第6期 22.1比例线段-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（沪科版 安徽专版）

4 素养·拓展 A 数理极 (上接第3版) 19.(12分)如图11-①，将A4纸进行2次 折叠后，最终第一次的折痕与A4纸较长的边重 重点集训营 辅助线 周周练 合，如图11-②，将1张A4纸对折，使其较长 的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸 平行线分线段成比例 (1)求A4纸较长边与较短边的此； 1.如图1，在矩形ABCD中，点E在AB上 1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与 (2)A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明 且BE=2AE,连接ED,点F为ED的中点，连接 BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E.若AD 理由 =8cm,则OE的长为 AF,BF,FC,若∠BFC=90°，BF=5,则AF的 长为 21 图1 图2 2.如图2，AD是△ABC的中线，E是AD上 点，AB=AD,BE的延长线交AC于F,则 2.如图2，四边形ABCD是菱形，点E是CD 的中点，连接AE,将△ADE沿AE折叠得 F花的值为 AF △AFE,连接BD,分别交AF于点M,交AE于点 3.如图3，正方形ABCD的边长为6，E为 N若AF1CD于点G,MN=万=分，则 CD边中点，G为BC边上一点，连接AE,DG,相 交于点R若限 4 4N的长度为. ,则FE的长度是 斗阴w用米业Y名= 0=品02=02=r坐每三到 厚，NHQV恬看业采‘继卫头WNHO 20.(12分)如图12，在△ABC中，点D为 园3 :☑R:,三其厚都巅兴NOVV吊 BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交 4.如图4，在△ABC中，E是BC中点，AD是 ‘斗钢：等Y单漫到：‘H学士 AB于点M,作PN∥AB交AC于点N. ∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于点F.若AB HN卒‘形垂明W功O学‘HW‘HQ‘O (1)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:1, =11,AC=15,则FC的长为 买‘0学士Qa卒OV瓣要【些】￡乙 求AM:AB的值； 5.如图5，以△EBC的边 口小搏未一 BC为边作正方形ABCD,AD与 (2)若点D是BC的中点，试证明 BE,CE分别交于点F,G,若BF 工毙彩中丁平烤张其三毋厚更興电‘☒ EF,AF=1,BC=12,则CE 散兰关4H了a散缸其部☑郡部建‘张 的长为 三其厚最头OH8V1昏‘门H=H8▣ 图5 兴4H附形形本野部‘H学土O8 (3)若点D是BC上任意一点，试证明 AB 数理报社试题研究中心 形垂Oa/H学【些群】￡I个I【粪是】 AN (参考答案见下期) AC AD 第5期2版参考答案 (x-1)2+2,所以顶点坐标为(1,2). 重点集训营 二次函数与反比例函数的图象与性质 (2m>子 题型-：1.D;2.A;3.D. 16.(1)m=3,a=6,点B的坐标为(-3，-2) 题型二：4.C (2)点P的坐标为(-3,0)或(1,0) 5.(1)能浇灌到小树后面的草坪 四、17.(1)证明：令x2-mx-3=-x,整理，得x2+ (2)喷射架应向后平移1米. (1-m)x-3=0, (3)-为的最大值为号 因为4=(1-m)2+12>0,所以该函数图象上 定存在两个“M点” 6.(1)抛物线的表达式为y=x2+2x-3. (2)m>-1. (2)令y=0,则x2+2x-3=0,解得x=-3或x 18.(1)双曲线BC段的表达式为y=270(x≥3). =1,所以抛物线L1与x轴的交点为(-3,0)或(1,0). 因为y=x2+2x-3=(x+1)2-4,所以抛物线L (2)不能.理由略. 的顶点为(-1，-4)，所以顶点关于x轴的对称点为 五、19.左起第一根柱子涂色部分的高度为0.12m. (-1,4). 20.()反比例函数的表达式为y=。，一次函数 设抛物线L2的表达式为y=n(x+1)2+4,因为抛 物线L经过点(-3,0)或(1,0)，所以n=-1,所以抛物的表达式为y=2x+2 线L2的表达式为y=-x2-2x+3. (2)点C的坐标为(2√3，√5+2) (3)W的最大值为3. 第5期3,4版综合评估卷参考答案 六、21.(1)C,的表达式为y=3-3(-3≤x≤ 一、 题号12345678910 答案BDDAAD C CDC 3).6的表达式为y=-号+1(-3≤x≤3) 二、11.m>3;12.45:13.23;14.②③. (2)此时水面的直径为2,5dm 数理报社试题研究中心 三、15.(1)将点(2,3)代入y=x2-2mx+m+2, (3)锅盖不能正常盖上，理由略。 (参考答案见下期) 解得m=1,所以二次函数的表达式为y=x2-2x+3= (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话， 2025年8月7日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 数评橘 6期总第1150期 沪科 0351-5271248 中考(AH) 上接4版参考答案) 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 七、22.(1)反比例 函数表达式为，y=3 方法探究 两个边数相同的多边 (2)点D的坐标为 比例求值四绝招 形，如果它们的对应角相 等，对应边长度的比相等， (25,0),(-23,0) 4 那么这两个多边形叫做相 相 (2,0)或(6,0) ⊙广东张思玲 4 (3)因为B(3 似多边形，相似多边形对应 绝招一、运用比例的性质 用其中一个字母表示其他字母，并代人所求的 5),所以F(-3 边长度的比叫做相比.由 对已知的等式，利用比例的性质进行变形，比例式中，约去这个字母，即可求出其值 √5)，所以BF2=48. 定义可知，两个多边形相似 进而求出所求式子的值， 设Q(t,0),则BQ 例3若x:y:=1:2:3,则2+的值 需同时满足：①对应角相西 =(t-3)2+3,FQ 例1若 则 V-Z 1 a+6的值为() 等；②对应边成比例.利用 (t+3)2+3, 它可求相似多边形的边或 杨冰 ①以BF为斜边 A. C.2 解析：因为x:y=1:2,所以y=2x, D.3 角，下面举例说明 与形 时，有BQ+FO2= 3 因为x:名=1：3，所以z=3x 例1如图1，四边形 BF2,所以(t-3)2+3+ (t+3)2+3=48,解得 解析：因为合=宁，所以6=之，所以 所栏装器5改填-5 ABCD∽四边形GFEH,且 ∠A=∠G=70°，∠B= 1 =25,t2=-25 a a 2 1= =3故选B 绝招四、特殊值法 60°，∠E=120°，DC=24 所以Q(25,0)或 a+6= b (-25,0): a+2a2a 例4若号 4 = 5,则b HE=18,HG=21.求∠D ②以BQ为斜边 绝招二、等比设值法 ∠F的大小和AD的长 时，有BF2+FQ= 对于有等比条件求比值的题目，可设比值为 BQ°，所以48+(t+3) 解析：取a=3,b=4,c=5,易知a,b,c满 +3=(t-3)2+3,解得 :,用含k的式子来表示未知数，然后将其代人所 足已知条件， =-4,所以Q(-4, 求式中求值即可， 图1 0): 例2 已知号 b ,则 3a 所以原式=3-4。 = 的值为 5 5故填-5 ③以FQ为斜边 a +2b 解：因为四边形ABCD~四边形GFEH, 时，有BF2+BQ2= 2b 练一练：1. 2 已知3a226=号，则号 ∠B=60°，∠E=120°，所以∠C=∠E= FQ2,所以48+(t-3) 120°，∠F=∠B=60°. +3=(t+3)2+3,解得 解析：设号 =k,则a=3k,b=5k,所 因为∠A=70°，所以∠D=110. t=4,所以Q(4,0). 5 3a 3×3k 9k 9 2.已知2a=36,则9-36的值为 因为四边形ABCD∽四边形GFEH,所以 综上所述，点Q的 坐标为(25,0) a+26=3k+2×5=13 =3故填 9 a 3b 品 DC (-23,0),(-4,0)或 绝招三、代入消元法 (4,0). 在求一个比例式的值时，可根据已知等式 所以浩-解得0=28 八、23.(1)抛物线 所以∠D=110°，∠F=60°，AD=28. C,的顶点坐标为(2 题型空间 例2如图2，在四边形 7). ABCD的边AB上任取一点 (2)m的值为-3， 特殊矩豗求相似 EF的长为4. O(不与点A,B重合)，连接 (3)存在实数a,使 0C,0D,分别取0A,0B,0C, ◎河南 李彦英 得以点E,F,P,Q为顶 OD的中点A',B',C,D',连接 特殊矩形一、对折后与原矩形相似 点的四边形为正方形， A'D',D'C',CB',四边形A'B'CD'与四边形 例1如图1，取一张长为a,宽为b的矩形 理由：因为y=ax 4ax-3=a(x-2)2 纸片(a>b),将它对折两次后得到一张小矩形 ABCD相吗？为什么？ 纸片.若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸 解：四边形A'B'C'D'四边形ABCD,理 4a-3,所以抛物线C, 的顶点坐标为(2，-4a 片的边a,b应满足的条件是 由：因为A',D'是OA,OD的中点，所以A'D'∥ -3).由(2)可知EF= 图2 4,且点E,F均在直线y 解：设原矩形的长是a,宽是b(a>b>0) 40,0=0,航以梁-分同0 =一3上.根据翻折的性 则剩下矩形的长为b,宽为a-b. B'C' 质得P,Q两点关于EF BC=2 对称，即P,Q在EF的两 图1 击题意可得公=。之。 因为A',B分别为0A,OB的中点，所以 侧因为使E,F,P,Q四 解：由折叠可知，对折两次后的小矩形的长 点构成的四边形为正方 所以a2-ab-2=0. 01'=0A,0B=20B,所以4B'=0'+ 形，所以EF与PQ为正 为6，宽为子。 将a2-ab-b2=0的两边同除以b2,得 方形的对角线，所以PQ 0B=o1+0B)=4B,所以= 因为小矩形与原矩形相似！ =EF=4,即点P到直 b -1=0,所以号 线y=-3的距离为2 所以号=之，所以a=2a 所CD=BC=4g=4D= 1 1±-1)-4×1×(-)=1±5 CD BC AB= 所以1(-4a-3) 2×1 因为A'D'∥AD,所以LOA'D'=∠OAD (-3)1=2,解得a 故填a=2b. 因为矩形的长和宽均为正数， ∠OD'A'=∠ODA,同理∠OD'C'=∠ODC （全文完) 特殊矩形二、截去一个矩形后与原矩形相似 ∠OC'D'=∠OCD,∠OCB'=∠OCB,∠OB'C 例2如图2，从一个矩形ABCD中剪去 =∠OBC, 个正方形ABEF,若剩下的矩形ECDF与原矩形 故原矩形ABCD的长和宽的比为'+5 所以∠A'D'C'=∠ADC,∠D'CB'= ABCD相似，求原矩形ABCD的长与宽的比， 2 ∠DCB,所以四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD. 素养专练 数理极 4.线段AB长为4cm,点P在线段AB上，且满 跟踪训练 足器-铝那么AP的长为 cm. 能刀提高 22.1.1相似多边形 5.点C,点D是线段AB上任意两点 垦础训练 (1)如图1，若点D是线段BC的中点，AD= 18,AC=6,求线段BD的长； 1.下列多边形一定相似的是 (2)如图2，若点C把线段AB分为2：3的两 A.两个等腰三角形 B.两个平行四边形 段(AC<BC),点D分线段AB为1：5的两段(AD C.两个正五边形 D.两个六边形 <BD),DC=7,求线段AB的长 2.如图1，四边形ABCD和EFGH相似，则a和 x的大小分别为 ( ) A G D B A D G B 22.1.4平行线分线段成比例 图1 图2 A.75°，30 B.75°，33 C.80°，30 D.80°，33 垦础训练 1.如图1，l,∥12∥1，两条直线与这三条平 E 22 110% 16 24 行线分别交于点A,BC和DRP,已知说 5°80以 B 若DF=10,则DE的长为 图1 A.2 B.3 C.5 )6 3.如图2，将一张口ABCD(AD<AB<2AD) 纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形ADEH,在 余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去 一个菱形FECG,若剪去两个菱形后所剩下的 22.1.3比例的性质 口FHBG∽口ABCD,则口ABCD的相邻两边AD与 图2 屋础训练 AB的比值是 2.如图2，DE∥FG∥BC,若EG=3CG,则 4.如图3，矩形相框的外框 1.已知3a=4b(a≠0，b≠0)，下列变形正确 BD与BF之间的数量关系是 ( 矩形的长为12dm,完为8dm,上 的是 A.BD =3BF B.BD =4BF 下边框的宽度都为xdm,左右边 3 B号= b C.BD-B D.BD =2BF 框的完度都为ydm;若内边框矩 图3 3.在△ABC中，点D,E分别在边BA,CA的延 形和外边框矩形相似，则x,y应 D= 长线上，若AD:AB=1:2,AC=4,那么当AE= 符合的条件是 5.如图4，在矩形ABCD中，AB=12,BC= 2.在设计人体雕像时，为了增加视 时，DE∥BC 16,E,F分别是AB,CD上的点，且AE=DF=8 觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下 4.如图3，练习本中的横格线都平行，且相邻 部（腰部以下）的高度比等于下部与全 两条横格线间的距离都相等，若AB=2cm,则线 两动点M,N都以2cm/s的速度分别从C,F两点 部的高度比等于5，(51 段BC= cm. 沿CB,FE向B,E两点运动，判断当M,N运动多长 2 2 图1 时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明 0.618,称为黄金分割比例)，按此比例设计一座如 你的结论 图1所示高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下 部设计高度是 A.(5-1)m B.(3-√5)m 图3 图4 C.(5-1)m D.(3-3)m 5.作业本中有一道题：“如图4，在△ABC中 3.古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦 点D为AC的中点，点E在BC上，且BE=3CE, 筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地. AE,BD交于点F,求AF:EF的值”，小明解决时碰 若古筝上有一根弦AB=90cm,支撑点C是靠近 到了困难，哥哥提示他过点E作EG∥BD,交AC 点A的一个黄金分割点，则BC= cm(结 于点G.最后小明求解正确，则AF：EF的值为 果保留根号). 6.如图5，已知AD∥BE∥CF,它们依次交直 22.1.2成比例线段 4已知26+c=2c+0=2a+b=m,且a+ b 线l1,l2,l3于点A,B,C和点D,E,F和点Q,H,P,l2 屋础训练 b+c≠0，则m= ! 与1，相交于0E的中点G,若授=号 1.已知a,d,b,c依次成比例线段，其中a= 5已知a,6,c三条线段满足分=片= (1)如果EF=10,求DE,DF的长； 3cm,b=4cm,c=6cm,则d的值为( ) 2,若b+d+f=3,则a+c+e的值为 (2)如果QG=3,求PH的长 11 1 B.19 C.4 cm 9 A.8 cm D.cm 能刀提高 2.若线段b是a,c的比例中项，且a=4cm, 6.如图2，在△ABC中，D是BC上一点，若 c=9cm,则线段b= ( A.4 cm B.6 cm SD SAABD S△ABC 4四，则称AD为△ABC的黄金分割线， C.8 cm D.36 cm (1)求证：若AD为△ABC的黄金分割线，则 3.在比例尺为1：100000的地图上，A,B两地 D是BC的黄金分割点； 的距离为2cm,那么A,B两地的实际距离为 (2)若S△c=20,求△ACD的面积（结果保留 数理报社试题研究中心 km. 根号) (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 16.（10分)已知线段a,b,c满足a:b:c= 同 步达 1:3:5,且a-b+c=6. 检测题（五） (1)求线段a,b,c的长； (2)若线段m是线段a,b的比例中项，求线段 【检测范围：22.1】 m的长 BF,DE与BF的延长线相交于点G,则BG的长为 (满分：120分) 一、精心选一选（每小题4分，共32分） B.26 题号12345 678 3 a 答案 G. 3 D.26 4 1.在比例尺为1：36000的某市旅游地图上， 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 某条道路的长为5cm,则这条道路的实际长度为 ( 9已知5s=7w≠0)，则时 = A.0.18km B.1.8 km 10.五线谱是一种记谱法， C.18 km D.180 km 通过在五根等距离的平行横线 2.黄金矩形的宽、长之比为5,1，若一个黄 上标以不同时值的音符及其他 2 记号来记载音乐.如图5，A,B,C 金矩形的长为8，则宽m的值最接近的是( 为直线与五线谱横线相交的三 17.(10分)如图9，在四边形ABCD中，点E,F 图5 A.4 B.5 C.6 D.7 个点，若AC=12,则AB的长为 分别在边AB,CD上，连接EC,EF,EC平分∠FEB, 3.如图1，某位同学用带有刻度的直尺在数轴 11.已知两个相似多边形的相似比为3：4，且EF∥BC. 上作图，若PQ∥MN,点Q,点M在直尺上，且分别 它们的周长之差是6，则较小的多边形的周长是 (1)求证：EB=BC; 与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点V表示的 (2)若AD∥EF,DF=FC,请判断AE与BC 数是10，则点P表示的数是 ( ) 2a 2c 的大小关系，并说明理由. A.5 B.3 C. 10 D.5 12.已知++a+c+aa+b+a 2d a+6+c=k,则k= 13.如图6所示，在长为10，宽为8的矩形中， 截去一个矩形（图中阴影部分），若矩形ABCD一 10 矩形FCDE,那么截去矩形的面积是 图1 图2 D 4.如果x:y=1:2,那么下列各式中不成立的 是 ( A.+=3 B.Y-x= 1 B 1 y 2 图6 图7 n岩房 14.如图7是一张矩形纸片ABCD,点E为AD 中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A,B的 5.已知成比例的四条线段的长度分别为 对应点分别为A',B,A'E与BC相交于点G,B'A'的 6cm,12cm,xcm,8cm,且△ABC的三边长分别 18.(10分)如图10，AD是△ABC的中线. 为xcm,3cm,5cm,则△ABC是 ( 延长线过点c若器=子，则治的值为 (I)若E为AD的中点，射线CE交AB于点F, A.等边三角形 B.等腰直角三角形 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） BF C.直角三角形 D.无法判定 15.(10分)如图8，点E是菱形ABCD对角线 6.如图2，D是△ABC的边AB的中点，过点DCA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱 (2)若E为AD上一点，且 ED =右，射线CE交 作BC的平行线交AC于点E,连接BE,过点D作形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,连接EB BE的平行线交AC于点F,若EF=1,则AC的长为GD,求证：GD=EB, B于点P,米茶 ( A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图3，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形 ABCD的四条边上，BE=BF.将△AEH,△CFG分 别沿边EH,FG折叠，当重叠部分与菱形ABCD相 似且相比为1：4时则器的值为 . C.4 D.4 3 4 8.如图4，已知正方形ABCD的边长为a,延长 BC到点E,使CE=BC,取CD的中点F,连接DE, (下转第4版)中考数学沪科(AH)第6~9期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学沪科(AH) 第6~9期 第6期2版 第6期3版 22.1.1相似多边形 题号1 2 345678 基猫训练1C:2D:3号： 答案BBC DCDBB 4.2y=3x或3y-2x=10. 