专题06 整式加减实际应用的三种考法（高效培优期中专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题06 整式加减实际应用的三种考法 考点01 收费、计费问题 考点02 方案设计问题 考点03 新定义问题 考点01 收费、计费问题 1．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)52元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据和当分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费52元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：元； 当时，小明应付车费：元． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里， 小张付费y元，则小王付费元， 根据题意： 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， 行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 2．如图，这是淇淇家新添置的一套住房的平面图及其尺寸数据（单位：m）． (1)请用含有a、b的式子表示淇淇家这套住房的总面积． (2)经测量得，，购买时房价为万元，在计算房价时需另外加的公摊面积，求淇淇家这套住房的总价格． (3)淇淇的爸爸想把主卧、次卧铺上木地板，其余部分铺瓷砖，已知每平方米木地板的费用为200元，每平方米瓷砖的费用为100元，在（2）的条件下，求淇淇家整个房屋铺完地面所需的费用． 【答案】(1) (2)万元． (3)元． 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式以及求值，有理数混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据图形分别表示出每个位置的面积，再求和即可； （2）将、的值代入（1）所得代数式，再进行计算即可； （3）根据（1）得出的每个位置的面积，求出铺木地板和铺瓷砖的面积，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知，客厅的面积为：， 次卧的面积为：， 厨房的面积为：， 卫生间的面积：， 主卧的面积为：， 淇淇家这套住房的总面积为； （2）解：，， （万元）， 答：淇淇家这套住房的总价格为万元． （3）解：由（1）可知，主卧和次卧的面积为， 其余面积为， ，， 铺木地板的面积为，铺瓷砖的面积为， 淇淇家整个房屋铺完地面所需的费用为元． 3．某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)50 (2)元 (3)元或310元 【分析】本题考查了列代数式及整式加减的应用，读懂图表信息是解题的关键． （1）根据题意选择第一阶梯电价列代数式求解即可； （2）根据题意选择第一阶梯和第二阶梯列代数式求解即可； （3）根据题意，先进行判断的取值范围，根据三种情况列代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（元） 故答案为：50； （2）解：根据题意得， 元， 答：用电量为度（其中），则需缴电费元； （3）解：∵12月份的用电量比11月份多， ∴，根据题意分以下几种情况： ①当时，共需缴费为 元； ②当时，共需缴费为 （元）； ③当时，共需缴费为 （元）； 综上，小华家这两个月共需缴电费元或310元． 4．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营，某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） 【答案】(1)需付车费55元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 【分析】本题主要考查了整式的加减，列代数式，代数式求值，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据或分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； 【详解】（1）解：依题意：（元， 答：需付车费55元； （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元； 当时，小明应付车费：（元； 答：当时，小明付费元；当时，小明付费元． 5．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表注（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过6立方米的部分 2 超过6立方米的部分但不超过10立方米的部分 4 超过10立方米的部分 8 (1)若某户居民2月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份共用水立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民4月份共用水x立方米（），则应收水费多少元？（用含x的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)当时，应收水费元，当时，应收水费元． 【分析】本题主要考查列代数式及代数式求值． （1）根据自来水收费价格按照每月用水量分段进行计算； （2）根据自来水收费价格按照每月用水量分段进行计算； （3）利用用水量的范围确定单价分段计算． 【详解】（1）解：由题意得，水费元， 答：该户居民2月份用水立方米，则应收水费元． （2）解：由题意得，水费（元） 答：该户居民3月份用水立方米，则应收水费元． （3）解：当时，则应收水费（元）， 当时，则应收水费（元）， 答：该户居民4月份共用水x立方米，当时，应收水费元，当时，应收水费元． 6．某地区有长方形水稻试验田，试验田的长为米，宽为米，试验田分两部分，一部分为新型水稻种植田（阴影部分），另一部分为水渠，水渠有两种图形（如图所示），型试验田如图，水渠为半径是米的扇形，型试验田如图，水渠是边长为米的正方形． (1)用含、、的式子表示，型试验田的水稻种植面积是______平方米，型试验田的水稻种植面积是______平方米．（保留） (2)若型水稻试验田有块，型水稻试验田有块，则用含、、的式子表示新型水稻种植田的总面积是多少平方米？（取） (3)在（）的条件下，若，，时，在“农民丰收节”到来之际，水稻成熟，计划由甲型收割机收割总面积的，其余面积由乙型收割机收割，甲型收割机收割每平方米水稻的费用为元，乙型收割机收割每平方米水稻的费用为元，则种植田全部收割完需要多少元钱？（取） 【答案】(1)， (2)平方米 (3)元 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减的实际应用，代数式求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）根据整式的加减运算法则计算即可； （）把，，代入（）的结果求出总面积，进而分别求出甲型和乙型收割机的费用，再相加即可求解； 【详解】（1）解：型面积：平方米， 型面积：平方米， 故答案为：，； （2）解： 平方米， 答：新型试验田的水稻种植面积是平方米； （3）解：当，，时， （平方米）， 甲：（元）， 乙：（元）， 共计：（元）， 答：种植田全部收割完需要元． 7．每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 【答案】(1)3200，3190，3500 (2)，，当时, ；当时, 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以用代数式表示出在三家店铺的购买费用． 【详解】（1）解：在A店铺5条被子作一单购买，需支付：（元）， 在B店铺5条被子作一单购买,需支付： （元）， 在C店铺5条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）， 故答案为：3200，3190，3500； （2）解：在A店铺a条被子作一单购买,需支付：（元）， 在B店铺a条被子作一单购买,需支付： 元， 当时，在C店铺a条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去： （元）， 当时,在C店铺a条被子作一单购买,至一年后全部付清共用去： （元）． 8．现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据或分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费55元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）； 当时，小明应付车费：（元）． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，小张付费y元，则小王付费元， 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 考点02 方案设计问题 9．中山市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是万元，面积如图所示（单位：，卫生间的宽未定，设宽为），售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为万元，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ 【答案】(1)该户型商品房的面积为，方案一中购买一套该户型商品房的总金额为万元，方案二中购买一套该户型商品房的总金额为万元 (2)方案二更优惠，优惠万元 【分析】本题考查了整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出该户型商品房的面积，再根据两种方案分别列式计算即可； （2）把分别代入两种方案表示总金额的整式计算即可． 【详解】（1）解：该户型商品房的面积为（）； 方案一中购买一套该户型商品房的总金额为（万元）； 方案二中购买一套该户型商品房的总金额为（万元）； （2）解：当时， （万元）， （万元）， （万元）， 所以方案二更优惠，优惠万元． 10．某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期几？最低单价比最高单价少多少元？ (2)求出这一周超市出售此种百香果的总利润是多少？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤13元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价12元． ①顾客买斤百香果，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．（请用含a的代数式表示，结果要求化简） ②如果某顾客决定买30斤百香果，通过计算说明应该选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低单价比最高单价少9元 (2)这一周超市出售此种百香果盈利135元 (3)①，；选择方式一购买更省钱 【分析】本题考查了正负数的应用及列代数式，解答本题的关键是看懂图表，理解题意，应用数量关系式进行解答． （1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）计算总进价和总售价，比较即可； （3）计算两种购买方式，比较得结论． 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低的是星期日， （元）， 答：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低单价比最高单价少9元； （2）解：（元）， （元）， （元）， 所以这一周超市出售此种百香果盈利135元； （3）解：①方式一：元； 方式二：（元）； 故答案为：，； ②方式一：（元）， 方式二：（元）， ∵， ∴选择方式一购买更省钱． 11.【综合与实践】 【知识背景】为丰富市民和游客的文化生活，青秀山举办花灯展．花灯的制作方法主要包括以下步骤：①设计；②选材；③骨架制作；④裱糊（将绸缎等材料粘贴在骨架上）；⑤安装灯珠和电路；⑥装饰． 【目标设定】某兴趣小组模仿图1的造型制作花灯．如图2，花灯由4条骨架构成，依次记为，每条骨架包括半圆和两条垂直于地面的相等线段． 【步骤实施】的长为2米，半圆的半径为米，完成以下任务（取3）． 任务一：求中线段的长； 任务二：如图2所示，与的间距为米，相邻两条骨架的间距由内自外依次递增米，每条骨架的长度如下表所示，请直接写出骨架的长度； 任务三：求裱糊面积（即与地面所围成的图形面积）； 任务四：若装饰花灯需要裱糊材料和灯珠盏，在购买材料时有以下两种方案可供选择： 方案1：裱糊材料每平米30元，每盏灯珠10元； 方案2：裱糊材料每平米20元，每盏灯珠15元． 选择哪一种方案更划算？并说明理由． 骨架 骨架的长度（单位：米） 2 ▲ 【答案】任务一：米，任务二：；任务三：裱糊面积为7平方米，任务四：．两种方案费用相同，当时，是负数，表明方案2费用更低；当时，是正数，表明方案1费用更低 【分析】任务一：根据圆的周长公式列式计算即可； 任务二：用半圆的长度加两条线段的长度即可得出答案； 任务三：先分别求出半圆的面积和长方形的面积，然后相加即可； 任务四：先根据两种方案列出代数式，然后再根据a的取值范围比较大小即可． 【详解】解：任务一： （米）． 答：中线段AB的长为米． 任务二：（米）． 任务三：半圆面积为：（平方米）． 长方形面积为：（平方米）． 裱糊面积为（平方米）． 答：裱糊面积为7平方米． 任务四：方案1的费用：元． 方案2的费用：元． 当时， 解得：． 所以两种方案费用相同． 方案2的费用变形为． 当时，是负数，表明方案2费用更低； 当时，是正数，表明方案1费用更低． （方法二） 方案1的费用：元． 方案2的费用：元． 当时， 解得：． 所以两种方案费用相同． 令 ． 当时，为负数，表明方案1更划算； 当时，为正数，表明方案2更划算． 【点睛】本题主要考查了列代数式，有理数混合运算的应用，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式． 12．为了丰富阳光运动会，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现，两商店以同样的价格出售同种品牌的篮球和跳绳，已知篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．经洽谈： A商店优惠方案：买一个篮球送一条跳绳； B商店优惠方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球60个，跳绳条． (1)若到A商店购买，一共需付款________元；若到B商店购买，一共需付款________元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪个商店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)购买150根跳绳时，A商店所需要的钱数为9000元，B商店所需要的钱数为9180元，A商店划算 (3)按A方案买60个篮球，剩下的90条跳绳按B方案购买，付款8820元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）由题意按方案购买可列式：，在按方案购买可列式：； （2）把代入（1）中的结果计算两种方案所需要的钱数即可； （3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据方案是买一个篮球送跳绳，方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按方案买60个篮球，剩下的90条跳绳按方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可． 【详解】（1）① A商店优惠方案：买一个篮球送一条跳绳； 购买篮球60个费用为元， 购买跳绳的费用：因为买一个篮球送一条跳绳，所以买60个篮球会送60条跳绳，而一共要购买跳绳条，那么需要额外购买的跳绳数量为条，又已知跳绳每条定价20元，所以购买跳绳的费用为元， 则到A商店购买一共需付款：购买篮球的费用+购买跳绳的费用， 即元； ②已知商店的优惠方案是：篮球和跳绳都按定价的付款， 购买60个篮球，购买篮球的实际费用为元， 购买跳绳的费用：跳绳每条定价20元，要购买条，那么跳绳的总价为元，按定价的付款，所以购买跳绳的实际费用为元， 则到B商店购买一共需付款：购买篮球的费用+购买跳绳的费用，即元， 故答案为：；． （2）由（1）可知， 当，A商店所需要的钱数为（元）， 当，B商店所需要的钱数为（元）， ∵， ∴A商店划算． 答：购买150根跳绳时，A商店所需要的钱数为9000元，B商店所需要的钱数为9180元A商店划算． （3）到A商店购买60个篮球配送60条跳绳，再到B商店购买条跳绳合计需付款： （元）； ∵， ∴省钱的购买方案是： 按A方案买60个篮球，剩下的90条跳绳按B方案购买，付款8820元． 13．综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 【答案】(1)； (2)小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米 (3)小红所用的打包带的长度更短 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、整式的加减的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）求出当厘米，厘米，厘米时，两种打包方式用的打包带，比较即可得解； （3）求出的值，判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：小红的方案中所用打包带的长度为厘米； 小明的方案中所用打包带的长度为厘米； （2）解：当厘米，厘米，厘米时， 小红的方案中所用打包带的长度为：厘米 小明的方案中所用打包带的长度为：厘米 答：小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米； （3）解：小红所用的打包带的长度更短． ， ∵ ， ∴ ∴ ∴小红用的打包带的长度更短． 14．七星商场冬季新款到货，A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元．由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 (1)小天一次性购买物品的原价为750元，则方案一实际付款为 元；则方案二实际付款为 元； (2)小七去七星商场购物，商品原价为a（）元，试用含a的式子表示出小七选择方案二应付的费用；（结果需化简） (3)已知小天选择方案一购物，小七选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小七所购物品的原总价m元，且高于小天．两人实际付款一共多少元（请用含m的代数式表示并化简）？为使消费者获利更多，店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，如果两人组合购买，实际付款多少元？ 【答案】(1)555；570 (2)当时，应付的费用为元；当时，应付的费用为元 (3)或或元；960元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）直接根据两种活动方案求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，求解即可； （3）根据小七所购物品的原总价高于小天，可得，然后分当时，当时，当时，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：方案一实际付款为元； 方案二实际付款为元； 故答案为：630；570 （2）解：当时，元； 当时，元； 综上所述，当时，应付的费用为元；当时，应付的费用为元； （3）解：∵小七所购物品的原总价m元， ∴小天所购物品的原总价是元， ∵小七所购物品的原总价高于小天， ∴，且， ∴， ∴， ∵小天选择方案一购物，小七选择方案二购物， 当时，， 小天实际付款为元，小七实际付款为元， 此时两人实际付款一共元； 当时，， 小天实际付款为元，小七实际付款为元， 此时两人实际付款一共元； 当时，， 小天实际付款为元，小七实际付款为元， 此时两人实际付款一共元； 综上所述，两人实际付款一共或或元； 两人组合，一次性购买所有物品， 按照方案一实际付款为：元， 按照方案二实际付款为： ∵， ∴两人组合购买，实际付款为960元． 15．某校决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）； (2)若x=100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当x=100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)， (2)A网店 (3)省钱的购买方案是：在A网店购买60个足球配送，60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳，付款9480元 【分析】本题考查的是列代数式、代数式求值，解题的关键是∶ （1）由题意在A店购买可列式：元；在网店B购买可列式：元； （2）将分别代入A网店，B网店的代数式计算，再比较即可求解； （3）由于A店是买一个足球送跳绳，B店是足球和跳绳都按定价的付款，所以可以在A店买60个足球，剩下的40条跳绳在B店购买即可． 【详解】（1）解：A店购买可列式：元； 在网店B购买可列式：元； 故答案为：，． （2）解：当时， 在A网店购买需付款：（元）， 在B网店购买需付款：（元）， ∵， ∴当时，应选择在A网店购买合算． （3）解：由（2）可知，当时，在A网店付款9600元，在B网店付款10260元， 在A网店购买60个足球配送60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳合计需付款： ， ∵， ∴省钱的购买方案是：在A网店购买60个足球配送，60个跳绳，再在B网店购买40个跳绳，付款9480元． 16．甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A电暖气 B电暖气 甲 200元台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 (1)某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． ①请分别求在两家商场购买电暖气所需要的总费用，结果用含x的代数式表示（总费用购买价运费）； ②若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？请说明理由． (2)若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你为该公司设计一种方案． 【答案】(1)①甲商场：；乙商场：；② (2)在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费 【分析】本题考查列代数式及其求值、整式的加减运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）①A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买台，根据总费用购买价运费列出对应代数式即可求解； ②将代入代数式中求解，结合表中数据，进而比较大小可作出结论； （2）根据表格中的数据得出甲商场中的A型电暖气费用低，乙商场中的B型电暖气费用低，从而得出更优惠的方案． 【详解】（1）解：①设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买台，根据题意，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为： 元； 在乙商场购买电暖气所需要的总费用为： 元； ②当时，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为： （元）， 在乙商场购买电暖气所需要的总费用为： （元）， ∵， ∴购买A型电暖气40台，在乙商场购买划算； （2）解：根据表格数据，甲商场中的A型电暖气费用低，乙商场中的B型电暖气费用低，则同时在两家商场自由选择的较低费用为： （元）， ∵， ∴需购买A型电暖气40台，在乙商场购买划算，若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案为：在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费． 17．小红、小明、小丽和小刚四位同学为了参加学习小组活动，需要购买一些笔记本和圆珠笔．已知笔记本的单价是元，圆珠笔的单价是元，由小红和小明两人分别去买．小红买了3本笔记本，2支圆珠笔；小明买了4本笔记本，3支圆珠笔． (1)小红和小明一共花了多少钱？ (2)他们两人谁花的钱多？多多少？ (3)由于四人要平摊费用，后来结算时，发现在买之前，小明给了小红一元钱，小丽给了小明二元钱；买完东西后，小红和小明身上都没钱了，而小丽和小刚都还有足够的钱．现在他们要马上结算，请你给他们设计一个结算方案，即谁给谁多少钱，才能使大家做到平摊费用，相互之间不欠钱．要说明理由，并写出计算化简过程． 【答案】(1)元 (2)小明花钱多，多元 (3)小丽给小明元，小刚给小明元，小刚给小红元；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，列出代数式，熟练掌握整式加减运算法则． （1）根据小红和小明购买的数量，结合笔记本和圆珠笔的单价，列出代数式即可； （2）求出，然后根据，，进行判断即可； （3）先求出每个人应该花元，再求出小红和小明应该收到的钱，小丽和小刚应该拿出的钱，然后列式计算即可． 【详解】（1）解：小红和小明一共花了： 元； 答：小红和小明一共花了元； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小明花钱多，多元． （3）解：方案：小丽给小明元，小刚给小明元，小刚给小红元；理由如下： 每个人应该花元， 小红应该收到： 小明应该收到：元， 小丽应该再出：元， 小刚应该出：元， 那么小丽应该给小明：元， 小刚给小明： 元， 小刚给小红： 元， 故小丽给小明元，小刚给小明元，小刚给小红元． 考点03 新定义问题 18．阅读材料：已知一个两位数，十位数字为，个位数字，那么我们可以用表示这个数字．依据上面的材料，回答下题：一个三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字是． (1)请用含的式子表示这个数； (2)现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数，请用含的式子表示； (3)请用含的式子表示，并回答能被11整除吗？ 【答案】(1) (2) (3)，能被11整除 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用，熟练掌握整式的加减法则是解题关键． （1）将百位数字乘以100、十位数字乘以10，再与个数数字相加即可得； （2）先得出百位数字为，十位数字为，个位数字是，再将百位数字乘以100、十位数字乘以10，然后与个数数字相加即可得； （3）根据（1）和（2）的结果，计算整式的加减法即可得，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：． （2）解：由题意得：． （3）解：由题意得： ， 因为是两个不同的三位数， 所以， 所以， 又因为， 所以能被11整除． 19．阅读材料： 材料1：如果一个三位数为（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），我们可以将其表示为：； 材料2：如果一个三位数，满足且，则称这个三位数为“谷数”．例如：427；515；109均为“谷数”； 材料3：如果一个三位数，满足且，则称这个三位数为“峰数”．例如：285；687，121均为“峰数”； (1)已知：三位数可表示为 ；三位数可表示为 ；= ； (2)已知：三位数比三位数小284，求这两个三位数； (3)求三位数是峰数的一共有多少个，三位数是谷数的一共有多少个（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)142，426 (3)三位数是峰数的有240个，三位数是谷数的有285个 【分析】本题考查了列代数式及整式的加减运算的应用，解题的关键是读懂题意，根据新定义进行解题． （1）根据材料1即可表示出和，再根据整式的加减运算法则可计算出的值； （2）根据材料1即可表示出和，再结合已知得出，由，且x为整数，，且y为整数，经试值可知，，进而即可求出这两个三位数； （3）结合材料2和材料3，表示出所有的峰数和谷数，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，三位数可表示为； 三位数可表示为； ； 故答案为：． （2）表示的数为，表示的数为， 三位数比三位数小284， ， ， 即， ，且x为整数，，且y为整数， 经试值可知，， ， ， 故这两个三位数分别是142和426； （3）由峰数的定义可知，一个三位数的十位上的数字大于个位和百位上的数字，它们是120，121，230，231，232，，890，891，，898，符合条件的三位数共有240个； 由谷数的定义可知，一个三位数的十位上的数字小于个位和百位上的数字，它们是101，102，，901，902，，989，符合条件的三位数共有285个， 故答案为：峰数有240个，谷数有285个． 20．在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 【答案】(1)984，1；121， (2)342，284，684，742 【分析】本题考查新定义下的运算和整式加减的应用，解题的关键是掌握“好数”的特征． （1）根据“好数”的定义确定各个数位上的数字，然后根据的定义计算其值； （2）先设出三位自然数t的百位、十位、个位数字，根据“好数”定义和F的定义表示出和，再根据能被8整除来确定满足条件的数． 【详解】（1）解：∵是三位自然数且各个数位上的数字均不为零，要使“好数”最大，百位数字应尽量大， ∴百位最大是9． 根据“好数”定义，十位数字等于个位数字的2倍，个位数字最大只能是4，此时十位数字是8， ∴最大的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； 要使“好数”最小，百位数字应尽量小， ∴百位最小是1，个位数字最小是1， ∴十位数字是2， ∴最小的好数， 交换m的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴； （2）设三位自然数t的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为， ∴， 交换t的百位数字和十位数字后得到， ∵， ∴， ∵t的各个数位上的数字和， ∴， ∵k能被8整除，即能被8整除， 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时； 当时： 若，则，解得，此时； 若，则，解得，此时． 综上所述，所有满足条件的三位自然数t为342，284，684，742． 21．【探索数的奇妙规律】 小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果可以被整除，那么这个四位数可以被整除．例如，数，，能被整除，则能被整除；数，，不能被整除，则不能被整除． (1)根据规律，判断：①；②；③，其中可以被整除是 （填序号）； (2)如果可以被整除，证明四位数可以被整除； (3)判断是否可以被整除，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)可被整除，见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数混合运算的应用，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意，逐个计算，即可得出答案； （2）根据可以被整除，设，将四位数整理得出，将代入，得出，即可证明； （3）根据题意得出，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①，，能被整除，则能被整除； ②，，不能被整除，则不能被整除； ③，，能被整除，则能被整除； 故可以被整除是①③． 故答案为：①③． （2）证明：∵可以被整除， 故设， 对于四位数， 则这个四位数 将代入，得， 整理得； ∵能被整除， ∴能被整除． （3）解：是， 理由：对于四位数，， 对于四位数，， 故 ； ∵能被整除， 故能被整除． 22．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 23．定义：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．例如三位正整数中，，所以，是半和数；又如中，，所以，也是半和数．… 任务： (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是 ；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为 ；这个数为 ；(用含a的代数式表示）； (2)任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果是的倍数．请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据半和数的定义求得十位数字，即可得到三位正整数 （2）根据半和数的定义求得两个三位数，然后将两个数相加即可得到结果 【详解】（1）∵三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1， ∴十位数字为：， ∴这个数为：， ∵百位数字为a，个位数字为0， ∴十位数字为：， 这个数为：， 故答案为：，，； （2）结论正确，下面说明理由： 设一个“半和数”的百位数字为m，个位数字为n（m，n均为正整数，且m、n不为0）， 则这个“半和数”用含m，n的代数式表示为： ， 将这个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”， ∴新的“半和数”为：， 将新“半和数”与原“半和数”相加得： ∵m，n均为正整数，且m、n不为0， ∴为正整数， ∴是的倍数， ∴任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是的倍数． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算和整式的加减，读懂新定义、熟练掌握整式的加减运算是解决问题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式加减实际应用的三种考法 考点01 收费、计费问题 考点02 方案设计问题 考点03 新定义问题 考点01 收费、计费问题 1．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 2．如图，这是淇淇家新添置的一套住房的平面图及其尺寸数据（单位：m）． (1)请用含有a、b的式子表示淇淇家这套住房的总面积． (2)经测量得，，购买时房价为万元，在计算房价时需另外加的公摊面积，求淇淇家这套住房的总价格． (3)淇淇的爸爸想把主卧、次卧铺上木地板，其余部分铺瓷砖，已知每平方米木地板的费用为200元，每平方米瓷砖的费用为100元，在（2）的条件下，求淇淇家整个房屋铺完地面所需的费用． 3．某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 4．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营，某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） 5．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表注（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过6立方米的部分 2 超过6立方米的部分但不超过10立方米的部分 4 超过10立方米的部分 8 (1)若某户居民2月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份共用水立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民4月份共用水x立方米（），则应收水费多少元？（用含x的式子表示） 6．某地区有长方形水稻试验田，试验田的长为米，宽为米，试验田分两部分，一部分为新型水稻种植田（阴影部分），另一部分为水渠，水渠有两种图形（如图所示），型试验田如图，水渠为半径是米的扇形，型试验田如图，水渠是边长为米的正方形． (1)用含、、的式子表示，型试验田的水稻种植面积是______平方米，型试验田的水稻种植面积是______平方米．（保留） (2)若型水稻试验田有块，型水稻试验田有块，则用含、、的式子表示新型水稻种植田的总面积是多少平方米？（取） (3)在（）的条件下，若，，时，在“农民丰收节”到来之际，水稻成熟，计划由甲型收割机收割总面积的，其余面积由乙型收割机收割，甲型收割机收割每平方米水稻的费用为元，乙型收割机收割每平方米水稻的费用为元，则种植田全部收割完需要多少元钱？（取） 7．每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，张阿姨在“双11”到来之前准备在三家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子若干条．已知三家店铺在非活动期间，均在原价基础上优惠20%销售，活动期间在此基础上再分别给予以下优惠： A店铺：“双11”当天购买可以再享受8折优惠； B店铺：商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城“双11”购物津贴券50元，同时“双11”当天下单每单还可立减60元（例如：购买2条被子需支付元）； C店铺：“双11”当天下单可享立减活动：①每条立减100元（购买10条以内，不包括10条）； ②每条立减160元（10条及10条以上）．享受“立减”优惠后，店铺还可实行分期付款，先付总购物款的一半，一年后再一次性付清余下的货款（注：银行一年定期的年利率为）． (1)若在A店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在B店铺5条被子作一单购买，需支付______元． 若在C店铺5条被子作一单购买，至一年后全部付清共用去______元． (2)若张阿姨在“双11”当天下单，且购买了a条同款被子，请分别用含a的代数式表示在这三家店铺的购买费用．（说明：张阿姨要买的a条被子作一单购买） 8．现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 考点02 方案设计问题 9．中山市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是万元，面积如图所示（单位：，卫生间的宽未定，设宽为），售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为万元，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ 10．某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期几？最低单价比最高单价少多少元？ (2)求出这一周超市出售此种百香果的总利润是多少？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤13元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价12元． ①顾客买斤百香果，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．（请用含a的代数式表示，结果要求化简） ②如果某顾客决定买30斤百香果，通过计算说明应该选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 11.【综合与实践】 【知识背景】为丰富市民和游客的文化生活，青秀山举办花灯展．花灯的制作方法主要包括以下步骤：①设计；②选材；③骨架制作；④裱糊（将绸缎等材料粘贴在骨架上）；⑤安装灯珠和电路；⑥装饰． 【目标设定】某兴趣小组模仿图1的造型制作花灯．如图2，花灯由4条骨架构成，依次记为，每条骨架包括半圆和两条垂直于地面的相等线段． 【步骤实施】的长为2米，半圆的半径为米，完成以下任务（取3）． 任务一：求中线段的长； 任务二：如图2所示，与的间距为米，相邻两条骨架的间距由内自外依次递增米，每条骨架的长度如下表所示，请直接写出骨架的长度； 任务三：求裱糊面积（即与地面所围成的图形面积）； 任务四：若装饰花灯需要裱糊材料和灯珠盏，在购买材料时有以下两种方案可供选择： 方案1：裱糊材料每平米30元，每盏灯珠10元； 方案2：裱糊材料每平米20元，每盏灯珠15元． 选择哪一种方案更划算？并说明理由． 骨架 骨架的长度（单位：米） 2 ▲ 12．为了丰富阳光运动会，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现，两商店以同样的价格出售同种品牌的篮球和跳绳，已知篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．经洽谈： A商店优惠方案：买一个篮球送一条跳绳； B商店优惠方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球60个，跳绳条． (1)若到A商店购买，一共需付款________元；若到B商店购买，一共需付款________元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪个商店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 13．综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 14．七星商场冬季新款到货，A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元．由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 (1)小天一次性购买物品的原价为750元，则方案一实际付款为 元；则方案二实际付款为 元； (2)小七去七星商场购物，商品原价为a（）元，试用含a的式子表示出小七选择方案二应付的费用；（结果需化简） (3)已知小天选择方案一购物，小七选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小七所购物品的原总价m元，且高于小天．两人实际付款一共多少元（请用含m的代数式表示并化简）？为使消费者获利更多，店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，如果两人组合购买，实际付款多少元？ 15．某校决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价140元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的付款．已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）； (2)若x=100时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)当x=100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 16．甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A电暖气 B电暖气 甲 200元台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 (1)某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． ①请分别求在两家商场购买电暖气所需要的总费用，结果用含x的代数式表示（总费用购买价运费）； ②若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？请说明理由． (2)若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你为该公司设计一种方案． 17．小红、小明、小丽和小刚四位同学为了参加学习小组活动，需要购买一些笔记本和圆珠笔．已知笔记本的单价是元，圆珠笔的单价是元，由小红和小明两人分别去买．小红买了3本笔记本，2支圆珠笔；小明买了4本笔记本，3支圆珠笔． (1)小红和小明一共花了多少钱？ (2)他们两人谁花的钱多？多多少？ (3)由于四人要平摊费用，后来结算时，发现在买之前，小明给了小红一元钱，小丽给了小明二元钱；买完东西后，小红和小明身上都没钱了，而小丽和小刚都还有足够的钱．现在他们要马上结算，请你给他们设计一个结算方案，即谁给谁多少钱，才能使大家做到平摊费用，相互之间不欠钱．要说明理由，并写出计算化简过程． 考点03 新定义问题 18．阅读材料：已知一个两位数，十位数字为，个位数字，那么我们可以用表示这个数字．依据上面的材料，回答下题：一个三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字是． (1)请用含的式子表示这个数； (2)现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数，请用含的式子表示； (3)请用含的式子表示，并回答能被11整除吗？ 19．阅读材料： 材料1：如果一个三位数为（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），我们可以将其表示为：； 材料2：如果一个三位数，满足且，则称这个三位数为“谷数”．例如：427；515；109均为“谷数”； 材料3：如果一个三位数，满足且，则称这个三位数为“峰数”．例如：285；687，121均为“峰数”； (1)已知：三位数可表示为 ；三位数可表示为 ；= ； (2)已知：三位数比三位数小284，求这两个三位数； (3)求三位数是峰数的一共有多少个，三位数是谷数的一共有多少个（直接写出答案）． 20．在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则． (1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值； (2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 21．【探索数的奇妙规律】 小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果可以被整除，那么这个四位数可以被整除．例如，数，，能被整除，则能被整除；数，，不能被整除，则不能被整除． (1)根据规律，判断：①；②；③，其中可以被整除是 （填序号）； (2)如果可以被整除，证明四位数可以被整除； (3)判断是否可以被整除，并说明理由． 22．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 23．定义：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．例如三位正整数中，，所以，是半和数；又如中，，所以，也是半和数．… 任务： (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是 ；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为 ；这个数为 ；(用含a的代数式表示）； (2)任意一个“半和数”的个位和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果是的倍数．请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $