专题08 整式相关压轴题分类训练（10种类型50道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级上册

专题08 整式相关压轴题分类训练 （10种类型50道） 地 城 类型01 整式规律性问题 1．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据所给的单项式的次数和系数，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：观察可知，奇数位的系数为负，偶数位的系数为正，数值与序数相同，字母的指数为从1开始的连续的奇数， ∴第个单项式是； 故选C． 2．以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查寻找规律问题，观察多项式，将每个多项式拆分为关于的项和常数项，分别分析各自的规律：符号规律：负、正交替出现，即；指数规律：的指数依次为1，2，3，4，5，…，即；从而确定规律，即可得到答案，根据已知多项式找准规律是解决问题的关键． 【详解】解： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， …， 第个：， 故选：B． 3．按一定规律排列的代数式：，，，，，…第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的探究规律，解题的关键是根据单项式找到规律． 通过观察单项式发现：，则第个数为发现前一项乘以等于后一项，得第n个数为． 【详解】解：， ， 则第个单项式为． 故选：B． 4．按一定规律排列的代数式：，，，，，，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知第n个单项式的系数的绝对值为，次数为，当n为奇数时，系数的符号为负，当n为偶数时，系数的符号为正，据此规律可得答案． 【详解】解：第1个单项式的系数的绝对值为2，次数为1，系数符号为负， 第2个单项式的系数的绝对值为3，次数为2，系数符号为正， 第3个单项式的系数的绝对值为4，次数为3，系数符号为负， 第4个单项式的系数的绝对值为5，次数为4，系数符号为正， 第5个单项式的系数的绝对值为6，次数为5，系数符号为负， ……， 以此类推可知，第n个单项式的系数的绝对值为，次数为，当n为奇数时，系数的符号为负，当n为偶数时，系数的符号为正，则第n个代数式是， 故选：C． 5．按一定规律排列的多项式：，，，，，，，第10个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，理解材料提示，找出规律是关键． 根据材料提示，找出多项式的各项系数，指数的规律即可求解． 【详解】解：多项式：，，，，，，， ∴的系数是（是正整数），奇数项的符号为正，偶数项的符号为负，的指数为（是正整数）， ∴当时，的系数是，的符号为负，的指数为， ∴第10个多项式是， 故选：B ． 6．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ）地 城 类型02 定义新运算 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出的值；再对进行运算，转化成关于的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 则： ， 故选：． 7．定义一种新运算“”的计算规则是：（其中a，b都是有理数）． 例如. 下列等式成立的个数是（    ） ①；②；③ A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式加减运算，解题的关键是理解题意，分别求出各个式子的值，然后进行比较即可． 【详解】解：①∵，， 又∵， ∴，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③ ∵，， 又∵， ∴，故③错误； 综上分析可知，等式成立的个数是2个，故B正确． 故选：B． 8．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（m，n为常数）．例如：．若，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先根据新定义得出，计算出的值，再按新定义计算，将的值代入计算即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 因此． 故选C． 【点睛】本题考查新定义运算、代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． 9．定义一种新运算：．例如，则化简后的结果是（　　） A． B．y C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义的运算法则，，再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题考查新定义运算和整式的加减运算，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则是解题的关键． 10．“*”是一种新运算，其定义为：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先看清这种运算的规则，将式子整理，再求解． 【详解】根据题意的运算可得， ===2a+b. 故选D. 11．如图，小明在写作业不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为（   ）地 城 类型03 信息丢失问题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减运算，用右边的整式减去左边未被遮住的多项式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，被墨水遮住的多项式为 ； 故选A． 12．下面是小芳做的－道多项式的加减运算题，但她不小心把－滴墨水滴在了上面． ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确计算是解题的关键． 