第3期 2.1认识有理数（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（北师大版2024）

素养·拓展 数理极 有理数中没有最大 名师点晴： 比 的数，也没有最小的数， 米 兴米 却按从小到大的顺序整 齐地排列在数轴上，因 此正确熟练地比较有理 数轴学习要“心领到 数的大小，对后面的学 习非常重要那么比较 点 ◎江西石玉佳 有理数的大小都有哪些 理 方法呢？ 数轴是同学们研究数学的一种重要工具，为2，若A,B两点间的距离为3，则点B对应的数 一、两数比较用法 有了数轴，所有的有理数都可以用数轴上的点 为 韦则 表示，它是沟通数与形的桥梁.用好数轴，解题 解析：因为点A对应的数为2，所以0，A两点 几✉ 当我们要比较两个 非常方便、快捷 间的距离为2.又因为A,B两点间的距离为3，所 有理数的大小时，一般 一、会利用数轴表示有理数 以O,B两点间的距离为1.因为点B在原点的左 根据有理数大小比较的 例1画出数轴，并在数轴上表示下列各 小 法则进行：正数大于0， 数： 侧，所以点B对应的数为-1. 故填-1. 负数小于0，正数大于负 4,-2,-45,130 数；两个负数，绝对值大 三、会利用数轴解决动点问题 的反而小， 解析：在数轴上表示有理数通常有两步. 例3已知数轴上点A表示有理数-2，若 例1 比较下列各组数的大小： (1)画数轴，分为四步：①画直线：先画一条直将点A沿数轴移动4个单位长度到达点B,则点 （10和-0.01；(2)动和-102： 线，一般为水平的直线；②取原点：通常原点选B表示的有理数是 在所画直线的中间，当问题中负数的个数较多 解析：本题没有说明点A沿数轴移动的方 (3)-尽和-多 时，原点选靠右一些，当问题中正数的个数较多 向，应分类讨论 时，原点选靠左一些；③选正方向：通常取原点 解析：(1)一个数是0，另一个数是负数，由 如图3，借助数轴分析 向右的方向为正方向，用箭头表示出来；④选适 “负数小于0”，可得0>-0.01； 当的长度作为单位长度，单位长度要统一，并在 B B (2)一个数是正数，另一个数是负数，由 数轴正方向上依次标出1,2,3等点，在数轴负方 4个单位4个单位 “正数大于负数”，可得9>-102： 向上依次标出-1，-2，-3等点.(2)找出表示 -6-5-4-3-2-10123451 图3 数的点，用较大的实心点标出，且在该点正上方 (3)两个数均是负数，由“两个负数，绝对值 ①当点A沿数轴向右移动4个单位长度到 标上对应的数 大的反而小”知，需先比较它们绝对值的大小 达点B时，所表示的数为2； 如图1所示 因为1-1=-1-81=- ②当点A沿数轴向左移动4个单位长度到 8=72 9 -4.5 -2 0 达点B′时，所表示的数为-6. 而3 <即1-1<1-81， -54-3-2-1012345 图1 故填2或-6. 以>多 二、会利用数轴求两点间的距离 四、会利用数轴比较大小 例2如图2，A,B两 BO 详见本期本版《比较有理数大小“三点通”》 点在数轴上，点A对应的数 0 2 二、多数比较用数轴 图2 一文中的例2 在数轴上表示有理数，左边的数小于右边 体，西瓜→球，反光锥→圆锥，连线略.分类不惟一，略 的数.当我们要比较多个有理数的大小时，可在 第2期2版参考答案 1.2.2截一个几何体 17.图略. 数轴上把所要比较的数表示出来，则它们的大 基础训练1.C;2.D; 18.根据展开图，得“4”与“10”相对，“x”与“2”相 小关系一目了然 3.答案不惟一，如三棱柱 对，“6”与“y”相对.所以x+2=6+y=4+10.所以x 例2比较下列各数的大小，并用“<”连 4.(1)剩下的几何体的形状是五棱柱 =12,y=8.所以2x-y=16. 接： (2)剩下的几何体有10个顶点、15条棱、7个面. 四、19.(1)圆； -2.4-3分0,15,2 (3)剩下的几何体有26个顶点、39条棱、15个面！ (2)长方形； 能力提高5.根据沿着与底面平行的面切割情况， (3)当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时， 解析：先将各数在数轴上表示出来，如下图 得这个圆柱的底面积为：50.24÷4=12.56（平方厘米）.截得的长方形面积最大， 所示 所以这个圆柱的底面半径为2厘米.根据沿着底面直径 20.图③的体积大.理由如下： 3201524 切割情况，得这个圆柱的高为：40÷2÷4=5（厘米）.所 图②的体积为：号×T×3×6=18π，图③的体 4320129 以这个圆柱的体积为：12.56×5=62.8（平方厘米）. 6.如图1 积为：号×m×6×3=36m,因为36m>18m,所以图③ 观察数轴，根据“左边的数小于右边的数” 的体积大 可得：-37<-2<0<1.5<23<4 21.(1)这个大棚的种植面积是：15×2=30（平方米）. 三、字母比较用特值 (2)覆盖在这个大棚上的薄膜约有：2×π×2×15 从左面看 比较用字母表示的有理数的大小，由于字 图1 图2 +π×(2÷2)2=16π（平方米） 母比较抽象，为此可选取符合题目条件的具体 1.2.3从三个方向看物体的形状 数值代替字母，通过比较数的大小来比较字母 基础训练1.A;2.A;3.4. (3)这个大棚的体积约有：2×π×1×15= 的大小 4.图略. 例3设a>0,b<0,且1a1<1b1,用 能力提高5.4. 1(立方*) “<”把a,-a,b,-b连接起来. 6.(1)1,1,2;(2)8,10;(3)如图2 五、22.(1)长方体： 解析：不妨令a=1,b 第2期3,4版参考答案 (2)该几何体的体积为：5×3×1=15（立方米） =-2(符合a>0,b<0,且 -题号12345678910 (3)剩下的几何体可能有12条棱、13条棱、14条棱 15条棱 Ial<|b1的条件)，则-a 答案D C DABB BA D B 2 23.(1)10: 法 =-1,-b=2. 二、11.点动成线；12.答案不惟一，如三角形； (2)如图3； 1 因为-2<-1<1<2， 13.24m;14.96;15.9或10或11. (3)这个几何体的表面积为：6×2+ 312 所以b<-a<a<-b. 三、16.蛋糕→圆柱，魔方一正方体，厂房→长方6×2+6×2+2+2=40(cm2). 图3 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 2025年7月15日·星期 初中数学 第 3期总第1147期 北师大 0351-5271248 七年级 唐汝询苦读书 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 邮发代号：21-43 唐汝询是明朝 入门尚导 人，他小时候是个既 本周主讲 聪明又可爱的孩子。 携手其探新“数”界 2.1认识有理数 谁知，他5岁那年，不 学习目标：1.学会用正数和负数表示实 幸得了天花，这场病 ⊙山西苑朝奎 际问题中的数量，进而感受负数， 使唐汝询的世界从 2了解有理数及其分类，掌握数轴、相 此失去了光明。 在实际生活中，小学所学过的数已经难以记作+500元，则支出237元记作 反数和绝对值的概念及其应用，并会比较 他再也看不到 满足我们的需求了，必须把数的范围加以扩充， 分析：在一对具有相反意义的量中，先规定 有理数的大小， 外面的美丽风景，再 这样负数就应用而生了.下面就让我们一起来其中一个用正数表示，则另一个就用负数表示 认知重点：1.掌握用正、负数表示具有 也看不到洋溢在伙 学习一下负数的相关知识吧！ 具有相反意义的量必须是同类量，也必须是成 相反意义的量 伴们脸上的笑容 一、理解负数的概念 对出现的，且两个量除了符号外，数值可以不相 2.理解相反数和绝对 也看不到自己的亲 例1下列数中，属于负数的是 等 值的意义，会进行有理数 人了，他痛苦极了 A.2025 B.-2025 解：收入500元记作+500元，则支出237元 的大小比较 但是，随着年龄的增 1 应记作-237元故填-237元， 长，他逐渐适应了没 C.2025 D.0 三、用正、负数表示范围 负数的引入使 有光明的日子，并且 数的范围扩大为有 分析：大于0的数叫作正数；在正数前加上 例3一包零食的质量标识为“70±2克” 理数，并且数的分类 开始积极地面对生 符号“-”的数叫作负数，其中符号“-”是负 则下列质量合格的是 也有了新的标准， 号，读作“负”注意：负数前面的“-”号不可省 A.66克 B.76克 种是按定义分类， 识梳理 哥哥们上课的 略；0既不是正数，也不是负数， C.71克 D.74克 种是按符号性质分 时候，唐汝询便在 解：由正、负数的定义可知，2025和2025是 分析：根据正、负数的意义算出零食质量最 类，分类的标准不 旁仔细地听，用心地 多与最少的克数，根据范围即可得解 同，其结果也不同 抓 记。虽然他很坚强 正数，0既不是正数也不是负数，-2025是负 解：根据正、负数的意义得到“70±2克”表 1.按定义分类： 贵州 但在学习过程中也 数.故选B. 示零食质量最少为68克，最多为72克，也就是 正整数 遇到了困难，因为他 二、用正、负数表示相反意义的量 说质量合格的范围为68~72克，观察可知，选 整数0 有 祖 看不见，所以常常要 负整数 例2中国是最早采用正、负数表示相反意项A,B,D中的克数均不在这个范围内，而选项 付出比别人多很多 义的量，并进行负数运算的国家，若收入500元C中的克数在这个范围内.故选C 分数{数 L负分数 给数『分家 的努力。有时候，课 一“十十十“十十”十十 “十十“十十十 2.按符号性质分 文很长，他凭耳朵听 题型空间 根本就记不住先生 正有理数正整数 讲的内容，只好学古 武艺高强的 正分数 人用结绳记事。 绝对值 有 甲 他还喜欢上了 诗歌，因为诗歌中所 ○湖南 阳敏 负有离级 对有理数分类时，要做到“不重复”“不遗 猫绘的意境，他不用 绝对值是初中数学中的一个重要概念，是 三、已知绝对值的范围求特殊值 眼睛也能体会到。后 继续研究有理数的基础.由于它“武艺高强”，所 例3绝对值小于或等于4的整数是 漏” 温馨提示：1.通常把正数和0统称为非负 来经过唐汝询的坚 以应用非常广泛.下面同学们就一起来见识 数，负数和0统称为非正数，正整数和0统称为 持和努力，成为了明 下吧！ 分析：先在数轴上找出到原点的距离等于4 非负整数（也叫作自然数），负整数和0统称为 朝著名的学者和诗 一、已知原数求绝对值 的点，再找出它们之间的所有整数即可 非正整数 例1 -6的绝对值是 解：根据绝对值的意义可知，绝对值小于或 2.“不重复”的意思是说，每一个数只能属 大启示：唐汝询 B. 等于4的整数是-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4. 于其中的一类，不能出现某一个数同时属于多 A.6 没有埋怨命运的不 6 故填-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4. 类的情况.如：将有理数分为非负数、非正数两 公，更没有生活在别 1 C.- 四、利用绝对值的双值性解题 类就是错误的.因为0这个数被重复分类了，把 人同情的怀抱里，而 6 -6 例4若1a1=2,1b1=7,且a>b,则a 0既分在了非负数中，又分在了非正数中. 是用不屈的精神和 分析：根据一个负数的绝对值是它的相反 3.“不遗漏”的意思是说，分类时，不能遗 的值是 ,b的值是 数即可求解， 漏某些数如：将有理数分为正有理数与负有理 坚强的斗志，使自己 分析：解答本题要注意两点：①注意绝对值 数两类，显然遗漏了0. 弱小残缺的身躯显 解：因为-6是负数，所以1-61=6.故选A. 为正数的数有两个，它们互为相反数；②注意已 例把下列各有理数填在相应的集合内： 得高大、伟岸。一个 二、已知绝对值求原数 知条件a>b. 健康的人要获得如 例2 此成就，尚且要付出 个数的绝对值等于子，则这个数是 5,日0，-0a15,-1s号+20，-26 解：因为|a1=2,1b1=7,所以u=±2， 正有理数集合： …； b=±7.又因为a>b,所以b只能取-7.故填 …}: 很大的努力，而一个 负有理数集合： ±2，-7. 历经坎坷的残疾人 分析：根据绝对值的几何意义可知，到原点 整数集合： …}; 的汇高等于经个单位装良（即地对值子于子）的 五、运用绝对值的非负性解题 非负数集合： …. 都能如此面对生活 例5若a-11+b-21=0,则b-a的 我们正常人不更应 +20,…; 值为 解：正有理数关合：15,015，号 该热爱生活吗？ 点有两个，且分别位于原点两侧 3 分析：几个非负数的和等于0意味着每一个 解：因为 =子，所以绝对非负藏都等于0 川=，1-4 负有理数集合：-8，-30，-12s,-26,…: 整数集合：{15,0，-30，-128，+20，…； 值等干子的数是和子故填±子 解：根据绝对值的非负性可知，a-1=0,b 2=0.所以a=1,b=2.所以b-a=1.故填1. 非负数集合：15,0,0.15,2， 5 +20,…}. 2 素养专练 数理极 2.1.2相反数、绝对值及有理数的大小比较 (4)--541和-(-54) 跟踪训练 基础训练 GENzoNGXUNLIAN 1.有理数-5的绝对值是 ( ) 2.1认识有理数 1 A.5 B.5 C.-5D.0.5 2.1.1有理数 2.下列各数中，最小的是 ( 基础训练 A.-3 B.0 C.1 D号 1.下列各数中，是负数的是 ( 3.某配件厂加工一批圆形橡胶垫，标准直径 2.1.3数轴 A.2 B.-3C.0 D.1 为10毫米，若规定用正数表示超过标准直径，用 2.近日国家统计局公布数据，某家具制造企 负数表示不足标准直径，则下列检验出的产品直 垦砂训练 业1至10月实现营业收人5127.9亿元，净利润为 径中，更标准的是 ) 1.一名同学画了下列四条数轴，只有一条是 247.1亿元，同比上一年下降11.8%.若 A.+0.3毫米 B.+0.1毫米 正确的，你认为正确的是 +11.8%表示上升11.8%，则-11.8%表示 C.-0.3毫米 D.-0.5毫米 ( 4.若m与-2互为相反数，则m= 0 321→ A.上升88.2% B.下降88.2% 5.已知a=-5,1a1=1b1,则b= A B C.下降-11.8% D.下降11.8% 0十 0 3.人体的正常体温大约为36.5℃，如果体温 6.求下列各数的绝对值： C D 高于36.5℃，那么高出的部分记为正；如果体温 2.在数轴上点P的位置如图1所示，则点P表 低于36.5℃，那么低的部分记为负.那么37.3℃ (1)-17; 示的数可能是 应记为 ( A.-0.8℃ B.+0.8℃ -2-1012 C.-37.3℃ D.+37.3℃ 图1 4.下列说法正确的是 A.-2.6B.-1.4C.2.6D.1.4 A.一个有理数不是正数就是负数 3.如图2，表示互为相反数的两个点是 (3)-(-3.5)； (4)+1- B.分数包括正分数、负分数和零 7 1. C.有理数分为正有理数、负有理数和零 D.整数包括正整数和负整数 420十士3 5.某蓄水池的标准水位记为0m,若+0.08m 图2 表示水面高于标准水位0.08m,则水面低于标准 A.点A与点D B.点B与点D 水位1.2m,可记为 C.点B与点C D.点A与点C m. 6.在+80，-号，+专-1752.-9,026， 4 7.写出下列各数的相反数， 4.点A在数轴上的位置如图3所示，将点A向 4,-3号-450，-3 左移动3个单位长度得到点B,则点B表示的数是 11.1中，非负整数的个数为 A■ 7.把下列各有理数填在相应的集合内： 01 图3 -13.550-103.14,+27.-÷-15%, A.4 B.3 C.-3D.-2 22 5.在数轴上到原点距离等于2.4的点表示的 3 数是 负有理数集合： …}; 非负数集合：{ …}; 6请你画一条数轴并把2-1.0，号，-3号 整数集合： …}; 8.比较下列各组数的大小： 这五个数在数轴上表示出来 负分数集合： …}. (1)-3和1； 8.下表是某班5名同学某次数学测试成绩， 根据信息回答问题： 姓名 王芳刘兵张沂李聪江文 成绩 89 86 与全班平均分之差 +20 -6 -2 (1)把表格补充完整； (2)若不低于（大于或等于）平均分的成绩 是合格的，求5名同学的合格率. (2)0和-0.86； 7.将-2.5，-（-1)，0,2，-1-21，+(-1.5) 在数轴上表示出来，并用“>”把它们连接起来. (3)-子和- 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 18.(14分)一辆货车从货场A出发，向东走了 同步达标检测题（二） 2千米到达批发部B,继续向东走1.5千米到达商 场C,又向西走了5.5千米到达超市D,最后回到货 场A. ◆ TONG BU DA BIAO JIAN CE TI (1)以货场A为原点，以向东为正方向，用 【检测范围：2.1】 个单位长度表示1千米，你能在数轴上分别表示出 货场A,批发部B,商场C,超市D的位置吗？ 一、精心选一选（每小题4分，共32分） :间是 (2)超市D距货场A有多远？ 题号1234567 14.将一列有理数：-1,2，-3,4，-5,6，… (3)此款货车每千米耗油约0.1升，每升汽油 按如图4所示有序排列，4所在位置为峰1，-9所 答案 7.9元，请你计算该货车来回一趟需要多少汽油 在位置为峰2，·，则处在峰5位置的有理数是 费？ -2025应排在A,B,C,D,E中 的 1,-的绝对值是 6 位置上 A.-6B.6 C.-1D. 3 -5 B 6 6 2.下列各数是负整数的是 -126 ( /10 -9 A.-2 网4 三、耐心解一解（共44分） C.-3.14 D.-(-2) 15.(9分)把下列各有理数填在相应的集合 3.下列不具有相反意义的量的是 ( )内： A.前进5米和后退5米 B.