专题08 圆的方程讲义（八大考点精讲）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题08 圆的方程 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、基本概念 2 知识点2、圆的方程 2 知识点3、点与圆的位置关系的判断 3 知识点4、轨迹方程 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 圆的标准方程 4 重难点题型2 圆的一般方程 6 重难点题型3 与圆有关的轨迹问题 9 重难点题型4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 12 重难点题型5 点与圆的位置关系的判断 15 重难点题型6 圆的最值问题（几何关系） 17 重难点题型7 与圆有关的对称问题 20 重难点题型8 综合问题 22 四、突破热点题型 27 知识点一：基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 知识点二：圆的方程 1、圆的标准方程，其中为圆心，为半径. 知识点诠释： (1)、如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： (2)、圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)、标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 2、圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)、当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)、当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)、当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 知识点三：点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 知识点四：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 考点1 圆的标准方程 例1.（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程. 【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D 例2.（2025高二上·上海·专题练习）已知圆方程，则该圆心坐标是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程化为标准方程即可看出. 【详解】依题意，圆转化为标准方程得，所以圆心坐标为. 故答案为：. 1.（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 【答案】(1) (2)或 (3) 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解； （2）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解； （3）首先设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解. 【小题1】所求圆的半径. 又因为圆心为， 所以所求圆的方程为. 【小题2】设圆心坐标为，则圆的方程为. 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此，所求圆的方程为或. 【小题3】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 2.（2025高二上·全国·专题练习）写出下列圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心是直线与的交点，半径长为． 【答案】(1); (2). 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】本题考查的是圆的标准方程的求解，需要确定圆心坐标和半径长. 【详解】（1）设圆的半径为r（）， 则， 故圆的标准方程是． （2）圆心是两直线的交点， 解方程组，得， 所以圆心为，又半径长为， 所以圆的标准方程为． 考点2 圆的一般方程 例3.（2025高三·全国·专题练习）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】使用圆的一般方程的圆心公式. 【详解】使用圆的一般方程的圆心公式，其中 ， 圆心坐标为． 故选：B. 例4.（2025高二·全国·专题练习）过点，且半径最小的圆的方程为 ． 【答案】（或） 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】解法一：先判断半径最小的情况，然后根据直径式方程写出圆的方程； 解法二：先确定圆心坐标和半径长，然后根据圆的方程直接写出即可. 【详解】解法一：根据题意，以点，为直径的两个端点的圆的半径最小， 则由直径式方程可得，即． 解法二：以点，为直径的两个端点的圆的半径最小，则线段的中点即圆心， 即直径，所以半径为， 所以圆的方程为． 故答案为：（或） 1.（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线两点式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、求圆的一般方程 【分析】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【详解】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 2.（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求直线的方程； (2)求外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）由题可得点关于直线对称，可得，可得直线方程； （2）由（1）设外接圆方程一般式为：，代入A，B，C三点坐标可得答案. 【详解】（1）∵线段的垂直平分线为， ∴可知点关于直线对称. ∵，∴，轴，直线. （2）由（1），，，. 设外接圆方程一般式为：， 则，则. 即圆的标准方程为：. 考点3 与圆有关的轨迹问题 例5.（25-26高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】设，，根据得到，将其代入圆C方程，即得点的轨迹方程. 【详解】设，， 因，则， 由，可得， 即，故（*）， 因D是圆C上的动点，故， 将（*）代入上式，可得， 整理得，即为点M的轨迹方程. 故选：B 例6.（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 1.（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 2.（2025高三·全国·专题练习）已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程，并求的值． 【答案】顶点的轨迹方程，． 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦 【分析】根据可得以及中可求点M的轨迹，再根据为中点即可求解. 【详解】如图，设的中点为，坐标为， 在中，． 又因为是弦的中点，依垂径定理， 在中，， 又， 所以，即， 因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动， 设，因为是的中点，所以， 所以， 整理得即为所求的顶点的轨迹方程； 所以. 考点4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 例7.（2025·浙江嘉兴·三模）“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、圆的一般方程与标准方程之间的互化、点与圆的位置关系求参数 【分析】若圆不经过第三象限，等价于原点不在圆内，即可的取值范围，结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】圆整理可得， 可知圆心为，半径，且， 若圆不经过第三象限， 等价于原点不在圆内，则，可得， 且是的真子集， 所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件. 故选：B. 例8.（2025·河北邯郸·一模）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、点与圆的位置关系求参数 【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案. 【详解】因点在圆外部， 则，即， 解得：. 注意到是的真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件. 故选：B 1.（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（多选题）方程表示圆的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】先求方程表示圆的充要条件，再根据集合的包含关系可得正确的选项. 【详解】可化为：， 因为该方程表示圆，故即或， 即方程表示圆的充要条件为或. 因为，均为的真子集， 不是的真子集， 故，均为方程表示圆的充分不必要条件， 故选：CD. 2.（24-25高二上·广东汕头·期末）（多选题）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示圆的圆心到轴距离等于半径 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将方程配方，即得，根据a的取值，逐项判断每个选项，即可得答案. 【详解】方程即， 当时，即，表示点，A错误； 当时，，表示圆心为的圆，B正确； 当时，表示的圆的半径为，C正确； 当时，表示圆，半径为2，圆心到轴距离等于半径，D正确， 故选：. 考点5 点与圆的位置关系判断 例9.（2025高二·全国·专题练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】判断点与圆的位置关系：法一为几何视角，比较与半径的大小；法二为代数视角，将点的坐标代入标准方程后比较其与的大小 【详解】法一：由题意，半径为1，则，所以； 法二：由在圆内，则，所以，即. 故选：D 例10.（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、点与圆的位置关系求参数、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以，所以的取值范围为． 故选：BCD 1.（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 2.（2025高三·全国·专题练习）若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 考点6 圆的最值问题（几何关系） 例11.（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、切线长 【分析】可知点在直线上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小值. 【详解】圆的圆心为，半径， 点在直线上， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设其中一个切点为A， 则切线长， 所以切线长的最小值为. 故选：C. 例12.（2025高三·全国·专题练习）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据直线与圆的位置关系可知，点P到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径． 【详解】圆C的方程可化为， 所以，半径， 则C到直线l：的距离为， 所以所求距离的最小值为． 故选：C 1.（2025高二·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】解法1：求出圆心和半径，，其中可看作圆上的点到直线的距离，数形结合得到圆上的点到直线的距离的最小值为，得到答案； 解法2：先得到，所以，令，，得到，由三角函数有界性得到最值. 【详解】解法1：因为，所以， 即圆心为，半径为，因为， 可看作圆上的点到直线的距离，如图， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为 圆心到直线的距离减去半径，即， 因为， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为， 所以的最小值为． 解法2：因为，所以， 即圆心为，半径为， 其中，且到直线的距离为， 故，所以， 令，， 则，其中为辅助角， 当时，最小值为． 故答案为： 2.（24-25高二上·重庆渝中·期末）若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离最大值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据圆心到直线距离求圆上点到直线距离的最大值即可. 【详解】由题意，圆心坐标且半径，圆心到直线的距离， 则直线与圆相交，显然点P到直线距离. 故答案为： 考点7 与圆有关的对称问题 例13.（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的对称性的应用 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 例14.（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】圆的对称性的应用 【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：C． 1.（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称，则 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用 【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可． 【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得， 故答案为：3． 2.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】将军饮马问题求最值、圆的对称性的应用 【分析】利用对称性，两点之间，线段最短得到答案. 【详解】如图，设关于对称的点为，则在圆上，连接，， 则有， 故.    故选：D 考点8 综合问题 例15.（20-21高二上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）设可得圆的方程，求出两点的坐标计算出的面积即可证明； （2）由条件得出原点在线段的垂直平分线上，所以直线与直线垂直，由斜率之积为-1求得，从而得到圆C的方程. 【详解】（1）设圆心为， 圆过原点，，圆方程为， 令，得，令，得， 为定值； （2）垂直平分线段， ，直线的方程是， ，解得或（舍）， 则圆的方程为. 例16.（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 1.（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆心坐标为． (1)求圆的一般方程； (2)若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状． 【答案】(1) (2)，形状为圆 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据圆心求出参数可得圆的方程； （2）设点的坐标，根据条件可得的坐标关系，利用点在圆上即可得出的轨迹方程，判断轨迹形状. 【详解】（1）因为圆的圆心为， 所以，即， 则圆的一般方程为． （2）设的坐标为，， 易得． 由得， 解得， 因为点为圆上的动点， 所以满足， 所以， 化简得点的轨迹方程为． 因为， 所以点的轨迹为圆． 2.（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为． 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）根据对称可得圆的圆心为，半径为2，从而得到圆的方程； （2）方法一：整理可得，由的几何意义，得到，确定点在圆外，所以，，从而求出的最值； 方法二：可设，从而表达出，由三角函数有界性求出最值. 【详解】（1）的圆心为，半径为2， 因为圆与圆关于原点对称， 所以圆的圆心为，半径为2， 所以圆的标准方程为； （2）方法一：由（1）知，圆的圆心，半径，， 因为表示点与之间的距离，即， 所以． 又， 所以点在圆外，所以， 则的最小值为， 最大值为． 方法二：由点为圆上任意一点， 且圆的标准方程为，可设 则． 因为， 所以的最小值为，最大值为． 1．（25-26高二上·天津·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 2．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 4．（23-24高三下·重庆·开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点，点P满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——圆 【分析】设,由得的轨迹方程，再由向量的坐标表示出，由不等式的性质即可求出结果. 【详解】设，， 所以，即， 所以， ，所以的最小值为. 故选：A 5．（22-23高二下·广东深圳·期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为，因为点是线段的中点， 可得，点在圆上， 则，即. 故选：A. 6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 7．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、点与圆的位置关系求参数 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 10．（25-26高三上·河北保定·开学考试）圆上的点到直线的距离可能为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先求出圆心到直线的距离，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心，半径为， 由题可知，圆心到直线的距离， 则圆上的点到直线的距离的取值范围为. 故选：D. 11．（24-25高二下·内蒙古·期末）圆上的点到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心及半径，再利用点到直线距离公式，结合圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为． 设圆心到直线的距离为，则， 所以圆上的点到直线的距离的最小值是． 故选：A 12．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】对于A，将点的坐标代入圆的方程验算即可判断；对于B，求得圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可验算；对于C，由直线与圆的位置关系即可验算；对于D，由题意得圆心到的距离为，故只需求出的斜率即可验算. 【详解】A（√）：因为，所以点在圆上． B（×）：若经过原点，设的方程为，由得，则的方程为． 圆，可得圆心，半径． 圆心到直线的距离， 所以弦长为． C（√）：因为点在圆上，轴，所以直线的方程为． D（×）：因为为直角三角形，且，所以， 则圆心到的距离为． 由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为， 即．由，解得或－1， 故的方程为或． 故选：AC. 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据方程可得圆的半径，结合圆的面积运算求解即可. 【详解】因为圆，即， 则，解得或， 可知圆的半径， 由题意可得：，解得． 故答案为：. 14．（24-25高一下·浙江·期中）已知为坐标原点，圆在直线上运动，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出原点关于直线的对称点的坐标，可得出，进而可得出，再结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为，如下图所示： 设原点关于直线的对称点为， 而直线的斜率为，且线段的中点在直线上， 由题意可得，解得，即点， 由对称性可得， 所以，， 当且仅当三点共线，故取最小值. 故答案为：. 15．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、圆的对称性的应用、基本不等式“1”的妙用求最值、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求出圆的圆心，然后由题意可知直线过圆心，则可得所以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 所以曲线表示的是以为圆心的圆， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，即 所以 （当且仅当时，等号成立） 故答案为：4 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点，圆上两动点满足，四边形是矩形． (1)求点的轨迹方程； (2)求，的取值范围（为原点）． 【答案】(1) (2)，． 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】解法1：利用几何法可求得，可求轨迹方程；解法2：设，由题意得到方程组，求解即可.（2）利用（1）的轨迹方程，可求得，的取值范围． 【详解】（1）解法1：如图1，设半径为，则． 在中，为的中点，且为的中点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 所以， 又，故， 即，可得，故． 故点的轨迹方程为． 解法2：如图2，设， 则， 把和③式代入⑥式即得． 从而点的轨迹方程为． （2）由点的轨迹方程为，可得圆心为，半径为， 所以，又，所以，． 17．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）设，由，整理可得； （2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为. 【详解】（1） 设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2） 由（1）可知：，半径是2，圆心． 因，故在圆外， 故的最小值是，最大值是. 18．（2025高三·全国·专题练习）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）（2）（3）（4）根据目标式的几何意义，结合图形，利用圆的性质求解即可. 【详解】（1）点在以为圆心，为半径的半圆上，记， 表示点到点的距离平方减1，如图1． 因为， ，所以． （2）设直线，为直线在轴上的截距，如图2． 圆心到直线的距离为，解得． 当过点时，有，结合图象可知． （3）令，表示过点和的直线斜率， 将点代入，得． 又由，得． 圆心到直线的距离为1，即，即， 化简并整理得． 解得． 由图3可知，取，故． （4）如图4，令，化简得，即． 表示过点和的直线斜率加2， 由得． 令，即， 由得， 化简并整理得，解得． 由图4可知，故． 20．（2020高三·全国·专题练习）已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. (3)， 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点，列出不等式，求得的取值范围，即可求解； （2）把表示直线的斜率，设直线的方程为，结合直线与圆有公共点，列出不等式，即可求解； 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）由，转化为圆的圆心到原点的距离的平方，结合圆的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心为，半径， 设，将看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为. （2）解：记点，则表示直线的斜率， 设直线的方程为，即， 因为直线与圆有公共点，可得， 解得，所以的最大值为，最小值为. （3）解：设， 则等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 根据圆的性质，可得， . 21．（23-24高二上·重庆·期中）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)圆，圆． (2)是定值． 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）由圆的标准方程可得圆心，根据点关于直线对称，建立方程组可求出圆心，可得答案； （2）根据对称写出点的坐标，利用直线的点斜式方程，分别求得截距，结合圆的方程计算，可得答案. 【详解】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 由得：，，， 圆，圆． （2），，，， 直线的方程为：， 令，则，同理可得：， 由，，， 则， 是定值． 22．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、轨迹问题——圆 【分析】（1）根据直线方程可得直线恒过点，再分截距为和不为两种情况，即可求解； （2）设，，根据条件得到，代入即可求解. 【详解】（1）因为直线恒过定点， 若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为， 则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． （2）设，，则，得到，所以， 又点在上，所以，整理得， 故的轨迹方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆的方程 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、基本概念 2 知识点2、圆的方程 2 知识点3、点与圆的位置关系的判断 3 知识点4、轨迹方程 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 圆的标准方程 4 重难点题型2 圆的一般方程 6 重难点题型3 与圆有关的轨迹问题 9 重难点题型4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 12 重难点题型5 点与圆的位置关系的判断 15 重难点题型6 圆的最值问题（几何关系） 17 重难点题型7 与圆有关的对称问题 20 重难点题型8 综合问题 22 四、突破热点题型 27 知识点一：基本概念 平面内到 的距离等于 的点的集合（轨迹）叫 ． 知识点二：圆的方程 1、圆的标准方程 ，其中 为圆心， 为半径. 知识点诠释： (1)、如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： (2)、圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)、标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 2、圆的一般方程 当 时，方程 叫做圆的一般方程. 为圆心，为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)、当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)、当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)、当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 知识点三：点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ① ； ② ； ③ ． （2）点与圆的位置关系： ① 点P在圆外； ② 点P在圆上； ③ 点P在圆内． 知识点四：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 考点1 圆的标准方程 例1.（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 例2.（2025高二上·上海·专题练习）已知圆方程，则该圆心坐标是 1.（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 2.（2025高二上·全国·专题练习）写出下列圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心是直线与的交点，半径长为． 考点2 圆的一般方程 例3.（2025高三·全国·专题练习）圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 例4.（2025高二·全国·专题练习）过点，且半径最小的圆的方程为 ． 1.（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 2.（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求直线的方程； (2)求外接圆的标准方程. 考点3 与圆有关的轨迹问题 例5.（25-26高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例6.（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 1.（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程，并求的值． 考点4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 例7.（2025·浙江嘉兴·三模）“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例8.（2025·河北邯郸·一模）“”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1.（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（多选题）方程表示圆的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 2.（24-25高二上·广东汕头·期末）（多选题）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示圆的圆心到轴距离等于半径 考点5 点与圆的位置关系判断 例9.（2025高二·全国·专题练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例10.（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 1.（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 2.（2025高三·全国·专题练习）若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 考点6 圆的最值问题（几何关系） 例11.（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 例12.（2025高三·全国·专题练习）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 1.（2025高二·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最小值是 ． 2.（24-25高二上·重庆渝中·期末）若点P是圆上的动点，则点P到直线的距离最大值为 ． 考点7 与圆有关的对称问题 例13.（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例14.（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线是圆的一条对称轴，则（    ）． A． B．0 C． D．1 1.（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称，则 ． 2.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 考点8 综合问题 例15.（20-21高二上·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，已知是函数的图像上的动点，以为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于两点. (1)求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于两点。若，求圆的方程. 例16.（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 1.（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆心坐标为． (1)求圆的一般方程； (2)若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状． 2.（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 1．（25-26高二上·天津·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·重庆·开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点，点P满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·广东深圳·期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 10．（25-26高三上·河北保定·开学考试）圆上的点到直线的距离可能为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 11．（24-25高二下·内蒙古·期末）圆上的点到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的面积为，则 ． 14．（24-25高一下·浙江·期中）已知为坐标原点，圆在直线上运动，则的最小值为 . 15．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 16．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点，圆上两动点满足，四边形是矩形． (1)求点的轨迹方程； (2)求，的取值范围（为原点）． 17．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 18．（2025高三·全国·专题练习）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（2020高三·全国·专题练习）已知为圆上任意一点． (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 21．（23-24高二上·重庆·期中）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 22．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)设为上的一个动点，求中点的轨迹方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $