第7期 3.3 轴对称与坐标变化 第三章复习与小结（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（北师大版2024）

四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 21.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b),B(c, 23.【问题情境】 19.如图10，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的 少，若点八)满足x=“y=6告，那么称点T是点A和8 在平面直角坐标系中有不重合的两点A(x1,y,)和B(x,y,),小 正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上.已知点A 3 明在学习中发现若x1=x2,则AB∥y轴，且线段AB的长度为1y,- 的坐标为(-1,4)，点B的位置如图10所示，点C是第一象限内 的衍生点.例如：M(-2,5),N(8,-2),则点T(2,1)是点M和N的 y2I;若y1=y2,则AB∥x轴，且线段AB的长度为1x1-x21. 点，其纵坐标是9的平方根，且0C=5. 衍生点.已知点D(3,0),点E(m,m+2),点T(x,y)是点D和E的们 【应用】 (1)写出图中点B的坐标： ;在图中描出点C,并写出 生点， (1)若点A(-1,1),B(2,1),则AB∥ 轴，AB的长度为 点C的坐标 (1)若点E(4,6),则点T的坐标是 (2)画出△AB0关于x轴的对称图形△A'B'O,并依次连接A', (2)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）； (2)若点C(1,0),CD∥y轴，且CD=2,则点D的坐标为 B,B,C,A',求四边形A'BB'C的面积 (3)若直线ET交x轴于点H,当∠DHT=90°时，求点E的坐标 【拓展】 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1,y) N(x2,y2)之间的折线距离为d(M,N)=|x1-x2I+|y1-y2I. 例如：图12-①中，点M(-1,1)与点N(1,-2)之间的折线距 离为d(M,N)=l-1-11+11-(-2)1=2+3=5. 解决下列问题： 数理报·初中数学 聱 (3)如图12-②，已知点E(2,0),F(-1,2),则d(E,F)= 报 图10 (4)如图12-②，已知点E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,则t 初 中 数 20.在平面直角坐标系中，点P的坐标是(2a-5,a+3). (5)如图12-③，已知点P(3,3),点Q在x轴上，且△0PQ的 学 (1)若点P在y轴上，求a的值及点P的坐标； 面积为3，求点P和点Q之间的折线距离 北 师 (2)若点P的纵坐标比横坐标大3，求a的值及点P的坐标： 五、耐心解一解（本大题共2小题，每22小题13分，第23小题 缩 大 (3)若点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值及点P 14分，共27分) 大 的坐标 22.如图11，在平面直角坐标系中，AB1x轴，垂足为A,BC1y 轴，垂足为C,已知B(a,b),其中a,b满足(a-4)2+√乃-3=0，点 P是x轴正半轴上一动点（不与，点A重合）· 合测评卷 (1)直接写出点B的坐标： ② (2)如图11，当点P运动到点A右侧时，连接PB,PC,若S△PB= 图12 八年级综合测评卷 3,求△POC的面积； (3)在点P运动过程中，直线PC与直线AB交于点Q,以O,A Q,C为顶点的四边形的面积记为S,△PBQ的面积记为S,.试问：S, ,S2是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由， 备用 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话， 初中数学 0351-5271268 2025年8月13日·星期三 报纸发行质量反馈电话： 第 7期总第1151期 北师大 0351-5271248 羞理橘 八年级 上接2版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-204 因为SA= 0A 2 题型空间 2×3CD=24 2 所以CD=7.因为D(3 坐标系搭台 轴对称唱戏 恋进 0),所以C(3-7,0)或 3.3轴对称与坐标变化 C(3+7,0),即C(-4 广东李伟 学习目标：在平面直角坐标系中，以坐标 0)或C(10,0). 一、求点的坐标 在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB 轴为对称轴，能作某一个图形关于对称轴的 附加题 1.(1)B2,B3 例1如图1，x轴是 对称图形，能写出一个已知顶，点坐标的图形 /0B2+0A2=10. (2)①当点B在 △AOB的对称轴，y轴是 的对称图形的顶，点坐标，知道对应顶点坐标 由轴对称的性质，得AB′=AB=10.所以 之间的关系 轴上时，设点B(t,0) △B0C的对称轴，点A的坐 0B'=AB'-0A=4. 认知重点：体会关于x轴或y轴对称的 由题意，得t-5=0 标为(1,2)，则点C的坐标为 所以点B'的坐标为(-4,0).故填(-4,0) (-3),解得t=8,所以 点的坐标特点 二、求代数式的值 B(8,0):②当点B在 A.(-1,-2) 轴上时，设点B(0,b) 例3已知点A(a+b,b-2)与B(5,-1) B.(1,-2) 由题意，得0-5=b- 关于x轴对称，求(a-b)2的值， (-3),解得b=-8,所 C.(-1,2) 解：因为点A(a+b,b-2)与B(5,-1)关 以B(0,-8). D.(-2,-1) 于x轴对称，所以a+b=5,b-2=1. 综上所述，点B的 解：因为x轴是△AOB的对称轴，所以点A 所以a=2,b=3. 坐标为(8,0)或(0 与点B关于x轴对称.又因为点A的坐标为(1， 所以(a-b)2025=(2-3)2@5=(-1)20 8) 2),所以B(1,-2).因为y轴是△B0C的对称 (3)由题意，得2m 轴，所以点B与点C关于y轴对称.所以C(-1, 三、作图 解：(1)点A(-1,3),B(2,0),C(-3,-1) +万=-n-25,所以 2).故选A. 例4如图3，在平面直角坐标系中，已知关于y轴的对称点的坐标为A(1,3),B,(-2, 2m=-n-33.因为 例2如图2，直线AB与x 点A(-1,3),B(2,0),C(-3,-1) 0),C(3,-1),依次连接这些点即可得到 m,n互为相反数，所以 轴、y轴分别相交于点A(6,0) m+n=0.所以m+n+ (1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图△A,B,C,如图3所示 =-35.所以m= B(0,8),M是OB上一点，若将 形△A,B,C1,并写出点A1,B1,C,的坐标； (2)如图3，连接A,C,交y轴于点P,这时 -35,n=35.所以 △ABM沿AM折叠，则点B恰好 (2)在y轴上找一点P,使PA+PC最短； PA+PC最短，点P即为所求. (3)横坐标保持不变，纵坐标都乘以-1，所 2m=-65.所以点 落在x轴上的点B'处，则点B (3)将△ABC的每个顶点的横坐标保持不 得各点的坐标依次是A,(-1,-3),B,(2,0), B(-65,-35) 的坐标为 变，纵坐标都乘以-1，再顺次连接这些点，你会 2.(1)4,6,(4,6) 解：因为点A(6,0),B(0,8) 得到怎样的图形？所得图形与原图形有怎样的C(-3,1),如图4，依次连接这些点即可得到 (2)因为点P从原 所以0A=6,0B=8. 位置关系？ △A,B,C,.所得图形与△ABC关于x轴对称. 点出发，以每秒2个单 位长度的速度沿着0 一、实数排列规律 专题辅导 C-B-A-O的线路移 例1将一组数2,2,6,22，…，42按下 动4秒，所以2×4=8. 列方式进行排列： 因为0A=4,0C=6 探索位置与坐标申的规律 √2,2，√6,22； 所以当点P移动4秒 时，在线段CB上，离点 10,25,14,4; O江西 傅雨薇 C的距离是：8-6=2 … 标是 ,第2068秒点P所在位置的坐标的坐标依次为(-1,1)，（-1，-1)，(2,0) 所以点P的坐标是(2， 若2的位置记为(1,2)，14的位置记为 (-1,1),…,每3次为一个循环 6 (2,3),则27的位置记为 解析：根据题意，得P(1,0),Ps（2,0), 因为26÷3=8…2，所以两个物体运动 (3)由题意可得， 在移动过程中，当点P 解析：先找出被开方数的规律，然后再求得P,(3,0),P4(4,0),P(6,0),即点P22+2的后的第26次相遇地点的坐标为(-1，-1).故 27的位置即可. 坐标为(2n,0).所以点P24的坐标为(44,0). 填(-1，-1). 到x轴的距离为5个单 位长度时，存在两种情 题中数字可以化成： 点P224向右运动1个单位长度，再向上运动 四、点的循环规律 2,4,6,8: 43个单位长度就是点P26s的坐标，即(45,43)· 例4在平面直角坐标系中，对于点P(x ①当点P在OC上 故填(3,0)，(45,43). y),我们把点P'(-y+1,x+1)叫作点P的“有 时，点P移动的时间是 0,2,14,6; 三、环形运动规律 所以这些数的被开方数是从2开始的偶数， 序循环点”，已知点A,的“有序循环点”是A2,点 5÷2=2.5(秒). 例3如图2，长方形 ②当点P在BA上 A2的“有序循环点”是A3,点A的“有序循环点” 且每一行4个数.因为2万=√/28,28是第14个BCDE的各边分别平行于x 时，点P移动的时间是： 是A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,A4,…,An 偶数，而14÷4=3…2，所以27的位置记为 轴或y轴，物体甲和物体乙由 (6+4+1)÷2 点A(2,0)同时出发，沿长方 若点A1的坐标为(-3,2)，则点A2s的坐标为 5.5(秒) (4,2).故填(4,2) 二、位置确定规律 形BCDE的边作环绕运动，物 图2 故在移动过程中 例2如图1，动点 体甲按逆时针方向以1个单位/秒的速度做匀 A.(-3,2） B.(-1,-2) 当点P到x轴的距离为 5个单位长度时，点P移 P从坐标原点0(0,0) 速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒的 C.(3,0) D.(1,4) 动的时间是2.5秒或 出发，以每秒一个单位 速度做匀速运动，则两个物体运动后的第26次 解析：因为点A1的坐标为(-3,2) 5.5秒 相遇地点的坐标是 长度的速度按图中箭头 所以点A2(-1,-2),43(3,0),44(1,4) (全文完) 解析：由已知，得长方形BCDE的周长为12. 所示的方向运动，第1秒 A(-3,2),46(-1,-2),…, 因为甲、乙的速度分别为1个单位/秒，2个单 运动到点(1,0)，第2秒 位/秒，所以两个物体每次相遇的时间间隔 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环 运动到点(1,1)，第3秒运动到点(0,1)，第4秒 12 因为2025÷4=506…1，所以点A2m5的 运动到点(0,2)，…，则第9秒点P所在位置的坐 为：1+2 =4(秒).所以两个物体的相遇地点 坐标与点A,的坐标相同，为(-3,2).故选A. 2 素养专练 A 数理极 4.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一， 7.四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置 跟踪训练 很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图2所 如图4所示. 示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直 (1)写出点A,B的坐标 GENZONGXUNLIAN 角坐标系中，如果图中点E(m,I)关于y轴对称的 (2)将点A,B,C,D的纵坐标保持不变，横坐 3.3轴对称与坐标变化 ! 点F的坐标为(2，n),则mn的值为 标分别乘-1，依次得到点E,F,G,H,用线段顺次 5.已知点A(2,3),B(0,1),C(3,1),写出点 连接起来，画出四边形EFGH,则四边形EFGH与 垦础训练 A关于直线BC的对称点的坐标为 四边形ABCD有怎样的位置关系？ 1.在平面直角坐标系中，点(2,5)关于x轴对 6.如图3，在平面直角坐标系中，△ABC三个 (3)求四边形EFGH的面积 称的点是 顶点的坐标分别是A(-3,-3),B(-1,-2), A.(-2,5) B.(2,-5) C(-2,-1) C.(-2,-5) D.(5,2) (1)请画出△ABC关于x轴对称的 2.已知点P(2,-4)与点0(-2，-4)关于△ABC1; 某条直线对称，则这条直线是 ) (2)请画出△ABC关于y轴对称的 1 A.x轴 △A2B2C2; B.y轴 (3)若△ABC内部一点P(m,n)在△A,B,C 4 C.过点(4,0)且垂直于x轴的直线 中的对应点为P,在△A,B,C2中的对应点为P2, D.过点(0，-4)且平行于x轴的直线 请直接写出点P,P2的坐标 4 3.如图1，在平面直角坐标系中，∠A=90°， 0A=4,0B平分∠1，则点B(a-1,a-2)关于x 轴对称的点的坐标是 ( ) X ! A.(-4,3) B.(5,-2) C.(4,-3) D.(5,-3) ! 数理报社试题研究中心 图1 (参考答案见下期) 第6期2版参考答案 (2)因为点A到x轴的距离与到y轴的距离相 第6期3版参考答案 3.1确定位置 等，所以13a-51=|a+11.①若3a-5=a+ -、题号12345678 基础训练1.B;2.A; 1,解得a=3,则点A(4,4):②若3a-5+(a+1) 答案DBD BBACB 3.MATHS. =0,解得a=1,则点A(-2,2). 二9.-1；10.(4,30)；11.一； 4.(1)“马”所在的位置用(7,9)表示，“炮” 3.2.2坐标与图形 所在的位置用(3,7)表示. 12.3；13.(0,)；4.3或-2. (2)(5,3)表示“象”的位置，(7,4)表示“卒” 基础训练1.D;2.A; 三、15.图略，图形像铅笔（答案不唯一，合理 的位置. 3.-1;4.(1,2)或(3,2) 即可). (3)根据题意，得A→B→C可以用(8,5)→ 5.以D为坐标原点，DC和AD所在直线为x轴 16.(1)(3)图略 (2,5)→(2,8)表示. 和y轴建立平面直角坐标系，图略.则点A(0,4), (2)食堂(-5,5)，图书馆(2,5) 5.(1)学校在嘉琪家西北方向1.5km处；影点B(6,4),点C(6,0),点D(0,0).过点E作EG1 (4)由图可得，宿舍楼到教学楼的实际距离为 院在嘉琪家南偏西30°方向2.8km处. CD于点G,交AB于点F.因为AE=BE,所以AF=8×40=320(m). (2)因为FM=3km,P是FM的中点，所以 FP =FM =1.5 km. 4B=7×6=3在R△ABF中，由勾股定理，得 17.(0)由题意，得-30-4=0，解得a=-号 又因为FS=15km,所以Fs=FR所拟与嘉BP:VE-AP:V5-了：4，所以EG:4所以2+a=子所以点P的坐标为0，号. 琪家距离相同的地方有学校和公园。 +4=8,所以点E(3,8).(答案不唯一) (2)由题意，得-3a-4=5,解得a=-3.所 (3)根据小慧家在嘉琪家东南方向，只需延长 SF,再在其延长线上截取FA=FM=3km即可确 6.(1)因为1a+21+(6-4)2=0,所以a+以2+a=-1.所以点P的坐标为(5，-1). 2=0,b-4=0.所以a=-2,b=4. (3)由题意，得-3a-4+2+a=0,解得a 定小慧家的位置A,图略 (2)过点M作ME⊥x轴于点E,图略.因为 =-1.所以a2+2025=2026. 能力提高6.√2. 18.(1)3,2,3. 3.2平面直角坐标系 A(-2,0),B(4,0),所以0A=2,0B=4.所以AB (2)①由(1)知：SA0B=3,0A=3.所以SA40 3.2.1平面内点的坐标 =6.因为在第三象限内有一点M(-3,m),所以 基础训练1.C;2.B;3.D: =Sm=201,0C=3×30C=3,所以0c 4.1:5.三 E=1m1=-m所以5A=号4B:ME=分×2所以C(-2.0). 6.(1)(-3,1),(-4,-2) 6×(-m)=-3m. ②由条件可知S△AOD=S△OD+S△AOB= > (2)C;画平面直角坐标系略，S△A= （(3)当m=-4时5m=-3×(-4)=2设分6m+Sm=子x3=号，所以70A·0D 能方提高10)因为点A在y轴上航以3-点P0),则0=-a.所以5m=号8.0r方×30D=号，新以0D=3.所以D3,0.因为 5=0,解得a=子所以a+1=氵所以点A的坐标 1 为0，) ×6Xa=31a1,所以31a=12,解得a=Sm=200a=7x3n=2se=多所 ±4.所以点P的坐标为(0,4)或(0，-4) 以n=1.所以B(2,1). (下转1,4版中缝) 会宁会师的点的坐标为 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 《位置与坐标》综合测评卷 A.(2,-1)B.(1,2) C.(-1,2) D.(-3,2) 16.如图8，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关 8.方格纸上有A,B两点，若以B为原点建立平面直角坐标系，则 系 点A的坐标为(3，-2)，若以A为原点建立平面直角坐标系（横轴与 班级 姓名 学号： 满分：120分 (1)以图书馆为参照点，请用方向角和图中所标示的距离分别 纵轴的正方向与原平面直角坐标系一致)，则点B的坐标为( 表示保龙仓、中国银行和餐馆的位置； 题 号 总 A.(3,2) B.(3,-2) (2)火车站在图书馆的南偏东60°的方向上，并且火车站距图 C.(-3,2) D.(-3,-2) 书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站 得 9.如图3，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(8,12)，点C的 的位置 、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分》 坐标是(8,2)，AB=AC=13,则点A的坐标是 北中国银行 题号 6 7 10 A.(3,6) B.(-4,5) C.(-4,6) D.(-4,7) 餐馆18kn /3.2km 60° 答案 1) 图书馆东 1.在平面直角坐标系中，点A(-2025,-2025)位于( 保龙仓2.8knm A.第一象限 B.第二象限 图8 C.第三象限 D.第四象限 釐 图3 图4 2.2024年4月30日17时46分，神舟十七号载人飞船返回舱在 数 10.如图4，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从(-2,0) 17.在平面直角坐标系中，点P关于y轴的对称点为P(-3, 理 报 东风着陆场成功着陆，标志着神舟十七号载人飞行任务取得圆满成 运动到点(-1，-2)，第2次运动到点(0,0)，第3次运动到点(1， 报 初 功.下列描述能确定东风着陆场位置的是 ) 1),第4次运动到点(2,0)，第5次运动到点(3，-2)，…，按这样的 》,点P关于x轴的对称点为B,(a,6),求而的值， 初 中 A.内蒙古中部 运动规律，第2025次运动到点 B.距离酒泉发射中心300千米 A.(2025,-2) B.(2023,1) C.内蒙古自治区阿拉善盟 数学 C.(2023,-2) D.(2025,1) D.东经10009'43”，北纬4139'11” 师 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分）】 ·北师 3.下列各点在x轴负半轴的是 11.如图5是定西市地图简图的一部分，图中“定西北站”所在 八 A.(2,0) B.(-2,0) C.(0.2) D.(0,-2) 的区域是D6,则“大十字”所在的区域是 年 4.如图1是战机在空中展示的轴对称队形.以飞机B,C所在直 D E 级综合测评卷 线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.若飞机E的坐 办 6 定西北站 亿联市场 标为(3，-2)，则飞机D的坐标为 ( ) 大十字 汽车站 A.(-3,-2)B.(-3,2) C.(3,2) D.(2,3) 八年级综合测评 8 新盘旋路东门口 18.如图9是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方 吴起镇会师 图5 形组成的，棋盘上A,B两颗棋子的坐标分别为A(-2,4),B(1,2): 卷 会师★ 12.在平面直角坐标系中，若点A(n-2,3+n)在x轴上，则点 (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系； B(n-3,n+1)在第 象限 (2)分别写出C,D两颗棋子的坐标； 吧雪山 13.如图6，四边形ABCD是长方形，AB平行于x轴，AB=3,AD (3)有一颗黑色棋子E的坐标为(3，-1)，请在图中画出黑色棋 瑞金 湘江战役 3 子E =4.已知A(- -1),则点C的坐标是 图1 图2 5.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4,5)，点B是y轴上 任意一点，则线段AB的最小值为 A.1 B.4 C.5 D.9 6.在平面直角坐标系中，点A在第四象限，且点A到x轴的距离 十 是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为 ( A.(-5,3) B.(-3,5) 14.如图7，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2)，过点A C.(3,-5) D.(5,-3) 作AB⊥y轴于点B,连接OA,作△ABO关于直线AO的对称图形，得 7.长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大 到△AEO,AE交x轴于点F,则点F的坐标为 转折点.如图2，这是红一方面军的长征路线图，若表示吴起镇会师 15.在平面直角坐标系中，点A(0,a),B(b,0),C(1a+1I,3b 的点的坐标为(0,3)，表示湘江战役的点的坐标为(1，-3)，则表示8)，若OC平分∠AOB,BC1x轴，则α+b的值为