7 二9.5； 10.8:1.18；12号或-2；13.51.2 5.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 14.22. 碧=号或=受解得1=4或1=1所以当M,N运动4s 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= 或1s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似 ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= 22.1.2成比例线段 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB 基础训练1.D;2.B;3.2;4.(25-2): =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 能力提高5.(1)BD=12. 16.(1)a=2,b=6,c=10. (2)根据题意可设AD=x,则BD=5x,所以AB=6x.因 (2)由(1)知a=2,b=6,又因为m是a,b的比例中项， 为点C把线段AB分为2：3的两段，所以4C=子4B=号， 所以m2=ab,即m2=12,所以m=±25，因为m>0,所以m 5, =25. 5-x=7 所以CD=AC-AD=12:-x 5x.因为cD=了所以5x 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 =7,解得x=5.所以AB=6x=30. 以BE=BC. 22.1.3比例的性质 (2)AB=BC.理由：因为AD∥EP,所以F=二，因为DF 基础训练1.D;2.A;3.(455-45)；4.3;5.6. CF BE' =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC BC'SAAND %又 能力提高6.(1)证明：因为=0△@=C0 18.(I)过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF, 为-二所以2：品所以D是c的成金分制 所以答=2.因为AD是△4BC的中线，所以BD=DC,所以 点 BG=G,因为DG/CE,所以气=品.因为E为4D的中点， (2)由I)知器-品所以BD-52'8c所以C= 2 所以4正=ED,所以4P=FG=BG,所以品=分 Bc-D=c-5c=3,5c,两为=是 = (2)过点D作DH∥CF,交AB于点H.因为DH∥CF,所 2 2 SAABC 35,所以So=3≥53=30-105 嘴-盖因为品=士所以嘴=士所以Fm=MP,由 2 2 (1)知FH=BH,所以BH=FH=kAF,所以BF=2kAF,所以 22.1.4平行线分线段成比例 AE-AF」 1 基础训练1.D:2.B:3,2:4.6;5号 BF=2kAF=2k 19.(1)如图，设AB=x,由翻折的性质得， 6(因为AD∥BE∥F,所以光=器=号，所以 ∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF=∠BDF =90°. 2华0=号，所以DE=4,所以DF=DE+P=4+10= DE 因为∠ACE=LACB+∠ECB=∠BCF= ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 14. ∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD=BC=√2x,所以AD= (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以C = DE AB+BD=(2+1)x,所以EF=CE=AD=(2+1)x,因为 =宁所以0M=6,因为AD少能∥c,所以器=是 QG PH DE=AC=AB=,所以D=E+=(万+2)，所以5 所以分=子，所以PH=15 -5+2E=5+2=万 (2+1)xW2+1 中考数学沪科(AH) 第6~9期 (2)相似.理由：由(1)知，A5纸长边为A4纸短边，长为 所以BE=25a,EF=5a,BF=5a, （万+)x,A5纸短边长为(2兰)x,所以在A5纸中，长边： 所以BFP=EF2+BE2,即∠BEF=90, 所以∠A=∠BEF=90°， 短边=5+)x=万，所以A4纸与A5纸相似. (2x 阴端-易2等祭2 20.(I)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 所以是-=所以△4E一△ 点所以点E是中点，且光-怨所以-器=号 22.2相似三角形的判定（第四课时） 基础训练1.A;2.C;3.18; (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连接BQ,CQ,则四 边形4B0C是平行因边形，所以PW∥B0.PN∥c0,所以岩 4%-品（答案不推一） 品光品所瑞光 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= AB=AC 3,OB=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=√5，BC=25, (3)证明：过点D作DE∥Pw交AB于E,所以是-治 在△c和△D中，两为%=气-5%=25-， 2 又因为PN∥4c,所以E∥AC,所以装-品所以瑞-是 ABBC 能-后-5，所治-器-把所△4c△dn 西×记同理可得=化xD, x AE=APCD 绕-6品所以岩+袋-光 第7期3版 ×畏+0=铝 题号12345678 答案ACBCCBBB 第6期4版 重点集训营 =9.∠ABD=∠B(答案不旅-：10.子；1山.T 平行线分线段成比例 14em:26;3.9:413:526 1230°或60：13写；44或7 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= 第7期2版 ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 22.2相似三角形的判定（第一课时） ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又因为∠DGE= 基醒训练上：2,3子：44：21 ∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又因为∠ACB=∠FEG=90°， 所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC= 5CH的长为号 ∠BEF,所以△AGC∽△EFB. 22.2相似三角形的判定（第二课时） 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= 基础训练1.D:2.B:3.70:4.1.4. ∠BEC=90°，因为∠C=∠C,所以△ACD∽△BCE,所以 CE 能力提高5.(1)作图略。 2)证明：因为AD平分LBAC,所以∠BAD=方∠B4C, =瓷母是=又因为∠C=LC,所以△cB△cE (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=方∠BMC, Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= 所以∠BAD=∠C,又因为∠ABD=∠CBA, 所以△ABD△CBA. 6Cc=5,因为△4CD△BCE,所品-能所以4D 22.2相似三角形的判定（第三课时） 9,所以4C=亭所以AB=AC=空 3 基础训练1.D;2.C;3.2或8； 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB. 4.(1,4)或(3,4). 因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB,所以AD: 能力提高5.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所 以∠A=∠D=90°，AB=CD, AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD. (2)因为E为AB的中点，所以CE=BE=AE,所以∠EAC 因为CF=3fD,所以FD=子CD, =∠ECA.因为∠DAC=∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为 因为E是AD的中点，所以A北=ED=之4D, ∠AFD=∠CFE,所以△AFD∽△CFE. 所以治-踢=子所以△AE△DER 1R)证明：因为品=能=长所以△4C一△0E, 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)△ABE与△BEF相似，理由如下： ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. 设AB=AD=CD=4a, (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 因为E为边AD的中点，CF=3FD, ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 所以AE=DE=2a,DF=a, ∠EBC=∠BAD=21°. 2— 中考数学沪科(AH) 第6~9期 (3)证明：由(1)知∠8D=∠C4北因为8-长所以 ∠ADB,∠C=∠C,所以△ABD∽△FED,△ABC∽△HGC,所 AC =0所以△ABD~△ACE 结品-瓷因为球c=15m所以品品 BD BC' 因为BD=BE+DE=2+BE,BC=BE+EG+CG=3+8+ 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC, 3 ∠BAE=∠BCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE 、BE=1山+BE,所以2十BE=11十BE,解得BE=16m,则BD 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF. (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, =能+E=16+2=18(m),因为号品-能所以品-品 ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= 解得AB=13.5m ∠ABF因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 答：该龙形雕像的高度为13.5m (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 22.4图形的位似变换 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 5 基础训练1C:2.D;3.C:4了；5 △BEF△CGP,所以特=供即器-器因为∠BFG 能力提高 6.(1)图略 ∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF=∠BCF=45°.所 (2)图略. 以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG,∠BEG=90°，所以 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△AB2C2的周长比是 BE⊥EG. 1:2. 20.(I)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 第8期3版 以∠B=∠C=45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 题号1 2 345678 ∠BPE+∠BEP=135°.因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+ 答案CAC BBBDA ∠CPF=180°，所以∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP= ∠CPF,又因为∠B=∠C,所以△BPE∽△CFP. =924:103:1221213含或5 (2)△BPE∽△CFP.理由如下： 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ 三、15.图略 ∠BEP=135°.因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF= 16.0A的高度是6.3m 180°，所以∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, 为∠B=∠C,所以△BPE∽△CFP. (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， △4NE△AMc所u-器-所以-祭又 理由如下： 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DW=EN 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 (2因为DE∥c.所以器=器号因为DE/BC, △BPE∽△PFE. 所以△D0E一△C0B,所u2哈-胎=子，因为DE∥BC,所 第7期4版 重点集训营 以AC所=瓷：去设sm: 相似三角形的判定 >0),则S△c=25x,因为四边形BCED的面积为42，所以25x 1.D; 22或号 -4x=42,解得x=2,所以Sa4Bc=50. 18.(1)灯泡离地面的高度PM为180cm. 3.证明：(1)因为AB=AC,所以LB=∠C,因为CE=BF, (2)设横向影子A'B,D'C的长度和为xcm,同理可得 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= △PAD~△PHD,所以品-路即09需解得=2， LB,因为AB=A04B,4C=AB,所以号=是即号 所以横向影子A'B,D'C的长度和为12cm 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC,因 A长所以△ACE一△AFQ 为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=180°-∠BGF,因为∠AGB= 18O°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG=∠MBA,所 第8期2版 以△BAG∽△BMA. 22.3相似三角形的性质（第一课时） (2)连接CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 基础训练1.C;2.B;3.A;4.A; CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 56:630 CB=CD.又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥ 能力提高7.