4.1成比例线段（第2课时）（教学课件）数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦等比性质及相似多边形周长比，从新知探究的三角形对应边比例问题切入，通过典例分析深化理解，巩固练习涵盖代数与几何应用，课堂小结系统梳理，构建从探究到应用的学习支架。 其亮点在于以几何直观引导学生用数学的眼光观察图形比例关系，通过等比定理推理培养数学思维中的推理意识，结合代数计算与平行四边形周长等实例强化数学语言的模型意识与应用意识。学生能提升抽象能力与问题解决能力，教师可借助系统流程与多样化练习优化教学效果。

北师大版·九年级上册 4.1 成比例线段（第2课时） 第四章 图形的相似 学 习 目 标 1.等比性质的推导与应用；（重点） 2.等比性质的抽象理解，复杂图形中比例关系的提取.（难点） 知识回顾 2.若 ，能得到什么等式？反过来，若 （），能得到比例式吗？ 1.什么是成比例线段？请用符号语言表示四条线段 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 成比例的关系. 若四条线段 成比例，则 ，其中 若 ​（），则交叉相乘得 ； 反过来，若 （），则能得到比例式 ​（） 知识回顾 已知，你能求出的值吗?试试用的方法? 已知 ，设 , 代入 ，得： 比例还有什么延申性质？这些性质能帮助我们解决什么问题？ 情境引入 如图，已知，你能求出 ​的值吗？由此你能得出什么结论? 新知探究 探究一：从‘边的比’到‘周长的比’——相似图形周长关系探究 做一做 情境回顾：已知，你能求出 ​的值吗？由此你能得出什么结论？ （分析）结合题目与图片，容易发现这两个四边形的形状______，都是_______；且大四边形是小四边形的____倍. 相同 长方形 2 解答：大四边形ABCD的周长：设小四边形EFGH的边长为：HE = a，EF = b，FG = c，HG = d，则AB = ____，BC = ____，CD = _____，AD = _____； 2a 2c 2d 2b 新知探究 大四边形周长：AB + BC + CD + AD = 2(a + b + c + d). 小四边形EFGH的周长：HE + EF + FG + HG = a + b + c + d 大四边形和小四边形的周长比= . 大四边形与小四边形是相似的，由此可知，相似图形的周长比与图形的对应边长比值有一定联系. 新知探究 相似图形周长与边的关系： 知识归纳 由一般到特殊的证明，是数学学习中很多定理常用的证明方式. 如果两个多边形是相似多边形（对应边成比例，对应角相等），那么它们的周长比等于对应边的比. 新知探究 如图，线段 被分成 、、 三段，线段 被分成 、、 三段，且 ，求 的值，并说明该值与 和 的长度比的关系。 解：设 ，， 由 ，得 ；同理，， 线段  的总长： 线段  的总长： 因此， 新知探究 探究二：等比定理的探究与应用 已知六个数 ，若 （），那么 成立吗？ 议一议 分析：设 ，这里 ，我们能否用含 的式子表示 ？ 能，，. 根据上面所设的值，分子 a+c+e 等于什么？分母 b+d+f 呢？ 新知探究 分子：. 分母：（已知） 因此，（分子分母约去） 当 时，，猜想成立 新知探究 【思考】若成比例的比有n组（，且），能否仿照上述方法推导规律？ 解：设，则，，， 分子和为 由于，因此 也就是说，如果（），那么 新知探究 等比定理： 知识归纳 等比性质一般涉及多个（两个或以上）相等的比例式，在将它们的分子分母分别相加之后比值依旧不变 如果（），那么 新知探究 1.已知 =k（），求 的值. 解：设 ，则 ，， 分子和为 分母和为 计算比值： 由 ，可知原式的值等于  新知探究 2. 如图， 与 的对应边成比例，即 （）。若 的周长为 10，求 的周长. 解：△ABC 与  的对应边比为 ，设该比值为   的周长为  由等比定理， 因此， 的周长  的周长  典例分析 在△ABC与△DEF中，已知，且△ABC的周长为18 cm，求△DEF的周长． 例1 【分析】本题是通过等比定理将三角形三边的比例关系转化为周长比例关系，从而求解未知周长的典型问题，本题的解题关键第一步是应用等比定理，第二步建立周长关系式，第三步代入计算. 请同学尝试按照分析的步骤解决该问题 典例分析 在△ABC与△DEF中，已知，且△ABC的周长为18 cm，求△DEF的周长． 例1 【解答】 即 ． 又 △ABC的周长为18 cm，即 cm (cm)， 即 △DEF的周长为24 cm． 巩固练习 基础巩固题 B 1.若 （），则 的值为（ ） A. B. C. D. 2.已知 ，且 ，则 （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3.若 （），则 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 B B 巩固练习 基础巩固题 C 4.下列关于等比性质的表述，正确的是（ ） A. 若 ，则 一定成立 B. 等比性质中“分母和不为零”的条件可忽略 C. 等比性质反映“多个相等的比，分子和与分母和的比等于原比”，且需分母和不为零 D. 等比性质仅适用于三组比相等的情况 5.已知 （），则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9 C 巩固练习 基础巩固题 6.已知 （），则 7.若 ，（），则 8.已知 ，且 ，，则 . 巩固练习 基础巩固题 9.如图，平行四边形 与平行四边形 的对应边成比例，即 ，且 。求平行四边形 的周长. 解：根据等比性质，. 平行四边形周长为各边之和，因此 . 即平行四边形 的周长为 . 课堂小结 成比例线段 相似多边形 如果两个多边形是相似多边形（对应边成比例，对应角相等），那么它们的周长比等于对应边的比 等比性质 如果（），那么 作业布置 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题4.2第3题。 感谢聆听! $