第1章 直角三角形的边角关系 学业质量自我评价-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第一章学业质量自我评价 1.D2.A 3.B【解析】如图，将线段AB向上平移1西 格，连接CE.:AB∥DE,·.∠APC =∠CDE. 在△CDE中，CE=5,CD=25,DE=5. .CE+CD=DE. ∴.△CDE为直角三角形，且∠DCE=90°， ·cos∠CDE-2E 51 icos∠ApC2E 5 4.D【解析】如图，过点A作AD⊥BC,垂足 为D. :∠B=45°.∠ADB=90°，AB=42, .AD=BD=42·sin45°=4. 在R△ACD中， unc=品-号cD-号AD= BC=BD+CD=10, ∴Sam=zBC·AD=z×10X4=20. 5.D【解析】在R1△ABC中，AC=3m,∠ABC=a. tana= c品品 tanatana 0=-D-(品-m 6.A【解析】如图，过点A作AE⊥AB交CD 于点E,过点E作EF⊥BC于点F 依题意，得∠BAD=120°，∠D=90°，AB⊥ BC.AB=160 cm.AD=20 cm..'AE LAB. EF⊥BC,AB⊥BC,∴四边形ABFE为矩 形..AE=BF,AB=EF=160cm,∠BAE= B F ∠AEF=90°..∠DAE=∠BAD-∠BAE =30°..∠AED=180°-∠DAE-∠D=60°，∴，∠CEF= 180°-∠AED-∠AEF=30°.在R△ADE中，AD=20cm, ∠DAE=30°，cos∠DAE=A9. AEAE=- AD 20 cos∠DAE cos30 _405 cm.在Rt△EFC中， 3 (em).BFAE0 3 ∠CEF=30.EF=16ocm:tam∠CEF-CF=E. tn/CEF-160X 1mm30160 cm),BC=BF+CF- 3 200Ecm“水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离为 3 200 -cm. 3 7.60°8.亏9.32.04 10.(4十23)【解析】由题意可知，4E=EG=BE=2cm, ∴.∠BAG=90°，BG=4cm. 由折叠的性质可知，AG=CG,∴.∠C=∠GAC=15°， .∠AGE=30°..∠AEB=60°. ∴.△ABE是等边三角形，.AB=2cm 在Rt△ABG中，AG=/BG-AB=/-2=23(em). ..BC=BG+CG=(4+2/3)cm. 11.（6尽+6)【解析】如图，过点 C作CD⊥AB,交AB的延长 线于点D.由题意可知，∠CAD =30°，∠CBD=45°，AB= 60 l2 n mile,.CD=BD.设CD= B BD=x n mile. 在R△ACD中，AD CD tan_CADtan30 n mile. CD AB=12 n mile..5r-x=12,解得x=65+6 故渔船与灯塔C的最短距离是(63+6)n mile. 125度号或碧【解折1：∠ACB-90,mB-号， BC AB 3 ·C=号AB.:AB=10,BC=6.AC AB一BC=8.△BMN为等腰三角形分为三种情况，设 AM=x=BN,则BM=10-x, 如图①.当BM=BN时，x=10一x,解得x=5,即AM=5: 如图②，当BM=MN时，作ME⊥BC于点E,则BE=EN =2BN=5 ∠BEM-∠BCA=g0,∠B=∠B.∴.△BEM∽△BCA, 裴微后有骨w品 如图③，当BN=NM时，作ND⊥BM于点D,则BD DM=2BM=10=兰 2 '∠BDN=∠BCA=90°，∠B=∠B, ∴.△BDNn△BCA. 10-x 6 10 B10- 图① 图2 等上，AM的长为5政曾改品 13解，0原式=2后-2×号+1=厅+ (2)∠A=90°-∠B=90°-30°=60. "tanb=么」 20 an5an30=206. -.a sinB- b 20 c=nBn30=40, 14.解：由题意，得∠AC0=30°.∠BC0=∠CB0=45.∠B0C =90°，.OB=(OC AC=80m0A=含AC=×800=40(m.0C= a∠Am.AC-号x0-4o/万m. .OB=4005m..AB=(0B-0A=(4005-400)m, 无人机以点A到点B的平均速度为05-046m/. 64 下册参考答案 7△ 15.解：(1)如图①，射线OB即为所求 (2)如图②，射线OB即为所求 盟①D 图②2 16.解：在△ABD中， :AB=6,∠B=30.AD⊥BC.AD=ZAB=3. 在△ADC中，CD= AD 3 =1. .AC=/AD+CD=√3+下=o, 故AD的长为3，AC的长为⑥. 17.解：如图，延长DC交AB于点E,则 A ∠BCE=∠CBM=30°，∠BEC=∠AED =90 .35 在Rt△BCE中，∠BCE=30,BC=42, C D <30 BCE--BE-C=21,CE =BC·cos∠BCE=42×cos30°=213，∴.DE=CD+CE -95+215-305. 在R△ADE中，∠ADE=35,an∠ADE=禁. .AE=DE·tan∠ADE=303×tan35°30×1.73× 0.70=36.33..AB=AE+BE=36.33+21≈57.3. 故桥墩AB的高约为57.3m. 18.解：(1)：在四边形ABCD中，∠A=60°，∠C=110°，AD ⊥CD. .∠B=360°-∠A-∠C-∠D=360°-60°-110°-90° =100°. (2)如图，过点B作BF⊥DC,BE⊥AD,垂足 分别为F,E AD⊥CD, 四边形BFDE为矩形， .BE=DF.BF=ED. ∠BCD=110. ,∠BCF=70°， AB=2m,∠A=60', AE-专AB=1m .ED=BF=AD一AE=3m, BC=BF」 3 sim70a.9*3.2(m). 即BC的长约为3.2m. 19.解：(1)如图，过点E作EF⊥BF于点F 由坡度i=1·E,得an∠BCP= 3 ∴∠ECF=30. 故山包坡角的度数为30. 58H ▣ ◇ i=l:V3 D 口 E 力 F水平地面 58 九年级数学BS版 (2)如图，过点E作EG⊥AB于点G. :∠HAE=45”,EG⊥AB, .AH/GE../AEG=45...AG=GE. :∠EGB=∠GBF=∠EFC=9O°， .四边形BFEG为矩形.'.BG=EF,GE=BF ,∠ECF=30°，CE=16m,BC=20m. ∴.CF=CE·cos∠ECF=85m,EF=CE·sim∠ECF=8m ..GE-BC+CF-(20+83)m,BG-8 m. .AB=AG+BG=(28+83)m. 故教学楼AB的高度为(28十8)m. 20.解：(1)如图，过点C作CH⊥ AD于点H: .CD=AC...AH=DH. :∠ABC+∠BCH=90, ∠ACH+∠BCH=90°. ∠ACH=∠ABC,dsin∠ACH=sm∠ABC=子 在R1△ACH中，AH=AC·sin∠ACH=1,.AD=2AH =2. (2)由(1)可知，∠ACH=∠HCD=∠ABC 在Rt△ABC中，AB= AC im∠ABC=9.BD=AB-AD =7 :BE⊥CD.∠EDB=∠HDC.·∠HCD=∠EBD. .sin∠EBD=sin∠ABC DE-BD-子， ·BE=BD-DE =√-(T CE + 在R△EBC中，an∠EBC=距I4 7 3 21.解：由题意，得tan75°=tan(30°十45)= tan30°+tan45 1-tan30an4行=2 +5. .tan45-tan30" anl5'=an(45-30)=于1n30an5=2-5 如图所示，延长CD交AE于点E,易知CE⊥AE 在Rt△AEC中，AE=BC=24m·∠CAE= 75.CE=AE·1a∠CAE=24×(2+/E) (48+245)m. 在R1△AED中，DE=AE·tan∠DAE=2 ×(2-5)=(48-245)m. :.CD-CE-DE-48/3 m. 故建筑物CD的高度为48/m 22.解：(1)52 (2)由题意，得AB⊥BD 设BC=x,则BD=BC+CD=x+35. 在R△ABC中，am∠ACB-能 .AB=BC·tan370.75x. 在R△ABD中，an∠ADB=BD AB .AB=BD·tan26.5°=0.5(x+35). .0.75x=0.5(x+35), 解得x=70, ∴.ABs0.75X7053. 故塔AB的高度约为53m 23.解：(1)BE=2AF (2①仍然成立.理由：在Rt△ABC中，sin∠ABC=sin30 瓷 在R△CEF中，in(90-∠ECF)=in30=下=号 瓷带聚器 BC CE :∠ACB=∠ECF=60°，·.∠BCE+∠ACE=∠ACF+ ∠ACE,.∠BCE=∠ACF, △BCEO△AC,品-瓷-BE-2AE ②co∠EFA=Z·BC=2I. 【解析】(2)②易证△BCEC△ACF,,·∠BEC=∠AFC B.E,F三点共线∠BEC=150.∠AFC=150°， ∴.∠AFE=∠AFC-∠EFC=G0°， 1 .cas∠EFA=cos60=7 如图，过点D作DH⊥BE,垂足 为H. .BD DE. ..BH=HE DH⊥BE,CF⊥EF, ∴.DHCF, 器畏之BH=B=球 .BE BC :△BCE△ACF…AF==2 .BH=HE=EF=AF,△EFA是等边三角形， ..BH=HE=EF=AF=AE=3. ∴.BF=9,CF=EF·tan30°=5， ∴.BC=/BF+CF=22T. 第二章学业质量自我评价 1.B2.A3.B4.D 5.C【解析】由二次函数的图象可知，抛物线与x轴的交点坐 标为0.0)和(30.01对称轴为r=0士0=15.：桥墩的 2 高度为40m,∴.抛物线的顶点坐标为(15,40).设地物线的表 达式为y=a(x一15)2+40(a≠0).把(0,0)代入，得a·15 8 十400.a一。该抛物线的表达式为y=一石r宁 8 16 15》+40,即y=一元x+3x 6.C【解析】，二次函数y=ax2+b.x+c(a≠0)图象中，开口 向上， .公>0. 心对称轴r三一名≥0>0 .一b>0,即b<0. ·抛物线与y轴交点在负半轴， .c0, .ax>0,A选项不符合题意 由图象知对称轴=一会<1 又a>0,两边乘2a,得一b<2a,.2a+b>0,B选项不符合 题意. 当x=一1时，y=a一b+c.由图象知x=一1时.y>0,即a 一b十>0，D选项不符合题意. a-b+c>0.∴.4a-4b+4c>0. 当x=2时，y=4a+2b+c=0, ∴.(4a+2b+c)-(4a-4b+4c)0. 即6b一3c<0,.2b一c<0,C选项符合题意， 7.m≤8 ,8.y=-x一1（答案不唯一）9.18 10.m≥1 11.220【解析】，图象是经过原点的一条抛物线的一部分， ,.设抛物线的表达式为P=a12+b1(a≠0)，把(1,165)， （4.0)代人，得十6=165，解得a=一55·弛物线的表 116a+4b=0, 16=220. 达式为P=-551+2201=-55(1-2)2+220.-55< 0,.当1=2时，P取最大值220，，变阻器R消耗的电功 率P最大为220W. 12m=0成m号或2<< 5 【解析】如图所示， t+m 令y=一2x2十4x=0,解得 x1=0,r,=2.则点A的坐标 为(2,0)，点B的坐标为 (-2,0). C,与C:关于y轴对称， C,的表达式为y=-22+ 4.x=-2(x-1)2+2(0x≤2). ∴.C,的表达式为y=一2x一4x=一2(x+1)2+2(一2≤x 0). 当直线y=x+m,过点O时.它与C1,C:共有2个不同的 交点，此时m1=0: 当直线y=x十m:与C,只有1个交点时，它与C,C共 有2个不同的交点，令x十m2=一22+4x,得2x”一3x+ 9 m4=0.∴4=9-8m:=0,解得m:=8 当直线y=x+m1过点B时，它与C,C:共有2个不同的 交点，此时0=一2十ma,.m:=2: 当直线y=x十m,与C,只有1个交点时，它与C,C:共 有1个交点，令x十m:=-2x”-4r,得2x2+5r十m1=0, 25 4-25一8m,-0,解得m1-8 综上所述，当m=0或m=号或2<m<要时，直线y=十 9 m与C1,C,共有2个不同的交点. 13.解：(1)批物线y=一x十x十4经过点（一2，n)和(4， n）, .对称轴为直线x= 二2士-1，即一×-D1得6 2 =2. .y=一x2+2x+4.把（一2，n)代入表达式中，得n= -(-2)2十2×(-2)+4=一4. (2)由题意可知，二次函数的图象的对称轴为直线x=一3， .h=3.二次函数的表达式为y=一3(x十3). 当x=一1时，y=-3×(-1+3)3=-12. 14.解：(1)把x=一1，y=0和x=2,y=9分别代人二次函数 的表达式， 下册参考答案 59△九年级数学BS版下册 第一章 学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分】 3 L.在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA= ,则AB的长是 A婴 503 B. C.60 D.80 2.如图，某水库堤坝的横断面为梯形，背水坡AD的坡比为1：1.5，坝高DE为 10m,则背水坡AD长为 ( A.5/13m B.15m C.613m D.无法确定 B FE 119-13 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在正方形网格中，A,B,C,D都在格点上，AB与CD相交于点P,则 cos∠APC的值为 9 B26 5 c号 4.如图，在△ABC中，∠B=45,tanC= 三，AB三42，则△ABC的面积是( A.12 B.16 C.122 D.20 5.“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器，某“圭表”示意图如图所示，AC⊥BC, AC=3m,测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1m,冬至时的正午太阳高度 角∠ABC=a,则夏至到冬至，影长差BD为 A.(3sina-1)m C.(3tana-1)m n(品-m A 北（子） ☑南（牛） 冬立春春分立夏夏 立冬秋分立秋至 线 图① 图②2 第5题图 第6题困 6.小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图①、图②所示，花西安装在离 地面高度160cm的A处，花酒AD的长度为20cm.已知花洒与墙而所成的角 ∠BAD=120°，当花洒喷射出的水流CD与花酒AD成90的角时，水流喷射到 地面的位置点C与墙面的距离为 A2万cm B.200 cm C.cm D.170 cm 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分】 7.若9为三角形的一个锐角，且2sin0-3=0,则0= 8在R1△ABC中，乙ACB=90,n∠BAC=三若将△ABC三边都扩大3倍得 到△AB'C‘,则sin∠BAC'的值为 129 9.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形.若AB=AC=18cm,∠ABC= 27°，则BC约为 cm(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， tan27°≈0.51). 60 45 B E 第9题图 第10题图 第11题图 10.如图，将三角形纸片折叠，使点B,C都与点A重合，折狼分别为DE,FG.若 ∠C=15,AE=EG=2cm,则△ABC的边BC的长为 cm. 11,如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向 航行I2 n mile到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向.若渔船继续向 正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 n mile. 3 I2.在Rt△ABC中，已知∠C=90.AB=10,cosB=亏，点M在边AB上，点V在 边BC上，且AM=BN,连接MN,当△BAMN为等腰三角形时，AM的长为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)计算：1z-2sin60°+2025". (2)如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，b=20.解这个直角三角形. B30 14.随着科技的发展，无人机广泛应用于生产生活，小琪利用无人机从点O竖直上 升到点A,测得点A到点C的距离为800m,此时点C的俯角为30°（如下图）. 64s后无人机到达点B,此时测得点C的俯角为45°.求无人机从点A到点B 的平均速度（结果精确到0.1m/s,参考数据：3≈1.73）. 0 15.如图，射线OA放置在由小正方形组成的网格中，请分别在图①、图②的网格 中添加射线OB,使tan∠AOB的值分别为1,2（用无刻度直尺作图，保留作图 痕迹，不写作法). 0 图① 图② 16.如下图，在△ABC中，AB=6,∠B=30°，tanC=3,AD⊥BC于点D.求AD和 AC的长. 17,某学校的数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动.如下图，桥墩AB刚好 在坡角为30°的河床斜坡BC边上，斜坡BC的长为42m,CD平行于水平线 BM,CD的长为95m,在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°.求桥墩AB 的高（结果保留小数点后一位，参考数据：sin35≈0.57，cos35°≈0.82，tan35≈ 0.70,/3≈1.73)， 35 30CD B 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.(2025九江修水二模)图①所示的是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽 象为图②.已知AD⊥CD,∠A=60°.∠C=110°，AB=2m,AD=4m. (1)求∠B的度数. (2)求BC的长（结果精确到0.1m,参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， tan70°≈2.75). 图D 国② 130 19.如右图，某校教学楼AB后面有一山包，其坡度i 5 =1:尽，山包坡面上点E处有一休息亭，测得 ◇ 山包坡脚C与教学楼AB的水平距离BC 20m,与亭子的距离CE=16m,周老师从教学楼 口 i=l:V3 D 楼顶A处测得点E的俯角为45°，求： E (1)山包坡角的度数. ▣b (2)教学楼AB的高度（结果保留根号）. 水平地面 20.知下图，在R△ABC中，∠ACB=90.AC=3,n∠ABC=子D是边AB上 一点，且CD=AC,BE⊥CD的延长线于点E,求： (1)AD的长. (2)∠EBC的正切值. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.关于三角函数有如下公式： sin(a+3)=sinacos3++cosasin3,sin(a-B)=sinacos3-cosasing,cos(a+8)= tana十tang cosa cos8-sina sinp,cos(a-B)=cosa cos3+sinasing.tan(a+8)= (1 1-tangtan -1一amap≠0.anla一g》-二1+≠0 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来 求值 1an45°+tan60°_1十5 如：tan105°=tan(45°十60°)= =-2 1-tan45°tan60 1-尽 -5. 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题： 如右图所示，两座建筑物AB和DC的水平距离BC为24m,从 点A测得点D的俯角a=15°，测得点C的俯角3=75°，求建筑 物CD的高度. B 22.某校数学实践小组利用所学的数学知识测量某塔的高度.下面是两个方案及 测量数据： 项目 测量某塔的高度 方案一：借助太阳光线构成相 方案二：利用锐角三角函数， 方案 似三角形.测量：标杆长CD,影 测量：距离CD,塔项A处的仰 长ED,塔影长DB 角a,仰角3 示意图 B 项目 第一次第二次 平均值 项目 第一次第二次 平均值 CD 1.61m1.59m 1.6m 3 26.4 26.6 26.5 测量数据 ED 1.18m 1.22m 1.2m 37.1 36.9 37 DB 38.9m39.1m39m CD 34.8m35.2m35m (1)根据“方案一”的测量数据，可计算出塔AB的高度约为 m (2)根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度.（结果取整数，参考数据： sin37≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°0.45，cos26.5°≈0.89. tan26.5°≈0.50) 六、解答题（本大题共12分） 23.在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，点D在斜边BC上，且满足BD= BC.将线段DB绕点D顺时针旋转至DE记旋转角为a,连接CE,BE,以CE 1 为斜边在其右侧作Rt△CEF,且∠CFE=9O°，∠ECF=6O°，连接AF. B B R- D 图① 图2 图③ (1)如图①，当a=180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系 (2)当0°<a<180时， ①如图②，(1)中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②当B,E,F三点共线时，如图③，连接AE.若AE=3,请直接写出cos∠EFA 的值及线段BC的值. 132