第三章 概率的进一步认识2.用频率估计概率教学设计2025-2026学年北师大版九年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 用频率估计概率 教学目标 1.经历试验、统计等活动，感受随机现象的特点，进一步发展合作交流的意识和能力； 2.能用试验频率估计随机事件发生的概率，进一步体会概率的意义； 3.通过有趣的生日问题的试验、统计，提高学习兴趣，形成严谨的科学态度。 教学重难点 教学重点： 用试验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率。 教学难点： 试验方案的设计。 教学过程 一、导入： 通过前面的学习，我们已经认识到当试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，并据此可以估计某一随机事件发生的概率，我们在七年级已经初步认识了频率与概率之间的关系，那对于较为复杂的随机事件的概率要如何求解呢？ 请随机掷一枚质地均匀的图钉，四人一小组，每个人都连续掷20次，请将结果填表，并回答如下问题：顶尖朝上的频率相等吗？ 各小组合作统计掷图钉的试验数据，填表，并思考如下问题： 所有人顶尖朝上的频率都相同吗？ 二、明确教学目标 1. 经历试验、统计等活动，感受随机现象的特点； 2. 用试验频率估计随机事件发生的概率，进一步体会概率的意义； 3. 发展合作交流的意识和能力。 三、教学过程 （1） 情景引入，提出问题 1、400个人中，一定有生日相同（可以不同年）的人吗？ 一年最多366天，400个人中一定会出现至少两个人出生在同一天，相当于400个物品放在366个抽屉里，一定至少有2个物品放在同一个抽屉里——抽屉原理：把m个物品任意放进n个抽屉里（m＞n），那么一定有一个抽屉中放进了至少两个物品。 2、300个人中，一定有生日相同（可以不同年）的人吗？ 答：我觉得不一定，因为一年最多有366天，300个人中不一定会出现2个人的生日相同， 3、有人说“50个人中，就很有可能有2个人的生日相同。”你同意这种说法吗？ 答：通过我们小组调查收集的数据，我们发现50个人中，就很有可能有2个人的生日相同。 4、请你设计试验方案，并于同伴交流。 方案一：我们组是让大家每人写出自己的生日，进行统计，我们得到“50个数据中，2人生日相同的概率是0.974，可能性很大。 方案二：我们小组是把366天用366个数字代替，写在366张纸条上，放在箱子里随机抽取50个数据，我们得到2人生日相同的频率是0.963，可能性也很大。 方案三：我们组首先让每个同学课外调查10个人的生日，然后从全班的调查结果中随机选取50个被调查人的生日，记录其中有无2个人的生日相同。每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录在下表中，我们发现，随着试验次数逐渐增多时，50个人中，2人生日相同的可能性非常大，而且“有2个人生日相同的频率稳定在常数0.97附近。 （2） 逐个击破，明确方法 内容1：一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是多少？我们依据等可能事件的概率的求法，可以很容易得到摸出红球的概率等于十分之三。 内容2：一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，估计其中红球和白球的比例吗？请同学们认真思考并作答 答：可以先将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸n次（n要足够大，例如n≥100），其中m次摸到红球，由此可以估计出：从口袋中随机摸出一球，它是红球的概率为另一方面，假设口袋中有x个红球，从口袋中随机摸出一球，它是红球的概率应该等于，由= ，得出x=白球的数量为10-x=个）。 因此，口袋中红球和白球的数量比约为。 内容3：一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次，发现69次摸到红球，请你估计这个口袋中红球和白球的数量（2秒）有请小华为大家展示： 分析：有了上一题的经验，我先假设口袋中有x个红球，100次试验有71次摸到红球，我们可以估计从口袋中随机摸出一球，摸出红球的概率为；另一方面，这个概率又应该等于,由此可以用频率估计概率的方法求出红球的个数x。做法如下：解：设口袋中有x个红球，根据题意可列方程： = 解得x≈7 则10-x=3 答：口袋中大约有7个红球，3个白球。 （3） 合作交流，设计方案 内容：有人说“50个人中，就很有可能有2个人的生日相同。”你同意这种说法吗？请你设计试验方案，并于同伴交流 方案一：尝试用画树状图或者列表的方法求解概率的理论值，但很快大家就感受到了其复杂性而终止尝试 方案二：先从自己的身边寻找证据：自己家人中是否有生日相同的亲属？自己现在所在的班级是否有生日相同的同伴？自己小学所在的班级中是否有生日相同的同学? 方案三：让大家每人写出自己的生日，进行统计，我们得到“50个数据中，2人生日相同的概率是0.974，可能性很大。 方案四：我们小组是把366天用366个数字代替，写在366张纸条上，放在箱子里随机抽取50个数据，我们得到2人生日相同的频率是0.963，可能性也很大。 方案五：我们组首先让每个同学课外调查10个人的生日，然后从全班的调查结果中随机选取50个被调查人的生日，记录其中有无2个人的生日相同。每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录在下表中，我们发现，随着试验次数逐渐增多时，50个人中，2人生日相同的可能性非常大，而且“有2个人生日相同的频率稳定在常数0.97附近。 四、方法迁移，类比应用 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，估计其中红球和白球的比例吗？请同学们认真思考并作答 答：可以先将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸n次（n要足够大，例如n≥100），其中m次摸到红球，由此可以估计出：从口袋中随机摸出一球，它是红球的概率为另一方面，假设口袋中有x个红球，从口袋中随机摸出一球，它是红球的概率应该等于，由= ，得出x=白球的数量为10-x=个）。 因此，口袋中红球和白球的数量比约为。 五、归纳小结，思维升华 同学们都听明白了吧，相信有了这样的铺垫，我们可以很容易的解决如下问题 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从口袋中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次，发现69次摸到红球，请你估计这个口袋中红球和白球的数量（2秒）有请小华为大家展示： 分析：有了上一题的经验，我先假设口袋中有x个红球，100次试验有71次摸到红球，我们可以估计从口袋中随机摸出一球，摸出红球的概率为；另一方面，这个概率又应该等于,由此可以用频率估计概率的方法求出红球的个数x。做法如下：解：设口袋中有x个红球，根据题意可列方程： = 解得 x≈7 则10-x=3 答：口袋中大约有7个红球，3个白球。 六、巩固整合，方法提炼 愉快的时光总是稍纵即逝，本节课我们经历了猜想、调查、试验、统计结果、合作交流的过程，知道了用大量重复试验的频率来估计一些复杂随机事件的概率，当试验次数较多时，试验的频率稳定与理论概率，我们还感受到了直觉并不可靠，本节课“50人中有2人生日相同”的概率竟高达0.97，这有违我们的常识，生活中还有很多看似巧合实则平凡的现象，如果我们用科学的方法研究一下其概率，就会透过现象看到本质，相信同学们已经更进一步的体会到了随机现象的不确定性以及他所呈现的规律性，我们又更深刻的认识到频率与概率的关系，以及用试验的方法估计一些较为复杂的随机事件发生的概率， 七、布置作业，课后巩固 必做题： 1、课外调查10个人的生肖，他们中有2人生肖相同吗？6个人中呢？利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2人生肖相同的概率。 2、现有一个不透明的盒子，盒中有一些球，这些球除颜色外都相同。如果不将球倒出来数，如何估计盒子中球的个数？请您设计方案。 选做题： 课外阅读，课本70页读一读模拟试验内容。 学科网（北京）股份有限公司 $