专题07 整式的乘除法（数学竞赛真题汇编）七年级全国通用

专题07 整式的乘除法 1．（2024八年级·山东·竞赛）在，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023七年级下·广东揭阳·竞赛）已知，那么从小到大的顺序是（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级·广东深圳·竞赛）已知关于x的多项式除以余1 ，除以余4，则除以的余式为（   ） A．4 B．3 C． D． E． 4．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（  ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）已知的解集为，写出a、b、c满足的条件 ． 6．（2024七年级下·河南郑州·竞赛）已知的乘积中不含项与项，则 ． 7．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）若是的因数，则n最大可以取 ． 8．（2023七年级·山东·竞赛）二项式的展开式为，求奇次项系数之和． 9．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 10．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）一般地，个相同的因数相乘记为，如，此时叫做以为底的对数，记为：（（即 ，一般地，若 (且，），则叫做以为底的对数，记为（即）如则叫做以为底的对数，记为：（即） (1)计算下列各对数的值： ； ； ； (2)观察（1）中三数、、之间满足怎样的关系式？，和之间又满足怎样的关系式？ (3)由（2），你能猜想关于对数计算的一个一般性的结论吗？ (4)根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论． 1．（2023八年级·全国·竞赛），则的值为（   ） A．71 B．7.1 C．7.2 D．72 2．（2023九年级·全国·竞赛）若，则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 3．（2024七年级·全国·竞赛）若为不等式的解，则的最小正整数的值是 ． 4．（2023七年级·全国·竞赛）若，则 ． 5．（2024八年级·全国·竞赛）方程的解为 ． 6．（2024七年级·全国·竞赛）式子的值的个位数是 ． 7．（2023七年级·全国·竞赛）计算： 8．（2023七年级上·全国·竞赛）计算或解方程 (1) (2) (3) 9．（2023八年级·全国·竞赛）若，，请比较与的大小． 10．（2024八年级·全国·竞赛）已知、、为有理数，且多项式能够被整除． (1)求的值； (2)若、、均为整数，且，试比较、、的大小． 11．（2024八年级·全国·竞赛）（1）填空：__________． __________． __________． …… （2）猜想：_________（n为很大的正整数）． （3）证明（2）中的猜想． （4）利用你发现的规律计算：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 整式的乘除法 1．（2024八年级·山东·竞赛）在，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键；把原数的指数变相同，再比较大小即可． 【详解】，，，，， ， ， 最大的数是， 故选：． 2．（2023七年级下·广东揭阳·竞赛）已知，那么从小到大的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方的运算是关键． 根据幂的乘方的逆运算得到，，，，再根据指数相同，底数越大，值越大即可求解． 【详解】解：，，，， ∴， ∴， 故选：D ． 3．（2024八年级·广东深圳·竞赛）已知关于x的多项式除以余1 ，除以余4，则除以的余式为（   ） A．4 B．3 C． D． E． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式， 先确定的表达式，再结合余式的表达式，根据多项式除法的余式性质求解. 【详解】解：设， 则. 设，由题意可知为一次多项式，设余式为，则， 则有，， 即， 解得， 所以余式是. 故选：D. 4．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法． 根据题意得到，，进而得到，根据定义可知 【详解】解：∵若（其中：，，以下同），则．设，， ∴，， ∴， ∵若（其中：，，以下同），则， ∴ 故选：B． 5．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）已知的解集为，写出a、b、c满足的条件 ． 【答案】且 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转为解关于x的一元二次方程，把理解为二次函数的函数值大于0，利用交点式表示抛物线解析式为且，即可求解. 【详解】解：∵的解集为， ∴二次函数 的开口向下，抛物线与x轴的交点坐标为， ∴且，即， ∴， 故答案为：且． 6．（2024七年级下·河南郑州·竞赛）已知的乘积中不含项与项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，多项式乘多项式法则，把式子展开，找到项与和项的所有系数，令其为，求出和的值，然后代入要求的式子进行计算即可，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为． 【详解】解：∵ ， 又∵结果中不含项与项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）若是的因数，则n最大可以取 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了积的乘方，一元一次不等式组的应用．根据积的乘方可得，再根据是的因数，分别求出有因数2，3，5的个数，可得到关于n的不等式组，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴有因数2的个数为：， ∵， ∴有因数3的个数为：， ∵， ∴有因数5的个数为：， ∴， ∴， ∴n最大可以取16． 故答案为：16． 8．（2023七年级·山东·竞赛）二项式的展开式为，求奇次项系数之和． 【答案】64 【分析】本题考查了多项式乘法规律的问题，有理数的乘方计算，将，代入，再将两式相减即可求出结果 【详解】解：当，可得①， 当，可得②， 则可求得奇次项系数之和为， ． 9．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积． (1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示） (2)若，求长方形的周长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据题意和图形列出代数式即可； （）由可得，即得，进而即可求解； 本题考查了列代数式，多项式乘以多项式的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∴长方形的周长． 