8.3 实数及其简单运算 实数 课件 2024--2025学年人教版（2024）七年级数学下册

第八章 实 数 8.3 实数及其简单的运算 8.3.1 实数及其大小比较 学习目标 1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类； 2.熟练掌握实数大小比较方法(重点)； 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数(难点). 你还记得我们怎样对有理数进行分类吗? 有理数 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 知识回顾 按定义分： 按性质分： 本章我们认识了像 ，这样的无限不循环小数，它们是有理数吗？ 问题1 我们知道有理数包括整数和分数，把下列分数写成小数的形式，你发现了什么？ 所有分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式 问题探究 我们发现： 问题2 整数都能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？ 由此，你可以得到什么结论？ 可以 有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 问题3 所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？ 不是. 如： π = 3.1415926535897932384626… 2.02002000200002… （两个2之间依次多一个0） 它们都是无限不循环小数，它们还是有理数吗？ 问题探究 1.无理数的概念： 无限不循环小数叫做无理数. 2.常见无理数的三种形式： (1)含π型的数： 例如：2π， π+1， ， 等的数都是无理数. (2)含开不尽方的根号型的数： 例如： 的数都是无理数. (3)有规律但无限不循环的小数型：（省略号“…”是明显的标志） 例如：0.1010010001…，1.232232223…等的数都是无理数. 3.实数的概念： 有理数和无理数统称为实数. 归纳总结 想一想 像有理数一样，无理数也有正负之分. 例如， ， ， ， ， 是正无理数， ， ， ， ， 是负无理数. 问题探究 你能仿照有理数的分类方法，将实数进行分类吗？说说你的想法，与同伴交流. 实数的分类： (1)按定义分： (2)按性质分： 实 数 有理数 无理数 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 正无理数 负无理数 实 数 正实数 0 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 正整数 正分数 负整数 负分数 归纳总结 归纳总结 有理数与无理数的区别： 有理数 无理数 是有限小数或无限循环小数 是无限不循环小数 都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数） 不能写成分数的形式 例1.将下列各数分别填入下列相应的括号内： 典例精析 有理数集合 ... 无理数集合 ... 正实数集合 ... 负实数集合 ... 1.将下列各数分别填入下列相应的括号内： 试一试 非负有理数集合 ... 无理数集合 ... 负实数集合 ... 2.将下列各数填入相应的括号内 有理数集合： 无理数集合： 整数集合： 分数集合： 正实数集合： 负实数集合： … … … … … … 试一试 思考1：如图，用数轴上的点表示下列有理数 0 -2 -1 1 3 2 4 1 ， -2 ， 1.5 ， 3 ， -1 ，2 . 无理数是否也可以用数轴上的点表示呢？ 问题探究 思考2：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是多少？ 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● A O 从图中我们可以看出OA的长就是这个圆的周长π，所以对应点A对应的数就是π，数轴上的点A就表示无理数π. 问题探究 思考3：以单位长度1为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示 。(为什么？) -1 -2 0 2 1 3 问题探究 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．因此实数与数轴上的点是___________的. 一一对应 实数 实数 数轴上的点 一一对应 -1 -2 0 2 1 3 4 归纳总结 －2 －1 0 1 2 3 π 我们知道有理数都可以在数轴上比较大小，那么实数我们也能不能像有理数一样在数轴上比较大小呢？ 怎样比较 ， ， 的大小呢？你用什么方法？ π 我们可以借助数轴来比较它们的大小 在数轴上，左边的实数总比右边的实数小. 问题探究 比较实数大小的方法： 1.数轴比较法： 在数轴上，左边的实数总小于右边的实数. 2.正负数比较法： 正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 3.绝对值比较法： （2）两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小. （1）两个正数比较大小，绝对值大的正数较大； 4.被开方数比较法： 被开方数越大的实数也越大，反之也成立. 另外，还有作差法，作商法，倒数法等. 归纳总结 例3 估计 位于（ ） 典例精析 例2 在数轴上表示下列各点，并用“<”连接起来. A.0~1之间 B.1~2之间 C.2~3之间 D.3~4之间 B 熟记一些常见数的算术平方根；或用计算器估计. 归纳 0 1 2 3 -1 -2 -3 如图 -2 -3 -1 1 0 2 -4 右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 试一试 (1) 在数轴上标出-π， ， 所对应点的大致位置. (2) 根据数轴比较 -π， ， 的大小. 典例精析 例4 比较下列各组数的大小： 解： 解： 1.下列说法正确的是（ ） A. a一定是正实数 B. 是有理数 C. 是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数 B 当堂练习 2.有一个数值转换器，原理如下，当输x=81时，输出的y是 （ ） A.9 B.3 C. D.±3 3.判断快枪手——看谁最快最准！ (1) 实数不是有理数就是无理数. （ ） (2) 无理数都是无限不循环小数. （ ） (3) 带根号的数都是无理数. （ ） (4) 无理数都是无限小数. （ ） (5) 无理数一定都带根号. （ ） × × 当堂练习 (1)有理数：{ } (2)无理数：{ } (3)整 数：{ } (4)负 数：{ } (5)分 数：{ } (6)非负实数：{ } 4.把下列各数填入相应的括号内： 当堂练习 5.比较下列各组数的大小. 当堂练习 （1） 与 6 课堂小结 1.无理数的概念： 2.实数的概念： 3.实数的分类： 4.实数的数轴表示： 5.实数的大小比较： $