四边形AFDE的面积为24. BC,所以CM1BC由()得始-g所以BG~BM=A6,所 22.3相似三角形的性质（第二课时） 基础训练1.B;2.3.6;3.12. 以BG·BM=BC2.所以BC=BC 人BC=BM 能力提高4.由题意得，AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,EF 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 =GH=L.5m,EG=8m,ED=2m,CG=3m,因为∠FDE= ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 3 中考数学沪科(AH) 第6~9期 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 2)em(0≤t≤多.因为∠B=∠B,∠EFB=∠CAB=90, 以△ADG△EBG,所以DC=AS由题意，得AD∥CE,AD= BG EG CE,所以四边形ACED是平行四边形，所以AC∥DE,所以 所以△BrE一R△BC,所以=能=器即学=号所 △AGF∽△BGD.所以尧-瓷所以瓷-尧所以DG= 以BF=gcm,EF=gcm,所以DF=(4-号)em,因为CD FG·BG ⊥DE,所以∠CDE=90°，所以∠ADC+∠EDF=90°，因为 (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, ∠BAC=90°，所以∠ADC+∠ACD=90°，所以∠ACD= 所以DH=之DC=之B=7,4D=CE=24.在R△ADH中， ∠BF,所以△4CD△mE,所以品=是即3E 4- = AP=AD2+DH,所以AH=√72+24=25，所以AE=50. 因为△ADG~△EBC,所以%-品=宁，所以4G=宁E, 所以1=帚秘 5 所以AG= 合4E=9所以GH=A-AG= 八、23.(1)证明：因为△ABC∽△ADE,所以∠B=∠D, 3 AB BC 第8期4版 品=因为P,G分别是BC,DE的中点，所以BF=2BC, 重点集训营 位似变换中点的坐标的确定 DG 2分1. DE,所以影 1BC 1 =脱=品所以△A6D 1.C; DE 2 3.（1)图略. △AFB (2)(-4,-6). (2)连接AF,AG,取BC的中点H,连接AH,因为4CF= 第9期综合评估卷 BC,4BG=BD,所以器-5又因为AC=士BC,则CP= 题号12345678910 答案DBCBACDBAB 子C=AC.设CF=a则BC=4a,所以B=CH=AH= 二11.2：1；12.4；13.14.4：14.2,2 3 2BC=2a,AC=2a,所以AC=CH=AH=2a,则△ACH是 三、15.甲、乙两地的实际距离是12.5km. 等边三角形，又因为CF=FH=a,所以AF⊥BC,因为∠ABC 16.不一定相似，理由：根据题意，得∠D=∠H=360°- 100°-90°-120°=50°，∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G, =30,所以F=宁4B,因为△MC△MDE,所以号=器 对应角都相等，但是两个四边形对应边的比值无法确定，所以 -怨<C=∠E,∠CB=∠BD=0所以先-能所以 四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似. 四、17.(1)图略. △AcF~△AEG所以6=长.∠CF=∠EAG又因为 (2)3:1. ∠CAB=∠EAD=90°，所以∠FAB=∠GAD.所以∠FAB+ (3)9+35+32. 18.(1)证明略. ∠BG=∠GD+∠G,即∠AG=∠BD又因为 = (2)证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,所以∠ABC =∠BCD,又因为∠BCE=∠ABD,所以∠DBC=∠DCE,因为 品所荒-拾所u△4PG640.所u品-品= ∠Bc=LmE所以△ecAB,所-品所以c- (3)连接P,由(2)得%-据所以PG-指·m,所以 DE·DB 当G在AF上，且AF⊥BC,D在AB上时，FG取得最小值.因为 五、19.这条河的宽度为30米. 20.(1)证明：因为AD⊥BC,DE⊥AC,所以∠ADC= AC=4,AE=2,△1BC△A0E,所以8能-治=2，当E在AC ∠AED=90°.因为∠DAC=∠DAE,所以△DAE∽△CAD,所 院-品所以A=ACA因为8=AC,所以AD 上，D在B上时，因为需-织所以凭-%-2，又因为∠C AB·AE. =∠AED=60,-先=2，所以△MEG△4CR所以 (2)瓷的值为号（提示：证△AGE一△DC). ∠AGE=∠AFC.又因为ED∥BC,所以A,G,F三点共线，所以 六、2L.(1)明德楼的高PA为12米 FG=AP-AG=AF-7AF=74R所以当AF⊥BC时，FG (2)塑像EF的影长FN为4米. 取得最小值，最小值为)AF.在R△ABC中，∠ABC=30°，AC 七.208安号 =4,所以BC=8,AB=43.在Rt△ABF中，∠ABC=30°，所 (2)过点E作EF⊥AB于点F,设运动时间为t秒时，CD⊥ DE,AD =t em,BD =(4 -t)cm,BE 2t cm,CE (5 以AF=2B=2.所以FG的最小值为5 4