【详解】 ， 故选：B． 13．下面是小明做的一道多项式的加减运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面． ●，黑点处即为被墨迹弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项应是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：根据整式的运算法则== ，所以遮住的是A 考点：去括号法则，整式的运算 14．下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 故选：D． 【点睛】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 15．今天数学课上学习了整式的加减，放学后，小明回到家，拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道题： ，被钢笔墨水弄污了，那么被弄污的地方应填（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则．运用整式的加减运算顺序，先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：C． 16．要使关于x的多项式化简后不含x的二次项，则m的值是（   ）．地 城 类型04 “不含”类问题 A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减，先去括号，合并同类项，再根据化简后不含x的二次项，令x的二次项系数为0，即可解得m的值． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式化简后不含x的二次项， ∴， 解得， 故选：A． 17．将多项式化简后不含xy的项，则m的值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，正确的去括号、合并同类项，是解题的关键． 先化简，然后根据多项式化简后不含xy的项得出，求解即可． 【详解】解：， ， ， ∵化简后不含xy的项， ∴， 解得， 故选：A． 18．化简时，琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项，则正确的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：又∵琳琳将看成了它的相反数，最终她的化简结果不含项， ∴琳琳的计算过程为：， ∴， ， ∴正确的化简结果为， 故选：D． 19．要使多项式化简后不含 x的二次项，则m的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减中无关项问题．先化简，再根据化简后不含x的二次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， ∵化简后不含的二次项， ∴， 解得：． 故选：D 20．已知：关于x，y的多项式不含二次项，则的值是（   ） A．0 B．12 C． D．8 【答案】A 【分析】此题考查了整式的加减，利用多项式不含二次项得到二次项系数为0，据此列方程求出和的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵不含二次项， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 21．小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A，B，求的值”，他误将“”看成了“”，结果求出的答案是，若已知，那么原来的值应该是 ．地 城 类型05 错解还原 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先根据整式的加减法则求出，再根据整式的加减计算即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．某同学在做一个整式加上时，把加上误看成了减去，结果做出的答案是，那么正确的答案是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减法运算，需正确去括号并合并同类项是解决本题的关键． 先根据错误运算计算出原整式，再根据正确计算作加法求解即可． 【详解】解：设原整式为A， ∵把加上误看成了减去， ∴， 解得， 则正确计算应为： ． 故答案为： ． 23．一名同学在计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是已知则的正确答案为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减．根据题意列出相应的式子，结合整式的加减的相应的法则进行运算即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 故答案为：． 24．已知多项式A、B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为，则多顶式A为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据题意可得，然后将代入并求解即可． 【详解】解：根据题意，， 即， ∴； 故答案为：． 25．由于看错了符号，某学生把一个整式减去误认为加上，得到答案，则该计算正确的结果应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算．先根据加式、加式及和的关系列式求得未知加式，然后再根据题意列式运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：设原来的整式为，则， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 26．已知，，若代数式的结果与b无关，则 ．地 城 类型06 “无关”类问题 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．