专题03 化简二次根式的四种考法（高效培优期中专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题03 化简二次根式的四种考法 考点01 利用数轴化简绝对值 考点02 利用非负性化简绝对值 考点03 双重二次根式化简 考点04 分母有理化 考点01 利用数轴化简绝对值 1．实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 2．已知，，的位置如图所示，求的值． 3．已知，化简二次根式： 4．（1）已知x、y为实数，且，求的值； （2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：． 5．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：． 考点02 利用非负性化简绝对值 6．当时，化简的正确结果是（    ） A． B． C． D． 7．当时，多项式的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 10．已知，化简： 11．若，则化简 ． 12．当时，化简的结果是 ． 13．已知，求的值 14．（1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：． （2）设、、为的三边，化简：． 考点03 双重二次根式化简 15．我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求 的算术平方根． 解： 的算术平方根是 ． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． (1)= ； (2)= ； (3)在中，，那么边的长为多少？ 16．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 17．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b使，这样，，那么便有． 例如：化简，首先把化为，这里，； 由于，即， 原式 由上述例题的方法，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 18．像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 19．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 20．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 考点04 分母有理化 21．阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 22．我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：； (3)计算： 23．认识概念： ①两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． ②如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． (1)填空：的一个有理化因式是______；的一个有理化因式是______； (2)将分母有理化； (3)计算：． 24．（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 25．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 26．学习完“二次根式”后，小美在数学拓展活动中，和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值． 她是这样解答的： 解：， ， ， ． 请你根据小美的解题过程，解答下列问题． (1)计算：_______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 27．阅读： ； ； … (1)归纳：______，______（为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 28．【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 化简二次根式的四种考法 考点01 利用数轴化简绝对值 考点02 利用非负性化简绝对值 考点03 双重二次根式化简 考点04 分母有理化 考点01 利用数轴化简绝对值 1．实数，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键． 先由实数a、b在数轴上的位置可得，则，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得， ∴， ∴ ． 故答案为：2． 2．已知，，的位置如图所示，求的值． 【答案】 【分析】根据数轴可知，，求出，，，再根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式的性质的应用，主要考查化简能力，解题的关键是根据数轴确定出各式子的取值范围． 3．已知，化简二次根式： 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简．根据题意利用二次根式性质可知，再利用二次根式非负性化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（1）已知x、y为实数，且，求的值； （2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简：． 【答案】（1）5；（2） 【分析】此题考查二次根式的化简求值，实数与数轴，整式的加减运算，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，确定，得出，然后代入求解即可； （2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，，得出，，再化简计算即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意得：，， ∴，， ． 5．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴的关系，掌握二次根式的性质并根据性质进行二次根式的化简是解题的关键，解答时，注意：．根据数轴所示，判断a、b、c的符号，进一步判断、、的符号，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，， 所以原式． 考点02 利用非负性化简绝对值 6．当时，化简的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 7．当时，多项式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的化简求值；先根据的值推导出关于的二次方程，再利用该方程化简多项式，最后计算结果． 【详解】解：∵ 可得, 即 ∴,即, ∴, 把代入， 得,即, 把代入可得: 原式 故选:C． 8．已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出是解决此题的关键． 先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可． 【详解】因为实数满足，， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B． 9．若代数式的值为3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，分，，三种情况，根据二次根式的性质分类讨论即可． 【详解】解：当时， 原式， 当时， 原式， 当时， 原式． 故选：D． 10．已知，化简： 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一化简再运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 11．若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 12．当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知，求的值 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 根据求代数式值中的整体思想，即可解答． 【详解】解：， ， 原式． 14．（1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：． （2）设、、为的三边，化简：． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式的加减法、三角形三边关系． （1）先根据二次根式有意义的条件求出，再把代入求出的取值范围，最后进行化简即可； （2）由三角形三边关系求得，，，，再利用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：（1）因为、都是实数，且满足， 则且，所以，则． 所以 ； （2）因为、、为的三边，所以，，，， 所以 ． 考点03 双重二次根式化简 15．我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求 的算术平方根． 解： 的算术平方根是 ． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． (1)= ； (2)= ； (3)在中，，那么边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，同样仿造上面把变形为完全平方式，最后开平方即可． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：根据题意，得 ． 16．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的非负性，求出的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可； （2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可； （3）利用完全平方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ， ∴， ∴ ； （2）解： ，经检验，符合题意； （3）解： ∵ 即 ∴， ∴． 17．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b使，这样，，那么便有． 例如：化简，首先把化为，这里，； 由于，即， 原式 由上述例题的方法，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中的方法变化为即可求出答案； （2）根据题中的方法变化为即可求出答案； （3）先得到，再求出即可得到答案． 【详解】（1）解：中，，， 由于，即，， ∴， （2）在中，这里，， 由于，即，， ； （3）中，这里，， 由于，即，， ， ∴． 18．像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）先将凑成完全平方式，逐步对内部被开方数化简，计算即可． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：设，两边平方可得： ， 所以． 则． 又因为， 所以． （3）∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴原式． 19．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题． 【实践探究】 （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，则________，________； （2）若，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值． 【拓展延伸】 （3）化简________． 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，展开得到，然后根据，m，n为正整数进行求解； （3）先设，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；． （2） 由 得， 又，m，n为正整数 或 （3）设，m，n为正整数 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 考点04 分母有理化 21．阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的应用，完全平方公式的应用； （1）直接分母有理化化简，把化为再进一步化简即可； （2）设，，可得，，可得，再进一步求解即可； （3）设，可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根． （3）解：∵①， 设②， ∴①②得，①②得， ∴③，④， ∴③④得， ③④得， 解得：，， ∴， ∴， ∴，∴， ∴． 22．我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)化简：________； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给例子进行分母有理数即可； （2）根据题目所给例子进行分母有理化即可； （3）根据题意找出相应规律，然后计算求解即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） ； （3）∵， ， ∴ ∴原式 ． 23．认识概念： ①两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． ②如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． (1)填空：的一个有理化因式是______；的一个有理化因式是______； (2)将分母有理化； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式． （1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）分子分母同时乘，按照平方差公式计算化简即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的一个有理化因式是， ∵， ∴的一个有理化因式是． 故答案为：，． （2）解： ． （3）解： ． 24．（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 【答案】（1）1，1；（2）；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键． （1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据（1）的规律，可得答案； （3）利用（2）的结论，可得答案． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：1，1； （2）∵ ， ∴ ， 故答案为：； （3） ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1) ． (2)化简：． (3)若， ①求的值， ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ； 26．学习完“二次根式”后，小美在数学拓展活动中，和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值． 她是这样解答的： 解：， ， ， ． 请你根据小美的解题过程，解答下列问题． (1)计算：_______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】(1)仿照阅读资料中的化简解答即可． (2) 仿照阅读资料中的化简解答即可． (3) 仿照阅读资料中的化简解答即可． 本题考查了二次根式的分母有理化，平方差公式，化简求值，熟练掌握新方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：， ， ， ， 故 ． ． 27．阅读： ； ； … (1)归纳：______，______（为正整数）． (2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)提升：利用上面的规律，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)2015 (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的大小比较，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）分别对分母和分子乘以，，再利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，再利用二次根式的混合运算法则计算； （3）先分母有理化，再比较大小即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 28．【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）1；（4） 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）直接分母有理化即可； （2）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （3）先将两边进行分母有理化后观察对比即可得出结果； （4）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），， ∵， ∴， ∴； 故答案为：＞； （3）∵ ， ∴， ，是有理数， ，且， ； 故答案为：1； （4）∵ ， ∴ ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $