2.1 二次函数教学设计 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦“二次函数”概念，以喷泉水流、篮球路线情境设疑导入，通过代数、几何及实际应用问题串回顾一次函数研究思路，搭建知识迁移支架。 特色在于情境驱动建模，结合鸡场面积、果园产量问题引导抽象函数关系，类比一次函数归纳定义，例题变式与分层作业强化概念理解，培养模型观念、抽象能力和推理意识，助力学生构建知识结构，为教师提供结构化探究式教学方案。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 春季 课题 2.1二次函数 教学目标 1.在实际问题中建立变量间的二次函数关系，感悟其中的模型观念. 2.通过类比一次函数形成二次函数的研究方法，对本章内容形成结构化和整体性认识，提升自主建构知识的能力. 3.体会数形结合思想，培养抽象能力，发展几何直观的合作交流经验，具备了一定的自主探究的能力. 教学重难点 教学重点： 根据实际问题建立二次函数模型；研究二次函数的基本思路. 教学难点：从实际问题中建立二次函数的表达式. 教学过程 环节一：回顾旧知，引入概念 问题1:大家有没有留意过喷泉水流经过的路线？观看篮球比赛时你是否留意过篮球入网的路线？它们会与某种函数有联系吗？这就是本章要学习的内容. 设计意图:通过讲解章引言和章头图，设疑引趣，唤起学生的求知欲，同时明确本章的学习目标，为学生学习整个章节的知识起一个统领性的作用. 问题2:展示情境，学生思考. 1. 已知甲数是乙数的5倍，设乙数为x，则这两个数之积y的表达式为 2.一位农民决定要在一块空地上修建一个矩形鸡场，一边靠墙，墙长25米，另三边用总长40米的栅栏围 成。 第2题图 （1）设边AB长为x米，边BC长为y米,鸡场的面积为150平方米,则y与x的关系式为： （2）设边AB长为x米，边BC长为y米, 栅栏全部使用 , 则y与x的关系式为： （3）设边AB长为x米，鸡场的面积为y米, ,则y与x的关系式为： 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． （1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ （2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? （3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式． 设计意图：从代数、几何、实际应用三方面分层设计问题串，让学生经历探索和表示两个变量之间二次函数关系的过程，抽象归纳出二次函数的定义，认识数学与生活的密切联系，体会函数的模型思想，培养抽象思维能力和数学应用意识 学生思考获得以下函数表达式:1. 2.（1） ;(2)y=40-2x;(3)y=x(40-2x) 3.y=-5x²+100x+60000 问题3:其中有你熟悉的函数吗？我们是从哪些方面研究这些函数的？ 设计意图:通过对一次函和反比例函数的定义的复习，复习学生已有的研究函数的基本研究思路,为后续研究二次函数做好铺垫. 环节二：归纳类比 形成概念 问题1，问题2: (3)及问题3中的函数这三个函数表达式有什么共同特征？类比一次函数你能否归纳这类函数的定义？ 设计意图：观察到三个表达式的共同特征都是含有自变量的二次项.学生通过类比一次函数的命名来对这三个函数表达式进行命名，在新知识与旧知识的对比中，教师引导学生归纳出二次函数的概念和表达式，从而培养他们的抽象能力. 定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中,ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项， b叫做一次项系数；c叫做常数项. 2、温馨提示： （1）等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项； 环节三：应用新知 辨析概念 例1：下列函数中，是二次函数的有哪些？ 1 y=x2 ② (x-3 ③ y=(2x+3)²4x² ④ ⑤ y=x²+x³+25 ⑥ y= ax²+bx+c 例2、如果函数y=xk2-3k+2+kx+1是二次函数，则k的值一定是______ 变式:如果函数y=(k-3) xk2-3k+2 +kx+1是二次函数,则k的值一定是______ . 方法归纳：判断一个函数是不是二次函数，要抓住二次函数的结构特征： （1）解析式是关于自变量的整式； （2）自变量的最高次数是2； （3）化简后二次项系数不为0.. 设计意图：通过交流分享，概念辨析，加深学生对二次函数概念的理解.例2中的一题多变培养学生的发散思维。例1让学生自主辨析二次函数关系式，进一步得出二次函数的具体特征，面向全体学生，夯实双基. 例2逆向思维，已知二次函数的条件求系数，属于提高题，面向程度较好的学生，训练思维的灵活性，强化学生对二次函数概念的理解和掌握. 议一议：在前面讨论的问题中，自变量能取哪些值？ 2 y=5x²； 2 y=x(40-2x)= -2+40x; 3 y= -5x²+100x+60000 一般情况下二次函数y= ax²+bx+c(a,b,c是常数, a≠0)的自变量取值范围是全体实数，但在生活中还需要考虑实际情况. 设计意图：通过例题的讲解，学生知道并理解二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制. 想一想：你能举出一些二次函数的例子吗？ 设计意图：让学生在经历了从现实生活情境中抽象出二次函数的模型，又回过头来体会二次函数就在我们的周边。数学来源于生活，又服务于生活。通过寻找生活中二次函数模型并列出二次函数的关系，进一步发展学生的模型观念。 环节四：拓展提升 巩固新知 圆的半径是1cm，假设半径增加xcm,圆的面积增加ycm2 （1）写出y与x的关系式；（2）当圆的半径分别增加1cm，√2cm时，圆的面积各增加多少？ 设计意图：引导学生能够表示简单变量之间的二次函数关系，感知二次函数作为一个模型的主要作用是描述现实问题中的数量关系. 环节五：总结思考 内化升华 谈谈本节课你有哪些收获呢？ 设计意图：学生经过教师引导，从知识、思想、经验三方面进行归纳总结，帮助学生从感性认识升华到理性认识，实现了知识的类比迁移，总结出了二次函数与之前所接触的函数同样遵循一定的研究路径，为后续的课堂教学提供明确的方向，养成归纳总结的习惯. 作业布置 1.（基础作业）随堂练习第1题，习题2.1第1题。 2.（拓展性作业）你可以判断y=5𝑥3是什么函数吗？并说说该从哪些方面研究它？ 设计意图：复习巩固本节课所学内容。通过拓展性作业，让学生对函数的学习内容、研究方法应用价值有更深层次的理解，从而类比探索未知函数y= y=5𝑥3,发展迁移能力.学生在后续学习函数等知识时，知道从概念、图象、性质、应用这些角度去研究。 学科网（北京）股份有限公司 $