+BE2,即∠BEF=90, 所以∠A=∠BEF=90°， 短边=5+)x=万，所以A4纸与A5纸相似. (2x 阴端-易2等祭2 20.(I)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 所以是-=所以△4E一△ 点所以点E是中点，且光-怨所以-器=号 22.2相似三角形的判定（第四课时） 基础训练1.A;2.C;3.18; (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连接BQ,CQ,则四 边形4B0C是平行因边形，所以PW∥B0.PN∥c0,所以岩 4%-品（答案不推一） 品光品所瑞光 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= AB=AC 3,OB=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=√5，BC=25, (3)证明：过点D作DE∥Pw交AB于E,所以是-治 在△c和△D中，两为%=气-5%=25-， 2 又因为PN∥4c,所以E∥AC,所以装-品所以瑞-是 ABBC 能-后-5，所治-器-把所△4c△dn 西×记同理可得=化xD, x AE=APCD 绕-6品所以岩+袋-光 第7期3版 ×畏+0=铝 题号12345678 答案ACBCCBBB 第6期4版 重点集训营 =9.∠ABD=∠B(答案不旅-：10.子；1山.T 平行线分线段成比例 14em:26;3.9:413:526 1230°或60：13写；44或7 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= 第7期2版 ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 22.2相似三角形的判定（第一课时） ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又因为∠DGE= 基醒训练上：2,3子：44：21 ∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又因为∠ACB=∠FEG=90°， 所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC= 5CH的长为号 ∠BEF,所以△AGC∽△EFB. 22.2相似三角形的判定（第二课时） 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= 基础训练1.D:2.B:3.70:4.1.4. ∠BEC=90°，因为∠C=∠C,所以△ACD∽△BCE,所以 CE 能力提高5.(1)作图略。 2)证明：因为AD平分LBAC,所以∠BAD=方∠B4C, =瓷母是=又因为∠C=LC,所以△cB△cE (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=方∠BMC, Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= 所以∠BAD=∠C,又因为∠ABD=∠CBA, 所以△ABD△CBA. 6Cc=5,因为△4CD△BCE,所品-能所以4D 22.2相似三角形的判定（第三课时） 9,所以4C=亭所以AB=AC=空 3 基础训练1.D;2.C;3.2或8； 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB. 4.(1,4)或(3,4). 因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB,所以AD: 能力提高5.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所 以∠A=∠D=90°，AB=CD, AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD. (2)因为E为AB的中点，所以CE=BE=AE,所以∠EAC 因为CF=3fD,所以FD=子CD, =∠ECA.因为∠DAC=∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为 因为E是AD的中点，所以A北=ED=之4D, ∠AFD=∠CFE,所以△AFD∽△CFE. 所以治-踢=子所以△AE△DER 1R)证明：因为品=能=长所以△4C一△0E, 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)△ABE与△BEF相似，理由如下： ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. 设AB=AD=CD=4a, (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 因为E为边AD的中点，CF=3FD, ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 所以AE=DE=2a,DF=a, ∠EBC=∠BAD=21°. 