将、代入，然后去括号、合并同类项，得，由此代数式与b的取值无关，说明b的系数为0，据此求出的值． 【详解】解：由，， 代数式的结果与b无关， ， 解得：， 故答案为：． 27．已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并后由结果与x、y的值无关，确定出a与b的值即可． 【详解】解： ， ∵多项式的取值与字母无关， ∴，， ∴，． 故答案为： 28．若化简的结果与的取值无关，则值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，原式去括号合并后，由结果与的取值无关，得到，进而可得出，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵结果与的取值无关， ∴， ∴， 故答案为：． 29．已知，，且的值与x的取值无关，则y的值 ． 【答案】2 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将A与B代入中，去括号合并得到最简结果，根据结果与x取值无关，即可确定出y的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 由结果与x取值无关，得到， 解得：． 故答案为：2． 30．已知关于多项式的值与无关，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式、乘方的运算等知识点，先根据题意求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的值与x无关， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1． 31．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题：地 城 类型07 利用“整体思想”解决问题 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）2或4小时 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 32．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝　 　；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝　 　； （Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值； （Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值； 【答案】（Ⅰ）2017；（Ⅱ）11；（Ⅲ）16 【分析】（Ⅰ）把已知等式代入原式计算即可得到结果； （Ⅱ）原式变形后，把a+b＝5代入计算即可求出值； （Ⅲ）已知第一个等式两边乘以2，减去第二个等式两边乘以3求出原式的值即可． 【详解】（Ⅰ）∵x2+x﹣1＝0， ∴x2+x＝1， ∴x2+x+2016＝1+2016＝2017， 故答案为：2017； （Ⅱ）∵a+b＝5， ∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21＝2（a+b）﹣4（a+b）+21＝﹣2（a+b）+21＝﹣10+21＝11； （Ⅲ）∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8， ∴2a2+4ab＝40，3b2+6ab＝24， ∴2a2+4ab﹣3b2﹣6ab＝2a2﹣3b2﹣2ab＝40﹣24＝16． 【点睛】此题考查整式的化简求值，已知代数式的值可将代数式整体代入代数式中求值计算，这里整式的正确化简是解题的关键. 33．数学中,运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要. 例如：已知：a2+2a=1，则代数式2a2+4a+4=2( a2+2a) +4=2×1+4=6. 请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，求的值； （2）当时，代数式的值是5，求当时，代数式px3+qx+1的值； （3）当时，代数式的值为m，求当时，求代数式的值是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】解：（1）； （2）将代入得， 化简得. 将代入得 将代入得=； （3）当时，代数式的值为m ∴， ∴ 当时，                =                   =                =. 34．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了代数式的求值、合并同类项，掌握整体代入法求代数式的值是解题关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）先合并同类项，再运用“整体思想”代入求值即可； （3）把写成，再整体代入即可得出结果． 【详解】（1）解： ； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ； 故答案为：． 35．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式的求值、合并同类项等知识点，掌握运用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （2）把写成，然后将整体代入即可解答； （3）将和相加可得，写成，然后将整体代入即可解答． 【详解】（1）解： ． 故答案为：2． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 36．学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个多项式，，其中，求．某同学把“”误看成“”，结果求出的答案为．地 城 类型08 根据定值求参数 (1)请你帮这位同学求出的正确答案； (2)当取任意数值时，的值是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意得：，． ∴， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 因为当取任意数值时，的值是一个定值， 所以， 解得． 37．老师布置如下一道数学题：已知两个多项式A，B，其中，试求．小明把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替小明求出的正确答案； (2)小明发现，当时，无论x取何值，的值都是一个定值．他的发现正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴ ， ∴ ； （2）解：小明的发现正确，理由如下： ， 当时， ， 答：小明的发现正确，定值为． 38．已知：，； (1)若，求的值； (2)当______时，无论a取何值，的值总是一个定值______． 【答案】(1) (2)2；1 【详解】（1）解： ， ，，， ，， ，， 原式； （2）解： ， 当时，无论取何值，的值总是一个定值1． 故答案为：2，1． 39．无论、为何值，关于、的多项式与多项式的差均是一个定值，求的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减．根据关于、的多项式与多项式的差均是一个定值，可以得到、的值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解： ， 无论、为何值，关于、的多项式与多项式的差均是一个定值， ，， 解得，， ． 40．已知多项式与多项式的和为，其中． (1)求多项式 (2)当取任意值时，式子的值是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得： ； （2） ， ∵当x取任意值时，式子的值是一个定值， ∴， ∴． 41．某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价180元，运动袜每双定价30元，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．（客户选择一种方案购买）地 城 类型09 方案问题 方案：买一双运动鞋送一双运动袜； 方案：运动鞋和运动袜都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买运动鞋6双和运动袜双． (1)若按方案购买，需付款___________元，若按方案购买，需付款___________元； (2)当时，通过计算说明该客户选择哪种方案购买更省钱？ 【答案】(1) (2)该客户选择方案购买更省钱 【详解】（1）解：按方案购买，需付款元， 若按方案购买，需付款元， 故答案为：； （2）解：当时，选择方案需要付款（元）， 选择方案需要付款（元）． ∵， ∴该客户选择方案购买更省钱． 42．某商店出售网球和网球拍，网球拍每只定价80元，网球每个定价4元，商家为促销商品，同时向客户提供两种优惠方案：①买一只网球拍送3个网球；②网球拍和网球都按定价的9折优惠。现在某客户要到该商店购买球拍20只，网球x个． (1)若，该客户按优惠方案①购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (2)若，该客户按优惠方案②购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (3)若时，通过计算说明，此时按哪种优惠方案购买较为合算？ (4)当时，你能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出所需的钱数． 【答案】(1) (2)元 (3)方案①划算，见解析 (4)先按方案①购买20只球拍，获赠60个网球，再按照方案二购买40个网球，所需钱数为：1744元 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：根据题意得：． （3）解：当时，方案①：（元）； 方案②：（元）， ∵， ∴方案①划算，则选择方案①． （4）解：先按方案①购买20只球拍，获赠60个网球，再按照方案二购买40个网球，（元）， 则所需钱数为1744元． 43．小红、小明、小丽和小刚四位同学为了参加学习小组活动，需要购买一些笔记本和圆珠笔．已知笔记本的单价是元，圆珠笔的单价是元，由小红和小明两人分别去买．小红买了3本笔记本，2支圆珠笔；小明买了4本笔记本，3支圆珠笔． (1)小红和小明一共花了多少钱？ (2)他们两人谁花的钱多？多多少？ (3)由于四人要平摊费用，后来结算时，发现在买之前，小明给了小红一元钱，小丽给了小明二元钱；买完东西后，小红和小明身上都没钱了，而小丽和小刚都还有足够的钱．现在他们要马上结算，请你给他们设计一个结算方案，即谁给谁多少钱，才能使大家做到平摊费用，相互之间不欠钱．要说明理由，并写出计算化简过程． 【答案】(1)元 (2)小明花钱多，多元 (3)小丽给小明元，小刚给小明元，小刚给小红元；理由见解析 【详解】（1）解：小红和小明一共花了： 元； 答：小红和小明一共花了元； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小明花钱多，多元． （3）解：方案：小丽给小明元，小刚给小明元，小刚给小红元；理由如下： 每个人应该花元， 小红应该收到： 小明应该收到：元， 小丽应该再出：元， 小刚应该出：元， 那么小丽应该给小明：元， 小刚给小明： 元， 小刚给小红： 元， 故小丽给小明元，小刚给小明元，小刚给小红元． 44．2024年12月17日，第28届长春冰雪节拉开帷幕，开启长春冰雪季的梦幻之旅．活动组织方在冰雪节期间预推出“围炉煮茶”活动，需采购茶具和茶碗．某销售商经销的茶具每套定价200元，茶碗每只定价30元，提供了两种优惠方案， 方案一：买一套茶具送一只茶碗； 方案二：茶具和茶碗都打九折销售．现需购买茶具50套，茶碗x只 (1)若客户按方案一购买，需要付款______元；若客户按方案二购买，需要付款______元．（用含x的代数式表示） (2)当时，若顾客只能选择其中一种方案购买，计算说明哪种购买方案比较省钱？ 【答案】(1)， (2)选择方案二购买比较省钱 【详解】（1）解：若客户按方案一购买，需要付款元； 若客户按方案二购买，需要付款元 故答案为：， （2）解：当时， 元， 元， ， 选择方案二购买比较省钱． 45．某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)50 (2)元 (3)元或310元 【分析】本题考查了列代数式及整式加减的应用，读懂图表信息是解题的关键． （1）根据题意选择第一阶梯电价列代数式求解即可； （2）根据题意选择第一阶梯和第二阶梯列代数式求解即可； （3）根据题意，先进行判断的取值范围，根据三种情况列代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（元） 故答案为：50； （2）解：根据题意得， 元， 答：用电量为度（其中），则需缴电费元； （3）解：∵12月份的用电量比11月份多， ∴，根据题意分以下几种情况： ①当时，共需缴费为 元； ②当时，共需缴费为 （元）； ③当时，共需缴费为 （元）； 综上，小华家这两个月共需缴电费元或310元． 46．如图，是由3种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成的大长方形，若，最小的正方形的边长为x．地 城 类型10 几何图形列代数式 (1)_________，_________（用含x的式子表示）； (2)求长方形的周长（用含x的式子表示）； (3)若，请直接写出三角形的面积是_________． 【答案】(1)， (2) (3)22 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，熟练掌握三角形面积公式和长方形周长公式，是解题的关键． （1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长， （3）根据三角形的面积公式，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：， ； （2）解：长方形的宽为：， 长为：， 则长方形的周长为： ． （3）解：当时， ． 47．如图，已知长方形的宽，两个空白处圆的半径分别为、． (1)用含字母的式子表示阴影部分的面积；（用含有，，的式子表示） (2)当，时，阴影部分的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，扇形的面积，利用长方形与扇形的面积之差表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）利用长方形的面积减去两个扇形的面积即可得出结论． （2）将字母的取值代入（1）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为：； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为：． 48．如图，一张边长为15的正方形图案，有两个一样大小的直角三角形和一个长方形．设小长方形的长和宽分别为x，y，两个小直角三角形的两条直角边长也分别为x，y． (1)用x，y表示图中空白（即两个直角三角形和一个长方形）的总面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)129 【分析】本题考查列代数式以及代数式求值． （1）空白面积等于2个小三角形的面积加上长方形的面积，据此列代数式并化简即可； （2）阴影部分面积等于正方形的面积减去空白部分的面积． 【详解】（1）解：图中空白的总面积为：； （2）解：当时， 空白的总面积为：， 阴影部分的面积为：． 49．课本再现 七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差，变形，然后利用差的符号来确定它们的大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数a和b比较大小，那么： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【类比应用】 （1）用“”或“”填空． ①若时，a______b； ②若时，a______b； ③若，则______； 【解决问题】 （2）如图所示，在4×4的正方形网格中，以A为圆心AB为半径画扇形，以CE为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，，比较与的大小． 【答案】（1）①;②;③;（2） 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解作差法是解题的关键． （1）①②根据作差法的意义解答即可；③用作差法比较即可； （2）先表示出，，再用作差法比较即可． 【详解】解：（1）①， ． ②， ． ③ ， ． 故答案为： ①；②；③． （2）设两扇形重叠部分面积为， 则，， ， ． 50．两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个边长为的小正方形叠合部分（阴影）面积为，图中阴影部分的面积． (1)用含，的代数式分别表示，． (2)试说明． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（）根据图形列出代数式即可； （）根据图形表示出，再根据（）求出即可求证； 本题考查了列代数式，整式加减的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，，； （2）证明：由图可得，， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08整式相关压轴题分类训练 (10种类型50道) 类型整式的规律性间影 类型盟定义新运算 类型野信息丢失问题 类里4不含类问题 类型5错解还原 整式相关压轴题 类型6无关类问题 关型7利用整体思想解决问题 关型8根定值求参数 类型9方南问题 类型到0几何图形列代数式 目目 类型01 整式规律性问题 1.按一定规律排列的单项式：-a,2a3,-3a3,4a,-5a',.,第n个单项式是（) A.（-1n B.(-l)(n-1）a21C.(-1)na2 D.(（-l1)na2a 2.