专题03 因式分解、二次根式、分式（三大题型）（青海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题03 因式分解、二次根式、分式 考情概览 考点1 因式分解 考点2 二次根式 考点3 分式 考点1 因式分解 1．（2025·青海西宁·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∴根据题意得，， ∴原式． 【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． 考点2 二次根式 3．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 4．（2025·青海·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，二次根式的运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别化简二次根式，计算零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值并相乘，最后再进行加减计算． 【详解】解： ． 5．（2024·青海西宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，零指数幂，根据二次根式的乘法法则，零指数幂的法则，绝对值的意义，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ． 【答案】/0.4 【分析】此题考查了简单概率的计算．熟练掌握概率的意义和计算方法是解题的关键．概率是随机事件发生可能性大小的数值，计算方法是在n次等可能结果的一次试验中事件A包含其中的m种结果，A事件发生的概率为． 在5个二次根式中，，是最简二次根式，再由概率公式求解即可． 【详解】解：在，，，，这5个二次根式中，，是最简二次根式，有2个， ∴随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是， 故答案为：． 7．（2024·青海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊值的三角函数值、零指数幂和绝对值，根据相关运算法则化简后合并即可． 【详解】解： 8．（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则运算判断． 【详解】解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意； B、 ，原计算错误，本选项不合题意； C、 ，计算正确，本选项符合题意； D、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键． 9．（2023·青海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先根据负指数幂的意义、零指数幂的意义、二次根式的化简以及特殊角的三角函数值化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负指数幂的意义、零指数幂的意义、二次根式的化简以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 10．（2022·青海·中考真题）若式子有意义，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可求解． 【详解】由题意得：解得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．熟练的掌握分式分母不等于0以及二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 11．（2021·青海西宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 12．（2021·青海·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式、乘法公式的性质化简，再根据二次根式、代数式、分式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 当时， 原式． 【点睛】本题考查了二次根式、分式、代数式、乘法公式的性质；解题的关键是熟练掌握分式、乘法公式的性质，从而完成求解． 13．（2021·青海·中考真题）观察下列各等式：①；②；③…根据以上规律，请写出第5个等式： ． 【答案】 【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答案． 【详解】解：猜想第n个为： （n为大于等于2的自然数）； 理由如下： ∵n≥2， ∴ 添项得： ， 提取公因式得： 分解分子得： ； 即： ； 第5个式子，即n=6，代入得： ， 故填：． 【点睛】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系． 考点3 分式 14．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 15．（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，值为，时，值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： 由于， ∴ 把代入 原式 ； 把代入 原式 ． 16．（2024·青海西宁·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键． 先通分，然后再按同分母分式加减法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式． 18．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中，是方程的两个根． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出  ，代入化简结果，即可求解． 【详解】解：原式     ∵，是方程的两个根 ∴      ∴原式. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19．（2025·青海西宁·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，然后用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 20．（2025·青海西宁·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，准确计算是解题的关键．先提公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 21．（2025·青海西宁·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．首先确定公因式，然后提取即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 22．（2025·青海西宁·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．先用提公因式法分解，再用平方差公式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 23．（2025·青海西宁·三模）先化简，再求值其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．先计算括号内的分式的减法，再将除法转化为乘法，然后利用分式的乘法运算法则化简原式，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 24．（2025·青海西宁·三模）如果代数式有意义，那么x取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得：且． 故答案为：且． 25．（2025·青海·三模）先化简，再求值：化简，其中x满足方程． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着解一元二次方程求出x的值，并根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得或， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴， ∴原式． 26．（2025·青海玉树·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】本题考查分式的化简求值．先根据分式的混合运算对分式进行化简，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 27．（2025·青海西宁·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、二次根式的性质、零次幂、绝对值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据含特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零次幂、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解：， ． 28．（2025·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分，解方程等技巧化简是解题的关键． 【详解】解：原式 当时 原式． 29．（2025·青海西宁·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 30．（2025·青海西宁·一模）已知关于的二次方程两个相等的实根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分式的化简求值，根据方程有两个相等的实数根，得到，求出a的值，根据分式的运算法则化简后，把a的值代入计算即可． 【详解】解：∵方程两个相等的实根， ∴， ∴． ， ∵当时，原式， 当时，原式． 综上可知，代数式的值为． 31．（2025·青海西宁·二模）先化简：，其中是方程的解． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序和运算法则，解一元二次方程的方法和步骤，以及分式分母不能为0． 先根据分式混合运算的运算顺序和运算法则将分式化简，再求解一元二次方程，根据分式有意义的条件，得出x的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 当时，原式． 32．（2025·青海西宁·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角度锐角三角函数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，0次幂和负整数幂的计算方法，以及熟记特殊角度的三角函数值． 先将绝对值，0次幂，负整数幂，以及三角函数化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 33．（2025·青海西宁·一模）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，其中取（1）的最小整数解． 【答案】（1）；（2），3 【分析】本题考查不等式的解法、分式的化简求解，本题属于基础题型． （1）根据不等式的解法即求出x的值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）去分母得， 移项合并得， 解得； （2） ， ∵的最小整数解为2， ∴， 当时，原式． 34．（2025·青海玉树·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题关键是掌握二次根式的乘除混合运算． 先将化为，再约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 35．（2025·甘肃定西·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握开平方的运算是解题的关键，利用开平方的运算化简，再进行根据实数的运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ． 36．（2025·青海玉树·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 37．（2025·青海西宁·二模）计算或解方程 (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1)9 (2)， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，含特殊角的三角形函数的混合运算，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，再运算除法，即可作答． （2）先化简特殊角的三角函数值，再移项，最后运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴或 ∴， 38．（2025·甘肃酒泉·三模）计算： 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．计算二次根式的乘法和除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 39．（2025·甘肃白银·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 先进行二次根式的乘法运算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 40．（2025·青海西宁·一模）如图，从一个大正方形中截去面积分别为3和6的两个小正方形，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的化简是解题的关键．利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为． 故答案为：． 2/20 1/20 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03因式分解、二次根式、分式 考情概览 考点1因式分解 考点2二次根式 考点3分式 五年真题 考点1因式分解 1.(2025·青海西宁.中考真题)分解因式：8ab2-2a=一· 2.(2022·青海西宁，中考真题)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a-3ab-4+6b因式分解. 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式2a-3ab-4-6b=a2-3b-22-3b=2-3ba-2 解法二：原式2a-4-3ab-6b=2a-2-3ba-2=a-22-3b 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式 法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方 程、函数等学习中起着重要的作用.（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类此】 (①)请用分组分解法将x2-a+x+a因式分解： 【挑战】 (2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理.如图，“赵爽弦图”是由四个全等 的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是α和 1/20 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ba>b,斜边长是3，小正方形的面积是1.根据以上信息，先将a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4因式分解， 再求值. 考点2二次根式 3.(2025·青海西宁.中考真题)当x=1时，下列代数式在实数范围内有意义的是() A. x-1 B.2x-1 c.x-2 D.x-2 X-1 X X-1 4.(2025青海中考真题)计算：V12+1-V2°+-3-2sin30° 5.(2024青海西宁中考真题)计算：2×8+2024-π°-2-3 6.(2024青海西宁.中考真题)在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有0.2， 语6， 10,27,随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 7.(2024青海中考真题)计算：18-an45°+π°--2 8.(2023·青海西宁中考真题)下列运算正确的是（) A.V2+3=V5B.V(-5}=-5C.(3-V2)}=11-6V2D.6÷ 2 ×3=3 3 9.(2023·青海·中考真题)计算：V12+21+2023°-sin30°. 10.(2022青海中考真题)若式子1，有意义，则实数x的取值范围是_ x-1 1.(2021青海西宁中考真题)计算：(5+3)5-3)-(3-12 12.(2021青海中考真题）先化简，再求值：0-：0-2a+1,其中a=2+1 a …根据以上规律，请写出第5个等式：一 2/20 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点3分式 14.(2025·青海西宁.中考真题)先化简，再求值：m2-m 2-1其中m满足mm+4=-4 m2+2m+1m+1m 15.(2025·青海中考真题)先化简 -a÷2,再从-2'01中选一个合适的数代入求值。 a+2a2-4 2a1 16.(2024青海西宁.中考真题)计算： a2-b2 a+b 17.(2024青海中考真题)先化简，再求值： 其中x=2-y 18.(2023·青海西宁中考真题)先化简，再求值： 0-1,1一其中ab是方程 a2-b2 a+b a2-ab x2+X-6=0的两个根. 一年模拟 19.(2025青海西宁三模)分解因式：a-6ab+9ab2=乙一. 20.(2025·青海西宁.二模)分解因式：16a3-a=(一 21.(2025·青海西宁.一模)分解因式：12abc-9ab2=乙 22.(2025青海西宁一模)因式分解：nx-y+y-X=8 2025:青海西宁·三模)先化简，再求值3一一ā+ 0-4a其中a=2-1 a2+2a+1 24.（2025青海西宁三楼)如果代数式3=X有意义，那么取值范用是一 X-1 25.(2025青海·三模）先化简，再求值：化简，X1+ 其中x满足方程X-3x-4=0 26.(2025·青海玉树·三模)先化简，再求值： +y-2y小其中x x-y=5 2x 27.(2025青海西宁.二模)计算：8+3-1°-2-2+2sin45° 3/20 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 28.(2025·青海西宁.二模)先化简，再求值：x+2, 4 x,其中x=3 x-2x-4x+4x-2 29.(2025·青海西宁.一模)先化简，再求值： a+ +0+2:02-40+4,其中a=3 a-3 a-3 30.(2025·青海西宁.一模)已知关于x的二次方程x2+2aX+a+6=0两个相等的实根，求代数式 0-2a-2-a-2的值. a2-1 a+1 31.(2025·青海西宁·二模)先化简： 1-6}:X-6x+9,其中x是方程x+2X-15=0的解， x+31 X+3 32.(2025青海西宁二模)计第：月3-2+2025+元+2sin60°-2 33.(2025青海西宁.一模)(1)解不等式：X1+1<X: (2)先化简，再求值： 1+10,其中。取(1)的最小整数解。 a-1°a2-1 64.(2025青海玉树模拟预测)计算：23×兰=无 61 35.(2025·甘肃定西·三模)计算：18-V12×V3 36.(2025青海玉树·三模)计算2×3的结果为一 37.(2025·青海西宁·二模)计算或解方程 计家：传丽-网得 (2)解方程： (x+2sin60°2-3=0 38.(2025甘肃酒泉三模)计算： V48+V12 3 39。(2025甘肃白银三模)计算：8-2×9. 3 40.(2025·青海西宁.一模)如图，从一个大正方形中截去面积分别为3和6的两个小正方形，则图中阴 4/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 影部分的面积是 6 J 5/20