第3章 解题技巧专题 证明圆的切线的方法-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

即(OM是⊙O的半径， ∴AB与半圆O相切 (2),△ABC为等楼三角形，O是BC的中点： .AO⊥BC 设半圆O的半径为r,则OD=OF=r. 在R1△OCD中，CD=4,CF=2, ∴.OC=OF+CF=r+2. 由勾股定理，得OC2=OD+CD, 即(r+2)2=r2十4，解得r=3. 即OD=3,∴.0C=3+2=5. :∠AOD+∠OAC=∠AOD+∠COD=90°， ∴∠OMC=∠COD. CD 4 .sim∠OAC=sin∠COD=O元 =51 12.解：(1)证明：如图，连接OB. :AC为⊙O的直径.·∠ABC -90 .AB⊥PO,.POBC ·∠AOP=∠OCB,∠POB ∠OBC..OB=OC, ·∠OBC=∠OCB.∠AOP=∠POB. (OA=OB. 在△AOP和△BOP中 ∠AOP=∠BOP. PO=PO. ∴.△AOP≌△BOP(SAS).∴.∠OAP=∠OBP ,PA为⊙)的切线，.∠OAP=90°，.∠OBP=90 :OB为⊙O的半径 ,PB是⊙O的切线 (2)证明：如图，连接AE,BE 由(1)，得∠PAE+∠OAE=90 AD⊥ED, .∠EAD十∠AED=90 OE=OA.∴∠OAE=∠AED,.∠PAE=∠DAE,即 AE平分∠PAD. 同理可得，BE平分∠ABP ,E点为△PAB的内心 (3)5【解析】(3)，∠PAB+∠BAC=90°，∠C+∠BAC =90°， .∠PAB=∠C .cosC=cos∠PAB= /10 10 1 在Rt△ABC中，cosC BC /10 AC AC 10 .AC=0,则 40= /10 2 ,∠AOP=∠BCA,∠PAO=∠ABC=90°，∴.△PAO∽ o △Ac是品 BC.PO= Ao 2 ·AC= ×10=5. BC 解题技巧专题 证明圆的切线的方法 1.证明：如图，连接OP AB=AC,∠B=∠C OP=OB.∴∠B=∠OPB, ∠OPB=∠C,.OP∥AC 义：PD⊥AC..PD⊥OP. 30 九年级数学BS版 OP是⊙O的半径，.PD是⊙O的切线. 2.证明：(1)如图，连接OC ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，.∠BCO+∠OCA =90°. OB=OC.∴∠B=∠BCO. :∠PCA=∠B,∴.∠PCA=∠BCO ∴.∠PCA+∠OCA=90,.OC⊥PC OC是⊙O的半径，，PC是⊙O的切线 (2:in∠B-号∠B-30, .∠PCA=∠B=30°. 由(1)知，∠ACB=90°， ∠CAB=60°，.∠P=∠CAB-∠PCA=30°， .∠PCA=∠P,∴.AC=AP 3.解：(1)证明：如图①，连接OB. ,BC=PC,∴.∠CBP=∠CPB OB=OA,∴.∠A=∠OBA. OA⊥OD,∴∠A+∠AP0=90°， ∴∠OBA+∠APO=90 :∠APO=∠CPB, 因① .∠OBA+∠CBP=90°.∴.OB⊥BC. ,OB是⊙O的半径， ,BC是⊙O的切线. (2)如图②，连接OB :OA=OB. .∠A=∠OBA :OA⊥OD,BC⊥AB. ∴∠AOP=∠CBP=90 P是OD的中点.OP=之OD=2, ∴AP=OA+OP=25. :∠APO=∠CPB.∴∠A=∠C,△AOP∽△CBP, ∴∠OBA=∠C ∠BOP=∠COB.∴△BOP∽△COB. 咒-瑞…t-子00-8 42 ..CP=OC-OP=6. :△AOP∽△CBP.BC-CT .OA AP 5 4.解：1)证明：如图，连接OA,则OF■OA ∴∠OAF=∠OFA. .AG=GD..OF⊥AD, ∴∠AGF=90°.∴.∠OFA+∠DAE=90 ,四边形ABCD是菱形，∴.∠BAE=∠DAE。 ,.∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90,即 OA⊥AB. :OA是⊙O的半径，AB是⊙O的切线。 ②8言AD-2AG 觉音器异 设AG=4n,则OA=OF=5m. :∠AG0=90°.∴0G=QA-AG=3m, .FG=OF-0G=5m-3m=2m. ￥∠AED=∠AGF=90°. .∠ADB=∠AFG=90°-∠DAE, Ag-0=2. :tan∠ADB=tan∠AFG-F元2m 5.解：(1)AC与⊙O相切.现由如下： 过点O作OD⊥AC于点D.如图. ∠ABC=90,∴.OB⊥CB. 又：OC平分∠ACB, ..OD=OB. .OD是⊙O的半径 .AC与⊙O相切. (2)在R△ABC中，AC=10,BC=6, ∴.AB=/AC-BC=8. :OD⊥AC,∠ODA=∠B=90 又∠A=∠A,∴△AOD∽△ACB, 器怨 设⊙0的半径为x,则后-8号。 解得x=3, 做⊙0的半径为3. 6.解：(1)证明：如图，过点O作(OE⊥AB于点E, AD⊥B0于点D.∠D=90, ∴.∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+ ∠OAD=90. ∠AOD=∠BAD ∴.∠ABD=∠OAD. ,BC为⊙O的切线，，AC⊥BC, .∠C=∠D=90. 又，∠BOC=∠AOD. .∠OBC=∠OAD=∠ABD, OC=OE.OE是⊙0的半径， AB是⊙O的切线. (2)在R△ABC中，a∠ABC=号，BC=6 ∴.AC=BC·mn∠ABC=8,∴AB=√AC+BC=10. 在R△BOC和R△BOE中.OC=OE, BO=BO. .Rt△BOC≌Rt△BOE(HL), .BC=BE=6...AE=4. :∠C=∠AE0=90°， ∴.∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90, :∠EOA=∠ABC,∴tan∠EOA=tan∠ABC=3, 能=4,0c0E=3.∴0B=BE+0E=35 ∠OBC=∠ABD,∠OCB=∠D=90, .△OBC∽△ABD. OC OB335 “元那·脚D6 .AD=2/5 “7切线长定理 1.B2.125 3.52【解析】如图，设AB,BC,CD,AD与该 D G 圆的切点分别为E,F,G,H,则AE=AH, BE=BF.CF=CG.DG=DH. ..AD+BC=AH+DH+BF+CF=AE+ DG+BE+CG=AB+CD=26. ∴.四边形ABCD的周长为26+26=52. 4.证明：如图，连接CN :BC是⊙O的直径..∠BNC=90°， ·.∠NCM+∠NMC=90°，∠PNC+ ∠PVM=90°， ,PC,PN是⊙O的切线 .PC-PN,∴∠NCM-∠PNC, ∴.∠PNM=∠NMC, .PM-PN. 5.B【解析】由题意，得AF=AD,CF=CE,BD=BE.设AF =x..AD=x.CF=CE-6-x.BD-9-x:BE=5-(6- x)=x一1.∴9-x=x一1，解得x=5,.AF的长为5. 6.30【解析】AC,AB,BC是⊙O的切线，.AD=AF,BD =BE,CE=CF,:AF,BE是方程r2-13x+30=0的两 根，∴.可解得AF=3.BE=10.设CE=CF=x,则AC=3十 x,BC=10十x,AB=13,由勾股定理，得(3+x)2十(10十 x)=13,解得1=2.x1=-15(舍去).AC=5,BC=12. 1 S6m-zX5X12=30. 7.解：(1)PA.PB,CD都是⊙O的切线， ..CA=CE.DE=DB,PA=PB. .△PCD的周长=PD+PC+CD=PD+PC+CA+DB -PA+PB-2PA-12,..PA-6. (2):∠P=60°.∴∠PCE+∠PDE= 120°，.∠ACD+∠CDB-180°+180°- 120°=240°. 如图，连接OA,OE :PA,CD是⊙O的切线 .CA=CE.∠OAC=∠OEC=90. ,OC=OC,∴.Rt△AC≌Rt△EOC(Hl.), i∠0E=∠0A=号∠AcD. 同理，得∠ODE=宁∠CDB. ∴.∠OCE+∠ODE=2(∠ACD+∠CDB)=120 ∴.∠C0D=180°-（∠OCE+∠0DE)=180°-120°=60. 解题技巧专题圆中添加辅助线的方法 1.D【解析】如图，过点O作OC⊥AB于点C,连接OB,则OB =7, PA-4.PB-6...AB-PA+PB-10. OCLAB.AC-BC-7AB-5.PC= PB-BC1. 在R1△OBC中，根据勾股定理，得OC=OB一BC=72- 52-24.在Rt△OPC中，根据勾股定理，得OP /0C+PC=/24+T=5. 2.3【解析】如图，连接OD 31 下册参考答案解题技巧专题 证明圆的切线的方法 题型①公共点明确时，连半径证垂直 3.如图，⊙O的半径OA⊥OD,B是⊙O的一 1.如下图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直 点，连接AB与OD相交于点P,C是射线 径的⊙O交BC于点P,PD⊥AC于点D. OD上的一点，连接BC 求证：PD是⊙O的切线 (1)如图①，若BC=PC,求证：BC是⊙O的 切线 (2)如图②，若P是OD的中点，BC⊥AB, ⊙O的半径为4，求BC的长。 图① 图② 2.如下图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上 的一点，点P是BA延长线上的一点，连接 AC,PC,∠PCA=∠B (1)求证：PC是⊙O的切线. (②)若sin∠B=7求证：AC=AP. 76 九年级数学BS版 4.(2025武汉模拟)如下图，在菱形ABCD中， (2)求⊙O的半径 对角线AC,BD相交于点E,⊙O经过A,D 两点，交对角线AC于点F,连接OF交AD 于点G,且AG=GD (1)求证：AB是⊙O的切线， (2)已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5： 8,求tan∠ADB的值. 6.如右图，在△ABC中，O为AC 上一点，以点O为圆心，OC的 长为半径作圆，与BC相切于点 C,过点A作AD⊥BO交BO的 B 延长线于点D,且∠AOD=∠BAD (1)求证：AB为⊙O的切线. (2)若BC=6,an∠ABC=言，求AD的长. 题型②公共点不明确时，作垂直证半径 5.如下图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC =10,BC=6,∠ACB的平分线CO交AB 于点O,以OB为半径作⊙O. (1)请判断AC与⊙O的位置关系，并说明 理由 下册第三章