第2章 3 确定二次函数的表达式-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

3 确定二次 念课内基础闯关 知识点① 用顶点式y=a(x一h)2十k求二 次函数表达式 1.如图所示，在平面直角坐标 系中，二次函数y=a.x2十 bx十c的图象顶点为A,且 过点B,则二次函数的表达 式为 ( 第1题图 A.y=x2+2 B.y=(.x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2 2.若二次函数的图象经过点(4，一3)，且当x 3时，函数有最大值一1，求该二次函数的表 达式. 知识点② 用一般式y=ax2+bx十c求二次 函数表达式 3.已知抛物线过点A(2,0),B(1,2),与y轴正 半轴交于点C,且OC=2,则这条抛物线的 表达式为 () A.y=x2-x-2 B.y=-x2十x+2 C.y=x2十x+2 D.y=-x-x-2 4.已知抛物线y=a.x2+b.x十c过(1，一1)，(2. 一4)和(0,4)三点，那么a= ,b= 5.已知二次函数y=a.x2+bx+c中，函数y与 自变量x的部分对应值如下表： -1 2 y…101-2 25 这个二次函数的表达式为 36 九年级数学BS版 函数的表达式 6.如右图，已知二次函数y=x 十bx十c的图象经过点A(1, -2),B(0,-5) (1)求该二次函数的表达式 及图象的顶点坐标， (2)当y≤一2时，请根据图象直接写出x的 取值范围. 知识点③用交点式y=a(x一x,)(x一x:) 求二次函数表达式 7.(教材变式)抛物线与x轴交点的横坐标分 别为一2和1，且过点(2,8)，则它的表达式 为 () A.y=2.x2-2x-4B.y=-2.x2+2x-4 C.y=x2+x-2D.y=2.x2+2.x-4 8.已知点A(一1,0)，B(3,0),C(0,1)在抛物 线y=ax2+bx十c上. (1)求抛物线的表达式. (2)判断点P(2,1)是否在这条抛物线上，并 说明理由. ⊙课外拓展提高 9.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2 4.x一1有相同的顶点，并且在对称轴的左 侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧， y随x的增大而减小，则所求二次函数的表 达式为 ( A.y=-x2+2.x-5 B.y=ax-2ax+a-3(a>0) C.y=-2.x2-4.x-5 D.y=a.x2-2ax+a-3(a<0) 10.已知二次函数y=a.x2+bx十c的图象交x 轴于A(x1,0),B(x2,0)两点，交y轴于点 C(0,3).若x1+x2=4.且△ABC的面积 为3，则3a+b十c= 11.如下图，已知二次函数y=x2+bx十c的图 象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C,其中A(一2,0)，C(0,一2) (1)求二次函数的表达式 (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P 在第二象限，线段PC交x轴于点D, △PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求 点P的坐标 @综合能力提升 12.创新意识定义：若二次函数y=a1x2十 b1x十c1(a1,b1,c1是常数，a1≠0)与y= a2x2十b2x十c2(a2,b2,c2是常数，a2≠0) 满足a1十a2=0,b1=b2,c1十cg=0,则称这 两个函数互为“旋转函数” 已知函数y=一x十1Dx-的图象与 x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）， 与y轴交于点C,点A,B,C关于原点的对 称点分别是A,B,,C1,试证明图象经过点 A,B,G的二次函数与函数y=一 十1)(x一4)互为“旋转函数”. 知识要点归纳 1.