第2期 勾股定理 综合测评（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（北师大版2024）

《勾股定理》综合测评卷 班级： 姓名： 学号： 满分：120分 题号 二 三 四 五 总分 郑 得分 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为 AOC-TG:号 A.8 B.9 C.10 D.11 2.下列四组数据中，不是勾股数的是 A.3,4,5 B.5,6,7 C.5,12,13 D.6,8,10 3.如图1是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三 角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是3,5,2,3，则正方形E的面积是 ( A.13 B.11 C.8 D.6 朱 黄实 实 朱实 图1 图2 图3 一国 4.市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分.如图 2是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是6cm,水杯的内侧高度为 8cm,若勺子的长度为14cm,则勺子漏出杯子的部分至少为 ( A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 5.赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形.图中包含四个全等的勾股形和一个小正方 形，其面积称为朱实和黄实.如图3，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b,若ab=8,且 a2+b2=25,则黄实为 A.25 B.16 C.9 D.3 6.已知一个三角形的三边长的平方分别为32,42，x2,若此三角形是直角三角形，则x2的值 是 ( A.42 B.52 C.7 D.52或7 7.如图4，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点， 点E,F都在格点上，连接AE,AF,则∠EAF的度数为 A.30° B.45° C.60° D.75° A E D 20 图4 图5 图6 8.如图5是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是20dm,3dm,2dm,A和B是这个 台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁沿台阶面爬行到B 处的最短路程为 ( A.25 dm B.26 dm C.24 dm D.27 dm 9.定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的 “中偏度值”.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,则△ABC中AB边的“中偏度值”为 () A.2 B.3 10.如图6，在长方形ABCD中，AB=8,AD=12,将其沿EF折叠，点A,B分别落到点A'与 点B'处，恰好点C在A'B'上，且EG=CG,则线段CF的长度为 () A.5 B号 c号 027 4 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=2,AB=1,BC=a,则代数式(a-1)2+2a的值为 12.将小棍AB,BC和CD在同一平面内首尾顺次相接，AB1BC,小棍CD可绕点C转动，在 A与D之间用有弹性（可伸缩）的绳子连接，小棍长度如图7所示，绳子长度为x,请写出一个满 足条件的x的整数值：」 H 4米 P 图7 图8 图9 图10 13.如图8，甲、乙两艘客轮同时离开港口0，航行的速度都是40m/min,甲客轮用15min到 达点A,乙客轮用20min到达点B.若A,B两点的直线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东30°的 方向航行，则乙客轮的航行方向是 14.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图9所示的隧道，则卡车的外形高必须低于 15.如图10，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发，沿射线 BC以2cm/s的速度移动.当运动的时间为■ 时，△ABP为直角三角形. 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.如图11，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB=17,BC=21,AD=8,求AC的长， D 图11 17.如图12-①是某品牌婴儿车，图12-②为其简化结构示意图，现测得AB=CD= 60cm,BC=30cm,AD=90cm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD =90°)，根据安全标准需满足BC⊥CD,通过计算说明该车是否符合安全标准， 图12 18.我国古代数学家赵爽利用弦图验证了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼 接验证勾股定理.他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸 片，如图13-①所示，拼成如图13-②所示的图形，利用面积的不变性也可验证勾股定理。2+ 2=2.下面是小明验证勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写验证过程 D b C a B ① ② 图13 解：如图13-②，连接EB,由题意，得∠AEF=∠BAC,∠AEF+∠EAF=90°， 所以∠BAE=∠BAC+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°. …… 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.某校“综合与实践”活动小组的同学们到广场做实践课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研 问题背景 制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度， 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段AB),小组成员测量了相关数据，并画如下示意图14 测量数据 -①，测得水平距离BC的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地 面的距离BE为1.5米. A' 抽象模型 ch. B C E D G ① 图14 (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； 问题产生(2)如图14-②，若通过操控手中风筝线，使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中剩 余风筝线32米，此时风筝下降多少米？ 问题解决 … 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程。 20.如图15-①，圆柱形容器高为26cm,底面周长为20cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处 有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜， 蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处， (1)如图15-②是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P,使蚂蚁沿A-P-B路 线爬行，距离最短； (2)求蚂蚁爬行的最短路径长 D 蚂蚁A B蜂蜜 +B ① ② 图15 21.如图16，在△ABC中，AB=20,AC=16,BC=12,DE是AB的垂直平分线，DE分别交 AC,AB于点E,D. (1)试说明：△ABC是直角三角形； (2)求CE的长及△AED的面积. 图16 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极 强的破坏力.如图17，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点 C与直线AB上两点A,B的距离CA,CB分别为300km,400km,∠C=90°，以合风中心为圆心 周围250km以内为受影响区域. (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为20km/h,台风影响海港C持续的时间有多长？ A 图17 23.综合与探究 定义：如图18，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB.若以AM,MN,NB为边的三角形是一 个直角三角形，则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”. 数学思考： (1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB.若AM=2,MN=3,NB=4,则点M,N是线 段AB的“勾股分割点”吗？请说明理由. 深入探究： (2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点” ①“善思小组”提出问题：若MW为以AM,MN,NB为边的三角形的最长边，且AM=O.7,BW 均 =2.4,求AB的长 ②“智慧小组”提出问题：若AM为以AM,MW,NB为边的三角形的直角边，且AM=4,AB= 12,请直接写出BN的长 M B 图18 些 笨 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期)