八年级数学上学期期中模拟卷（北师大版2024第1～3章，高效培优·强化卷）

2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B B A B C D A C A A 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13． 14． 15． 16．8 17． 18． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分） 【详解】（1）解：，，，． 负数集合：； （2）解：非负数集合：（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，0.12，，，，300%； （3）解：分数集合：； （4）解：无理数集合：（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），，． 20．（6分） 【详解】（1）解：学校的位置用数对表示是，公园的位置是如图：   （1分） （2）解：∵小桥在学校东偏北方向处， ∴用数对表示小桥的位置为：，如图：   （3分） （3）解：如图可知，    则公园位于小桥的东偏南或南偏东方向上，距离是．（6分） 21．（8分） 【详解】（1）解：原式（4分） （2）解：原式（8分） 22．（8分） 【详解】（1） 解：如图，即为所求；   （2分） （2）解：由（1）中图可得点的坐标为；（5分） （3）解：∵点关于x轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴．（8分） 23．（10分） 【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，；（3分） （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（6分） （3）在直角三角形ABC中，，，， ．(10分） 24．（10分） 【详解】（1）解：；（2分） （2）①如图，即为所求； 由图和勾股定理，得：，符合题意； ②；（5分） （3）由题意，将六边形放入由边长为1的小正方形组成的网格中，如图： ∴ ．（10分） 25．（12分） 【详解】（1）解：①由题意知，沿x轴翻折得点坐标为；沿y轴翻折得点坐标为， 故答案为：．（2分） （2）解：①当时，A点坐标为， 由题意得：直线m为， 沿x轴翻折得点坐标为， 沿直线翻折得点坐标为， 故答案为：；（5分） ②直线m经过原点，且经过点， 直线m为， A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为：、、， A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：、、， ∵的【轴，】伴随图形上只存在两个与x轴的距离为1的点， ∴且， 解得： 且．    26．（12分） 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． 因为四边形是长方形， 所以． 设，则， 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以．（3分） （2）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得． 又因为， 所以． 因为交于点， 所以， 所以， 所以． 设，则． 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以．（7分） （3）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得， 所以． 又因为， 所以，所以， 所以． 又因为， 设，则， 所以． 在Rt中，，解得， 所以．（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册第十三章~第十五章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 2．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 3．下列说法错误的是（   ） A． B．64的算术平方根是4 C． D．若，则 4．如图，正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为18．那么代数式的结果为（   ） A．1 B．2 C． D． 5．如图是石家庄市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、f轴的正方向建立平面直角坐标系，规定1个单位长度表示．市二中的坐标为，省二院的坐标为，则省二院在市二中的（    ）． A．北偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 6．如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（    ）． A．3 B．2 C．4 D．1 7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（    ） A．1.5 B． C． D． 9．下面一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，若点关于x轴的对称点在第三象限，则（　　） A．， B．， C．， D．， 11．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 12．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若，则“（   ）”内的最简二次根式是 ． 14．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 15．如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 16．已知的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根是 ． 17．如图，在 中，，、 边上的中线 、 相交于点 ，已知 ，，则 的长为 ． 18．如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．把下列各数分别填入相应的集合里： ，（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，，0.12，，，，300% (1)负数集合：{__________________________}； (2)非负数集合：{__________________________}； (3)分数集合：{__________________________}； (4)无理数集合：{__________________________}； 20．如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．    (1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置； (2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置； (3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ． 21．计算． (1) (2) 22．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）．    (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于x轴对称点为，且，求a的值． 23．如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】（3）在直角三角形中，，，.求的长. 24．小明遇到这样问题：已知，在中，三边的长分别为，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答： 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： (1)求图1中的面积； (2)图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长分别为的格点； ②的面积是_________． (3)如图3，已知，以为边向外作正方形，连结．若，求六边形的面积． 25．在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点． (1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________； (2)已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________； ②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围． 26．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册第十三章~第十五章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根为， 故选：B． 2．如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（   ）    A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：由图形可知：；；， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 3．下列说法错误的是（   ） A． B．64的算术平方根是4 C． D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念及其运用．分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意； B、64的算术平方根是8，该选项错误，符合题意； C、，该选项正确，不符合题意； D、，则，该选项正确，不符合题意． 故选：B． 4．如图，正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为18．那么代数式的结果为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，正方形的面积公式等知识，先根据正方形的面积求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为，面积为8， ∴， ∵正方形的边长为，面积为18， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图是石家庄市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、f轴的正方向建立平面直角坐标系，规定1个单位长度表示．市二中的坐标为，省二院的坐标为，则省二院在市二中的（    ）． A．北偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 【答案】A 【分析】根据市二中的坐标为，省二院的坐标为，连接，过点A分别作x轴、y轴的平行线，过点B作，交x轴的平行线于点C，利用锐角三角函数，求出，从而求得，即可求出结果． 【详解】解：如图，市二中的坐标为，省二院的坐标为，连接，过点A分别作x轴、y轴的平行线，过点B作，交x轴的平行线于点C， ，， ， ， ， ∴省二院位于市二中北偏东， 故选：A． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中，由坐标确定点的位置、方位角、锐角三角函数，构造直角三角形，求的正切值是解题的关键． 6．如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（    ）． A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】B 【分析】设与交于点H，由勾股定理得，根据三角形等面积知，设，，在中，根据勾股定理渴求的结果． 【详解】解：设与交于点H， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可知：， ∴HF=CF-CH=， 在△BCH中， =， 设，则=， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程． 7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，，， ∴． 故选：C． 8．如图，已知正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（    ） A．1.5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，然后根据勾股定理求出长，结合A点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为，且， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， 且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：D． 9．下面一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、是二次根式，故此选项符合题意； B、当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A ． 10．在平面直角坐标系中，若点关于x轴的对称点在第三象限，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了各象限内点的坐标特征，关于x轴的对称点的坐标特征，掌握关于轴的对称点的坐标特征是解题的关键． 根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，若点关于x轴的对称点在第三象限， 点在第二象限， ，． 故选：C． 11．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是；， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：A． 12．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出这个粒子运动到，，，，所用时间分别为，，，，，则归纳类推出这个粒子运动到所用时间为秒（其中为正整数），再观察运动规律可得在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，然后根据，，可得第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，由此即可得． 【详解】解：由题意得：这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 归纳类推得：这个粒子运动到所用时间为秒（其中为正整数）， 观察运动规律可知，在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动， ∵，，，且44为偶数， ∴第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，此时这个粒子所处位置为，即， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若，则“（   ）”内的最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，最简二次根式，用除以即可求解． 【详解】解：， 即“（   ）”内的最简二次根式是， 故答案为：． 14．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中勾股定理的应用，明确题意，表示出直角三角形中三边长度，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设绳索的长为尺，根据题意表示出、长度，根据勾股定理可列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：（尺），（尺），（尺）， （尺）， 设绳索尺，尺， 在中， 即， 解得． 答：绳索的长为尺． 故答案为：． 15．如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理与折叠，先由，得出为直角三角形，且，设，由折叠的性质，可得，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， 设，由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 16．已知的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算，算术平方根，实数的混合运算等知识，由无理数的估算方法得，则有，，得到，，然后代入求出，最后通过算术平方根定义求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 17．如图，在 中，，、 边上的中线 、 相交于点 ，已知 ，，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中线的定义，根据题意设，则，在中勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：设，则 在中， ∴ ∴ 在 中， ∴ 故答案为：． 18．如图，在中，平分于点，连接，则的面积是 ． 【答案】2.4 【分析】此题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 延长交于点，过作于点，先由勾股定理求得，根据三角形的面积公式求出，再证明和全等得，，进而得，则，然后根据得，由此即可得出答案． 【详解】解：延长交于点，过点作于点，如图所示： 在中，，，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．把下列各数分别填入相应的集合里： ，（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，，0.12，，，，300% (1)负数集合：{__________________________}； (2)非负数集合：{__________________________}； (3)分数集合：{__________________________}； (4)无理数集合：{__________________________}； 【答案】(1) (2)（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，0.12，，，，300% (3) (4)（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），， 【分析】本题考查实数的分类，先化简各数，再根据负数、非负数、分数、无理数的定义，直接填空即可． 【详解】（1）解：，，，． 负数集合：； （2）解：非负数集合：（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），0，，0.12，，，，300%； （3）解：分数集合：； （4）解：无理数集合：（相邻两个2之间的5的个数逐个加1），，． 20．如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．    (1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置； (2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置； (3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ． 【答案】(1)，图见解析； (2)图见解析； (3)东，南（或南，东），． 【分析】本题考查了学生对数对位置的掌握与应用． （1）从图上即可得出学校的位置； （2）根据题干描述在图上标出小桥的位置即可； （3）从第二小题得到的图上，即可判断出公园位于小桥位置． 【详解】（1）解：学校的位置用数对表示是，公园的位置是如图：    （2）解：∵小桥在学校东偏北方向处， ∴用数对表示小桥的位置为：，如图：    （3）解：如图可知，    则公园位于小桥的东偏南或南偏东方向上，距离是． 21．计算． (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘、除法，算术平方根． （1）先计算二次根式的乘、除法，算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘、除法，算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 22．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）．    (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于x轴对称点为，且，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出点的坐标； （3）根据点关于x轴对称点为，则又因为，所以，即可求解． 【详解】（1） 解：如图，即为所求；    （2）解：由（1）中图可得点的坐标为； （3）解：∵点关于x轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，点的坐标，轴对称点的坐标变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 23．如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 【答案】（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； （3）在直角三角形ABC中，，，， ． 24．小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答： 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： (1)求图1中的面积； (2)图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长分别为的格点； ②的面积是_________． (3)如图3，已知，以为边向外作正方形，连结．若，求六边形的面积． 【答案】(1) (2)①图见解析②8 (3)31 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，借助网格求面积： （1）利用分割法求面积即可； （2）①根据勾股定理和网格特点，画出即可；②利用分割法求面积即可； （3）将六边形放入由边长为1的小正方形组成的网格中，分割法求面积即可． 【详解】（1）解：； （2）①如图，即为所求； 由图和勾股定理，得：，符合题意； ②； （3）由题意，将六边形放入由边长为1的小正方形组成的网格中，如图： ∴ ． 25．在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的【】伴随图形，例如：点的【x轴，y轴】伴随图形是点． (1)点的【x轴，y轴】伴随图形点的坐标为_________； (2)已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的【轴，】伴随图形点的坐标为_________； ②当直线经过原点时，若的【轴，】伴随图形上只存在两个与轴的距离为1的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②且 【分析】（1）点关于x轴对称的点坐标为，再关于y轴对称的点坐标为，故可得点坐标，即可求解． （2）①当时，A点坐标为，直线m为，此时点A先关于x轴对称的点坐标为，再关于m轴对称的点坐标为，进而得到点的坐标； ②由题意得，直线m为， A、B、C三点的【轴，】随图形点坐标依次表示为：、、，结合图形，列出关于t的不等式，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①由题意知，沿x轴翻折得点坐标为；沿y轴翻折得点坐标为， 故答案为：． （2）解：①当时，A点坐标为， 由题意得：直线m为， 沿x轴翻折得点坐标为， 沿直线翻折得点坐标为， 故答案为：； ②直线m经过原点，且经过点， 直线m为， A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为：、、， A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：、、， ∵的【轴，】伴随图形上只存在两个与x轴的距离为1的点， ∴且， 解得： 且．    【点睛】本题考查了直角坐标系中的点的对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点的坐标表示出来． 26．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】设，在中，根据，构建方程即可解决问题； 首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． 因为四边形是长方形， 所以． 设，则， 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （2）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得． 又因为， 所以． 因为交于点， 所以， 所以， 所以． 设，则． 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （3）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得， 所以． 又因为， 所以，所以， 所以． 又因为， 设，则， 所以． 在Rt中，，解得， 所以． 【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $