22.2二次函数与一元二次方程知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.2二次函数与一元二次方程知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版九年级上册（五大题型） 知识归纳： 知识点一：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 知识点二：抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 知识点三：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 知识点四：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 题型突破： 题型一：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（       ） A． B．， C．， D．， 2.已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是________． 3．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ． 4．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______． 题型二：二次函数图象与x轴的公共点个数 1．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 2．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ） A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1 3.关于的函数与轴有交点，则的取值范围是（       ） A． B． C．且 D．且 4．已知二次函数与轴的一个交点，则值为（      ） A． B． C．或 D．任何实数 5．若抛物线与轴有公共点，则的取值范围为 ． 题型三：一元二次方程的近似解 1．根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 2．小东在用计算器估算一元二次方程的近似解时，对代数式进了代值计算，并列成下表． －0.5 0 0.5 1 2.75 1 －0.25 －1 由此可以判断，一元二次方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 3．根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x，则x的整数部分是 ． x 0 1 2 3 x2+12x﹣15 ﹣15 ﹣2 13 30 题型四：二次函数与不等式 1．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 2．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(   ) A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3 3．如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（       ） A． B． C．戓 D．戓 4．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 5.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 6．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 7．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      8.如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集. 题型五：根据函数图象判断代数式的值 1．二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（     ） A．对称轴是直线 B．当时， C． D． 2．已知，二次函数图象如图所示，则下列结论正确的有（　　） ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③4a+2b+c＞0； ④a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y1)，(4，y2)在抛物线上，则y1<y2；③当−1<x<3时，y<0时；④8a+c>0．其中正确的有（    ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②④ 4.如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当时，y1＜y2；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣1．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，函数经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点，则．其中结论的正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 _____（只填写序号）． 8.二次函数的部分图象如图所示，下列说法：①；②时，随的增大而增大；③的解为，；④；⑤或时，，其中正确的序号是 __． 【答案 22.2二次函数与一元二次方程知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版九年级上册（五大题型） 知识归纳： 知识点一：二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 知识点二：抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 知识点三：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 知识点四：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 题型突破： 题型一：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（       ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 2.已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是________． 【答案】， 3．如图，二次函数与x轴的一个交点为，则方程一元二次方程的根是 ． 【答案】 4．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______． 【答案】x＝3 题型二：二次函数图象与x轴的公共点个数 1．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】C 2．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ） A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1 【答案】C 3.关于的函数与轴有交点，则的取值范围是（       ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 4．已知二次函数与轴的一个交点，则值为（      ） A． B． C．或 D．任何实数 【答案】A 5．若抛物线与轴有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 题型三：一元二次方程的近似解 1．根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】C 2．小东在用计算器估算一元二次方程的近似解时，对代数式进了代值计算，并列成下表． －0.5 0 0.5 1 2.75 1 －0.25 －1 由此可以判断，一元二次方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x，则x的整数部分是 ． x 0 1 2 3 x2+12x﹣15 ﹣15 ﹣2 13 30 【答案】1 题型四：二次函数与不等式 1．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 2．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(   ) A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3 【答案】C 3．如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（       ） A． B． C．戓 D．戓 【答案】C 4．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 5.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 6．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 7．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      【答案】 8.如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集. 【答案】 【小问1详解】 解：∵直线分别交轴，轴于两点 ∴，则 ∴ ∵经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. ∴把和代入 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 结合图象，的解集为 题型五：根据函数图象判断代数式的值 1．二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（     ） A．对称轴是直线 B．当时， C． D． 【答案】D 2．已知，二次函数图象如图所示，则下列结论正确的有（　　） ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③4a+2b+c＞0； ④a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y1)，(4，y2)在抛物线上，则y1<y2；③当−1<x<3时，y<0时；④8a+c>0．其中正确的有（    ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 4.如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当时，y1＜y2；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣1．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 6．如图，函数经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点，则．其中结论的正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 7.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 _____（只填写序号）． 【答案】①②③④⑤ 8.二次函数的部分图象如图所示，下列说法：①；②时，随的增大而增大；③的解为，；④；⑤或时，，其中正确的序号是 __． 【答案】②③⑤ 学科网（北京）股份有限公司 $