2— 中考数学沪科(AH) 第6~9期 (3)证明：由(1)知∠8D=∠C4北因为8-长所以 ∠ADB,∠C=∠C,所以△ABD∽△FED,△ABC∽△HGC,所 AC =0所以△ABD~△ACE 结品-瓷因为球c=15m所以品品 BD BC' 因为BD=BE+DE=2+BE,BC=BE+EG+CG=3+8+ 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC, 3 ∠BAE=∠BCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE 、BE=1山+BE,所以2十BE=11十BE,解得BE=16m,则BD 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF. (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, =能+E=16+2=18(m),因为号品-能所以品-品 ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= 解得AB=13.5m ∠ABF因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 答：该龙形雕像的高度为13.5m (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 22.4图形的位似变换 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 5 基础训练1C:2.D;3.C:4了；5 △BEF△CGP,所以特=供即器-器因为∠BFG 能力提高 6.(1)图略 ∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF=∠BCF=45°.所 (2)图略. 以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG,∠BEG=90°，所以 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△AB2C2的周长比是 BE⊥EG. 1:2. 20.(I)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 第8期3版 以∠B=∠C=45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 题号1 2 345678 ∠BPE+∠BEP=135°.因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+ 答案CAC BBBDA ∠CPF=180°，所以∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP= ∠CPF,又因为∠B=∠C,所以△BPE∽△CFP. =924:103:1221213含或5 (2)△BPE∽△CFP.理由如下： 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ 三、15.图略 ∠BEP=135°.因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF= 16.0A的高度是6.3m 180°，所以∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, 为∠B=∠C,所以△BPE∽△CFP. (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， △4NE△AMc所u-器-所以-祭又 理由如下： 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DW=EN 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 (2因为DE∥c.所以器=器号因为DE/BC, △BPE∽△PFE. 所以△D0E一△C0B,所u2哈-胎=子，因为DE∥BC,所 第7期4版 重点集训营 以AC所=瓷：去设sm: 相似三角形的判定 >0),则S△c=25x,因为四边形BCED的面积为42，所以25x 1.D; 22或号 -4x=42,解得x=2,所以Sa4Bc=50. 18.(1)灯泡离地面的高度PM为180cm. 3.证明：(1)因为AB=AC,所以LB=∠C,因为CE=BF, (2)设横向影子A'B,D'C的长度和为xcm,同理可得 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= △PAD~△PHD,所以品-路即09需解得=2， LB,因为AB=A04B,4C=AB,所以号=是即号 所以横向影子A'B,D'C的长度和为12cm 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC,因 A长所以△ACE一△AFQ 为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=180°-∠BGF,因为∠AGB= 18O°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG=∠MBA,所 第8期2版 以△BAG∽△BMA. 22.3相似三角形的性质（第一课时） (2)连接CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 基础训练1.C;2.B;3.A;4.A; CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 56:630 CB=CD.又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥ 能力提高7.四边形AFDE的面积为24. BC,所以CM1BC由()得始-g所以BG~BM=A6,所 22.3相似三角形的性质（第二课时） 基础训练1.B;2.3.6;3.12. 以BG·BM=BC2.所以BC=BC 人BC=BM 能力提高4.由题意得，AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,EF 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 =GH=L.5m,EG=8m,ED=2m,CG=3m,因为∠FDE= ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 3 中考数学沪科(AH) 第6~9期 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 2)em(0≤t≤多.因为∠B=∠B,∠EFB=∠CAB=90, 以△ADG△EBG,所以DC=AS由题意，得AD∥CE,AD= BG EG CE,所以四边形ACED是平行四边形，所以AC∥DE,所以 所以△BrE一R△BC,所以=能=器即学=号所 △AGF∽△BGD.所以尧-瓷所以瓷-尧所以DG= 以BF=gcm,EF=gcm,所以DF=(4-号)em,因为CD FG·BG ⊥DE,所以∠CDE=90°，所以∠ADC+∠EDF=90°，因为 (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, ∠BAC=90°，所以∠ADC+∠ACD=90°，所以∠ACD= 所以DH=之DC=之B=7,4D=CE=24.在R△ADH中， ∠BF,所以△4CD△mE,所以品=是即3E 4- = AP=AD2+DH,所以AH=√72+24=25，所以AE=50. 因为△ADG~△EBC,所以%-品=宁，所以4G=宁E, 所以1=帚秘 5 所以AG= 合4E=9所以GH=A-AG= 八、23.(1)证明：因为△ABC∽△ADE,所以∠B=∠D, 3 AB BC 第8期4版 品=因为P,G分别是BC,DE的中点，所以BF=2BC, 重点集训营 位似变换中点的坐标的确定 DG 2分1. DE,所以影 1BC 1 =脱=品所以△A6D 1.C; DE 2 3.（1)图略. △AFB (2)(-4,-6). (2)连接AF,AG,取BC的中点H,连接AH,因为4CF= 第9期综合评估卷 BC,4BG=BD,所以器-5又因为AC=士BC,则CP= 题号12345678910 答案DBCBACDBAB 子C=AC.设CF=a则BC=4a,所以B=CH=AH= 二11.2：1；12.4；13.14.4：14.2,2 3 2BC=2a,AC=2a,所以AC=CH=AH=2a,则△ACH是 三、15.甲、乙两地的实际距离是12.5km. 等边三角形，又因为CF=FH=a,所以AF⊥BC,因为∠ABC 16.不一定相似，理由：根据题意，得∠D=∠H=360°- 100°-90°-120°=50°，∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G, =30,所以F=宁4B,因为△MC△MDE,所以号=器 对应角都相等，但是两个四边形对应边的比值无法确定，所以 -怨<C=∠E,∠CB=∠BD=0所以先-能所以 四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似. 四、17.(1)图略. △AcF~△AEG所以6=长.∠CF=∠EAG又因为 (2)3:1. ∠CAB=∠EAD=90°，所以∠FAB=∠GAD.所以∠FAB+ (3)9+35+32. 18.(1)证明略. ∠BG=∠GD+∠G,即∠AG=∠BD又因为 = (2)证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,所以∠ABC =∠BCD,又因为∠BCE=∠ABD,所以∠DBC=∠DCE,因为 品所荒-拾所u△4PG640.所u品-品= ∠Bc=LmE所以△ecAB,所-品所以c- (3)连接P,由(2)得%-据所以PG-指·m,所以 DE·DB 当G在AF上，且AF⊥BC,D在AB上时，FG取得最小值.因为 五、19.这条河的宽度为30米. 20.(1)证明：因为AD⊥BC,DE⊥AC,所以∠ADC= AC=4,AE=2,△1BC△A0E,所以8能-治=2，当E在AC ∠AED=90°.因为∠DAC=∠DAE,所以△DAE∽△CAD,所 院-品所以A=ACA因为8=AC,所以AD 上，D在B上时，因为需-织所以凭-%-2，又因为∠C AB·AE. =∠AED=60,-先=2，所以△MEG△4CR所以 (2)瓷的值为号（提示：证△AGE一△DC). ∠AGE=∠AFC.又因为ED∥BC,所以A,G,F三点共线，所以 六、2L.(1)明德楼的高PA为12米 FG=AP-AG=AF-7AF=74R所以当AF⊥BC时，FG (2)塑像EF的影长FN为4米. 取得最小值，最小值为)AF.在R△ABC中，∠ABC=30°，AC 七.208安号 =4,所以BC=8,AB=43.在Rt△ABF中，∠ABC=30°，所 (2)过点E作EF⊥AB于点F,设运动时间为t秒时，CD⊥ DE,AD =t em,BD =(4 -t)cm,BE 2t cm,CE (5 以AF=2B=2.所以FG的最小值为5 4素养·拓展 A 数理极 (上接第4版) 19.(12分)如图17-①，点E,F在正方形 ABCD的对角线AC上，∠EBF=45 重点集训营 辅助线 周周练 (1)当BE=BF时，求证：AE=CF; (2)求证：△ABF∽△CEB: 相似三角形的判定 1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC (3)如图17-②，延长BF交CD于点G,连 1.在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5 =BC,在AC上取一点D,在AB上取一点E,使 接EG,判断线段BE与EG的关系，并说明理由 AC=7,将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角 ∠BDC=∠EDA,过点E作EF⊥BD于点N,交 形与原三角形不相似的是 BC于点F,若CF=8,AD=11,则CD的长为 2.将三角形纸片△AB0 按如图1的方式折叠，使点B 落在边AC上，记为点B',折 2.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC,∠D= 痕为EF.已知AB=AC=3, 90°，BC=CD=12,∠ABE=45°，点E在DC BC=4,若以点B',F,C为顶 上，AE,BC的延长线相交于点F,若AE=10,则 点的三角形与△ABC相似，则BF= SAE+SACEF的值是 3.如图2所示，在等腰△ABC中，AB=AC, 点E,F在线段BC上，CE=BF,点Q在线段AB 具goS+3ws 上，且AE2=AQ·AB.求证： 用半口W群部‘xH半‘盘x⊥关不 (1)∠CAE=∠BAF: 缸兴部☑群单‘AQ'QV业￥x出‘x=IO (2)△ACE∽△AFQ. 0I=NV=IV年‘，专aaVV唑aNVV 音‘Na7恬aOaV韩‘N士VaT 20.(12分)在△ABC中，AB=AC,∠BAC Wa/a丹‘Va斗【些】8b恒0z =90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透 1▣怕4&=Ha甲‘H8V 明三角板，使45°角的顶点落在点P处，三角板 云HaV组義斟其苦群￥‘忆=HaM‘x 可绕P点旋转 (1)如图18-①，当三角板的两边分别交 =Q0很a0=Ha子=作a恬省增钢明鲜 AB,AC于点E,F时，求证：△BPE∽△CFP; 单张三甜毙钟‘W⊥Ha T Wa/ (2)将三角板绕点P旋转到图18-②情形 aIa=HaE眉士Haa7=H7恬 时，三角板的直角顶点交BA的延长线于点E, 创粱A宫矣塑彩小弹·-别 斜边交AC于点F,则△BPE与△CFP还相似吗 3HaV∽aav71婚‘H士彩斗明 (只需写出结论)？ 数理报社试题研究中心 a0卒aTHa,a丹【些部】￡'1【苦号】 (3)在(2)的条件下，连接EF,则动点P运 (参考答案见下期) 十中十十十十十十十十十十十 十 十十十十十十十十十十十十十十十十十十十 动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？请说 CD 明理由 第6期2版参考答案 22.1.1相似多边形 BC=BD所以D是BC 基霜训练1C:2:3号 的黄金分割点. (2)S4cm=30-105. 4.2y=3x或3y-2x=10. 22.1.4平行线分线段成比例 5.当M,N运动4s或1s能使矩形CFWM与矩形 基础训练1.D;2.B;3.2;46;5.分 AEFD相以 22.1.2成比例线段 6.(1)DE=4,DF=14. 基础训练1.D;2.B;3.2;4.(25-2) (2)PH=15. 能力提高5.(1)BD=12. 第6期3版参考答案 (2)根据题意可设AD=x,则BD=5x, -、题号12345678 所以AB=6x 答案BB C D C D BB 因为点C把线段AB分为2：3的两段 所以4C=号B=号， =9.了；10.8：1.18；12.子或-2 13.51.2:14.22 所以0=4c-A0=号-=子 三、15.证明：因为菱形AEFG∽菱形ABCD 所以∠DAB=∠EAG. 因为cD=7,所以子=7，解得x=5 所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB 所以AB=6x=30. =∠GAD, 22.1.3比例的性质 因为四边形ABCD,AEFG都是菱形， 基础训练1.D;2.A;3.(455-45);4.3 所以AE=AG,AB=AD, 5.6. 所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB 数理报社试题研究中心 SBDS△= 16.(1)a=2,b=6,c=10 (参考答案见下期) 能力提高6()证明：因为分 =BC'S△BD (2)m=25. (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话： 2025年8月14日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 数评橘 第 7期总第1151期 沪科 中考(AH) 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 17.(1)证明：因为 EC平分∠FEB, 重点精讲 一、条件开放题 所以∠FEC 例1 如图1，∠1= ∠BEC, 因为EF∥BC 分析已知条件确定证明方法 ∠2，添加一个条件使得 所以∠BCE △ADE △ACB: 标 思维天地 ∠FEC, ⊙山西王潇 O 所以LBCE 类型1：已知条件涉及平行线 证明：因为CD=CE,所以∠CDE 河 ∠BEC, 例1如图1，在△ABC中 ∠CED,所以∠ADB=∠AEC. 所以BE=BC. ∠DEF=∠B,DE∥BC.求证： 因为2AD=3AE,2BD=3CD (2)AE=BC.理由 △ADE∽△EFC. 孙鸿 证明：因为DE∥BC,所以 图1 2 图1 18(1)部=2 1 ∠DEF=∠EFC,△ADE∽△ABC.因为∠DEF 所以△ABD∽△ACE. 解析：由∠1=∠2 (2)F =∠B,所以∠EFC=∠B,所以EF∥AB,所以 温馨提示：当已知两个三角形的两边对应 得∠1+∠BAE=∠2+ △EFC∽△ABC,所以△ADE∽△EFC. 成比例时，要考虑其夹角是否相等，利用“两边 19.(1)A4纸较长 ∠BAE,即∠DAE 温馨提示：当已知条件涉及平行线时，可直成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明 边与较短边做比为2 接利用“平行于三角形一边的直线与其他（或两 ∠BAC.两个三角形纪有 三角形相似 (2)相似理由略 组角对应相等，只要再添 20.(1)过点D作 边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相 类型4：已知条件只涉及边 组角对应相等即可，如 DE∥PM交AB于E, 似”来证明两个三角形相似. 例4如图4，在△ABC和△A'B'C'中，点 因为点D为BC中 类型2：已知条件只涉及角 .广分别是4合上的点损-招当 ∠D=∠C或LE=∠B;也可以添加边对应成 例2如图2，在 所以点E是AB中 Rt△ABC中，∠ACB=90° 点且 AC=BC,P为△ABC内部 品==时求证：△ 比例，如是=拾 故填∠D=∠C或∠E=∠B或品 所以光 △A'D'C AM 点，∠APB=∠BPC=135° 求证：△PAB∽△PBC. 二、结论开放题 证明：因为∠ACB=90°，AC=BC,所以 例2如图2，在平面直角坐标系中，点A(0 ∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC.又因为∠APB (2)证明：延长AD 2),B(4,4),C(1,0),D(9,4),E(5,0),F(11,2). 至点Q,使DQ=AD,连 =135°，所以∠PAB+∠PBA=45°，所以 接BQ,CQ,则四边形 ∠PBC=∠PAB.又因为∠APB=∠BPC= 4 ABQC是平行四边形 135°，所以△PAB∽△PBC. 证明：因为治-招所以识 B 所以PM∥BQ,PN∥ 温馨提示：当已知条件只涉及角时，可用 A'DAB c0,错-6 “两角分别相等的两个三角形相似”来证明两个 AO'AC 三角形相似.解决这类题时，要注意图中公共 因0=长所以品光 图2 品所以瑞 角、对顶角等隐含条件 AD (1)判断由点A,B,C构成的三角形ABC与 (3)证明：过点D 类型3：已知条件既有角又有边 A'D,所以△ADC△4A'D'C 由点D,E,F构成的三角形DEF是否相似，并说 作DE∥PM交AB于E, 例3如图3，在 温馨提示：当已知条件只涉及边时，利用 明理由； 以兴-光 △ABC中，CD=CE,2AD “三边成比例的两个三角形相似”来证明两个三 (2)若点P1(8,3),P,(7,2),P3(6,1), 又因为PM∥AC =3AE,2BD=3CD,求证： 角形相似是常用方法.判断三边是否成比例时， P,(8,1),P,(10,3),则在点P,P2,P3,P4,P, 所以DE∥AC, △ABD∽△ACE. 可先将三角形的边按大小顺序排列 所始-熙 D,F这7个点中选取3个点作为三角形的顶点， 题型空间 使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个 所以- AM 符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不 -光×巼 网络中的相似三角形 AE 必说明理由)， ©安徽顾心言 解：(1)△ABC和△DEF相似 同理可得秋 在近几年的各种考试中，网格中的格点三 AB:AB1=2:1.