第9期 4.4 探索三角形相似的条件 4.5 相似三角形判定定理的证明（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（北师大版）

4 素养·拓展 数理极 (上接第3版) 20.(12分)如图18，在Rt△ABC中，∠ACB 19.(12分)如图17，在△ABC中，点D是边 =90°，点M为AB的中点，点F是线段CM上 BC上任意一点（不与点B,C重合）. 动点，过点F作DE⊥CM分别交边CA,CB于点 辅助线周周练 (1)如图17-①，连接AD,S△AD:S△ADc= D,E. (用图中已有线段表示)； (1)求证：△CDE∽△CBA: 1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC (2)如图17-②，0是线段AD上任意一点 (2)若DE=CM,求证：BC=2DC: =BC,在AC上取一点D,在AB上取一点E,使 (不与点A,D重合)，连接B0,C0,试猜想SAc 与SAc之比应该等于图中哪两条线段之比？请 (3)若点F为CM的中点，求品+器的临， ∠BDC=∠EDA,过点E作EF⊥BD于点N,交 BC于点F,若CF=8,AD=11,则CD的长为 说明理由. 2.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC,∠D= 90°，BC=CD=12,∠ABE=45°，点E在DC 上，AE,BC的延长线相交于点F,若AE=10,则 S△ADe+SACEF的值是 p阴m7S+rvS 用华相W斟部‘x华‘盘4用龙士关至 津缸兴邻g钳‘aQ‘IV世￥x出‘x=AO ‘0I=Wy=aV班‘，舌aavy aNv☑ 昏‘NWaV倭aOaV转弹W上v0T waava斗【些群】8年0乙 o自填1[MT还必三W 御‘☒daV∽☒☑V71,y电科忆 =阳ǔ=aDa0=H阳子=阳E9 y单三金御‘N壬H8T N☑Wa平'Q8=Ha度音壬‘H8a7=H7 数理报社试题研究中心 任浮参印磨梨木·提=兴 (参考答案见下期) 十十+…+十…++…+十…+十…十 M‘aHa7∽aaVV肾‘H上彩斗 =6G=B6.所号=E0G=分 AE 明aa卒O8THa,a【些】￡1 第8期2版参考答案 十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十 4.1成比例线段 (2)过点D作DH∥BE交AC于点H,因为DH∥BE, 基础知识1.A;2.A;3.B; 所以监=肥=冬，所以CH=4hE因为DH∥E,所 2:13；14.o DC 41:7500:5号 三、15.AE:EB的值为2：3. 6.△ABC的周长为18. ==，所以4=E因为4：C 16(①因为子=令，所以a=6,所以。- b 能力提高7因为2+。上：6士。：（号：(+4)=30所以4：c的值为品专6- a 1 4.3相似多边形 a+c-b,所以a+b=-6+c=c+ai设9+b=6+c= b b 基础知识1.D:2.A:315:4号；5.尽 (2)因为a=号b且a=8,所以b=6又因为是= c+a=k,则a+b=hc,b+c=ha,c+a=b,所以(a 6.边框内外边缘所围成的两个矩形不相似.理由： b 由题意，得矩形ABCD的长：宽=6：4=3：2，边框外 。,所以=b=48,所以x=45(负值舍去). +b)+(b+c)+(c+a)=kc+ka+kb,所以2(a+b 边缘所围成的矩形的长为600+20×2=640(cm),宽为 17.(1)因为DE∥BC,所以AE:AC=AD:AB,因 +c）=k(a+b+c),即(a+b+c)(k-2)=0,所以a 400+20=420(cm),所以长：宽=640：420=32：21，为AD:AB=1:3,AE=4,所以AC=12,所以EC=AC +b+c=0或k=2.当a+b+c=0时，则a+b=-c, 因为3：2≠32：21，对应边不成比例，所以边框内外边-AE=12-4=8. 所以a+b=-1,所以6+c=C+=-1,所以缘所围成的两个矩形不相似。 能力提高7.(1)由题意，得MN=AB=2,MD= (2)明：因为nE∥C,∥cG,所0-能 a+b)b+c(a+c=-1:当k=2时，则a+ abe 2。名D=之BC,短形DMC与矩形ABCD相似，所以2能=长，所以品-能所以AD·AG=A·AB 6+c=c+a=2,所以a+b)b+c(a+cd=8.综 -MN -BC abc C=B,即8c°=4，所以BC=22 2 1k因为r∥c.所%咒·号所器 上所述，a+b)b+ea+d的值为8或-1. abc =号因为5D=20,所以BG=号×x20=8, 4.2平行线分线段成比例 (2)因为矩形C0FE与原短形ABCD相版.所以光 (2)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB=CD. 6 基础知识1.C;2.C;3.3；4.4:5.5 =品因为A=C0=2,6c=4,所以DP=8巴 BC 1)可瑞-=子所瑞=子所%=分 6.AD的值为10. =1,所以矩形CDFE的面积=CD·DF=2. 19.(1)如图，设AB=x,由翻折的性 能力提高7.(1)证明：因为DG∥BE,点D是BC 第8期3版参考答案 质得，∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,A, 中点，所品-瓷=1，所以cG=c因为点F是0 ∠BCF=∠BDF=90°. -、题号12345678 因为∠ACE=∠ACB+∠ECB= 中点，0c∥E,所瓷=荒=1，所以4=c所 答案AABACABB ∠BCF=∠BCE+∠ECF,∠ECF=45 二、9.2；10.12；11.3：2； (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话， 0351-5271268 数评橘 2025年8月28日·星期四 初中数学 报纸发行质量反馈电话 第 9期总第1153期 北师大 0351-5271248 中考 (上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-205 所以∠ACB=45°，所以 BC=2x,所以BD=BC 重点精讲 黄金分割是一个神奇 =√2x,所以AD=AB+ BD=(2+1)x,所以E 分析已知条件确定证明方法 的存在，在大千世界中的 题 应用十分广泛，请看下面 =CE=AD=(√2 的例题 1)x,因为DE=AC=AB 山西王潇 例1山西漆器在工 =x,所以DF=DE+E 类型1：已知条件只涉及角 证明：因为CD=CE,所以∠CDE 艺、造型和装饰等方面，均 =(+2,所以 例1如图1，在 ∠CED,所以∠ADB=∠AEC. Rt△ABC中，∠ACB=909 体现了山西地域文化的典 因为2AD=3AE,2BD=3CD (5+2)x=巨+2 AC=BC,P为△ABC内部 型特色.如图1是漆提盒， (2+1)x W2+1 所以提-0-器 BDBD 3 点，∠APB=∠BPC=135. 2 经测量该漆提盒从提盒顶 刘 . 求证：△PAB∽△PBC. 所以△ABD∽△ACE. 端到提盒底端的高度AB (2)相似理由：因 为A5纸长边为A4纸短 证明：因为∠ACB=90°，AC=BC,所以 温馨提示：当已知两个三角形的两边对应 与从提手顶端到提盒底端 边，A5纸长边为(2+ ∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC.又因为∠APB 成比例时，要考虑其夹角是否相等，利用“两边 的高度CD之比满足黄金 例谈黄金分割 x,短边为(，+x =135°，所以∠PAB+∠PBA=45°，所以成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明 ∠PBC=∠PAB.又因为∠APB=∠BPC= 分割（即AB CD 5-1) 三角形相似. 2 所以在A5纸中，长边：短 135°，所以△PAB∽△PBC. 类型4：已知条件只涉及边 已知CD=25(√5+ 边=《5+=2，所 温馨提示：当已知条件只涉及角时，可用 例4如图4，在△ABC和△A'B'C'中，点 1)cm,则AB的长为 (2,+2)x “两角分别相等的两个三角形相似”来证明两个 D,D分别是AB,A'B上的点， 4D AB B,当 cm. 三角形相似.解决这类题时，要注意图中公共 A4纸与A5纸相似 角、对顶角等隐含条件 CD AC AB 20.(1)证明：过点0 时，求证：△ADC 解析：因为A迟 5 CD 25(J5+ 类型2：已知条件涉及平行线 A'B' CD 作CH∥MN交AB于点 △A'D'C 4,则荒=品因为让 例2如图2， 1)cm,所以AB=5-1cD= 5 ×25(5 2 △ABC与△DEF按图示 CE,所以AD=DH.因 位置放置，点B,E,C, 1)=50(cm).故填50 品宁，所以知 在同一条直线上，且AB 图2 2AD=2DH,所以BH ∥DE,AC∥DF,求证：△ABC∽△DEF DH.因为CH∥MN,所以 证明：因为AC∥DF,所以∠ACB= -器=1，拟C BC ∠DFE.又因为AB∥DE,所以LABC ∠DEF,所以△ABC∽△DEF. 证明：因为治- A'B,所以AD AB A'DAB 图2 CF. 温馨提示：当已知条件涉及平行线时，可以 因为 CD AC AB AC 例2黄金分割是汉字结构最基本的规 (2)过点C作CH∥ 得出两角相等的条件，利用“两角分别相等的两 C'D' CC'D' A'C' MN交A于点A,则兰 律.借助如图2的正方形习字格书写的汉字 个三角形相似”来证明两个三角形相似， A'D,所以△ADC~△A'DC AD “晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的 ADB盟=B HD'HD CF =3,所 类型3：已知条件既有角又有边 端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上，且AB 例3 如图3，在 温馨提示：当已知条件只涉及边时，利用 以BH=3HD,所以BD ∥NP,“晋”字的笔画“\”的位置在AB的黄 因为4D=2 △ABC中，CD=CE,2AD “三边成比例的两个三角形相似”来证明两个三 BD=3,所以 =3AE,2BD=3CD,求证： 角形相似是常用方法.判断三边是否成比例时， 金分割点C处，且AB>AC,若NP=4cm,则 △ABD∽△ACE, 可先将三角形的边按大小顺序排列」 BC的长为」 cm(结果保留根号). AD 2 AD = ,所以那 解析：因为四边形MNPQ是正方形，所以 号所以光=品=号 题型空间 ∠N=∠P=90°.又因为AB∥NP,所以 ∠BAN=90°，所以四边形ABPN是矩形，所以 (3)过点C作CH/ 交A8于点，哈院 网络中的相似三角形 AB=NP=4em又因为胎=5，所以BC BC DH O广东 顾心言 在近几年的各种考试中，网格中的格点三 =(25-2)cm.故填(25-2) AB:AB,=√2：1.故填√2：1 DH DM+B册=+n所以 1 角形（顶，点在网格交点处）相似问题频频出现 二、识别相似三角形 例3采用如下方法 这些试题，将相似三角形的基础知识的考查寓 可以得到黄金分割点：如 DH 1 例2如图2 于新颖的情境之中，既开拓了同学们的视野，又 △ACD的三个顶点均 图3，已知线段AB,过点B m所以AD= BD, 考查了同学们知识的迁移、类比能力，对培养同 在1×4的网格的格点 作BD⊥AB,使BD= m 学们的创新意识和创新能力有很好的导向作 上.现任选三个格点， 图2 因为CH∥MN,所以显 用.以下几例供同学们参考 组成一个格点三角形与△ACD相似（不全等） 2AB,连接DA,在DA上 ⊥BD 确定相似比 则这个格点三角形可以是 (写出一个 截取DE=DB;在AB上截取AC=AE,点C就 m 例1如图1是 一个4×4的 即可) DH 是线段AB的黄金分割点.若AB=2,则BC= 正方形网格，△ABC与△AB,C 解析：由勾股定理，得CD=1,AC= +1 都是格点三角形，并且△ABC~ √/P+1下=√2，AD=√2+22=5，FH 解析：由题意，得点C是线段AB的黄金分 风 △AB,C1,则△ABC与△ABC 的相似比是」 √+1下=2，HW=2,FJ=√2+32=√1o (全文完) 网1 所以5-是-品=万阴以△W~△DC1 割点，所以46=521因为B=2,所以4 2 解析：由勾股定理，得A,C1=1,AB,=2, AC=2,AB=22,由△ABC△A,B,C,可同理可得△EIA△DCA,△GEC△DCA, =√5-1，所以BC=AB-AC=3-√5.故填 知，△ABC与△A,B,C,的相似比=AC:A,C,=△HDB△DCA.故填△FHW(答案不惟一). 3- 5 素养专练 数理极 3.如图2，△ABC中，AB=9,BC=7,点D在似吗？为什么？ 边AB上，且BD=2,点E在BC上，当BE= 跟踪训练 时，以B,D,E为顶点的三角形与△ABC 相似 4.4探索三角形相似的条件（第一课时） 屋础训练 1.在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规 2 14 在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD,根据作图 图2 图3 痕迹判断，正确的是 4.如图3，在已建立直角坐标系的4×4的正 4.4探索三角形相似的条件（第四课时） 方形方格中，△ABC是格点三角形（三角形的三个 顶，点是小正方形的顶点)，若以格点P,A,B为顶 堡础训练 点的三角形与△ABC相以（全等除外），则格点P 1.已知线段a=10,线段b是线段a上黄金分 的坐标是 割的较长部分，则线段b的长是 ( 2.如图1，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD A.5(5+1) B.5(5-1) 能刀提高 =∠C,∠ABC的平分线交边AC于点E,交AD于 C.10(5-1) D.5(5+3) 点F,则在下列给出的三角形中，与△BDF相似的 5.如图4，在△ABC中，点D,E分别在边AC, 2.美是一种感觉，当人体下半身 是 AB上，AB=2AD,AC=2AE. 长与身高比值越接近0.618时，越给 A.△BFA B.△BAE (1)求证：△ADE∽△ABC; 人一种美感.如图1，某女士身高 C.△BEC D.△AEF (2)连接DE,BD,CE,若AD=3,AE=2,求 165cm,下半身长x与身高l的比值 S△cDE的值 是0.6，为尽可能达到好的效果，她 S ABDE 应穿的高跟鞋的高度大约为() 图1 A.4 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 3.如图2，乐器上的一根弦AB=80cm,两个 端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B 3.如图2，要使△ABC与△DCA相似，则只需 的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割 添加一个适当的条件是（填一个即可）. 点，C,D之间的距离为 cm. 4.如图3，在四边形ABCD中， AC平分∠BAD,∠B=∠ACD,AB= 6,AD=3,则AC的长为 4.4探索三角形相似的条件（第三课时） 5.如图4，AC为口ABCD的对 堡础训练 图2 图3 角线，若点E,F分别是CD,BC边上 B 网3 的点，连接AE,AF,若∠EAF=∠CAB,AC=BC 1.若△ABC的三边长分别是3,5,6，则与 4.如图3，P是线段AB的黄金分割点，且PA 求证：△ABF△ACE. △ABC相似的△DEF的边可能是 >PB,S,表示以PA为一边的正方形面积，S,表示 A.DE 6,DF =8,EF =10 长为AB,宽为PB的矩形面积，则S, B.DE=9,EF=18,DF=25 S2(填“<”“=”或“>”). C.DE=1,EF=2,DF=2.5 能力提高 D.DE=6,DF=10,EF=12 2.如图1，若A,B,C,D,E,F,G,H,0都是9× 5.在现实生活中，黄金分割无处不在.如图4 7方格纸中的格点，为使△DME△ABC,则点M ①，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数， 应是点F,G,H,O中的 A.点F B.点G C.点H D.点O 如器-器-器- (1)如图4-②，已知线段AB的长为1，线段AB 4.4探索三角形相似的条件（第二课时） 上的点A,满足关系式AM=A,B·AB,请你计算AA 垦础训练 的长度，并判断AA,的长度是否为黄金分割数； (2)如图4-②，若在线段A4,上再取一个点 1.如图1，已知∠1=∠2，添加下列条件，仍 A2,满足A4?=A2A,·A41;在线段A42上取一点 不能使△ABC∽△ADE的是 图1 图2 A3,满足A4=A3A2·A42…以此类推，在线段 A.∠B=∠D 3.如图2，方格纸中每个小正方形的边长为 AAn-1上取一点An满足AA=A,An-1·AAn-·请你 B.∠C=∠E 1,△ABC的顶点都在格点上，点P,P2,P3,P4,P 直接写出A4n的长度 c册-报 是△ABC边上的5个格点.请在图中的8个格点中 任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三 n-船 角形与△ABC相似（不全等），符合题意的三角形 共有 个. 2.在三角形纸片ABC中，∠A=80°，AB= 4.如图3，正方形ABCD的边 4…A4A3 A ② 12,AC=8,沿图中虚线剪下的阴影部分的三角形 长为8，AE=EB,MN=25,线 图4 与△ABC不相似的是 ) 段MN的两端在CB,CD上滑动， 当CM= 时，△ADE与 △CMN相似. 5.如图4,0是△ABC内任意一点，A',B',C 数理报社试题研究中心 分别为OA,OB,0C的中点，△A'B'C'与△ABC相 (参考答案见下期) 数理极 素养•测评 3 16.(10分)如图14所示，在4×4的正方形网 格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小 同步X 达 检测题（立） 正方形的顶点上 (1)填空：∠ABC=∠DFE= ,BC 【检测范围：4.4~^4.5】 (2)判断△ABC与△DEF是否相似？并说明 二、细心填一填（每小题4分，共24分） (满分：120分) 理由 9.如图7，在△ABC中，D,E分别为边AB,AC 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 上的点，试添加一个条件： ,使得△ADE 题号12 34567 与△ABC相以（只需填一个条件） 答案 1.一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为 14cm,则它的宽为 ( A.(7√5+7)cm B.(21-75)cm 图7 图8 C.(75-21)cm D.(75-7)cm 10.如图8，AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交 2.如图1，已知AB∥CD,点E,F在直线AB于点G,则与△CGF相似的三角形共有 个. 上，CE⊥ED.要得到△CEF与△CED相似，还需 11.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出 要添加一个条件，添加的条件可以是 不同的音符.实验发现，当液面高度AC与瓶高AB A.CF⊥AB B.CF CE 之比为黄金比（约等于0.618）时（如图9），可以敲 C.CF FE D.CF ED 击出音符“sol”的声音.若AB=10cm,且敲击时 17.(10分)如图15，在四边形ABCD中，AC平 发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为分∠DAB,AC2=AB·AD,∠ADC=90°，点E为AB cm. 的中点 (1)求证：△ADC∽△ACB; 图1 图2 (2)CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由. 3.如图2，在口ABCD中，E是AB的中点，EC 相 交BD于点F,那么EF与CF的比是 ( A.2:1B.1:2C.1:3D.3:1 图9 图10 4.下列两个三角形一定相似的是 ( 12.象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化 A.两个直角三角形 瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂。 B.有一个内角为40°的两个直角三角形 在如图10所示的象棋盘（各个小正方形的边长均 C.两个等腰三角形 相等)中，根据“马走日”的规则，“马”下一步应落 D.有一个内角是40°的两个等腰三角形 在 _处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格 5.如图3，下列4×4的正方形网格中，小正方 点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格 形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与 点构成的三角形相似， △ABC相似的三角形所在的网格图形是 13.将三角形纸片△ABC按如图11的方式折 叠，使点B落在边AC上，记为点B',折痕为EF.已 知AB=AC=3,BC=4,若以点B,F,C为顶点的 三角形与△ABC相以，则BF= 18.(10分)如图16，点B,D,E在一条直线上， 图3 B 0 BE与AC样交于点上，8-8E-AG 6.如图4，AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,则图 (1)求证：∠BAD=∠CAE: 中相似三角形有 ( (2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数： A.5对 B.6对 (3)连接EC,求证：△ABD△ACE. C.10对 D.20对 网11 幻1 14.如图12，在平面直角坐标系中，一次函数y =3x+2的图象分别交x轴，y轴于A,B两点，过 函数图象上一点C(6,m)作CD⊥x轴于D,E是线 5 段AB上一动点，连接BD,EO,若以B,E,O为顶点 7.如图5，在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=的三角形与△BCD相似，则E的坐标为_ 4,点P在边BC上，CP=AC,过点P作直线截 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） △ABC,使截得的新三角形与原△ABC相似，满足 15.(10分)如图13，点C,D在线段AB上， 这样条件的直线共有 △PCD是等边三角形，且AC=1,CD=2,DB=4. A.4条B.3条 C.2条 D.1条 求证：△ACP∽△PDB. 8.如图6，在矩形ABCD中，E 是AD边的中点，BE1AC,垂足为 F,连接DF,则下列结论错误的是 () B 13 图6 A.△AEF△CABB.CF=2AF B.DF DC D.C、2 AC=2 (下转第4版)