二次函数的表达式共有三种形式：(1)一般式： y三axr2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0)：(2)项点 式：y=a(x一h)2十k(a,h,k为考数，at0)过 (3)交点式：y=a(r二x)(x二x)(a,x为 常数，a≠0). 2.用待定集数法确定二次函致的表达式 下册第二章3确定二次函数的表达式 1.D 2.解：由题意，可设二次函数的表达式为y=a(x一3)一1. 将(4，一3)代人，得一3=a(4一3)2一1，解得a=一2， ,二次函数的表达式为y=一2(x一3)一1 3.B4.1-64 5.y=3x-6x+1(或y=3(x-1)2-2) 6.解：(1)把A(1,一2)和B(0,一5)代入y=x2+hx十C, 得十c=一2解得=2. 1c=-5. 1c=-5. 二次函数的表达式为y=x2+2x一5 y=x2+2r-5=(x+1)2-6. ∴顶点坐标为（一1，一6）. (2)如图，点A(1.一2)关于对称轴直线x=一1的对称点 为C(一3，-2)， .当y≤一2时，x的取值范围是一3≤x≤1. 7.D 8.解：(1)设抛物线的表达式为y=4(x十1)(x一3) 把C(0.1)代入，得a·1×(一3)=1， 解得=一子 1 六抛物线的表达式为y=一了(r+1)(x一3，即y -2+子+1 (2)点P(2,1)在这条抛物线上.理由如下： :当=2时y=-×4计号×2+1=1 点P(2,1)在这条抛物线上 9.D 10.2【解析】设x1<x:,期AB=x:一x1.由△ABC的面积为 3.且C(0,3),得AB=2. r2一r1=2,x1+x:=4,解得x1=1,x2=3,y=ar 十bx十c=a(x-1)(x一3).将C(0,3)代人.得3a=3,,.a =1..y=ar+b.x+c=(x-1)(x-3)=x2-4x+3, .3a+b+c=3×1+(-4)+3=2. 11.解：(1)将A(一2,0)，C(0,一2)代人y=x+br十c。 得/1-26+c=0, b=1, 解得 1c=-2, lc=-2 .二次函数的表达式为y=x2+x一2. (2)设P(m,n) :点P在第二象限， ,m<0,n>0. 依超，二 80 即 一=2 7BD. 14 九年级数学BS版 品=2 由已知，得C0=2. .n=2C0=4. 由m2+m一2=4， 解得m1=一3，m:=2(合去)， 点P的坐标为（一3,4）. 12.证明：当x=0时，y=2, 则点C的坐标为(0.2). 当y=0时.-zx+1)x-4)=0, 解得x1=一1,1：=4， 则点A的坐标为（一1.0），点B的坐标为(4,0). 点A,B,C关于原点的对称点分别是A1·B,C· A(1,0),B1(-4,0),C1(0,-2). 设图象经过点A,,B,C,的二次函数表达式为y=a,(x一 1)(x十4).将C,(0.一2)代人.得一4ag=一2.解得a 图象经过点A,B,C,的二次函数表达式为y=三一 1Dx+4=2+2-2==c=-2 3 y=-+1-0=-+2+2 3 3 图象经过点A,BC的二次函数与函数y■一之x十 1)(r一4)互为“旋转丽数”. 解题技巧专题求二次函数表达式的方法 9a-3b+c=0, 1.解：由题意，得c=一3. 4a+2b+c=5, a=1. 解得b=2, c=-3. ∴二次函数的表达式为y=x2十2x一3. y=x2十2x-3=(x十1)2-4. ∴，图象的对称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1，一4）， e=7. a=1, 2.解：(1)由题意，得a+b+c=4,解得b=一4. 4a+26+c=3, c=7, ·二次函数的表达式为y=x一4x十7. 当x=5时，y=52-4×5+7=12. 故被污染的数据为12. (2)y=x°-4x十7=(x-2)2+3 ∴抛物线的对称轴为直线x=2,当x=2时，函数取得最小 值3： 当一2≤x<2时，函数值y随x的增大而减小 当x=-2时，y=(-2)-4×(-2)+7=19: 当2<x≤3时，函数值y随x的增大而增大， 当x=3时，y=32-1×3+7=4 综上，当一2≤x≤3时，丽数值y的取值范围为3y≤19. 3.D 4.解：设这个二次函数的顶点坐标为(x,2),则2=x+1,.x =1,