专题09 直线与圆的位置关系讲义（七大考点精讲）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题09 直线与圆的位置关系 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、直线与圆的位置关系 2 知识点2、直线与圆的位置关系的判断 2 知识点3、圆的弦长 3 知识点4、关于圆的切线几个重要的结论 3 三、探究重点难点 5 重难点题型1 直线与圆的位置关系 4 重难点题型2 弦长与面积问题 6 重难点题型3 切线问题、切线长问题 7 重难点题型4 切点弦问题 10 重难点题型5 圆上的点到直线距离的个数问题 13 重难点题型6 直线与圆的位置关系中的最值（范围）问题 16 重难点题型7 综合问题 19 四、突破热点题型 25 知识点一．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 知识点二．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2     1     0     几何法  d<r     d=r     d>r     代数法 Δ>0      Δ=0      Δ<0     知识点三、圆的弦长 1、交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解. 2、弦长公式（代数法）:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=. 3、弦长公式（几何法）:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l= 知识点四、关于圆的切线的几个重要结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为． 2、过圆上一点的圆的切线方程为 3、过圆上一点的圆的切线方程为 4、求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 考点1 直线与圆的位置关系 例1.（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 例2.（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 1.（25-26高三上·广东·阶段练习）已知直线与圆有唯一交点，则 . 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由直线和圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意，可知直线与圆相切，由直线和圆的方程可知圆心到直线的距离，圆的半径， 所以由可得，解得. 故答案为：4. 2.（25-26高二上·全国·课后作业）若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将圆化为圆的标准方程，由圆心在轴的左侧得，根据圆与直线相切即可求解． 【详解】由得， 圆心为，半径为， 圆心在轴的左侧，故，即， 圆与直线相切，故， 解得． 故答案为： 考点2 弦长与面积问题 例3.（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】由直线与圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则， 所以. 故选：A. 例4.已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦、圆内接三角形的面积、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】，则圆C的圆心为，半径为， 圆心C到直线l（弦AB）的距离为， 则， 则到弦AB的距离的最大值为， 则面积的最大值是. 故答案为： 1.（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 2.（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用几何法先求圆心到直线的距离，由即可求解. 【详解】由题意有圆心到直线的距离为， 所以， 又解得. 故选：C. 考点3 切线问题、切线长问题 例5.（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、切线长 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长. 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 例6.（24-25高一下·河南·阶段练习）魏晋时期的数学家刘徽撰写的《海岛算经》是中国最早的一部关于测量的数学著作，其中给出了测量建筑物高度的方法.如图，是某球形建筑物与水平地面的接触点（即切点），若在地面上与点共线的点处测得球形建筑物上点的最大仰角分别为和，且，则该球形建筑物的表面积为（    ）参考数据：，. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、切线长 【分析】首先根据直线和圆相切的几何性质，用表示和，由已知条件，列等式，即可求解. 【详解】如图，设球心为，连接. 设球的半径为.在中，. 在中，，所以， 则， 所以该球形建筑物的表面积为. 故选：C 1.（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、切线长 【分析】利用切线长公式，将问题转化为求圆心到直线的距离即可. 【详解】设切点为，则， 而的最小值为点到直线的距离，即，则的最小值为，故切线长的最小值为. 故答案为：. 2.（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 【答案】 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、已知切线求参数 【分析】求出反射光线所在直线的方程，利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式可求出正数的值. 【详解】点关于轴的对称点为，，直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线，则直线与圆相切， 且圆心为，半径为，可得，由于，解得. 故答案为：. 考点4 切点弦问题 例7.过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】切线长、切点弦及其方程 【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 例8.（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 1.已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、切线长、切点弦及其方程 【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答. 【详解】连接，由切圆于知，， 因为直线与平行，则，，而圆半径为， 于是，由四边形面积，得， 所以.    故选：C 2.（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、切点弦及其方程 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 考点5 圆上的点到直线距离个数问题 例9.（21-22高二上·湖北宜昌·期中）（多选题）若圆上有3个不同的点到直线的距离等于1，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】圆心到直线的距离，进而由题得，解方程即可得答案. 【详解】解：因为圆心到直线的距离， 圆上有3个不同的点到直线的距离等于1， 所以，解得. 故选：AD 例10.（2025·广东深圳·模拟预测）（多选题）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（     ） A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为 C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】依题意可得圆心，半径为，圆心到直线的距离为，结合选项逐一判断即可． 【详解】圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为； 又圆的半径为，得圆上有两个点到直线的距离为， 圆上有个点到直线的距离为，所以AD成立 故选：AD． 1.（25-26高三上·四川成都·开学考试）（多选题）已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线l被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】对于A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，从而有，，数形结合，即可求解；对于C和D，利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又， 则，， 所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误，    对于C，由，得到，解得或， 所以当或时，圆心到直线的距离等于半径， 即存在实数，使得直线与圆相切，所以C正确， 对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到， 解得，所以D正确， 故选：ACD. 2.（多选题）已知圆上有且仅有两个点到直线3415=0的距离为1，则实数a的可能取值（    ） A．15 B．6 C．0 D．1 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【解析】确定圆心不过已知直线，与已知直线平行且距离为1的直线有两条，这两条直线一条与圆相交，一条与圆相离即可得．由此求出的范围后可判断各选项． 【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为（）， 圆心到已知直线的距离为，则圆心到与直线平行且距离为1的直线的距离分别为3和5， 由题意，解得．只有BC满足． 故选：BC． 【点睛】方法点睛：本题考查考查直线与圆的关系，解题方法的得出是由于到已知直线距离为1的点在两条平行线上，与已知直线的距离是1，要满足题意，则这两条直线一条圆相交，一条与圆相离（圆心不在直线上）．由直线与圆的位置关系求解． 考点6 直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 例11.（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】化简直线的方程，求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，取最小值，结合斜率关系可求得实数的值. 【详解】将直线的方程化为，由可得， 所以，直线过定点，且，故点在圆内， 圆心为，当时，圆心到直线的距离取最大值，此时取最小值， ，所以. 故选：A. 例12.（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 1.（24-25高二上·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、圆内接三角形的面积 【分析】求出圆心到直线的距离，可求出点到直线距离的最大值，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则， 点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为. 故选：A. 2.（24-25高二下·云南西双版纳·期中）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意可得Q在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可. 【详解】由题意，圆可化为, ∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点， ∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， ∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴， ∴， 故答案为：2. 考点7 综合问题 例13.（24-25高二上·山东烟台·开学考试）已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】(1)，的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. (2). 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. （2）解：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，所以弦长为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即 因为过点的直线被曲线截得的弦长为， 设圆心到直线的距离为，可得，解得， 则，解得，所以直线的方程为. 例14.（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数、求平面轨迹方程 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，即：，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 1.（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且． (1)求证：为定值； (2)当点在半圆上运动时，试说明点的轨迹形状． 【答案】(1)证明见解析； (2)点的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为. 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）由题设三点共线，连接，则垂直平分线段，设垂足为，化，即可证； （2）设，且且，结合已知得，进而用表示，即可确定轨迹. 【详解】（1）因为，，所以三点共线， 连接，则垂直平分线段，设垂足为， 于是有 （定值）； （2）设，其中， 则，且， 因为，所以， 由（1）知为，则，所以， 从而， 故点的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为. 2.（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)7 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）由，代入坐标并化简可得结果； （2）由易得，再结合点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离，从而计算出结果； （3）由，分别讨论和时四边形的面积，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）由，化简整理得． 所以曲线的方程为． （2）因为，所以． 所以圆心到直线的距离，所以． （3）当时，，，； 当时，圆心到直线的距离，所以． 又，同理得． 所以． 整理得，当且仅当时取等号． 当时，． 综上，当时，四边形面积有最大值7． 1．（25-26高三上·江西·阶段练习）圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系. 【详解】圆圆心到直线的距离， 所以圆与直线的位置关系是相交. 故选：A 2．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】法一：由圆心在直线上得，可得，结合二次函数性质求范围；法二：由圆心在直线上得，应用基本不等式得，即可得范围. 【详解】法一：由题设，故圆心， 因为圆心在直线上，所以，即， 因为， 所以当时，有最大值，即的取值范围为； 法二：因为圆心在直线上，所以，即， 又因为，当且仅当，即时取等号. 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的弦长与中点弦 【分析】对圆的方程进行变形，列出方程组，解方程组即可得到动圆恒过的两个定点，最后使用两点间距离公式解出定弦长. 【详解】由可得， 令，解得或， 故动圆恒过两个定点， 故定弦长为. 故选：A. 4．（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、直线过定点问题、圆内接三角形的面积 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 5．（2023·吉林白山·一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、已知切线求参数 【分析】 ，的最小值为圆心到直线的距离，可求的最小值. 【详解】 圆化为标准方程为， 则圆C的圆心为，半径，则， 直线PQ与圆C相切，有， 因为点Q在直线l上，所以，则． 即的最小值是. 故选：A 6．在平面直角坐标系中，已知圆被轴截得的弦长为2，且与直线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由已知求出圆心.根据圆与轴的关系可得，进而由直线与圆相切可得，解方程即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆心，半径为. 圆心到轴的距离为，则由已知可得， 所以，. 又圆与直线相切，则圆心到直线的距离，整理可得，又，所以. 故选：D. 7．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】切线长、切点弦及其方程 【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种： （1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解； （2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解. 8．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离， 所以的最小值为． 故选：C． 9．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】结合图象，将四边形的面积用表示出来，从而将求面积最小值转化成求的最小值，易得此最小值即点到直线的距离. 【详解】 如图，由可得，则其圆心为，半径. 因为直线与圆相切，所以，且， 则四边形面积， 又，则. 故当取最小值时，四边形面积取最小值， 由图象可得，取得的最小值即为点到直线的距离， 即， 故四边形面积的最小值为. 故选：B. 10．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）（多选题）曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为6 C．曲线E上存在无数个点到直线的距离为1 D．若圆在曲线E的内部含边界，则 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】A选项，分情况得到曲线图象，即可判断对称性；B选项，根据图象计算面积；C选，结合图象求到直线距离为1的点；D选项，根据圆的方程得到圆心在线段BE上，然后再结合对称性列不等式，解不等式即可. 【详解】由， 得①，时，得， ②，时，得， ③时，得， ④时，得， ⑤时，得， ⑥时，得， 作出曲线图象如图所示，其中，，，，，， 对于A，由图可知，点在曲线E上，但点不在曲线E上，所以曲线E不关于直线对称，故A错误； 对于B，图形为一个边长为2的正方形BCEF和两个底和高分别为2和1的三角形及构成，其面积为，故B正确； 对于C，如图，直线BE就是直线，而直线CD与直线AF均与之平行，两线段AF和CD上的点到直线距离最大， 且直线CD，直线AF与直线BE距离均为，数形结合可得曲线上只四个点到直线距离为1，故C错误； 对于D，易得曲线关于原点对称，圆的圆心在线段BE上， 据对称性可得， （1）当时，须满足，解得， （2）当时，须满足，解得， 由（1）（2）得，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于通过取绝对值得到曲线的解析式，画出图象，然后结合图象解决问题. 11．（多选题）已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则b的可能值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题可得圆心到直线的距离为1，然后根据点到直线的距离公式即得. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为2， 要使圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则圆心到直线的距离为1， 所以， 所以. 故选：BD. 12．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】先求得三角形的“欧拉线”，根据“欧拉线”与圆相切求得，根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、斜率的范围、圆与圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，的欧拉线即的垂直平分线，，， 的中点坐标为，则的垂直平分线方程为， 即“欧拉线”为. 由“欧拉线”与圆相切， 到直线的距离， 则圆的方程为：， 圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误； 圆心到直线的距离为， 圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确； 的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得的最小值是，故C错误； 的圆心坐标，半径为， 圆的的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，解得，故D正确. 故选：BD 13．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）在平面内，圆M的半径为1，过圆M外的动点P引圆M的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当取最小值时，与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值、切线长 【分析】设，，利用三角函数关系表示出，再根据均值不等式求出其最小值，进而求出夹角的余弦值. 【详解】设，. 因为是圆的切线，所以，. 在中，. 根据向量数量积公式可得： 由勾股定理可得，同理. 根据二倍角公式可得. 所以. 根据均值不等式有，当且仅当，即时等号成立. 所以，即的最小值为. 当取最小值时，，此时. 根据二倍角公式可得. 所以与夹角的余弦值为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆C的圆心，且与直线相切于点，则圆C方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数、由圆心（或半径）求圆的方程、已知切线求参数 【分析】根据圆心与切点连线垂直于切线求出，由求得半径，根据圆的标准方程求得答案． 【详解】∵圆C的圆心，且与直线相切于点， ∴直线与直线垂直， ∴，即，解得， ∴圆心，圆的半径， ∴圆C方程为. 故答案为：. 15．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 16．（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案. 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． 17．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）最新发布的Figure 02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆O：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】首先求出直线的方程并计算圆心到直线的距离，再由平面几何知识得出结论. 【详解】由直线的截距式可知，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相离， 所以圆上的一点到直线距离的最小值为， 则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是， 故答案为： 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线． (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程． (2)若点在直线上运动，，求的最小值． (3)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)20． (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线CN即为． （2）由题意设点的坐标为，根据两点间距离公式写出的表达式，进而利用二次函数性质可得最小值． （3）假设存在点满足条件，设出点的坐标，由，利用两点间距离公式建立恒等式并化简，由点在圆上，利用恒等式建立有关点坐标的方程组，求解即可检验假设是否成立． 【详解】（1）因为恰好平分圆的圆周，所以经过圆心， 设点关于直线的对称点为， 则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上， 即解得所以． 直线CN即为直线，且， 所以直线的方程为，即． （2）由点在直线上，可设， 则， 所以当时，取得最小值20． （3）假设存在定点，对任意的都有， 即， 化简得． 又满足，即， 即， 所以解得 所以在平面上存在点，使得. 19．（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在直线，使得向量与共线，直线的方程为 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】（1）法一：设弦的中点为，分直线的斜率不存在与直线的斜率存在两种情况讨论可求得直线的方程；法二：设直线的方程为，利用点到线的距离可得，求解即可； （2）法一：由题意得，结合，可求面积的最小值；法二：前面与法一相同，利用，结合二次函数的知识可求得的最小值，进而可得结论； （3）设直线的方程为，、，与圆的方程联立方程组，结合根与系数的关系，可得，进而得，结合已知得，判断方程有无解即可. 【详解】（1）（解法一）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意．            ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； （解法二）易知直线的斜率不为零，设直线方程为， ，，则由，解得或， 故直线的方程为或； （2）（解法一）由于、为圆的两条切线， 所以， 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点的坐标为，则， ， 所以当时，， 故四边形面积的最小值为； （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 直线与圆的位置关系 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、直线与圆的位置关系 2 知识点2、直线与圆的位置关系的判断 2 知识点3、圆的弦长 3 知识点4、关于圆的切线几个重要的结论 3 三、探究重点难点 5 重难点题型1 直线与圆的位置关系 4 重难点题型2 弦长与面积问题 6 重难点题型3 切线问题、切线长问题 7 重难点题型4 切点弦问题 10 重难点题型5 圆上的点到直线距离的个数问题 13 重难点题型6 直线与圆的位置关系中的最值（范围）问题 16 重难点题型7 综合问题 19 四、突破热点题型 25 知识点一．直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 知识点二．直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2     1     0     几何法  d<r     d=r     d>r     代数法 Δ>0      Δ=0      Δ<0     知识点三、圆的弦长 1、交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解. 2、弦长公式（代数法）:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=. 3、弦长公式（几何法）:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l= 知识点四、关于圆的切线的几个重要结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为． 2、过圆上一点的圆的切线方程为 3、过圆上一点的圆的切线方程为 4、求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 考点1 直线与圆的位置关系 例1.（25-26高三上·广西柳州·开学考试）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 例2.（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 1.（25-26高三上·广东·阶段练习）已知直线与圆有唯一交点，则 . 2.（25-26高二上·全国·课后作业）若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为 ． 考点2 弦长与面积问题 例3.（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知直线与圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 例4.已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是 . 1.（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（    ） A．1 B． C． D． 考点3 切线问题、切线长问题 例5.（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 例6.（24-25高一下·河南·阶段练习）魏晋时期的数学家刘徽撰写的《海岛算经》是中国最早的一部关于测量的数学著作，其中给出了测量建筑物高度的方法.如图，是某球形建筑物与水平地面的接触点（即切点），若在地面上与点共线的点处测得球形建筑物上点的最大仰角分别为和，且，则该球形建筑物的表面积为（    ）参考数据：，. A． B． C． D． 1.（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 2.（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 考点4 切点弦问题 例7.过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 例8.（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 1.已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ） A． B． C． D．4 2.（24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 考点5 圆上的点到直线距离个数问题 例9.（21-22高二上·湖北宜昌·期中）（多选题）若圆上有3个不同的点到直线的距离等于1，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 例10.（2025·广东深圳·模拟预测）（多选题）在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（     ） A．圆上有两个点到直线的距离为 B．圆上有三个点到直线的距离为 C．圆上有三个点到直线的距离为 D．圆上有四个点到直线的距离为 1.（25-26高三上·四川成都·开学考试）（多选题）已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线l被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 2.（多选题）已知圆上有且仅有两个点到直线3415=0的距离为1，则实数a的可能取值（    ） A．15 B．6 C．0 D．1 考点6 直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 例11.（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 例12.（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高二上·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·云南西双版纳·期中）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为 考点7 综合问题 例13.（24-25高二上·山东烟台·开学考试）已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 例14.（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 1.（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且． (1)求证：为定值； (2)当点在半圆上运动时，试说明点的轨迹形状． 2.（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 1．（25-26高三上·江西·阶段练习）圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 2．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 5．（2023·吉林白山·一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知圆被轴截得的弦长为2，且与直线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D． 7．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）（多选题）曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为6 C．曲线E上存在无数个点到直线的距离为1 D．若圆在曲线E的内部含边界，则 11．（多选题）已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则b的可能值为（    ） A． B． C．1 D． 12．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 13．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）在平面内，圆M的半径为1，过圆M外的动点P引圆M的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当取最小值时，与的夹角的余弦值为 . 14．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆C的圆心，且与直线相切于点，则圆C方程为 . 15．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 16．（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 17．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）最新发布的Figure 02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆O：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是 . 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线． (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程． (2)若点在直线上运动，，求的最小值． (3)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高一下·上海·期末）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $