专题05 二次根式 9大高频考点（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题05 二次根式 9大高频考点概览 考点01 二次根式有意义 考点02 最简二次根式 考点03 同类二次根式 考点04 二次根式的运算 考点05 二次根式的非负性与化简 考点06 二次根式的化简求值 考点07 分母有理化 考点08 二次根式的相关规律探究 考点09 二次根式综合 地 城 考点01 二次根式有意义 一、选择题 1．(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 二、填空题 2．(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)使二次根式有意义的a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 3．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________． 【答案】a≥－2且a≠0 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得关于a的不等式组，解不等式组即得答案. 【详解】根据题意得：，解得：a≥－2且a≠0. 故答案为a≥－2且a≠0. 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，属于基础题型，掌握基本知识是解题的关键. 4．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)二次根式中的取值范围是 . 【答案】x>1 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得 再解即可． 【详解】由题意得：x−1>0， 解得：x>1， 故答案为x>1. 【点睛】考查二次根式以及分式有意义的条件，掌握它们有意义的条件是解题的关键. 5．(24-25八上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)使式子有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】直接利用二次根式有意义、分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴x+2≥0且x-1≠0， 解得：x≥-2且x≠1． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次根式有意义以及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题的关键． 6．(24-25八上·辽宁本溪·期中)函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≥－1且x≠1 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件可知，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求出自变量x的取值范围． 【详解】根据题意得：x+1≥0且x-1≠0， 解得：x≥-1且x≠1． 故答案为：x≥-1且x≠1 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 7．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式及二次根式有意义的条件，熟练掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键． 8．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 9．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0，列出不等式组，计算即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 即，且， 故答案为：，且． 地 城 考点02 最简二次根式 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁本溪·期中)下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义逐一判断即可，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、是最简二次根式，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)下列根式中，不是最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，不是最简二次根式，该选项符合题意； 、是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项不合题意； 故选：． 3．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)下列二次根式属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项分析即可得解． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 4．(23-24八上·辽宁抚顺新抚区·期中)下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义“被开方数中不含字母或开得尽方的整数或整式，这样的二次根式即为最简二次根式”依次进行判断即可得，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； C、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； D、是最简二次根式，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 5．(23-24八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中)下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 6．(23-24八上·辽宁辽阳第一中学·期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D．是最简二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 7．(23-24八上·辽宁鞍山台安县·期中)下列二次根式为最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B选项符合题意； C、 ，不是最简二次根式，故C不符合题意； D、，不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 8．(23-24八上·辽宁铁岭银州区第三中学·期中)若是最简二次根式，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a≥0，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式， 故选项中-2，，8都不合题意， ∴a的值可能是2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 9．(23-24八上·辽宁铁岭铁岭县·期中)下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数含分母，故B错误； C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 地 城 考点03 同类二次根式 一、单选题 1．(23-24八上·辽宁鞍山铁东区·期中)若最简二次根式能与合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的化简是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 能与合并，则，进而可求出的值． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并， ， ， 故选：C． 2．(23-24八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)若两个最简二次根式与能够合并，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，根据合并同类二次根式得出，，求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能够合并， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．(23-24八上·辽宁沈阳铁西区·期中)下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 二、填空题 4．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)若与最简二次根式能合并，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．把化为最简根式，然后根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：， 则由题意得，， 解得：， 故答案为：2． 5．(24-25八上·辽宁鞍山铁西区·期中)如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则 ． 【答案】 【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键． 6．(23-24八上·辽宁沈阳虹桥初级中学·期中)若最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式与能合并，可知与是同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：2． 地 城 考点04 二次根式的运算 一、单选题 1．(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算，分别根据二次根式的加、减、乘、除法运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意； B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意； C. ，计算正确，故选项C符合题意； D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·辽宁沈阳虹桥初级中学·期中)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 4．(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)下列计算正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D，选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式的四则运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的四则运算法则． 5．(24-25八上·辽宁沈阳铁西区·期中)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加法、乘除法和二次根式的性质．根据二次根式运算法则逐个进行计算判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算，涉及了二次根式的化简，解题的关键是理解新定义运算，掌握二次根式的化简． 根据新定义运算，对式子进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 三、解答题 7．(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式性质、立方根化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式计算，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，再在括号内合并同类二次根式，然后进行二次根式的除法运算； （3）先利用多项式乘法展开，然后合并即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可； （5）先把括号内的各二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后进行二次根式的除法和乘法运算，然后合并即可； （6）先根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，再根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式     ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 9．(24-25八上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算法则等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的加减运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； （4）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 10．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，化简二次根式，再计算除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式的乘法，利用完全平方公式展开，最后二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂，二次根式的化简，完全平方公式，熟练掌握相应的运算规则是解题的关键． 11．(24-25八上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式； （2）先进行乘除运算，再进行加减计算； （3）分别化简计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式，再进行加减计算即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式化简，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键． 12．(24-25八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中)计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算法则、绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）利用二次根式的性质和运算法则计算即可； （）利用平方差公式、二次根式的乘法法则运算再合并即可； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 13．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整指数幂； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的性质化简，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 14．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二根式即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算，然后加减即可得出答案； （3）先运算零指数次幂、绝对值、负整数指数次幂和化为最简二次根式，然后合并解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3)4 (4) 【分析】该题主要考查了二次根式的混合运算，积的乘方运算、零指数幂等运算，熟练掌握运算法则解题关键． （1）先算二次根式的除法和乘法，再将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式先计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可； （3）先进行分母有理化和乘法运算，再将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可； （4）利用积的乘方运算、零指数幂求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 16．(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行合并； （2）利用平方差运算； （3）先化简二次根式，再根据混合运算法则运算； （4）将括号内二次根式化为最简二次根式再合并，然后利用二次根式的除法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ； （3） ； （4） ． 17．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 18．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期中)计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简二次根式、立方根、绝对值，再算加减即可； （2）先根据二次根式的除法法则计算，再化简二次根式，然后算加减即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 地 城 考点05 二次根式的非负性与化简 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)已知．则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值及算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．(24-25八上·辽宁辽阳灯塔·期中)若1＜x＜3，则|x﹣3|+的值为（　　） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 【答案】D 【分析】先根据化简，然后去绝对值即可 【详解】解：∵1＜x＜3， ∴|x﹣3|+＝3﹣x+x﹣1＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的性质，需要注意化简时需要添加绝对值 3．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，根据非负数的性质求出、的值再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：A 4．(24-25八上·辽宁营口雁楠中学·期中)等腰三角形的两边满足，那么这个三角形的周长是（    ） A．9或12 B．9 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，通过非负性可以判断a，b的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴ ∴． 又因为是等腰三角形， 所以三边长为5，5，2，或2，2，5（不满足三角形构造条件，舍去） 所以周长为． 故选：C． 5．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的性质；由数轴可得，，再根据立方根，二次根式性质与化简绝对值，进行求解即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴ ； 故选：D． 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期中)若，则的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的知识点为：算术平方根定义，属于基础题型．根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：根据题意得，且， 解得：且， ∴， ， ∴， ∵25的算术平方根是5， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 7．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)若，则 ． 【答案】1 【分析】根据非负性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1 【点睛】本题考查非负性．解题的关键是掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0． 8．(24-25八上·辽宁本溪·期中)已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为 ． 【答案】b 【分析】利用数轴得出 ， ，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可． 【详解】解：根据题意得： 且|a|＞|b|， ∴ ， ， ∴ ∴． 故答案为：b 【点睛】本题主要考查了二次根式，绝对值的性质，数轴，根据数轴得到 ， ，并熟练掌握二次根式，绝对值的性质是解题的关键． 三、解答题 9．(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)已知实数a、b、c在数轴上对应点位置如图，化简： 【答案】2a 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值的化简，立方根的概念，由数轴上对应的点的位置确定，从而可得，，，然后结合二次根式的性质，绝对值的意义和立方根的概念对原式进行化简，再去括号，合并同类项进行化简． 【详解】由题意可得：， ，，， 原式 ． 10．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，实数与数轴，二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，且，则，，，然后化简，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解：根据实数，，在数轴上对应点的位置可得：，且， ∴，，， ∴原式 ． 11．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)（1）如图，阴影部分的边长的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （2）已知，求的值． （3）如图所示，实数a，b，c在数轴上的对应点，化简 【答案】（1）；（2）4040；（3） 【分析】（1）根据网格计算出阴影部分的边长，估算出范围，得到a，b的值，再作减法即可； （2）直接利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，进而化简原式求出a的值，即可得出答案； （3）先根据各点在数轴上的位置，得出a，b，c之间的大小关系为a＜b＜0＜c，再由此关系化简题中所给的式子，即可得出结果． 【详解】解：（1）由图可知： 阴影部分的边长为， ∵， ∴， ∴a=4，b=， ∴a-b==； （2）∵有意义， ∴a-2020≥0， 解得：a≥2020， ∴， ∴原式化简为， 则， ∴， ∴==4040； （3）观察数轴可得，-1＜a＜0＜b＜c， ∴a-1＜0，b-c＜0， ∴ = = = = 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，二次根式有意义的条件，无理数的估算，解题的关键是掌握基本知识，要能根据数轴上点的位置找出实数a，b，c之间的大小关系． 地 城 考点06 二次根式的化简求值 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)已知， 求的值．（用两种不同的方法计算） 【答案】 【分析】方法一，直接将代入代数式，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由二次根式加减运算法则求解即可得到答案；方法二，先利用完全平方和公式配方，再将代入，根据完全平方公式及平方差公式计算，再由有理数减法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：方法一： 当时， ； 方法二： 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查整数的化简求值，涉及二次根式混合运算、完全平方公式、平方差公式等性质，熟练掌握完全平方公式及二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)已知：，求代数式值 【答案】 【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算． 【详解】解：∵x＝ (+)，y＝ (-)， ∴xy=×2=，x-y=, ∴原式=（x-y）2+xy=5+=5． 【点睛】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算． 3．(24-25八上·辽宁辽阳灯塔·期中)已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式． 把代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ． 4．(24-25八上·辽宁葫芦岛·期中)如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 5．(24-25八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中)已知求x2＋3xy＋y2的值． 【答案】14 【分析】先计算出，，再由x2＋3xy＋y2＝(x＋y) 2＋xy进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴x2＋3xy＋y2 ＝x2＋2xy＋y2＋xy ＝(x＋y) 2＋xy ＝＋2 ＝14． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，代数式求值，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于能够根据题意得到x2＋3xy＋y2＝(x＋y) 2＋xy． 6．(23-24八上·辽宁锦州黑山县·期中)已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法和完全平方公式，原式可变形为，再利用，，求代数式的值． 【详解】∵， ∴，， ∴原式． 7．(23-24八上·辽宁沈阳沈河区第七中学·期中)若，，求： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)5 【分析】（1）直接把，的值代入进行计算即可； （2）把原式化为的形式，再把，的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ； （2） ， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 8．(23-24八上·辽宁沈阳于洪区·期中)已知x=2﹣，y=2+，求：x2+xy+y2的值． 【答案】15 【分析】将x2+xy+y2变形为x2+2xy+y2﹣xy，得到原式=（x+y）2﹣xy，再把x=2﹣，y=2+代入计算即可求解． 【详解】解：∵x=2﹣，y=2+， ∴x2+xy+y2 =x2+2xy+y2﹣xy =（x+y）2﹣xy =（2﹣+2+）2﹣（2﹣）（2+） =16﹣4+3 =15． 【点睛】考查了二次根式的混合运算和代数式的求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答问题的关键． 地 城 考点07 分母有理化 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)【阅读材料】 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简． 解：． 【理解应用】 (1)______；______； (2)若a是的小数部分，化简； (3)根据你的猜想、归纳，运用规律计算： ； (4)已知，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，理解分母有理数的求解方法并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题求解过程求解即可； （2）先根据无理数的估算求得a值，再利用分母有理化求解即可； （3）利用分母有理数和实数的大小比较方法判断即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：由题意， ， ∴ ； （4）解：由（3）知， ， ， ， ∵， ∴． 2．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简． 解：． 观察上面解题过程，并解答下列问题： (1)求______，的倒数是______； (2)若a是的小数部分，化简：； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，读懂题中材料：分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的倒数是； （2）解：∵， ∴， 即的整数部分为2， ∴． 当时，． （3）解：原式 ． 3．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 4．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)阅读材料：像；； …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)①比较大小： （填，或） ②已知，，则的值为 ； (2)已知正整数a，b满足，求a，b的值． (3)化简：． 【答案】(1)①；②62 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法． （1）①根据题意得出，然后比较与的大小即可； ②先算出，，再将变形后代入求解即可． （2）先分母有理化，再移项变形得到，接着根据有理数和无理数的性质得到，然后解方程组即可． （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ， 故答案为：． ②∵，， ∴， ， 则． （2）解：∵， ， 即， ， 解得：． （3）解： ． 5．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的； ， ， ，， ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)12 (3)4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，掌握分母有理化以及整体思想成为解题的关键． （1）直接利用分母有理化计算即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （3）先利用可得得到，两边平方得到，最后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 6．(24-25八上·辽宁丹东第五中学·期中)先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简a，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： 原式 （3）解：∵， ∴， ∴ ． 7．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值； (3)的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）， （2）原式， （3）原式 ， ， ， ． 【点睛】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． 8．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)分母有理化是我们常用的一种化简方法，如：．利用这种方法化简． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握题目中提供的方法，是解题的关键． （1）根据题目中提供的方法，分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）根据题目中提供的信息，分子分母同时乘以进行分母有理化即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 地 城 考点08 二次根式的相关规律探究 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)小美同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是她的探究过程，请你补充完整： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， （1）具体运算，仿照第3个等式，写出第5个等式：______． （2）观察、归纳，得出猜想，并验证猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______． 验证猜想： （3）应用运算规律，化简： 【答案】（1）（2）为正整数），见解析（3） 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）仿照第3个等式，写出第5个等式：； 故答案为：； （2）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：为正整数）， 证明：等式左边右边， 故猜想成立； （3） ． 【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 2．(24-25八上·辽宁沈阳康平县·期中)先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 地 城 考点09 二次根式综合 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中)阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质将化为，然后通过无理数的大小估算及不等式的性质确定的符号，最后通过化简绝对值即可得出答案； （2）利用完全平方公式将化为，然后利用的非负性及不等式的性质即可得出答案； （3）利用完全平方公式可得，即，然后由不等式的性质可得，，于是可得答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； ； 故答案为：，； （2）解： ， ， ， 即：， 的最小值为； （3）解： ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，利用二次根式的性质化简，化简绝对值，无理数的大小估算，不等式的性质，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式及不等式的性质是解题的关键． 2．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： (1)图1中的面积为______； (2)图2是一个的正方形网格． ①利用构图法在图2中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； (4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： (5)已知，计算的最小值为______； (6)代数式的最小值为______． 【答案】(1) (2)①见解析；②8 (3)①相等；②32 (4)94 (5)13 (6)17 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，正确理解勾股定理的几何意义并构造图形是解题的关键． （1）利用差补法，将的面积转化为矩形和直角三角形的面积差； （2）①根据勾股定理的几何意义构造图形即可；②根据长方形面积公式以及直角三角形面积公式计算即可； （3）①过点作于，过点作于，根据三角形全等得出，再根据正方形的性质得出，最后根据三角形面积公式证明即可；②过作于，根据勾股定理求出的高，再根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （4）根据（3）的结论可以得出四个三角形面积相等，再根据勾股定理求出的高，进而根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （5）根据勾股定理的几何意义，构造三角形，利用三级形三边关系求得最小值即可； （6）类比（5）的结论直接求解最小值． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：① ，，， ，， ， 如图所示，为所求： ② 故答案为：； （3）解：①相等，理由如下： 过点作于，过点作于，如图： 正方形，正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为：相等； ②过点作于，如图： 由勾股定理可得：，， 两式相减可得：， ， 六边形的面积为 故答案为：32； （4）解：由（3）可知，， 过点作于，如图： 正方形面积为9， ， ， ，， ，， ； 故答案为：94； （5）解：构图如下： 其中，，，，，四边形为矩形， ， 由勾股定理可得，， ， 故答案为：13； （6）解：由（5）可得： 故答案为：17． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05二次根式 ☆9大高频考点概览 考点01二次根式有意义 考点02最简二次根式 考点03同类二次根式 考点04二次根式的运算 考点05二次根式的啡负性与化简 考点06二次根式的化简求值 考点07分母有理化 考点08二次根式的相关规律探究 考点09二次根式综合 目目 考点01 二次根式有意义 一、 选择题 1.(24-25八上辽宁沈阳沈北新区·期中)若√x-1在实数范围内有意义，则实数x的值可以是() A.-2 B.-1 C.0 D.2 二、填空题 2.(24-25八上辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团期中)使二次根式√a十2有意义的a的取值范围 是 3.(24-25八上辽宁丹东第十三中学期中)要使式子+2有意义，则a的取值范围为 4.(24-25八上辽宁锦州第八初级中学期中)二次根式√悬中x的取值范围是 5.(24-25八上辽宁阜新太平区阜新第四中学期中)使式子+有意义，则x的取值范围为 6.(2425八上辽宁本溪期中)函数y=中，自变量x的取值范围是 7.(24-25八上辽宁沈阳期中若云在实数范围内有意义，则x的取值范围是】 8.(24-25八上辽宁沈阳第四十三中学期中)若式子V公-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是」 9.(2425八上辽宁阜新实验中学期中)在函数y=瓷中，自变量x的取值范围是」 目目 考点02 最简二次根式 1/14 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一、单选题 1.(24-25八上·辽宁本溪·期中)下列二次根式是最简二次根式的是() A.3 B.V15 c.v D.V.1 2.(24-25八上辽宁沈阳·期中)下列根式中，不是最简二次根式的是(). A.24 B.V14 c.42 D.35 3.(24-25八上·辽宁锦州太和区期中下列二次根式属于最简二次根式的是( A.万 B.0.8 c.2 D.月 4.(23-24八上辽宁抚顺新抚区·期中)下列式子中，属于最简二次根式的是() A.0.2 B.V24 c.v D.5 5.(23-24八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中)下列各式是最简二次根式的是() A.5 B.4 c.v D.0.8 6.(23-24八上·辽宁辽阳第一中学期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.V0.3 B.V12 c.得 D.5 7.(23-24八上·辽宁鞍山台安县·期中下列二次根式为最简二次根式的是() A.月 B.万 c.⑧ D.12 8.(23-24八上辽宁铁岭银州区第三中学期中)若√是最简二次根式，则a的值可能是() A.-2 B.2 c. D.8 9.(23-24八上辽宁铁岭铁岭县·期中)下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A.V B.0.8 c.4 D.5 目目 考点03 同类二次根式 一、单选题 1.(23-24八上辽宁鞍山铁东区期中)若最简二次根式Vm+1能与V12合并，则m的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(23-24八上辽宁葫芦岛绥中县期中)若两个最简二次根式1-m与V3m+5能够合并，则m的值为() A.-1 B.0 C.1 D.9 2/14 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(23-24八上辽宁沈阳铁西区期中)下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是() A.4 B.5 c.v8 D.V12 二、填空题 4.(24-25八上辽宁锦州第八初级中学期中)若√12与最简二次根式V2a-1能合并，则a= 5.(24-25八上辽宁鞍山铁西区·期中)如果最简二次根式√3b和√2b-a+2是可以合并的二次根式，则 a十b= 6.(23-24八上辽宁沈阳虹桥初级中学期中)若最简二次根式ya+1与V3能合并，则a=一 考点04 二次根式的运算 “、 单选题 1.(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团期中)下列计算正确的是() A.V5+2=5 B.32-V2=3 c.5+店=35 D. =5-4=3-2=1 2.(24-25八上·辽宁沈阳虹桥初级中学期中)下列计算正确的是() A.V3-3B.(2W月2=6 c.16=±4 D.V5×2=6 3.(24-25八上辽宁沈阳于洪区期中)下列计算中，正确的是（) A.V2×V5=5 B.12÷2=6 c.55-V3=5 D.V32+42=7 4.(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)下列计算正确的是() A.2+5=5 B.3EE-3c.5x2=5D.号=9 5.(24-25八上·辽宁沈阳铁西区·期中下列计算正确的是() A.2+3=⑤ B.2×5=0c.2÷2=1D.V(5)=5 3/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 6,(Q425八上辽宁阜新实验中学期中用“女“定义新运算，对于任意实数，0，都有a☆b= 话，例 如：7☆4= 4 那么3☆(-7)= 三、解答题 7.(24-25上辽宁本溪第十二中学教育集团期中)计算. (3V18-32+4+8 2(5-v6)(5+6)-(5-1)月 8.(24-25八上辽宁锦州第八初级中学期中)计算： (w27-12W得+V2 a(27+3-)÷5 (3)(35-V万)(5+37)+2 ④(5+)(5-2)-(E+1)2 ⑤(48-27)÷5+6×2周 ⑥小N5-2l+(2023+m°+a5-()2 9.(24-25八上辽宁阜新太平区阜新第四中学期中)计算： 02W18+32-16周 2压-2周×27 (2)5 (3(3V18+50-4W5)÷V32 (④(6-25)2-(2+25)(25-2) 10.(24-25辽宁沈阳南昌中学期中计算： 27.(-)5-2÷(六)° (2(1+V3)(V2-N6)-(22-1)2 11.(24-25八上辽宁锦州第四中学教育集团期中计算： (10W12-6y得+V48 4/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2w4⑧÷5-V悟×2-V24 3()2+1-21+(m-2)°+V8 45-+5-3E+3 12.(24-25八上·辽宁沈阳第一三四中学期中)计算： -2°+()2-§÷2+-4 (2(312-2W5+v48)÷23: ③W3+25-2+6×V眉. 13.(2425八上辽宁丹东多校联考期中计算： a5+, (2(5+2)·(5-26): (3W12-(-2000)+()+V5-1 14.(24-25八上·辽宁沈阳第七中学期中)计算 (24+6.5)-(-5) 2(5-1)(5+1)-(5-2)2 62)2+(π-2024)°+（言）-2-5 15.(24-25八上辽宁阜新实验中学期中)计算 48÷5+2×昏-24： 2(5+2)(5-5)-(5-1): 房+(5-6)+ē， ④6-同2024(2+月2025(1-同° 16.(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区期中)计算： 1W50+V18+V8: (2(2+5)(2-5): 5/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 212+5 (3)3厂； (④(46-4V5+38)÷22 17.(24-25八上辽宁丹东凤城期中计算 a2+35-V回+6×眉 2+5.6y目 (25 18.(24-25八上·辽宁沈阳法库县期中)计算 1W12+8-N3-2: 18+8-V32 (2)2 目目 考点05 二次根式的非负性与化简 一、单选题 1.(24-25八上辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团期中已知Va-1+b+2引=0.则√(a+b)2的值 为() A.0 B.±1 C.1 D.-1 2.(24-25八上辽宁辽阳灯塔期中若1<x<3,则x-3hVx-1)子的值为() A.2x-4 B.-2 C.4-2x D.2 3.(24-25八上辽宁沈阳第七中学期中已知Vx-1+y+2到=0，那么(x+y)2024的值为() A.1 B.-1 C.32024 D.-32024 4.(24-25八上辽宁营口雁楠中学期中)等腰三角形的两边a、b满足Va-2+(b-5)2=0,那么这个三角形 的周长是() A.9或12 B.9 C.12 D.10 5.(24-25八上辽宁丹东多校联考期中)己知，实数a,b在数轴上的对应的点如图所示，化简 (Va十1)3+V2-2a+b的结果正确的是() 0 0b A.b-1 B.-2a+b+1C.-2a-b+1 D.b+1 6/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 6.(24-25八上辽宁沈阳大东区·期中)若y=V3-x+Vx-3+4,则x2+y2的算术平方根是 7.(24-25八上辽宁锦州黑山县期中)若√a-2+|b+1=0,则a+b=一 8.24-25八上辽宁本溪期中)已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且la>1,则化简√a2-a+b的结 果为一 0 三、解答题 9.(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团期中)已知实数α、b、c在数轴上对应点位置如图，化简： V(a-b)2+Vc2-[b+cl-1-bl-V(b-a)3. cb 0 a 10.(24-25八上辽宁铁岭部分学校期中)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，化简 V(b+c)2+a-d+Vb2-2ab+a2 b a 11.(24-25八上·辽宁沈阳·期中)(1)如图，阴影部分的边长的整数部分为α，小数部分为b,求a-b的值. (2)己知2018-a+√a-2020=a,求a-20182+2020的值 (3》如图所示，实数a,b,c在数轴上的对应点，化简V2-a-1+Vb-c+a+1) -1a0 目目 考点06 二次根式的化简求值 一、解答题 7/14 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25八上辽宁锦州黑山县期中)已知x=V3+1,y=V3-1,求x2+xy+y2的值.（用两种不同 的方法计算) 2.(2425八上辽宁沈阳期中已知：x=N7+V⑤)，y=V7-同求代数式x2-xy+y2值 3.(24-25八上辽宁辽阳灯塔期中)已知x=2+V3,求代数式(7-4W3)x2+（2-V5)x+1的值. 4.(24-25八上辽宁葫芦岛期中)如果2+y2-8x-6y+25=0,试求√侵+等+2-修+景-2的值. 5.2425八上辽宁抚顺新宾满族自治县期中)已知x=V5+1,y=V5-1,求x2+3+y的值。 6.(23-24八上辽宁锦州黑山县期中已知x=V2+1,y=V2-1,求代数式x2-y+y2的值。 7.(23-24八上辽宁沈阳沈河区第七中学期中)若a=V5-V2,b=V5+V2,求： (1)ab; (2)a2+b2-5ab. 8.(23-24八上辽宁沈阳于洪区期中)已知x-2-V5,y-2+V5,求：x2+y+y2的值。 目目 考点07 分母有理化 一、解答题 1.(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团期中)【阅读材料】 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母同时乘以同一 个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的. 例如：化简+正 1xV5-√2 W3+W2X5-2 =5-2 【理解应用】 (1)5+4= (②)若a是5的小数部分，化简号： (3)根据你的猜想、归纳，运用规律计算： 2本+73+45+…+22422g, (4已知a=V2022-V2021,b=V2023-V2022,c=V2024-√2023试比较a,b,c的大小，并说 8/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 明理由， 2.(2425八上辽宁丹东多校联考期中材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化 1 1xW2 例如：化简方2×5 2 1V3-1) 1=5-1 解：+1=5+5面= (31 2 观察上面解题过程，并解答下列问题： (0)求方= ,V2+1的倒数是 (2)若a是V5的小数部分，化简：吉； ③利用上面的解法，诗化简：十5十7石+…十2025利202 2 3.(24-25八上辽宁沈阳第七中学期中)阅读材料：像（V5+2)(5-2)=1,√·V=a(a≥0)…这 种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根 2+1 式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号.例如：： 2=21N2+ =2+1 请你根据上述材料，解决如下问题： ()V6-V5的有理化因式是 (2)比较大小：√2025-V2024 V2024-V2023(填，<，≥或≤中的一种) (3)计算： (1+55+万+5+…+2o25+22 (V2025+1) (4)已知y2025+x+V2023+x=2,求V2025+x-V2023+x的值.， 4.(24-25八上辽宁阜新实验中学期中)阅读材料：像(5+3)(V5-V5)=2:√V=a(a≥0)： (V6+1)(V6-1)=b-1(b≥0)两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两 个代数式互为有理化因式.例如V5与5，√2+1与V2-1,5+3V5与5-35等都是互为有理化因式. 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号. 例如： 市品=9兴-8+26 解答下列问题： (1)①比较大小：V2024-V2023-2023-V2022(填>，<或=) 9/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5-5 5+3 ②已知X= 5+,ys 5,则x2+y2的值为： ②已知正整数，5满足品合-2-35，求a,b的值 (3)化简： 3+2+76+.+024中2o2 V2024 2 5.(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学期中在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知 a=-1 ,求2a2-8a+1的值，他是这样解答的： ”a=1 25 a4a-2V5, a2=5, (a-2)2=3,a2-4a+4=3, a2-4a=-1. ÷2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)3+VE ②化简：+十4++i6g68 1 (3)若a=高2，求24a+3的值 6.(24-25八上辽宁丹东第五中学期中先阅读下列材料： 材料一：像(5+1)(V5-1)=2,V反·V反=aa>0）这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二 次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式. 例如：V5×V3=3,(V5-V2)×(V5+2)=1,那么5与V5,V5-V2与5+2等都是互为有 理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化 因式的方法.进而将二次根式化为最简，例如： 烈=竖=51， N2+1N2-1） 5+2=安-6+2， 五=25+ 材料2：小侧利用知识材料一的内容解决了问题：已知=，求2a2-8a十1的值。 他是这样解答的： 10/14