学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷02（人教A版）【测试范围：人教A版选择性必修第一册 空间向量与立体几何+直线和圆+圆锥曲线】

■■■■ ■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 答题卡 姓 名： 准考证号： ! 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 数 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C[D] 5[A][B][C[D] 2[A][B][Cg[D] 6[A[B][C[D] 3[A][B][C[D] 7[A][B[C[D] 謀 4[A][B][C[D] 8[A][B][C[D] 二 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 ，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A][B][C[D] 11 [A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 带 12 知 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册 空间向量与立体几何+直线和圆+圆锥曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 4．若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 10．设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线l的方程是 B．的最小值为4 C．所在直线被抛物线所截得的弦长为 D．以线段为直径的圆与y轴相切 11．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面 C．的最小值 D．当为中点时，为锐角 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 13．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则 .（写出满足条件的一个的值即可） 14．已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离. (2)过圆外一点引圆的切线，求切线方程. 16．（15分）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过P作直线的垂线，垂足为N. 证明：直线过定点； 17．（15分）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，，，且. (1)已知点为上一点，且，证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 18．（17分）已知椭圆的左右两焦点为，，焦距为，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程; (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值; （ii）求面积的最大值. 19．（17分）如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时， 求平面与平面所成的二面角的正弦值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册 空间向量与立体几何+直线和圆+圆锥曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 4．若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 10．设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线l的方程是 B．的最小值为4 C．所在直线被抛物线所截得的弦长为 D．以线段为直径的圆与y轴相切 11．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面 C．的最小值 D．当为中点时，为锐角 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 13．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则 .（写出满足条件的一个的值即可） 14．已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离. (2)过圆外一点引圆的切线，求切线方程. 16．（15分）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过P作直线的垂线，垂足为N. 证明：直线过定点； 17．（15分）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，，，且. (1)已知点为上一点，且，证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 18．（17分）已知椭圆的左右两焦点为，，焦距为，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程; (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值; （ii）求面积的最大值. 19．（17分）如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时， 求平面与平面所成的二面角的正弦值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册 空间向量与立体几何+直线和圆+圆锥曲线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得：，所以直线的斜率为，直线的倾斜角为. 2．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即，则准线方程为.故选：C. 3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于与垂直，故，解得， 故. 4．若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为和有相同的渐近线，所以设双曲线的方程为，将代入得，所以双曲线的方程为，故选：B 5．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的方程整理可得，可知圆心为，半径，圆的圆心为，半径，由题意可知：两圆相交，且，，所以. 6．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，．∴． ∴．异面直线与所成角的余弦值为．故选：C． 7．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，.设三棱锥的外接球的球心为，连接，则，得 ，解得，所以， 故三棱锥的外接球的表面积为.故选：A. 8．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆化为标准方程为，所以圆心为，半径为1，根据题意及图形可知切线的斜率存在， 设切线的方程为，即，则有，整理可得， 则，设两切线的斜率分别为、，则、为关于的方程的两根，由韦达定理可得，，所以， 所以，由题意可知，所以，由，解得．故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】AC 【详解】对于A，直线，由，得，始终过定点，A正确；对于B，当时，与直线重合，B错误； 对于C，，则，解得或，C正确； 对于D，取，直线过第三象限，D错误.故选：AC 10．设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线l的方程是 B．的最小值为4 C．所在直线被抛物线所截得的弦长为 D．以线段为直径的圆与y轴相切 【答案】BD 【详解】对于A，由抛物线，则，所以准线的方程为，故A错误； 对于B，由题意，过作，垂足为， 设点到直线的距离为，由图可知，故B正确； 对于C，由，则直线的方程为，代入，可得，整理可得，由，设直线与抛物线的两个交点分别为和， 则，，所以弦长为，故C错误； 对于D，取的中点为，并过作，垂足为，记准线与轴交点为，如下图： 设以为直径的圆的半径为，由图可知其圆心为，由图可知，易知到轴的距离为，则圆与相切，故D正确.故选：BD. 11．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面 C．的最小值 D．当为中点时，为锐角 【答案】BCD 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则，则，故， 则，， 对于A，，设平面的法向量，则有，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故A错误.当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，，所以，即的最小值为，故C正确； 对于D，当为中点时，则，，则，， 所以，所以为锐角，故D错误；故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 【答案】1 【详解】在四面体OABC中， ，而，所以，. 13．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则 .（写出满足条件的一个的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【详解】 不妨设点，因满足，则，化简得：， 即点的轨迹方程为，依题意点又在圆上,如图，两圆必有公共点，须使，（由图知圆C半径），而，解得.故可取区间内的任何数. 14．已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【详解】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为， 直线与圆相切，，，为的中点，，相似于，且相似比为，故..在双曲线中，由双曲线定义知，，为直角三角形，，即， 解得，故双曲线的离心率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离. (2)过圆外一点引圆的切线，求切线方程. 【答案】(1)相交，弦长为；(2)或 【详解】（1）圆：化为标准方程为，圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以，所以直线与圆相交； 直线被圆所截得的弦长为； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得，所以直线方程为， 综上，切线方程为或. 16．（15分）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过P作直线的垂线，垂足为N. 证明：直线过定点； 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析. 【详解】（1）由题设且，则，由轴时，，不妨令，代入双曲线得，所以，则所求方程为； （2）（i）设，则，由斜率不为0，设， 联立双曲线并整理得，则， 所以，由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，因为，所以， 而，则，所以过定点； 17．（15分）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，，，且. (1)已知点为上一点，且，证明：平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：如图， 连接交于点，取中点为，连接，，，在四边形中，，，故四边形为平行四边形. 故为中点，所以在中，为中位线，则且，又且，故且，即四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，平面，即平面. （2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取， ，，设平面的法向量为， ，取由平面与平面所成锐二面角的余弦值为，可得，解得或（舍去）， 故，又，所以点到平面的距离. 18．（17分）已知椭圆的左右两焦点为，，焦距为，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程; (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值; （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，因为焦距为，所以，解得，由椭圆定义可得，的周长为，故，解得，又，故，所以椭圆的方程为； （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立， 则，设， 则，所以， 因为， 所以，综上，为定值0； （ii）由（i）可得， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以△ABF1面积的最大值为. 19．（17分）如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）由棱台性质知，所以，则，在中，由余弦定理可得：，，连接，因为D为BC中点，所以，所以四边形为平行四边形，则，因为，所以，，又因为，，平面，平面，所以平面. （2）因为， 所以，则，以A为坐标原点，AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，，，，设平面的一个法向量为，，令，得，故， 设直线与平面所成角为， （3）设为平面ADE的法向量，，，令得，，设，因为点M在侧面内，所以存在使得,，，，，因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得，则， 所以，因为M在侧面内，所以， 当时，取得最小值，此时，易知平面的法向量为， 设平面的法向量为，， ，令得，， 设平面与平面所成的二面角为，，， 所以平面与平面所成的二面角得正弦值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C B B C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13．3（答案不唯一） 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）圆：化为标准方程为，圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以，所以直线与圆相交； 直线被圆所截得的弦长为. （6分） （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得，所以直线方程为， 综上，切线方程为或. （7分） 16．（15分） 【详解】（1）由题设且，则，由轴时，，不妨令，代入双曲线得，所以，则所求方程为. （5分） （2）（i）设，则，由斜率不为0，设， 联立双曲线并整理得，则， 所以，由，直线， （10分） 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，因为，所以， 而，则，所以过定点. （15分） 17．（15分） 【详解】（1）证明：如图， 连接交于点，取中点为，连接，，，在四边形中，，，故四边形为平行四边形. 故为中点，所以在中，为中位线，则且，又且，故且，即四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，平面，即平面. （6分） （2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取， ，，设平面的法向量为， ，取由平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 可得，解得或（舍去）， 故，又，所以点到平面的距离. （15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，因为焦距为，所以，解得，由椭圆定义可得，的周长为，故，解得，又，故，所以椭圆的方程为. （5分） （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立， 则，设， 则，所以， 因为， 所以，综上，为定值0. （11分） （ii）由（i）可得， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以△ABF1面积的最大值为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由棱台性质知，所以，则，在中，由余弦定理可得：，，连接，因为D为BC中点，所以，所以四边形为平行四边形，则，因为，所以，，又，，平面，平面，平面.（5分） （2）因为， 所以，则，以A为坐标原点，AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，，，，设平面的一个法向量为，，令，得，故， 设直线与平面所成角为，。 （11分） （3）设为平面ADE的法向量，，，令得，，设，因为点M在侧面内，所以存在使得,，，，，因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得，则， 所以，因为M在侧面内，所以， 当时，取得最小值，此时，易知平面的法向量为， 设平面的法向量为，， ，令得，， 设平面与平面所成的二面角为，，， 所以平面与平面所成的二面角得正弦值为. （19分） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $