专题06 三角形（七大题型）（青海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06三角形 考情概览 考点1与三角形有关的线段 考点2与三角形有关的角 考点3三角形全等的判定 考点4线段垂直平分线 考点5等腰三角形 考点6直角三角形 考点7勾股定理及其逆定理 五年真题 考点1与三角形有关的线段 1.(2025·青海西宁.中考真题)等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 2.(2024青海西宁.中考真题)若长度分别为3,6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以 是一·（写出一个即可） 3.(2022青海西宁.中考真题)若长度是4,6，α的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是() A.2 B.5 C.10 D.11 考点2与三角形有关的角 4.(2023·青海西宁.中考真题)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD, 若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 5.(2023青海中考真题)如图，AB是⊙0的弦，C是⊙0上一点，0C⊥AB,垂足为D,若 ∠A=20°，则∠ABC=() 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.20° B.30° C.35o D.55 考点3三角形全等的判定 6.(2025·青海西宁.中考真题)如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE,将△EDC沿DE所 在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G,连接DG. D G B (I)求证：△ADG≌△FDG; (2)若AB=2V5,求AG的长。 7.(2025·青海.中考真题)如图，在△ABC中，点O,D分别是边AB,BC的中点，过点A作AE引BC交 DO的延长线于点E,连接AD,BE E B D (I)求证：四边形AEBD是平行四边形： (2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状，并证明. 8.(2025青海中考真题)工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠A0B是一个任意角，在 边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合，即CM=CN, 过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是() 2/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [m M N B A.AAS B.SAS C.SSS D.ASA 9.(2024青海西宁.中考真题)如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，AD=BE,且 AD⊥BE,垂足为F,G为DC的中点，连接DE,EG.下列结论错误的是() B D G A.△AFB≌△AFE B.∠ADB=∠ADE C.FD=BE D.△CEGM△CBE 10.(2023青海西宁.中考真题)如图，在□ABCD中，点E,F分别在AB,CD的延长线上，且BE=DF ,连接EF与AC交于点M,连接AF,CE M (1)求证：△AEM兰△CFM: (2)若AC⊥EF,AF=3V2,求四边形AECF的周长. 11.(2023·青海西宁.中考真题)如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接PA,将PA绕点P顺时针 旋转90°得到PA,连接CA.若AD=9,AB=5,CA=2W2,则BP=一 D B P 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2022青海中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶 点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形 (1)问题发现： 如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC,DE分别是底边.求证：BD=CE; 图1 (2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E 在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之 间的数量关系并说明理由 D 图2 13.(2022青海中考真题)如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A,C重合）， 连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE D (I)求证：△DCE兰△BCE: (2)求证：∠AFD=∠EBC 考点4线段垂直平分线 14.(2025青海西宁.中考真题)如图，直线1和直线1外一点A,以点A为圆心，适当的长度为半径画弧， 交直线！于点M,N;分别以点M,N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P(点P与点A在直 线1的两侧)：作直线AP交直线1于点O,连接AM,AN,PM,PN.根据以上作图过程，有以下结论： 2/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN;③PA平分∠MPN;④四边形AMPN是菱形；⑤ cOs∠MPN=专，其中正确结论的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 15.(2023青海西宁.中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于 吉AC的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点，作直线PQ交AB,AC于点D,E,连接CD.下列说法错 误的是() PD A.直线PQ是AC的垂直平分线 B.CD=AB C.DE=BC D.S△4DE:S四边形DBCE=1:4 16.(2023青海中考真题)如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则 △ABD的周长是 B E 17.(2021·青海西宁.中考真题)如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE,过点E作CE的垂线 交AB于点F,交CD的延长线于点G,连接CF.已知AF=专，CF=5,则EF= 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B FA DG 18.(2022青海·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D, 交BC于点E.己知∠BAE=I0°，则∠C的度数为】 A B E 考点5等腰三角形 19.(2022青海西宁.中考真题)矩形ABCD中，AB=8,AD=7,点E在AB边上，AE=5.若点P是 矩形ABCD边上一点，且与点A,E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是」 20.(2021·青海.中考真题)已知a,b是等腰三角形的两边长，且a,b满足 V2a-3b+5+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为(. A.8 B.6或8 C.7 D.7或8 21.(2024青海西宁.中考真题)如图，正方形ABCD的边长为4，以AB边为底向外作等腰Rt△ABE, 点P是对角线AC上的一个动点，连接PB,PE,则PB十PE的最小值是一， B 22.(2024青海中考真题)如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6,则BC的 长是() 2/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3 B.6 c.5 D.35 23.(2025·青海西宁.中考真题)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E, 连接0B.若BD=6,OE=5,则菱形ABCD的面积是」 D B E 考点6直角三角形 24.(2022青海西宁.中考真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6,将△ABC绕点A逆时针 方向旋转15°得到△AB'C,B'C交AB于点E,则BE= E B 25.(2022青海西宁.中考真题)如图，△ABC中，AB=6,BC=8,点D,E分别是AB,AC的中点， 点F在DE上，且∠AFB=90°，则EF= D 26.(2022青海.中考真题)如图，从一个腰长为60cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最 大的扇形OCD,则此扇形的弧长为cm. 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 27.(2022青海中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，延长CB至点E, 使BE=BC,连接DE,F为DE中点，连接BF若AC=16,BC=12,则BF的长为() C A D A.5 B.4 C.6 D.8 考点7勾股定理及其逆定理 28.(2025·青海西宁.中考真题)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，动点P从点A出发，沿着 A→B→C的路径运动到点C停止，过点P作PQ⊥AC,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-AQ的 值为y,y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长为 B 图1 图2 29.(2021青海·中考真题)如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2,N是AC上的一 动点，则DN+MN的最小值为一 D M 30.(2023青海西宁中考真题)如图，边长为V2的正方形ABCD内接于⊙0，分别过点A,D作o0的切 线，两条切线交于点P,则图中阴影部分的面积是 2/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 31.(2022青海西宁中考真题)在Rt△4BC中，∠C-90,AC-1,BC-√2，则cos4 32.(2022青海中考真题)随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某 型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模 型的外围测得如下数据，BC=8,CD=2,∠D=135°，∠C=60°，且ABCD,求出垂尾模型ABCD 的面积.（结果保留整数，参考数据：V2心1.414，V3心1.732） D C 图1 图2 33.(2021·青海西宁.中考真题)如图，△ABC是等边三角形，AB=6,N是AB的中点，AD是BC边上 的中线，M是AD上的一个动点，连接BM,MN,则BM+MN的最小值是_ D 34.(2021·青海西宁.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D,E分别是AB,BC的中点， 连接AB,DB,若DE=号，AE=罗，则点A到BC的距离是」 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 年模拟 35.(2025·青海玉树模拟预测)如图，某办公大楼正前方有一根高度为15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测 得旗杆顶端E的俯角《是45·，旗杆底端D到大楼前石阶梯底边沿的距离DC是20米，石阶梯坡长BC是12米， 石阶梯坡BC与水平地面成30·角，求： A B (I)大楼AB与旗杆ED的水平距离； (2)大楼的高度AB 36.(2025青海西宁·三模)【探究题建立模型】如图1，在四边形ABCD中，∠BCD+∠BAD=180°， 称四边形为对角互补四边形.连接CA,当CA平分∠BCD时，可证AB=AD,请补充以下证明步骤： 证明：如图2，过点A分别作CD与CB延长线的垂线，分别交CD、CB的延长线于点F、E, :CA是∠BCD的角平分线，且AE⊥CE,AF⊥CD :AE=AF(角平分线上的点到角两边的距离相等) ·∠AEC=∠AFC=90°， :∠BCD+∠BAD=180°，∠BCD+∠EAF=180°， =(）(请补充剩余证明) 【应用模型】如图3，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，CA平分∠BCD,可得 BC+CD=V2AC的关系，请证明此结论， 【拓展拔高】如图4，在等边△ABC中，点D为BC的中点，E,F分别是AB,AC边上的点，且 ∠EDF=120°，若∠BDE=45°，DF=6,则BE的长为，△ABC的面积为 2/20 专题06 三角形 考情概览 考点1 与三角形有关的线段 考点2 与三角形有关的角 考点3 三角形全等的判定 考点4 线段垂直平分线 考点5 等腰三角形 考点6 直角三角形 考点7 勾股定理及其逆定理 考点1 与三角形有关的线段 1．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意； 故第三边长为7； 故答案为：7． 2．（2024·青海西宁·中考真题）若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 3．（2022·青海西宁·中考真题）若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（    ） A．2 B．5 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系定理得出6-4＜a＜6+4，求出a的取值范围，即可求解． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：6-4<a<6+4， 即2<a<10， 即符合的整数a的值是5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形三边关系定理得出4-3＜a＜4+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 考点2 与三角形有关的角 4．（2023·青海西宁·中考真题）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵为直角三角形， ∴可分类讨论：①当时，如图1，    ∴； ②当时，如图2，    综上可知的度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答． 5．（2023·青海·中考真题）如图，是的弦，C是上一点，，垂足为D，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 考点3 三角形全等的判定 6．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明； （2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， 由折叠可得，， ∴，， ∴在和中 ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到， ∵ ， ∴ 设，则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． 7．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得，结合可得结论； （2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论. 【详解】（1）证明：∵点为的中点 ∴， ∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）证明：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 8．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 9．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用是角平分线，证明，得，证明，故，结合是中线，G为的中点，得是中位线，故，代入数值整理得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和，即可作答． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵是中线， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴是中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角， 但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 10．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，连接与交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，进而得出，证明，根据证明，即可得证； （2）证明是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，（平行四边形的对边平行且相等） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵   ∴  即 在和中 ∴； （2）解：∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又∵ ∴是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）    ∴（菱形的四条边都相等） ∴菱形的周长. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则 ．    【答案】2 【分析】过点作于点F，则，可证，于是．设，，，解得，于是． 【详解】解：过点作于点F，则， ∵， ∴． 又， ∴. ∴． 设，矩形中，， ， ，，解得， ∴． 故答案为：2    【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据勾股定理构建方程求解是解题的关键． 12．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 13．（2022·青海·中考真题）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，即可求证； （2）根据，可得，再由AB∥CD，可得，即可求证 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）证明∶∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴AB∥CD， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 考点4 线段垂直平分线 14．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，掌握尺规作图是解题的关键． 由作图可得，，根据垂直平分线的判定即可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论③；由作图可得，得到，根据特殊角的三角函数值即可判断结论⑤，由已知条件无法得到是等边三角形，四边形是菱形，即可判断①④错误． 【详解】解：由作图可得，， ∴垂直平分，故②正确． ∵，， ∴平分，故③正确． 由作图可得， ∴， ∴，故⑤正确． ∵，但无法判断， ∴无法得到是等边三角形，故①错误． ∵，，但无法得到， ∴无法证明四边形是菱形，故④错误． 综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个． 故选：B 15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（    ）    A．直线是的垂直平分线 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可． 【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意； B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线， ∴点E是的中点，， 在中，， ∴， ∴， 即点D是的中点， ∴， 故选项正确，不符合题意； C．∵点D是的中点，点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∴， 故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键． 16．（2023·青海·中考真题）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .    【答案】13 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 17．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在矩形中，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知，，则 ． 【答案】 【分析】由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG，，利用等腰三角形的性质，求出，然后得到AB=CD=，则，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的长度，即可求出FE的长度． 【详解】解：根据题意，在矩形中，则 AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°， ∵E为的中点， ∴AE=DE， ∵∠AEF=∠DEG， ∴△AEF≌△DEG， ∴EF=EG，； ∵CE⊥FG， ∴， ∴AB=CD=， ∴， 在直角△BCF中，由勾股定理则 ， ∴AD=3， ∴， 在直角△AEF中，由勾股定理则 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到． 18．（2022·青海·中考真题）如图，在RtABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为 °． 【答案】40° 【分析】根据直角三角形的性质求得∠AEB=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°， ∴∠BEA=80°． ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE=EC， ∴∠C=∠EAC． ∵∠BEA=∠C+∠EAC， ∴∠C=40°． 故答案为：40°． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中． 考点5 等腰三角形 19．（2022·青海西宁·中考真题）矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5，点P在边AD上时，由勾股定理可求得底边PE的长；②当PE=AE=5，点P在边BC上时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出底边AP即可． 【详解】解：∵矩形ABCD ∴∠A=∠B=90°， 分两种情况： 当AP=AE=5，点P在边AD上时，如图所示： ∵∠BAD=90°， ∴PE==5； 当PE=AE=5，点P在边BC上时，如图所示： ∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°， ∴PB==4， ∴底边AP=； 综上，等腰三角形AEP的底边长是或 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键． 20．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）． A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得， ①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7； ②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8， 所以该等腰三角形的周长为7或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 21．（2024·青海西宁·中考真题）如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰 ，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，由轴对称的性质得，判断出当P与重合时，的值最小，最小值为的长．然后求出，，，，得到，然后利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当P与重合时，的值最小，最小值为的长． ∵正方形的边长为4， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，利用轴对称-最短路线问题． 22．（2024·青海·中考真题）如图，在中，D是的中点，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 23．（2025·青海西宁·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积； 故答案为：． 考点6 直角三角形 24．（2022·青海西宁·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E= ． 【答案】 【分析】根据已知可以得出∠BAC=60°，而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°，可知∠C′AE=45°，可以求出AC=AC′=EC′=3，据此即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6， 则∠BAC=60°，AC=3，BC=3， 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后， 则∠C′AC=15°，AC= AC′=3，B′C′=BC=3， ∴∠C′AE=45°， 而∠AC′E=90°，故△AC′E是等腰直角三角形， ∴AC=AC′=EC′=3 ∴B′E= B′C′- EC′=33． 故答案为：33． 【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 25．（2022·青海西宁·中考真题）如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则 ．    【答案】 【分析】首先根据三角形中位线的定理，得出的长，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出的长，最后根据，即可算出答案． 【详解】∵点，分别是，的中点 ∴为的中位线 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴在 点是的中点 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理即应用，直角三角形的性质，本题解题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 26．（2022·青海·中考真题）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 cm. 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长． 【详解】解：过O作OE⊥AB于E， ∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°， ∴OE=OA=30cm， ∴弧CD的长=(cm)， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式的应用，要注意公式中的圆心角一定要用弧度来表示，不能用度数． 27．（2022·青海·中考真题）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（    ） A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则． 【详解】解：在中，，，， ． 又为中线， ． 为中点，即点是的中点， 是的中位线，则． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键． 考点7 勾股定理及其逆定理 28．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 29．（2021·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念．解答本题的关键是读懂题意，知道根据正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 连接，，根据点与点关于对称和正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴，． 由，知． 又∵点与点关于对称， ∴且平分． ∴． ∴． ∴的最小值是10． 故答案为：10 30．（2023·青海西宁·中考真题）如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】 【分析】连接，，证明四边形是正方形，由勾股定理求得，根据阴影部分面积 求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，    ∵、是的切线， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，扇形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质、正方形的判定得出圆的半径是解题的关键． 31．（2022·青海西宁·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA= ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=， ∴AB=， ∴cosA=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义． 32．（2022·青海·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型ABCD的面积.（结果保留整数，参考数据：，）                                  【答案】24 【分析】过作垂直的延长线于，交于点，构建等直角三角形；，则在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，即可求出CF，勾股定理求出DF即可．在根据等腰直角三角形的性质，得出△DAE的底和高即可求出面积． 【详解】解：过作垂直的延长线于，交于点． ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的全等以及勾股定理，根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理求出三角形的各边是解题的关键． 33．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案． 【详解】解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），是边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值． ∵是等边三角形，，N是的中点， ∴AC=AB=6,AN=AB=3, , ∴. 即BM+MN的最小值为． 故答案为：. 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用． 34．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，若，，则点A到BC的距离是 ． 【答案】 【分析】根据题意可求得AC、AB、BC的长度，设点A到BC的距离是h，由的面积相等可列式，从而点A到BC的距离即可求解． 【详解】解：∵在中，，D，E分别是，的中点，， ∴，DE//AC， ∴∠BDE=∠BAC=90°， ∴∠ADE=90°， ， ∴， ∴， 设点A到BC的距离是h， 则， 即， 解得：， ∴点A到BC的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、三角形中位线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是用勾股定理和中位线的性质求出各线段的长度． 35．（2025·青海玉树·模拟预测）如图，某办公大楼正前方有一根高度为米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前石阶梯底边沿的距离是米，石阶梯坡长是米，石阶梯坡与水平地面成角，求： (1)大楼与旗杆的水平距离； (2)大楼的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查含30度角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理和等腰三角形的判定与性质，解决此题的关键是合理的运用勾股定理； （1）先根据含30度角所对的直角边是斜边的一半得到直角边之比，再根据勾股定理即可解决问题； （2）先根据等角对等边得到边相等，再由（1）中的结果即可得到答案； 【详解】（1）解：延长交于，作于，如图所示： 则米，， ， , 设米，则米， 在中，米， 由勾股定理得：， 解得：， 米，米， 米，米； 答：大楼与旗杆的水平距离是米； （2）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米． 答：大楼的高度为米． 36．（2025·青海西宁·三模）【探究题建立模型】如图1，在四边形中，，称四边形为对角互补四边形．连接，当平分时，可证，请补充以下证明步骤： 证明：如图2，过点A分别作与延长线的垂线，分别交的延长线于点F、E， ∵是的角平分线，且 （角平分线上的点到角两边的距离相等） ， ， ∴______=______（______）（请补充剩余证明） 【应用模型】如图3，在四边形中，，平分，可得的关系，请证明此结论， 【拓展拔高】如图4，在等边中，点D为的中点，E，F分别是边上的点，且，若，则的长为______，的面积为______． 【答案】探究题建立模型：见解析；应用模型：证明见解析；拓展拔高：， 【分析】探究题建立模型：证明，即可得到结论； 应用模型：延长到点E，使得，证明，，得到，则，由即可得到结论； 拓展拔高：连接，作于点H，连接，作于点H，证明，证明是等腰直角三角形，求出，得到，则，解得，求出，，根据三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】如图1，在四边形中，，称四边形为对角互补四边形．连结，当平分时，可证，请补充以下证明步骤： 证明：如图2，过点A分别作与延长线的垂线，分别交的延长线于点F、E， ∵是的角平分线，且 （角平分线上的点到角两边的距离相等） ， ， ∴（同角的补角相等） ∴， ∴， ∴ ∴ 【应用模型】延长到点E，使得， ∵在四边形中， ∴ ∵， ∴， ∵，平分， ∴由【探究题建立模型】的证明可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 【拓展拔高】连接，作于点H， ∵在等边中，点D为的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴， 在中， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 在中， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：， 【点睛】此题考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，综合性较强，添加合适的辅助线是关键． 37．（2025·青海西宁·一模）如图，正方形边长为4，为等边三角形，连接，，则 ． 【答案】/ 【分析】过点P作于点E，延长交于点F，根据正方形的性质得出，，证明四边形为矩形，得出，，，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出，得出，，最后根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：过点P作于点E，延长交于点F，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求三角函数的正切值，解题的关键是作出辅助线，矩形的判定和性质，熟练掌握三角函数定义． 38．（2025·青海玉树·三模）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在 中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得． (1)问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_____； (2)问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值； (3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，含有的直角三角形的边长关系，勾股定理，正确画出图形，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）可得为等边三角形，则可得，解直角三角形即可解答； （2）可得为等腰直角三角形，当时，可得，当重合时，最小即可解答； （3）分类讨论，即点落在上方或下方两种即可解答． 【详解】（1）解：，， 为等边三角形， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， 为等腰直角三角形， 根据折叠的性质可得， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 当时，最小，即； （3）解：如图，当在上方时，连接，延长交于点，则， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在直角三角形中，， ， ； 如图，当点落在下方时，过点作交于点， 同理可得四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 39．（2025·青海玉树·三模）在中，，，则边的中线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．利用直角三角形斜边的中线求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴边的中线长为， 故选：C． 40．（2025·青海西宁·二模）如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接． (1)求证：； (2)若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质，推出，进而得到，再结合已知，利用即可证明结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质推出，结合，求出，，进而求出，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，， ∵，共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 41．（2025·青海西宁·一模）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 42．（2025·青海西宁·一模）已知在中，，则的面积等于 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理． 作交（或延长线）于点D，分位于异侧和同侧两种情况，先在中求得的值，再在中利用勾股定理求得的长，继而就两种情况分别求出的长，根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】解：作交（或延长线）于点D， ①图1，当位于异侧时， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴ ∴， ∴； ②图2，当在的同侧时， 由①知，， 则， ∴ 综上，的面积是或， 故答案为：或． 43．（2025·青海·二模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在下方交于点；③作射线交于点．若，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟记线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由作图可知，垂直平分，选项C正确；根据直角三角形两锐角互余推出A正确；证明，推出的长，选项D正确；根据勾股定理求出的长可得出B错误． 【详解】由作图可知，垂直平分，故选项正确； ， ， ∴，故A正确； 又∵， ， ， ∴，故选项D正确， ∴，故选项B错误． 故选：B． 44．（2025·青海·二模）如图，在中，，，，是边上的两点，且，过点，分别作，，垂足分别为，，与的延长线交于点，连接，．    (1)求证：． (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定． （1）证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是矩形，再证明，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中，， ， ； （2）证明：，， ． ， 四边形是矩形． ，，， 和均为等腰直角三角形，． 在与中，， ， ． ， ， 四边形是正方形． 45．（2025·青海西宁·二模）如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为，摆至最高位置时与最低位置时的高度之差为，则该秋千的绳长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意可证，，，设，则，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， 故答案为： ． 46．（2025·青海西宁·二模）如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为，交于点，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例，先证明，，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 47．（2025·青海海西·二模）（1）解方程：； （2）若等腰直角三角形的腰长是（1）中方程的根，求斜边的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程，以及勾股定理，正确求出方程的解是解答本题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）运用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 或； （2）在等腰直角三角形中，腰长为5， 斜边长为． 48．（2025·青海海东·一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，，点在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据平行线的性质，外角的性质解题即可． 【详解】解：如图：设与相交于点G， ， ， ∵， ， 故选：A． 2/20 1/20 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