节约10吨水和浪费1吨水 -8.0275,2号0，-104，-(-3)，- 3,1-21 附加题⊙ C.超过5克和不足2克 整数集合：{ …}; (以下试题供各地根据实际情况选用) D.身高增加2厘米和体重减少2千克 分数集合：{ …}; 1.(8分)已知点P,A,B是数轴上的三个点 4.小明在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴 负有理数集合：{ …. 若点P到原点的距离等于点A,B到原点的距离和 上，根据如图1的数值，判断墨迹盖住的整数共有 16.(10分)如图5所示的数轴上，每小格的宽 的一半，则称点P为点A和点B的“关联点” )度相等 (1)已知点A表示1，点B表示-3，数-2， -1,0,2在数轴上所对应的点分别是P,P2,P3, -6.3 J-101 -10 P4,其中是点A和点B的“关联点”的是 图1 图5 A.7个B.5个 C.6个 (2)已知点A表示3，点B表示m,点P为点A D.4个 5.下列各组数中，互为相反数的是 ,点B表和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，求 ( (1)数轴上点A表示的数是 示的数是 m的值. A.7和-7 B和-(-) (2)点C表示的数是-3，点D表示的数是 c1-分1和号 D.2和 -1,请在数轴上分别标出点C和点D的位置； 6.已知1al=5,1-b1=3,且在数轴上a在 (3)将A,B,C,D四个点所表示的数按从大到 b的右侧，则a,b的值分别为 小的顺序排列，并用“>”连接。 A.5,3 B.5,±3 C.-5,±3 D.±5，±3 7.如图2，一个点在数轴上从原点开始先向右 移动1个单位长度，再向左移动a个单位长度后， 该点所表示的数为-3，则a的值是 ( 2.(12分)如图，一只甲虫在5×5的方格（每 小格边长均为1)上沿着网格线运动.它从A处出 -3 发去找B,C,D处的其他甲虫，规定：向上向右走为 图2 正，向下向左走为负.如果从A到B记为： A.-4B.4 C.-3D.3 A→B(+1,+4),从B到A记为：B→A(-1, 8.当x=a时，式子1x-11+10有最小值b, 4),其中第一个数表示左右方向，第二个数表示 则a+b的值为 17.(11分)已知某零件的标准直径是100mm, 上下方向，那么图中： A.0 B.1 C.10D.11 超过标准直径长度的数量(mm)记作正数，不足标 (1)从A到C记为：A→C( 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 准直径长度的数量(m)记作负数，检验员某次抽 ),从B到C记为：B→C( 9.据介绍，我国计划2030年前实现中国人首 查了五件样品，检验结果如下表： 次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验。 ) 序号 2 3 (2)若这只甲虫的行走路线为AB→C→ 月球表面没有大气层保温，昼夜温差非常大.面对 与标准直径 D,请计算该甲虫走过的最短路程： 太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作 +0.04 -0.15 +0.2 -0.05 +0.25 的差值(mm) (3)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依 +127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下 次为(+2，+2)，（+2，-1)，(-2，+3)，(-1， 183℃，记作 ℃. (1)指出哪件样品的大小最符合要求； -2),请在图中标出点P的位置 10.若-x=2,则-[-(-x)]的值为 (2)如果规定误差的绝对值在0.18mm之内 11.如图3，数轴上A,B两点表示的数的绝对是正品；误差的绝对值在0.18~0.22mm之间是 值相等，且点A与点B之间的距离为4个单位长次品；误差的绝对值超过0.22mm是废品.那么这 度，则点A表示的数是 五件样品分别属于哪类产品？ A B 0 图3 12.比较大小（填“>”“<”或“=”）： 7 -9 (2)-1-3分1-(-3.3) 3 13.巴黎与北京的时差是-7小时，负数表示 同一时刻比北京晚，从巴黎飞往北京需11个小时， 数理报社试题研究中心 如果从巴黎5：00起飞，那么到达北京时的当地时 (参考答案见下期)