故填2：1 理由：根据勾股定理，得AB=25,AC= BD 角形（顶点在网格交点处）相以问题频频出现 BC' 二、识别相似三角形 5,BC=5:DE=42,DF=22,EF=210 所以1 这些试题，将相似三角形的基础知识的考查寓 例2 如图2 AC 于新颖的情境之中，既开拓了同学们的视野，又 △ACD的三个顶点均 2,所以△ABC∽ 4 考查了同学们知识的迁移、类比能力，对培养同在1×4的网格的格点 DE 学们的创新意识和创新能力有很好的导向作上·现任选三个格点， △DEF. 图2 第6期4版参考答案 用.以下几例供同学们参考 组成一个格点三角形与△ACD相似（不全等）， (2)答案不惟一.如图3，下面6个三角形 重点集训营 平行线分线段成比例 一、确定相似比 则这个格点三角形可以是 (写出一个 中的任意2个均可. 例1如图1是一个4×4的 1.4cm;2.6 即可). 正方形网格，△ABC与△A,BC 解析：由勾股定理，得CD=1,AC= 3 3；4.13: 都是格点三角形，并且△ABC 2+1下=√2，AD=√2+22=√5，FH= △A,BC1,则△ABC与△AB,C 5.26. √+1下=2，H训=2，FJ=√/2+32=√10 （全文完) 的相似比是 图1 解析：由勾股定理，得AC1=1,A,B,=2, 所以5-光-升=反，以△F△DC AC=2,AB=22,由△ABC∽△A,B,C,可同理可得△EIA△DCA,△GEC△DCA, △PPD,△P4P、F,△P,P4D,△P4PD 知，△ABC与△A,B,C,的相似比=AC:A,C,=△HDB△DCA.故填△FHW(答案不惟一). △P2P4P,△PFD 素养专练 数理叔 接DF,则图中与△ACE相似的三角形共有 点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P 跟踪训练 的坐标是 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 能刀提高 22.2相似三角形的判定（第一课时） 40°，点D是边AC上的动点（点D不与，点A,C重 5.如图5，在正方形ABCD中，E是AD的中 合)，当∠BDC = 度时，△ABC 点，点F在CD上，且CF=3FD. 垦础训练 △BDC. (1)求证：△ABE△DEF: 1.如图1，在△ABC中，DE∥BC,GF∥AC, (2)△ABE与△BEF相吗？为什么？ GF,DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角 形共有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 图3 4.如图4，在矩形ABCD中，E是边BC的中 点，连接AE,DF⊥AE于点F.若AB=4,BC=6, 则EF的长为 图2 能刀提高 2.如图2，AD∥EF∥BC,点G是EF的中点， EF 5.如图5，在△ABC中，∠BAC=2∠C. BC = 若F=6,则》的长为 (1)在图中作出△ABC的内角平分线AD(要 求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明)； A.6 B号 C.7 D. 2 22.2相似三角形的判定（第四课时） (2)求证：△ABD∽△CBA 3.如图3，BD是△ABC的中线，点E在线段 BC上，连接AE交BD于点F,过点D作DG∥BC, 屋础训练 1.已知△ABC三边长分别是1,2,5，则与 △ABC相似的三角形三边长可能是 ( A.2,2,6 R916 c1, D..8 2.如图1，在4×4的正方形网格中，是相似三 图3 角形的是 ( 4.如图4，AD是△ABC的中线，E是AD边上 A.①和② B.②和③ 一点，且AD=4AE,连接BE并延长，交AC于点F C.①和③ D.无法确定 过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G,则 22.2相似三角形的判定（第三课时） GF:BE 屋础训练 5.如图5，AB∥GH∥CD,点H在BC上，AC 与BD交于点G,AB=2,CD=3,求GH的长 1.如图1，下列条件不能判定△ADB∽ △ABC的是 ( ) A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC 3.已知一个三角形的三边长分别为6cm C.AB2=AD·AC D.AB·BC=AD·DB 9cm,7.5cm,另一个三角形的三边长分别为 12cm,15cm, cm时，这两个三角形相似 6 4.如图2，在四边形 75\ ABCD中，∠BAC=∠ADC= 图2 90°，添加一个条件 2.下列四个三角形中，与如图2中△ABC相 可以利用定理“斜边和直角边 图2 似的是 对应成比例，两个直角三角形相似”证明 Rt△DCA∽Rt△ABC 22.2相似三角形的判定（第二课时） 能刀提高 堡础训练 5.如图3，在平面直角坐标系中，已知A(3, 3.如图3，在△ABC中，4B=8,BC=16,点P0),B(0,4),C(4,2),作CD1x轴，垂足为点D, 1.如图1，在矩形ABCD中，E,F分别是CD 是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ 连接AB,BC,AC.求证：△ABC∽△ACD. BC上的点.若∠AEF=90°，则一定有( 时，△BPQ与△BAC相似 A.△AEF∽△ABFB.△ABF△ECF C.△ADE∽△AEF D.△ADE∽△ECE 4 3 图3 01234x 图3 图4 4.如图4，在已建立直角坐标系的4×4的正 2.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 方形方格中，△ABC是格点三角形（三角形的三个 数理报社试题研究中心 AB边的中点，AF1CD于点E,交BC边于点F,连：顶点是小正方形的顶点)，若以格点P,A,B为顶 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 同 步 达 检测题（亢） 【检测范围：22.2】 (满分：120分) 上有一点D,过点D画一条直线，与三角形的另一 边相交所截得的三角形与△ABC相似，这样的直 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 线最多可以画 题号1 23456 7 A.5条B.4条 C.3条 D.2条 8.如图6，在四边形ABCD 16.(10分)如图14，AD和BE都是△ABC的 答案 H 高，相交于点F,连接DE. 中，∠A=∠C=90°，DF∥BC, 1.如图1，在△ABC中，点 (1)求证：△CAB∽△CDE; D在AB上，点E在AC上，DE∥ ∠ABC的平分线BE交DF于点 (2)若点D是BC的中点，CE=6,BE=8,求 6 BC,若AE=4,5C-22的 G,CH⊥DF,点E恰好为DH的中B兰 D AB的长 点，若AE=3,CD=2,则GH的长为 值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 图1 B. 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 2 9.如图7，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC c 边上，要使△ABC∽△AED,则需要添加的一个条 件是 (写出一个即可). 2.如图2，D是△ABC边AB上一点，连接CD, 则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC 的是 ( A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB C.4D_CD ·AC=BC D.AC2=AD·AB 10.如图8，AB与CD相交于点E,点F在线段 17.(10分)如图15，四边形ABCD中，AC平分 AD上，且BD∥EF∥AC.若DE=5,DF=3,CE∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连 =0,的值为 ;接CE.求证： (1)AC2=AB·AD; 11.如图9所示，棋盘上有A,B,C三个黑子与 (2)△AFD∽△CFE. P,Q两个白子，要使△ABC∽△RPQ,则第三个白 3.如图3，在口ABCD中，E是AB的中点，EC子R应放的位置是 （填“甲”“乙”“丙”或 交BD于点F,那么EF与CF的比是 “丁”) A.2:1B.1:2C.1:3 D.3:1 4.下列各组图形必相似的是 ( 666o A.任意两个等腰三角形 B.有两边对应成比例，且有一个角对应相等 00 的两个三角形 C.两边及其中一边上的中线对应成比例的两 图9 图10 个三角形 12.如图10，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C D.两边为4和5的直角三角形与两边为8和 =60°，BC=24,点P是BC边上的动点（点P与，点 18.(10分)如图16，点B,D,E在一条直线上， 10的直角三角形 B,C不重合)，过动点P作PD∥BA交AC于点D. 5.在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规若△ABC与△DAP相似，则LAPD= BE与4C相交于点r品-胎-长 在边AB上确定一点D,使△ACD∽△CBD,根据 13.如图11，已知矩形ABCD,AD=3,AB=1, (1)求证：∠BAD=∠CAE; 作图痕迹判断，下列正确的是 将其折叠，使点D与点B重合，折痕是EF,那么折 (2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数； 痕EF的长是 (3)连接EC,求证：△ABD∽△ACE. 6.如图4，在平行四边形ABCD中，点E,F分别 图11 友1 在边AD,BC上，且EF∥CD,G为边AD延长线上 一点，连接BG,则图中与△ABG相似的三角形有 14.如图12，等边△ABC的边长为6，点D在 () :AC上且DC=2,点E在BC上，连接AE交BD于点 A.3个B.4个 C.5个 D.6个 F,且∠AFD=60°，若点M是射线BC上一点，当以 B,D,M为顶点的三角形与△ABF相时，BM的长 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 15.(10分)如图13，在Rt△ABC中，∠ACB= 图4 90°，CD⊥AB,垂足为D,E为BC上一点，连接AE, 7.如图5，在三边都不相等的△ABC的边AB作EF⊥AE交AB于F.求证：△AGC△EFB. (下转第4版)