以下是一组按一定规律排列的多项式：-a+1,a2+2,-a+3,a+4,-a5+5,,则第n个多项式是 () A.(-a1+n B.(-a)”+n C.-a+n D.-a'+n 3.按一定规律排列的代数式：2,4a,9a,16a,25a6,…第n个代数式是() A.na B.n2am C.n"a D.（n+12a" 4.按一定规律排列的代数式：-2x,3x2,-4x3,5x,-6x,…,第n个代数式是() A.(n+1x* B.(n+1)x" c.（-1)"(n+1x4 D.(-1(n+1x 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.按一定规律排列的多项式：2a+b,4a-b3,6a+b5,8a-b,10a+b,12a-b,,第10个多项 式是() A.20a+b21 B.20a-b9 C.20a+b9 D.20a-b21 目目 类型02 定义新运算 6.定义一种新运第，规定：。@b=3a-6,若a@(-6的)=-2好请计算2a+创e2a-50)值为（) A.-4 B.-3 C.3 D.4 7.定义一种新运算“※"的计算规则是：a※b=a+b(其中a,b都是有理数). 例如3※4=3+4=7.下列等式成立的个数是() ①a※b=b※a;②(a※b※c=a※(b※c;③a※(b+c=a※b+a※c A.3 B.2 C.1 D.0 8.用“回"定义一种新运算：对于任意有理数x和y,x☆y=m2x+y-3(m,n为常数).例如： 4☆3=m2×4+n×3-3=4m2+3n-3.若2☆3=3，则4☆6的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 9.定义一种新运算：a⑧b=2a-b.例如2⑧3=2×2-3=1，则(x+y)⑧(2x-y)化简后的结果是（) A.-3x+3y B.y C.-3x-y D.3y 10.“*"是一种新运算，其定义为：a*b=2a+b,则(-a)*(2a*b)=() A.-2a+b B.4a+b C.6a+b D.2a+b 目目 类型03 信息丢失问题 11.如图，小明在写作业不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为() x2+x+5=5x2+3x A.6x2+2x-5 B.5x2+2x-5 C.6x2+3x D.6x2+2 12.下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面， +3（+4w 2>+少，阴影部分即为被墨迹弄污的部分.那 么被墨汁遮住的一项应是（) A.-7xy B.-xy C.+7y D.+xy 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.下面是小明做的一道多项式的加减运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面， +3g-+4o3 =一上。+，黑点处即为被墨迹弄污的部分，那么被墨江 2 遮住的一项应是() A.- B.+ C.-7 D.+7x 14.下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： -5+y,阴影部分即为被墨迹弄污的部分.那么 2 被墨汁遮住的一项应是() A.4x2-5y B.2y-x C.5x D.4x2 15.今天数学课上学习了整式的加减，放学后，小明回到家，拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容， 他突然发现一道题： +3g)-(+43y）= +y,被钢笔墨水弄污了，那么被弄污的地方应填() 2 A.-7xy B.7xy C.-xy D.xy 目目 类型04 “不含”类问题 16.要使关于x的多项式2x2-2(7+3x-2x2)+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是（). A.-6 B.4 C.-8 D.6 17.将多项式(x2-3xy-y2）-2x2+mxy+2y2)化简后不含y的项，则m的值是() A.3 B.6 2 c.2 D.-6 18.化简3x2-xy+mx2+2xy时，琳琳将m看成了它的相反数，最终她的化简结果不含X2项，则正确的化简 结果为() A.xv B.-3xv C.6x2-3y D.6x2+xy 19.要使多项式2x2-2(7+3x-2x2)+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是() A.2 B.0 C.-2 D.-6 20.已知：关于x,y的多项式ax2+2bxy+3x2-3x-4xy+2y不含二次项，则2a+3b的值是（) A.0 B.12 C.-12 D.8 3/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 目目 类型05 错解还原 21.小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A,B,求A+B的值”，他误将“A+B”看成了“A-B”",结果 求出的答案是x-y,若已知B=4x-3y,那么原来A+B的值应该是 22.某同学在做一个整式加上4x2-5x+6时，把加上误看成了减去，结果做出的答案是7x2+10x-12,那么 正确的答案是 23.一名同学在计算2A+B时，误将“2A+B"看成了“2A-B”,求得的结果是2x2-3x+5·已知 B=2x2+x+1'则2A+B的正确答案为 24.已知多项式A、B,其中B=5x2+3x-4,马小虎同学在计算”A+B”时，误将”A+B"看成了“A-B”, 求得的结果为12x2-6x+7,则多顶式A为一· 25.由于看错了符号，某学生把一个整式减去-3x2+3y2误认为加上-3x2+3y2,得到答案2x2-3y2+2,则 该计算正确的结果应为】 目目 类型06 “无关”类问题 26.已知A=3a2-2b,B=-4a2+4b,若代数式5A-mB的结果与b无关，则m=一 27.已知关于x,y的多项式，3x2+2x-3y2-by+5-3x2-5x-ay2+2y+4若该多项式的取值与字母y 无关，则b= 28.若化简(3mx2-x+3-(3x2-x-4)的结果与x的取值无关，则m值为一 29.已知，A=2x2+3xy-2x-1,B=-x2-xy+1,且3A+6B的值与x的取值无关，则y的值 30.已知关于多项式(a-3)x+(4-b)x+3y2-5的值与x无关，则(a-b)224的值为 目目 类型07 利用“整体思想”解决问题 31.整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的 解题方法，完成后面的问题： 如果代数式5a+3b的值为3，那么代数式2(a+b)+42a+b)的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b 我们把5a+3b看成一个整体，把式子5a+3b=3两边乘2，得10a+6b=6. 4/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【方法运用】 (1)若a2-2a=2,则3a2-6a+1的值为 (2)若m+n=2,mn=-1,求32mn-m)-(3n-mn的值； 【类比迁移】 (3)A,B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A,B两地骑自行车出发，相向而行.甲每小时行a千米，乙 每小时行b千米，经过3小时相遇.问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 32.理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法.例如：x2+x=0,则x2+x+1186=;我们将x2+x作为一个整体代入， 则原式=0+1186=1186. 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (I)若x2+×-1=0,则x2+x+2016=一； (IⅡ)如果a+b=5,求2(a+b)-4a-4b+21的值： (I)若a2+2ab=20,b2+2ab=8,求2a2-3b2-2ab的值； 33.数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要. 例如：已知：a2+2a=1,则代数式2a2+4a+4=2(a2+2a)+4=2×1+4=6. 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若x2-3x=2,求1+3x-x2的值： (2)当x=1时，代数式px3+gx+1的值是5，求当x=-1时，代数式x3+g+1的值； (3)当x=2019时，代数式ax5+bx2+cx-5的值为m,求当x=-2019时，求代数式ax3+bx+cx-5的值是多少？ 34.阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1x=3x,类似的，我们把(a+b)看成一个整体，则 4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3a+b.“整体思想"是中学数学解题中的一种重要的思想方 法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. 尝试应用： (1)把(a-b)2看成-个整体，合并5(a-b)2+4(a-b)2-7(a-b)2=_（a-b): (2)已知a-2b=-3,运用“整体思想”求5a-10b+14b-7a+11的值： E若a2-2ab=4,b+2B=-1,则3a2号ab+36== 35.阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x,类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3a+b).“整体思想"是中学数学解题中的一种重要的思想方 法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 尝试应用： (1)把(a-b2看成一个整体，合并5(a-b2+4a-b2-7(a-b)2=_（a-b)2: (2)己知x2-2y=-2,运用“整体思想”求3x2-6y-3的值： (3)若a-5b=3,5b-3c=-5,则2a-6c= 目目 类型08 根据定值求参数 36.学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个多项式A,B,其中 B=3mx2-2mx+x+2,求A+B.某同学把”A+B”误看成”A-B”,结果求出的答案为6x2+4mx-2x-1. (1)请你帮这位同学求出A+B的正确答案； (2)当x取任意数值时，A-3B的值是一个定值，求的值. 37.老师布置如下一道数学题：已知两个多项式A,B,其中B=2x2y-5xy+x+7,试求A+B.小明把 A+B误看成A-B,结果求出的答案为6x2y+12xy-2x-9. (1)请你替小明求出A+B的正确答案： 2小明发现，当y=5 时，无论x取何值，A-4B的值都是一个定值.他的发现正确吗？请说明理由. 27 38.已知：A=2a2+3ab-2a-1,B=a2+ab-1; (1)若(a+22+b-3=0,求A-2B的值； (2)当b=时，无论α取何值，A-2B的值总是一个定值一， 39.无论x、y为何值，关于x、y的多项式2x2+my-12与多项式x2-3y+6的差均是一个定值，求 m+n-mn的值. 40.已知多项式A与多项式B的和为12x2y+2xy+5,其中B=3x2y-5xy+x+7. (1)求多项式A (2)当x取任意值时，式子2A-(A+3B)的值是一个定值，求y的值. 目目 类型09 方案问题 41.某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价180元，运动袜每双定价30元，商场决定开展促销 活动，活动期间向客户提供两种优惠方案.（客户选择一种方案购买） 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A方案：买一双运动鞋送一双运动袜： B方案：运动鞋和运动袜都按定价的90%付款. 现某客户要到该商场购买运动鞋6双和运动袜x双x>6). (1)若按A方案购买，需付款 元，若按B方案购买，需付款 元 (2)当x=10时，通过计算说明该客户选择哪种方案购买更省钱？ 42.某商店出售网球和网球拍，网球拍每只定价80元，网球每个定价4元，商家为促销商品，同时向客户 提供两种优惠方案：①买一只网球拍送3个网球；②网球拍和网球都按定价的9折优惠。现在某客户要到 该商店购买球拍20只，网球x个. (1)若x>60,该客户按优惠方案①购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (2)若x>60,该客户按优惠方案②购买需付款多少元？（用含x的式子表示） (3)若x=100时，通过计算说明，此时按哪种优惠方案购买较为合算？ (4)当x=100时，你能结合两种优惠方案给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出 所需的钱数 43.小红、小明、小丽和小刚四位同学为了参加学习小组活动，需要购买一些笔记本和圆珠笔.己知笔记 本的单价是x(x>1)元，圆珠笔的单价是yy>1)元，由小红和小明两人分别去买.小红买了3本笔记本，2 支圆珠笔；小明买了4本笔记本，3支圆珠笔. (1)小红和小明一共花了多少钱？ (2)他们两人谁花的钱多？多多少？ (3)由于四人要平摊费用，后来结算时，发现在买之前，小明给了小红一元钱，小丽给了小明二元钱：买完 东西后，小红和小明身上都没钱了，而小丽和小刚都还有足够的钱.现在他们要马上结算，请你给他们设 计一个结算方案，即谁给谁多少钱，才能使大家做到平摊费用，相互之间不欠钱.要说明理由，并写出计 算化简过程 44.2024年12月17日，第28届长春冰雪节拉开帷幕，开启长春冰雪季的梦幻之旅.活动组织方在冰雪节 期间预推出“围炉煮茶”活动，需采购茶具和茶碗.某销售商经销的茶具每套定价200元，茶碗每只定价30 元，提供了两种优惠方案， 方案一：买一套茶具送一只茶碗； 方案二：茶具和茶碗都打九折销售.现需购买茶具50套，茶碗x只(x>50). (1)若客户按方案一购买，需要付款元；若客户按方案二购买，需要付款元.（用含x的代数式 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 表示) (2)当x=200时，若顾客只能选择其中一种方案购买，计算说明哪种购买方案比较省钱？ 45. 某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表)价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量≤200度 0.50 第二档 200度<月用电量≤400度 0.55 第三档 月用电量>400度 0.80 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：200×0.50+(300-200)×0.55=155（元）. (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费元： (2)如果小华家2014年10月份的用电量为x度（其中200<x≤400），则需缴电费多少元？（用含x的代数 式表示，并化简) (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多.设11月份的用电 量为a度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含a的代数式表示，并化简） 目目 类型10 几何图形列代数式 46.如图，是由3种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成的大长方形ABCD,若BG=2, 最小的正方形的边长为x. B G H (1)AE= CH= (用含x的式子表示)： (2)求长方形ABCD的周长（用含x的式子表示）： (3)若x=3,请直接写出三角形DEF的面积是 47.如图，己知长方形ABCD的宽AB=a,两个空白处圆的半径分别为a、b. 8/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 bD B C (1)用含字母的式子表示阴影部分的面积；（用含有Q,b,π的式子表示） (2)当a=5,b=3时，阴影部分的面积是多少？（结果保留π） 48.如图，一张边长为15的正方形图案，有两个一样大小的直角三角形和一个长方形.设小长方形的长和 宽分别为x,y,两个小直角三角形的两条直角边长也分别为x,y. y y -15 (1)用x,y表示图中空白（即两个直角三角形和一个长方形）的总面积； (2)当x=8y=6时，求图中阴影部分的面积. 49.课本再现 七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或 代数式的大小.当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一.所渭 “求差法”，就是通过先求差，变形，然后利用差的符号来确定它们的大小 两个数量的大小可以通过它们的差来判断.如果两个数a和b比较大小，那么： 当a>b时，一定有a-b>0; 当a=b时，一定有a-b=0； 当a<b时，一定有a-b<0. 反过来也对，即： 当a-b>0时，一定有a>b: 当a-b=0时，一定有a=b; 当a-b<0时，一定有a<b. 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小 9/10 函学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【类比应用】 (1)用“>"或“<"填空. ①若a-b=3时，ab; ②若a-b=-1时，a_b: ③若a>0,则-a+5一-2a+4; 【解决问题】 (2)如图所示，在4×4的正方形网格中，以A为圆心AB为半径画扇形，以CE为直径画半圆，若图中阴 影部分的面积分别为S,S2,比较S与S的大小. A B S2 D 50.两个边长分别为Q和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S;若再在图1中大正 方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为 S2,图3中阴影部分的面积S. b b b S2 S 6 图1 图2 图3 (1)用含a,b的代数式分别表示S,S2. 2试说明S,=5+5,. 10/10