第2章 二次函数 学业质量自我评价-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

∴.ABs0.75X7053. 故塔AB的高度约为53m 23.解：(1)BE=2AF (2①仍然成立.理由：在Rt△ABC中，sin∠ABC=sin30 瓷 在R△CEF中，in(90-∠ECF)=in30=下=号 瓷带聚器 BC CE :∠ACB=∠ECF=60°，·.∠BCE+∠ACE=∠ACF+ ∠ACE,.∠BCE=∠ACF, △BCEO△AC,品-瓷-BE-2AE ②co∠EFA=Z·BC=2I. 【解析】(2)②易证△BCEC△ACF,,·∠BEC=∠AFC B.E,F三点共线∠BEC=150.∠AFC=150°， ∴.∠AFE=∠AFC-∠EFC=G0°， 1 .cas∠EFA=cos60=7 如图，过点D作DH⊥BE,垂足 为H. .BD DE. ..BH=HE DH⊥BE,CF⊥EF, ∴.DHCF, 器畏之BH=B=球 .BE BC :△BCE△ACF…AF==2 .BH=HE=EF=AF,△EFA是等边三角形， ..BH=HE=EF=AF=AE=3. ∴.BF=9,CF=EF·tan30°=5， ∴.BC=/BF+CF=22T. 第二章学业质量自我评价 1.B2.A3.B4.D 5.C【解析】由二次函数的图象可知，抛物线与x轴的交点坐 标为0.0)和(30.01对称轴为r=0士0=15.：桥墩的 2 高度为40m,∴.抛物线的顶点坐标为(15,40).设地物线的表 达式为y=a(x一15)2+40(a≠0).把(0,0)代入，得a·15 8 十400.a一。该抛物线的表达式为y=一石r宁 8 16 15》+40,即y=一元x+3x 6.C【解析】，二次函数y=ax2+b.x+c(a≠0)图象中，开口 向上， .公>0. 心对称轴r三一名≥0>0 .一b>0,即b<0. ·抛物线与y轴交点在负半轴， .c0, .ax>0,A选项不符合题意 由图象知对称轴=一会<1 又a>0,两边乘2a,得一b<2a,.2a+b>0,B选项不符合 题意. 当x=一1时，y=a一b+c.由图象知x=一1时.y>0,即a 一b十>0，D选项不符合题意. a-b+c>0.∴.4a-4b+4c>0. 当x=2时，y=4a+2b+c=0, ∴.(4a+2b+c)-(4a-4b+4c)0. 即6b一3c<0,.2b一c<0,C选项符合题意， 7.m≤8 ,8.y=-x一1（答案不唯一）9.18 10.m≥1 11.220【解析】，图象是经过原点的一条抛物线的一部分， ,.设抛物线的表达式为P=a12+b1(a≠0)，把(1,165)， （4.0)代人，得十6=165，解得a=一55·弛物线的表 116a+4b=0, 16=220. 达式为P=-551+2201=-55(1-2)2+220.-55< 0,.当1=2时，P取最大值220，，变阻器R消耗的电功 率P最大为220W. 12m=0成m号或2<< 5 【解析】如图所示， t+m 令y=一2x2十4x=0,解得 x1=0,r,=2.则点A的坐标 为(2,0)，点B的坐标为 (-2,0). C,与C:关于y轴对称， C,的表达式为y=-22+ 4.x=-2(x-1)2+2(0x≤2). ∴.C,的表达式为y=一2x一4x=一2(x+1)2+2(一2≤x 0). 当直线y=x+m,过点O时.它与C1,C:共有2个不同的 交点，此时m1=0: 当直线y=x十m:与C,只有1个交点时，它与C,C共 有2个不同的交点，令x十m2=一22+4x,得2x”一3x+ 9 m4=0.∴4=9-8m:=0,解得m:=8 当直线y=x+m1过点B时，它与C,C:共有2个不同的 交点，此时0=一2十ma,.m:=2: 当直线y=x十m,与C,只有1个交点时，它与C,C:共 有1个交点，令x十m:=-2x”-4r,得2x2+5r十m1=0, 25 4-25一8m,-0,解得m1-8 综上所述，当m=0或m=号或2<m<要时，直线y=十 9 m与C1,C,共有2个不同的交点. 13.解：(1)批物线y=一x十x十4经过点（一2，n)和(4， n）, .对称轴为直线x= 二2士-1，即一×-D1得6 2 =2. .y=一x2+2x+4.把（一2，n)代入表达式中，得n= -(-2)2十2×(-2)+4=一4. (2)由题意可知，二次函数的图象的对称轴为直线x=一3， .h=3.二次函数的表达式为y=一3(x十3). 当x=一1时，y=-3×(-1+3)3=-12. 14.解：(1)把x=一1，y=0和x=2,y=9分别代人二次函数 的表达式， 下册参考答案 59△ 得/a一6一1=0·解得三1. 14a+2b-1=9. ·二次函数的表达式为y=2x+x一1 (2)当x=1时，m=2十1一1=2. 15.解：(1)如图①，点A即为所求 (2)如图②，点P即为所求. 图① 图② 16解：)由题意，得-受=1.解得m=一2. (2)由(1)知.y=x一2x+1=(x一1)P,.将此揽物线先向 左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛 物线表达式为y=(x一1十2)一1，即y=(x十1)2一1=x +2x. 17.解：(1)y=x-4x一6=(.x2-4x十4)一4-6=(x-2)- 10,.地物线的顶点式为y=(x一2)一10. 完善表格如下： x …-20246… y…6-6-10-66… 函数图象如图所示 (2)-10≤y<6 (3)-1.2.5.2 【解析】(3)由图象可知方程有两个根，一个在一2和一1之 间，另一个在5和6之间. 当x=-1,1时，y=-0.39:当x=-1.2时，y=0,24, ,x=一1.2是方程的一个近似根。 当x=5.1时，y=-0.39:当x=5.2时，y=0,24, ∴x=5.2是方程的另一个近似根 故一元二次方程x一4x一6=0的两个近似根分别为 -1.2.5.2 18.解：(1)由题意，得0=一1一1十c,0= 合×1+6，解得6= -2 (2)6=-2c=2. 六抛物线，=--+2，直线=子-宁 ,-=(--x+2)-(3-号）-2-2 三-(+)+治 60 九年级数学BS版 六当=一子时，一：取得最大值号 y=-x-x+2, 5 2 1x=1. (3)联立 1 1解得 或 y=2x-2 7 小= y=0, 4 六点A的坐标为(-多-子）由图象可得，当-乏< <1时-r-te>r+b. 19.解：(1)：二次函数图象的顶点为A(一4，一1)， ∴设二次函数的表达式为y=a(x十4)2一1. :二次函数的图象经过点B(一2,3)， .3=a(一2+4)2一1，解得a=1, 二次函数的表达式为y=(x十4)一1=x2+8x十15. (2)存在.设直线AB的表达式为y=x+b, 把A(一4，-1)和B(-23)代人，得仁十-一1·解得 1-2k+b=3, 使=2：。一次雨数的表达式为y=2x+7 1b=7. 在y=2r+7中，令x=0,得y=7,.C(0,7) 设P(0,n).∴.PC=|w-7 六S6e=Sapc-Sae=ZX(4-2)·h-7l=3, 1m-7川=3.∴n=4或n=10, .点P的坐标为(0,4)或(0,10) 20.解：(1)由题意可得点A(一2,0)，B(2,0),顶点坐标为 (0,2). 设抛物线的函数表达式为y=ax2+2. 将A(一2,0)代人，得0=4a十2， 解得a■一立 “该抛物线的函数表达式为y=一+2. (2)椅子的高度CE=0.72m,宽度CD=0.5m, ∴将y=02代人y=-宁+2. 得a2=-+2 解得xt=1.6,x,=一1.6 1.6-(-1.6)=3.2(m). 设可放置x把椅子.根据题意，0.5x≤3.2. 解得x≤6.4. 根据椅子把数是正整数， :最多可摆放6把这种椅子 21.解：(1)二次函数y=2(x一2)+1的“对称二次函数“是y =-2(x-2)°+1， (2)由题意，得y1一y:=(1-a)x-(3+b)x+1-c 又：y,一y:与y1互为“对称二次函数”，y1=x-3x+1= (-）--=-(-）-=-+ 1-a=-1, a=2, -(3十b)=3·解得 b=-6 1-=-2 y:=2x2-6x十2 22.解：(1)400 (2)由题意可得，W=(x-40)[500-10(x一50)]=一10x +1400.x一40000=-10(x-70)2+9000.由题可知.每盒 售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， 1r≥50. .p≥350.即500-10(r-50)≥350. 解得50x≤65. 当x=65时，W取得最大值，此时W==8750. 故当每盒售价定为65元时，日销售利洞W最大，最大利洞 是8750元. (3)小强的结论正确.理由：，50≤≤65，设日销售额为 y元， .y=x·p=x[500-10(x-50)]=-10.x2+1000r= -10(x-50)2+25000. 当x=50时，y值最大，此时y=25000: 当x=65时.W值最大，此时W=8750, 小强的结论正确。 小红的结论错误.理由：当日销售利润不低于8000元时，W ≥8000.-10(x-70)+9000≥8000. 解得60≤x≤80. 又50≤x≤65. .当日销售利润不低于8000元时，60≤r65. 故小红的结论错误，当日销售利润不低于8000元时，60 x≤65. 23,解：1)抛物线y=宁产是由抛物线y= (x+2)-1先 向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的： (2)①在地物线的对称轴上存在 定点F,使得PM=PF恒成立. 当点P在原点时，PM=PN=1, ,PF=1,即点F的坐标为(0,1)： 当点P不在原点且PF不与x轴平 行时，如图，过点P作PB⊥y轴于 点B 设点P的坐标为(e,一a）则点B的坐标为(0，一a） Pp=PM=子a+1,PB=la. .BF= VPF-PB a'+1）-lal =片- 若点B在点F上方则BF=-1 ..OF=OB-BF=1 若点B在点F下方，则BF=1- .OF=OB+BF=1,.点F的坐标为(0,1) 当PF∥x轴时，由PF=PM易得四边形PMNF为正方 形，则1a=子a+1.解得a=士2.FN=PM=20F =FN一ON=1,即点F的坐标为(0,1). 综上所述，在抛物线的对称轴上存在一定点F(0,1),使得 PM=PF恒成立. ②由①知，PM=PF, ,.QP+PF的最小值为QP+PM的最小值. 当Q,P,M三点共线时，QP十PM有最小值.最小值为5一 (一1)=6，即QP+PF的最小值为6. 期中学业质量自我评价 1.D2.A3.D4.C 5.C【解析】设P,Q两点同时出发后经过1s,△PBQ的面积为 S em',BQ=2t cm.AP =t cm.BP AB-AP =(6- 1)cm.S=2BP,BQ=2(6-1)·21=-1+6=-( 一3)+9.：AB=6cm,BC=8cm,点P的运动速度为 1cm/s,点Q的运动速度为2cm/s,0<1≤4，∴.S=一(t- 3)+9(0<1≤4)，，1=3时，S有最大值，即△PBQ的最大 面积是9cm 6.B【解析】①观察图可知AB=30m,故结论①错误：②设池 底所在地物线的表达式为y=ax一5(a≠0).将(15,0)代 人，得0-25a-5,解得a“6∴抛物线的表达式为y 1 -5，故结论@正确：网：y=行r-5.心当x=12时， y=一1.8，故池塘最深处到水面CD的距离为5一L.8▣3.2 (),故结论③错误；①当池塘中水面的宽度减少到原来的 一半，即水面宽度为12m时，将工=6代入y=名-5，得 y=一4.2，此时最深处到水面的距离为5一4.2=0.8(m),即 原来的一，做结论④正确。 7.1058.号9.3 10.45【解析】如图，过点C作CE⊥BA 交BA的延长线于点E. CD平分∠ACB, ∠BCD=t∠ACB,∠EC=∠B +∠DCB-2∠B+∠ACB)-×90-45. E-cD:n∠Bnc=4E×号-4“amB-能 .BE=8.BC=CEET=8=5. 11.10【解析】由题意设抛物线的表达式为y=ax2+1.将 A(2,0.6)代人表达式，得4a十1=0.6.解得a=一0.1， ∴抛物线的表达式为y=一0.1x+1.设直线OA的表达 式为y=r.将A(2,0.6)代入，得0.6=2k,解得k=0.3, 六直线0A的表达式为y=0.3,联立=一0.1r+1解 1y=0.3x, 得一5或2， y=-1.5ly=0.6. ∴点F的坐标为（一5，一1.5） 又地物线的对称轴是y轴， ∴点E的坐标为(5，一1.5)， .EF=5-(-5)=10(dm). 12.(4,一5)或(2+14,5)或(2一14,5)【解析】当x=0 时.y=x2一4x-5=一5，∴.C(0,一5). 设P(1.1-4/-5). S△ram=S△Am, ∴宁×6+0-1-51-专×6+10X5. ①当t-41一5=5时，解得1=2+√t:=2-可. 此时点P的坐标是(2十耳，5)或(2一14,5)： 下册参考答案 61△九年级数学BS版下册 第二章 学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1,若函数y=ax--是二次函数，且图象开口向上，则a= A.-2 B.4 C.4或-2 D.4或3 2.二次函数y=x一4x+7的图象的顶点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知二次函数y=a.x+bx十c(a>0)的图象过点A(1,n).B(3,n).若点 C(一1，y),D(0,y),E(6,y)也在该二次函数的图象上，则下列结论中，正确 的是 () A.y<y:<y B.y<y<ys C.y<y<y D.y<y,<y: 4.(2025抚州南城一模)如图，二次函数y=ax°十bx十c的部分图象与x轴的一 个交点的横坐标是一3，顶点坐标为（一1,4），则下列说法正确的是 () A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<一1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 (-14 -3 0 30x 第4题图 第5题图 第6题图 5.某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m.若建 立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 B.y=30.x2-40z 8 D.y=-40x2十30.x 6.(2025安微)已知二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图象如图所示，则() A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b十c<0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若二次函数y=2x一x十m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 8.请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点(1，一2)的二次函数表达 式，这个二次函数的表达式可以是 9.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=α(x一3)2+k与y轴的交点，B是 这条驰物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长 为 165 220V 0 4A 国① 国②2 第9题图 第Ⅱ题图 133 10.已知抛物线y=一x2十2x十m,当x1时，y随x的增大而增大，m的取值范 围是 11.某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路（如图①）展开研究.将变阻器R的 滑片从一端滑到另一湍，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关 系图象如图②所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消 耗的电功率P最大为 w. 12.如图，抛物线y=一2x十4x与x轴交于点O.A.把抛物 线在x轴及其上方的部分记为C1,将C,以y轴为对称轴 作轴对称图形，得到C:,C:与x轴交于点O,B.若直线y =x十m与C,,C共有2个不同的交点，则m的取值范围 是 第12题图 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）】 13.(1)已知抛物线y=一x十bx+4经过（一2，n)和(4，n)两点，求n的值. (2)已知二次函数y=一3(x+h),当r<一3时，y随x的增大而增大，当x> 一3时，y随x的增大而减小.求当x=一1时，y的值. 14.二次函数y=a.x+bx一1中的x,y值满足下表： … -1 0 1 2 年用 0 -1 n 9 (1)求这个二次函数的表达式 (2)求m的值. 15.(2025吉安月考)如图，已知二次函数y=x+4x一5的图象及对称轴，请仅用 无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图①中作点A(一4，一5). (2)已知A(一4.一5)，在图②@中的对称轴上作点P.使CP一AP最大 图① 图② 16.已知抛物线y=x2十m.x十1的对称轴为直线r=1 (1)求m的值. (2)如果将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，求 两次平移后所得到的地物线表达式. 17.已知抛物线y=x一4.x一6. (1)将抛物线的表达式化为顶点式，完善下列表 格中的数据，在如右图所示的平面直角坐标系中 利用五点法画出此抛物线， 0 6 (2)结合图象，当一2<x<3时，y的取值范围为 (3)结合图象及所学习的知识，估算x一4x一6 =0的两个根，则这两个近似根分别为 (精确到0.1). 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如下图，抛物线y=一x一x+c与直线：=2x十b交于A.B(1,0)两点， (1)分别求c,b的值. (2)求一y的最大值. (3)求点A的坐标，并根据图象判断，当x取何值时，一x x+c>行+b6? 134 19.如下图，二次函数与一次函数的图象交于A(一4，一1)和B(一2,3)两点，一次 函数的图象与y轴交于点C,且A是二次函数图象的顶点： (1)求二次函数的表达式. (2)y轴上是否存在点P,使△PAB的面积为3？若存在，请求 出点P的坐标：若不存在，请说明理由， 20.(2025九江永修一模)如图①，某款抛物线形帐篷底面的宽度AB为4m,顶部 高度h为2m,以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立平面直角坐标 系xOy, 图① 因2 (1)求该抛物线的函数表达式. (2)图②为一把椅子摆入这款帐篷后的简易视图，椅子高度CE为0.72m,宽 度CD为0.5m.若在帐篷内沿AB所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子 间的间隔忽略不计)，求最多可摆放这种椅子的数量， 135 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.若两个二次函数图象的顶点相同、开口大小相同，但开口方向相反，则称这两 个二次函数互为“对称二次函数”， (1)请写出二次函数y=2(x一2)+1的“对称二次函数” (2)已知关于x的二次函数y,=x一3x十1和y=ax十b.r十c,若y:一y与 y1互为“对称二次函数”，求二次函数y:的表达式. 22.端午节吃棕子是中国传统习俗.在端午节来临前，某超市购进一种品牌的棕 子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350 盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每 盒售价每提高1元，日销售量诚少10盒.设每盒售价为x元，日销售量为 p盒， (1)当x=60时，p= (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(单位：元)最大？最大利润是 多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”小红说：“当日销售利 润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为他们的结论正 确吗？若正确，请说明理由：若不正确，请直接写出正确的结论 六、解答题（本大题共12分】 23.已知P为抛物线y=x上的一个动点. ()抛物线y=:是由抛物线y=一(x+2)-1通过平移得到的，请写出平移 的过程. (2)若直线（经过y轴上一点N,且平行于x轴，点N的坐标为(0，一1），过点 P作PMLl于点M. ①问题探究：如图①，在抛物线的对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF 恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由 ②问题解决：如图②，若点Q的坐标为(1,5)，求QP+PF的最小值. 图② 136