22.1二次函数的图象和性质知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1二次函数的图象和性质知识归纳与题型突破 2025-2026学年人教版九年级上册 知识归纳： 知识点一：二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点二：二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 题型突破： 题型一：二次函数的概念 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2.二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 3．下列函数中①；②；③；④，是二次函数的有（） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 4．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有: A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 题型二：根据二次函数的定义求参数 1．当函数 是二次函数时，的取值为（ ） A． B． C． D． 2．若是二次函数，且图象开口向下，则的值为（ ） A． B．0 C． D． 3．当m≠_____时，函数y=（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数． 4．若函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数，则k______. 5．已知y＝+3是x的二次函数，则m＝_____． 题型三：列出二次函数关系式 1．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A． B． C． D． 2．一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为(　　) A．y=x(15-x) B．y=x(30-x) C．y=x(30-2x) D．y=x(15+x) 3．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 4.一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 5．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为______． 6.圆的半径是1cm，当半径增加xcm时，圆的面积将增加ycm2，则y与x之间的函数关系为_． 题型四：特殊二次函数的图像和性质 1．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　） A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2 2.抛物线的开口方向是（    ） A．向下 B．向上 C．向左 D．向右 3．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小 5.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 6．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（    ） A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22 C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2 7.二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限 8．在平面直角坐标系中，已知，点A(1，m)和点B(3，n)（其中mn<0）在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．若点(−1，y1)，(2，y2)，(4，y3)也在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（         ） A． B． C． D． 题型五：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 10.若点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(   )（用“”连接） A．y3y2y1 B．y1y2y3 C．y2y1y3 D．y2y3y1 11.若抛物线经过点，，则它的对称轴是（    ）． A． B． C． D． 12.把抛物线化成一般式是______． 13.二次函数的图像的顶点坐标是_________． 14.抛物线的对称轴是直线______． 15.已知二次函数. (1)将化成的形式； (2)画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标； (3)当x取何值时，y随x的增大而减小． 题型六：二次函数的图像与系数的关系 1．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（　　） A． B． C． D． 2.二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，抛物线（）的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（，0），其部分图象如图所示，下列结论；①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5.如图，是二次函数（） 图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（－2，0）．有下列说法:①；②；③；④若，，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的是(     ) A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④ 题型七：待定系数法球二次函数解析式 1.已知抛物线顶点为 (2,-3)，且过点 (0,1)，则其解析式为（ ） A. y=(x-2)²-3 B. y=(x+2)²-3 C. y=(x-2)²+1 D. y=(x+2)²+1 2.抛物线 y＝ax²+bx+c 过点 (0,3)，且对称轴 x＝-2，又过 (1,0)，则解析式为（ ） A. y=-x²-4x+3 B. y=x²+4x+3 C. y=-x²+4x+3 D. y=x²-4x+3 3.抛物线 y＝a(x－2)²＋3 过点 (0,7)，则 a＝__________。 4.抛物线 y＝ax²+bx+c 过 (0,5)、(1,3)、(3,5)，则解析式为 __________。 5.已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。 6．二次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点D（3，-8）．求此二次函数的解析式及顶点坐标． 7．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的关系式和顶点坐标； （2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围． 题型八：二次函数的图像平移问题 1.将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是（    ） A．y＝﹣2（x﹣3）2﹣1 B．y＝﹣2（x＋1）2﹣1 C．y＝﹣2（x＋1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣3 2.将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 3.将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4.抛物线y＝+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1） 5.将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式（　　） A．y＝﹣x2﹣1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x2+1）2 6.若要得到抛物线y=（x+5）2-3，可以将抛物线y=x2（    ） A．先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度 7.将抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为 _____． 8．把抛物线向右平移5个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式是 ． 9．二次函数y＝x2—2x一2的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_______． 10.将抛物线 向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴． 【答案】 22.1二次函数的图象和性质知识归纳与题型突破 2025-2026学年人教版九年级上册 知识归纳： 知识点一：二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点二：二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 题型突破： 题型一：二次函数的概念 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2.二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 【答案】C 3．下列函数中①；②；③；④，是二次函数的有（） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 4．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有: A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 5．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 【答案】﹣5、3、 题型二：根据二次函数的定义求参数 1．当函数 是二次函数时，的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2．若是二次函数，且图象开口向下，则的值为（ ） A． B．0 C． D． 【答案】D 3．当m≠_____时，函数y=（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数． 【答案】m≠1 4．若函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数，则k______. 【答案】k≠±2 5．已知y＝+3是x的二次函数，则m＝_____． 【答案】-1 题型三：列出二次函数关系式 1．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A． B． C． D． 【答案】C 2．一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为(　　) A．y=x(15-x) B．y=x(30-x) C．y=x(30-2x) D．y=x(15+x) 【答案】A 3．用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 4.一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 【答案】D 5．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为______． 【答案】y=x2+6x 6.圆的半径是1cm，当半径增加xcm时，圆的面积将增加ycm2，则y与x之间的函数关系为_． 【答案】 题型四：特殊二次函数的图像和性质 1．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　） A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2 【答案】A 2.抛物线的开口方向是（    ） A．向下 B．向上 C．向左 D．向右 【答案】A 3．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 5.关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6 【答案】D 6．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（    ） A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22 C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2 【答案】B 7.二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限 【答案】C 8．在平面直角坐标系中，已知，点A(1，m)和点B(3，n)（其中mn<0）在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．若点(−1，y1)，(2，y2)，(4，y3)也在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 9．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（         ） A． B． C． D． 【答案】B 题型五：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 10.若点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(   )（用“”连接） A．y3y2y1 B．y1y2y3 C．y2y1y3 D．y2y3y1 【答案】B 11.若抛物线经过点，，则它的对称轴是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 12.把抛物线化成一般式是______． 【答案】 13.二次函数的图像的顶点坐标是_________． 【答案】（﹣1，4） 14.抛物线的对称轴是直线______． 【答案】x＝1 15.已知二次函数. (1)将化成的形式； (2)画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标； (3)当x取何值时，y随x的增大而减小． 【答案】（1） 解： y=x2-4x+3=（x-2）2-1， 则该抛物线解析式是y=（x-2）2-1； （2） 解：列表， x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 描点，连线， 图象如图所示： ∵抛物线解析式是y=（x-2）2-1， ∴抛物线对称轴是直线，顶点坐标是； （3） 解：由图象可知当＜2时，随的增大而减小． 题型六：二次函数的图像与系数的关系 1．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2.二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 3．已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 4．如图，抛物线（）的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（，0），其部分图象如图所示，下列结论；①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 5.如图，是二次函数（） 图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（－2，0）．有下列说法:①；②；③；④若，，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的是(     ) A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④ 【答案】C 题型七：待定系数法球二次函数解析式 1.已知抛物线顶点为 (2,-3)，且过点 (0,1)，则其解析式为（ ） A. y=(x-2)²-3 B. y=(x+2)²-3 C. y=(x-2)²+1 D. y=(x+2)²+1 [答案]A 2.抛物线 y＝ax²+bx+c 过点 (0,3)，且对称轴 x＝-2，又过 (1,0)，则解析式为（ ） A. y=-x²-4x+3 B. y=x²+4x+3 C. y=-x²+4x+3 D. y=x²-4x+3 [答案]A 3.抛物线 y＝a(x－2)²＋3 过点 (0,7)，则 a＝__________。 [答案]1 4.抛物线 y＝ax²+bx+c 过 (0,5)、(1,3)、(3,5)，则解析式为 __________。 [答案]y＝x²－2x＋5 5.已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。 【答案】解：根据抛物线对称轴为直线x=2，且抛物线过点（5，0），可知抛物线与x轴另一交点为（-1，0），则设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将点（1，4）代入，得4=a×2×（-4），解得a=- ，则抛物线解析式为y=- （x+1）（x-5）=- x2+2x+ 6．二次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点D（3，-8）．求此二次函数的解析式及顶点坐标． 【答案】解：由题意，有 解得 ∴此二次函数的解析式为； ∴，顶点坐标为（2，-9）； 7．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的关系式和顶点坐标； （2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）解：根据题意得： ，解得：， 所以二次函数关系式为y=-x2+2x+3， 因为y=-（x-1）2+4， 所以抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）解：x＜0或x＞2 题型八：二次函数的图像平移问题 1.将二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣2的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得到的二次函数的解析式是（    ） A．y＝﹣2（x﹣3）2﹣1 B．y＝﹣2（x＋1）2﹣1 C．y＝﹣2（x＋1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣3 【答案】B 2.将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x+1）2+2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 4.抛物线y＝+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【答案】D 5.将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式（　　） A．y＝﹣x2﹣1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x2+1）2 【答案】A 6.若要得到抛物线y=（x+5）2-3，可以将抛物线y=x2（    ） A．先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】B 7.将抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为 _____． 【答案】## 8．把抛物线向右平移5个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 9．二次函数y＝x2—2x一2的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_______． 【答案】y＝(x-4)2＋1 10.将抛物线 向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴． 【答案】解：∵ = ，∴平移后的函数解析式是 ．顶点坐标是（-2，1）．对称轴是直线 学科网（北京）股份有限公司 $