10．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）一般地，个相同的因数相乘记为，如，此时叫做以为底的对数，记为：（（即 ，一般地，若 (且，），则叫做以为底的对数，记为（即）如则叫做以为底的对数，记为：（即） (1)计算下列各对数的值： ； ； ； (2)观察（1）中三数、、之间满足怎样的关系式？，和之间又满足怎样的关系式？ (3)由（2），你能猜想关于对数计算的一个一般性的结论吗？ (4)根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论． 【答案】(1)，， (2)， (3) (4)见解析 【分析】（1）主要掌握幂的运算是关键，利用、和，即可得出结论； （2）结合题意结合幂的乘法法则，利用题中对数的定义得到、和，代入等式，即可得出结论； （3）将（2）中等式替换为字母表示，设为，为和为，即可整理得到一般规律为． （4）设，，利用幂乘积的运算 “底数不变指数相加” 得到，在利用对数转化，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， ， ，，． 故答案为，，． （2）由（1）可知， ，，， ， ，，，， ． （3）一般规律： ． （4）设，， 可得：，， 由幂乘积运算可知：， ，即． 1．（2023八年级·全国·竞赛），则的值为（   ） A．71 B．7.1 C．7.2 D．72 【答案】C 【分析】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握同底数幂乘除法及幂的乘方知识是解决本题的关键． 利用同底数幂乘除法及幂的乘方知识，对原式变形，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（2023九年级·全国·竞赛）若，则与的大小关系是（） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，利用求差法与配方法比较代数式的大小． 设，则，将x，y用含t的式子表示，再通过计算，利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小，即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∴， ∴，即． 故选B． 3．（2024七年级·全国·竞赛）若为不等式的解，则的最小正整数的值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，先把，且，结合取正整数，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴， ∵，， 又∵， ∴的最小正整数的值是15． 故答案为：15． 4．（2023七年级·全国·竞赛）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、同底数幂相乘等知识点，将等式左边化成以10为底数的幂成为解题的关键． 运用完全平方公式、乘法运算律、同底数幂相乘将，将等式左边化成以10为底数的幂，然后再观察即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（2024八年级·全国·竞赛）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握多项式乘以多项式的运算方法是解题的关键，利用多项式乘以多项式把原方程化简、移项、合并同类项即可得到方程的解． 【详解】解：原方程可化为， 移项，得：， 合并同类项，得：， ∴， 故答案为：． 6．（2024七年级·全国·竞赛）式子的值的个位数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了积的乘方运算，以及数字的规律，解题的关键是正确找到的个位数． 根据题意，分别找出和的个位数即可． 【详解】解：原式＝， ∵……， ∴的个位数是每四个数一个循环，即2、4、8、6、2……， ∵ ∴的末位数是6； ∵ ∵ ∴的个位数为2 故答案为：2． 7．（2023七年级·全国·竞赛）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方和同底数幂的除法等运算法则，解题的关键是利用对原式进行变形，然后提取公因式并约分． 【详解】原式 ． 8．（2023七年级上·全国·竞赛）计算或解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，幂的乘方的逆用，解一元一次方程，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方和括号内运算，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）逆用幂的乘方简便计算即可； （3）先去中括号，再移项合并化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 解得． 9．（2023八年级·全国·竞赛）若，，请比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用求差法与配方法比较代数式的大小是解题关键． 设，则，将x，y用含的式子表示，再通过计算，利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小，即可解答． 【详解】解：设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 10．（2024八年级·全国·竞赛）已知、、为有理数，且多项式能够被整除． (1)求的值； (2)若、、均为整数，且，试比较、、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法，求一元一次不等式组的整数解； （1）设的另一个因式为，根据整式的乘法进行计算，根据系数相等得出，，即可求解； （2）由（1）得，根据，得出，根据a为整数，即可得出，，，即可求解． 【详解】（1）解：设的另一个因式为， 则 ， ，， ． （2）由（1）得， ， ，又a为整数， ， ∴则 ∴，， ． 11．（2024八年级·全国·竞赛）（1）填空：__________． __________． __________． …… （2）猜想：_________（n为很大的正整数）． （3）证明（2）中的猜想． （4）利用你发现的规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，涉及了规律探索，旨在考查学生抽象概括能力． （1）利用多项式乘多项式的运算法则即可求解； （2）根据（1）中的计算结果即可求解； （3）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可验证； （4）原式可整理成，据此即可求解． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：． （2）由（1）可得： 故答案为：． （3）证明如下： （4）原式 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $