专题07 两条直线的位置关系讲义（六大考点精讲）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题07 两条直线的位置关系 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、两条直线平与垂直的判定 2 知识点2、三种距离 3 知识点3、对称问题 3 知识点4、直线系方程 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 两条直线位置关系的判定 5 重难点题型2 两直线的交点 6 重难点题型3 三种距离问题 8 考向1、点到点的距离 考向2、点到直线的距离 考向3、平行线间的距离 重难点题型4 有关距离的最值问题 14 重难点题型5 对称问题 18 重难点题型6 直线的综合问题 22 四、突破热点题型 28 知识点一：两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 知识点二：三种距离 1、两点间的距离 （1）、平面上两点的距离公式为． （2）、特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 3、两条平行线间的距离 设，则与之间的距离 知识点三：对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 知识点四：直线系方程 1、过定点直线系 过已知点的直线系方程（为参数）． 2、斜率为定值直线系 斜率为的直线系方程（是参数）． 3、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 4、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 5、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 重难点题型1 两条直线的位置关系的判定 例1.（25-26高二上·重庆·开学考试）若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 例2.（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 1.（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 2．（24-25高二上·北京密云·期末）已知直线和直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据一般式方程中两直线垂直的条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线和直线垂直， 所以，解得. 故答案为： 重难点题型2 两直线的交点 例3.（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 例4.（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】解方程组求得交点坐标，再结合已知建立不等式并求解. 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 1.（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】通过解方程组求出交点坐标，再结合互相垂直两直线斜率的关系、直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】由，所以两直线的交点的坐标为， 因为直线的斜率为，所以与之垂直的直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线方程是， 故选：C 2.（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正切公式、斜率与倾斜角的变化关系、求直线交点坐标 【分析】利用二倍角公式求出的斜率，可得其方程，然后联立的直线方程求解可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 则直线的斜率， 又直线过原点，所以的方程为， 联立，解得，即直线与的交点坐标为. 故答案为： 重难点题型3 三种距离问题 考向1、点到点的距离 例5.（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 例6.（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 1．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求平面两点间的距离、已知两点求斜率 【分析】根据斜率列方程，求得，进而求得. 【详解】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B 2．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离 【分析】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B 考向2、点到直线的距离 例7.（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为. 故选：D. 例8.（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数、求到两点距离相等的直线方程、已知两点求斜率 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 1.（23-24高二上·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】由点到直线的距离公式求出的值，再结合的范围，求出的大小，即可求出直线的斜率． 【详解】由题意结合点到直线的距离公式可得： 又，故，所以， ，解得，又，故，所以，则这条直线的斜率 故答案为： 2.（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 考向3、平行线间的距离 例9.（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求平行线间的距离 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 例10.（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 1.（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【答案】或13 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 2.（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 重难点题型4 有关距离的最值问题 例11.（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 【答案】 . 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】由图，求出B关于l的对称点为的坐标，当A，，Q三点共线时，可求的最大值及相应Q坐标. 【详解】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 例12.（24-25高一上·四川·期中）已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（    ） A．13 B．12 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】写出直线的方程为，与，分别联立求得与的坐标，再由，的纵坐标均为正数，得，进而得为定值，最后利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为直线过点，且斜率为， 所以直线的方程为， 又直线与，分别交于点M，N，所以， 因此由，得，即， 由，得，即． 又M，N的纵坐标均为正数，所以，即， 而，因此，因此，， 所以． 又因为，所以当时，为定值， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 1.（25-26高二上·全国·单元测试）已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】依题意，设点在点的左边，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为．    故答案为：. 2.（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——直线 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 重难点题型5 对称问题 例13.（21-22高二上·四川绵阳·阶段练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 例14.（21-22高二上·江苏淮安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【详解】由关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：D 例15.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、直线关于直线对称问题 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 1.（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 2.（20-21高一上·江西上饶·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值 【解析】作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解. 【详解】如下图所示，设点关于直线的对称点为， 由题意可得，解得，即点， 在直线上取点，由对称性可得， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马“的最短总路程为. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解. 3.（2025高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在直线上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．若，则的最小值为1 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】对于A，设，分，和且三类情况，利用斜率判断与是否垂直即可；对于B，设，通过将坐标代入等式，利用方程有实根即可判断；对于C，通过作点关于直线的对称点，利用三点共线时线段和最短即可判断；对于D，通过消元后化成二次函数，利用其性质求得最小值即可判断. 【详解】对于A：依题意，设， 当时，，此时轴，但，此时与不垂直； 同理当时，，此时与不垂直； 而当且时，由，可得 该方程无实数解，此时与不垂直. 综上可知，不存在点，使得，故A错误； 对于B：设，由，， 可得，化简得， 因，则方程有解，故存在点，使得，故B正确； 对于C：如图设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 当且仅当三点共线时取等号（在两点之间），故C正确： 对于D，因，则， 当时等号成立，故的最小值为2，故D错误. 故选：BC. 重难点题型6 直线的综合问题 例16.（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、已知点到直线距离求参数、求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 例17.（25-26高二上·全国·单元测试）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】（1）设点，根据的中点在直线上，求出点的坐标，再求得关于直线对称的点，进而可求直线的方程； （2）根据题意确定点到直线的距离相等，从而得直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离，列式求解即可． 【详解】（1）如图，由点在直线上，设，则的中点在直线上，    所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 显然在上，则直线的斜率为， 则直线的方程为，整理得． （2）点到直线的距离为． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则有，解得或4， 所以直线的方程为或． 1.（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】（1）求出在轴和轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果； （2）由求出，再由两平行线的距离求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 2.（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、求直线交点坐标、已知直线垂直求参数 【分析】（1）由两直线互相垂直列方程即可求； （2）根据题意求出，分直线的截距均为0和均不为0两种情况讨论即可； （3）由直线求出，由边上的高方程求出，得到直线的方程，联立直线与求出点，设，求出，代入直线的方程，与直线联立得出，即可求直线的方程. 【详解】（1）因为，所以， 解得或. （2）因为点在直线上， 所以，解得， 因为直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线方程为， 所以，此时直线的方程为； 当两截距均不为0时，设直线的方程为， 将点代入得，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，所以直线的方程为：或. （3）由可得， 由得，所以， 因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线， 所以直线的方程为：即， 又因为所在直线的方程为， 由解得，所以， 设，则中点， 代入得，整理得， 由，解得，所以， 所以直线的方程为：即. 1．（2024·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线、直线关于直线对称问题 【分析】根据题设分析知，方程所得图形关于原点、轴对称且点在图形上，即可得. 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 3．（24-25高二上·河南·期中）已知两平行直线与之间的距离为，则（    ） A． B．23 C．13或23 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式计算即得. 【详解】由直线与平行，得，则， 直线，于是，解得或， 所以或. 故选：C 4．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 5．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 6．（24-25高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由直线的交点坐标求参数、求直线交点坐标、已知直线平行求参数 【分析】分析可知直线与直线或直线平行，或直线过点，进而列式求解即可. 【详解】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 7．（25-26高二上·全国·期中）（多选题）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标、已知直线垂直求参数、已知直线平行求参数 【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D. 【详解】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则， 解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误. 故选：ABC. 8．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】先判断 A，B在直线的同侧，作B关于直线的对称点，当A，P，三点共线时，最小. 【详解】解：由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为， 则解得 即， 所以 故答案为： 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、已知直线垂直求参数、求点关于直线的对称点 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解； (2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解. (3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 解得， 故的值为； （2）因为， 所以， 所以， 解得， 所以直线恒过定点； （3）因为， 所以直线， 设点关于直线的对称点的坐标为， 所以的中点坐标为， 所以， 解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 10．（11-12高二上·浙江温州·期中）已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)； (2)存在点. 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、求平行线间的距离 【分析】（1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解； （2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可. 【详解】（1）， 与间的距离为， 即 ， ， ； （2）假设存在，设点， 由条件知，点在与平行的直线上， 且， 或， 或， 由条件知，， ，即或， 因为点在第一象限，，舍， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 两条直线的位置关系 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、两条直线平与垂直的判定 2 知识点2、三种距离 3 知识点3、对称问题 3 知识点4、直线系方程 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 两条直线位置关系的判定 5 重难点题型2 两直线的交点 6 重难点题型3 三种距离问题 8 考向1、点到点的距离 考向2、点到直线的距离 考向3、平行线间的距离 重难点题型4 有关距离的最值问题 14 重难点题型5 对称问题 18 重难点题型6 直线的综合问题 22 四、突破热点题型 28 知识点一：两条直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 知识点二：三种距离 1、两点间的距离 （1）、平面上两点的距离公式为 ． （2）、特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 ． 2、点到直线的距离 点到直线的距离 ． 3、两条平行线间的距离 设，则与之间的距离 ． 知识点三：对称问题 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3、直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 知识点四：直线系方程 1、过定点直线系 过已知点的直线系方程 （为参数）． 2、斜率为定值直线系 斜率为的直线系方程（是参数）． 3、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程 （为参数）． 4、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程 （为参数）． 5、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程： （为参数）． 重难点题型1 两条直线的位置关系的判定 例1.（25-26高二上·重庆·开学考试）若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 例2.（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 1.（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京密云·期末）已知直线和直线垂直，则实数的值为 ． 重难点题型2 两直线的交点 例3.（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 例4.（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 ． 1.（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 重难点题型3 三种距离问题 考向1、点到点的距离 例5.（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 例6.（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 1．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 考向2、点到直线的距离 例7.（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 例8.（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 1.（23-24高二上·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 . 2.（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 考向3、平行线间的距离 例9.（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 例10.（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 1.（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 2.（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 重难点题型4 有关距离的最值问题 例11.（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 例12.（24-25高一上·四川·期中）已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（    ） A．13 B．12 C． D． 1.（25-26高二上·全国·单元测试）已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为 ． 2.（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 对称问题 例13.（21-22高二上·四川绵阳·阶段练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 例14.（21-22高二上·江苏淮安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 例15.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1.（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 2.（20-21高一上·江西上饶·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 3.（2025高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在直线上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．若，则的最小值为1 重难点题型6 直线的综合问题 例16.（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 例17.（25-26高二上·全国·单元测试）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 1.（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 2.（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 1．（2024·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南·期中）已知两平行直线与之间的距离为，则（    ） A． B．23 C．13或23 D．或 4．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（25-26高二上·全国·期中）（多选题）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 8．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 10．（11-12高二上·浙江温州·期中）已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 1 学科网（北京）股份有限公司 $