第2章 1 二次函数&2 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第二章 二次函数 1二次函数 忘课内基础闯关 色课外拓展提高 知识点①二次函数的相关概念 7.已知函数y=(m十1)x+1十4.x-5是关于 1.下列函数中，是二次函数的是 x的二次函数，则一次函数y=m.x一m的图 A.y=3.x-1 B.y=x3+2 象不经过第 象限， C.y=(x-2)2-x2D.y=x(4-x) 8.几何直观如下图，在△ABC中，∠B=90°， 2.把函数y=(2一3x)(6一x)化成y=a.x2十 AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开 b.x+c的形式为 始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动（不 3.如果函数y=mxm-+x是关于x的二次函 与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC 数，那么m的值是 向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重 合).如果点P,Q分别从点A,B同时出发， 变式题如果y=(k一3).x-1+x一3是 设运动的时间为xs,四边形APQC的面积 二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出 为ycm2. k的值为一1，她们俩中求得结果正确的是 (1)求y与x之间的函数关系式. (2)求自变量x的取值范围。 (3)四边形APQC的面积能否等于172cm? 知识点②列二次函数关系式 若能，求出运动的时间：若不能，说明理由. 4.国家决定对某药品价格分两次降价，若设平 均每次降价的百分率为x,该药品原价为18 元，降价后的价格为y元，则y与x的函数 关系式为 ( A.y=36(1-x) B.y=36(1+x) C.y=18(1-x)2 D.y=18(1+x2) 5.真实情境如图，将一根长为 50cm的铁丝弯成一个矩形（铁 丝全部用完且无损耗).设这个 第5题图 矩形的一边长为xcm,面积为ycm,则y 知识要点归纳 与x之间的函数关系式为 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2十bx十 A.y=-x2+50.x B.y=.x2-50x c(a,b,C是常教，a≠0)的西数叫做y关于x的 C.y=-x2+25.x D.y=-2.x2+25 二次函数」 6.(教材变式)已知一个直角三角形的两条直角 2.二次函数的一般形式：通常把y=ax十bx十c 边的和为10cm.若设此直角三角形的面积为 (a,b,c是常数，a≠0)称为二次函数的一般形式， Scm,其中一条直角边长为xcm,则S与x 其中ax2,br,c分别为二次项，一次项和常数项. 3.列二次函数关系式：(1)审清题意：(2)找出等 的函数关系式为 ,自变量的 量关集：(3)列出函数关条式 取值范围是 下册第二章 2二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 已课内基础闯关 知识点② 二次函数y=一x2的图象与性质 知识点①二次函数y=x2的图象与性质 5.二次函数y=一x的图象一定经过() 1.已知函数y=x2,下列说法不正确的是 A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 A.当x<0时，y随x的增大而减小 6.如下图，梯形ABCD的顶点都在抛物线y B.当x≠0时，函数值总是正数 一x2上，且AB∥CD∥x轴.点A的坐标为 C.当x>0时，y随x的增大而增大 (a,一4)，点C的坐标为(3，b). D.函数图象有最高点 (1)求a,b的值. (2)求B,D两点的坐标. 2.已知矩形的长为2.xcm,宽为2xcm,面积为 ycm,下列图象能表示y与x之间的函数 关系的是 B D 3.若A(一1，y1),B(一2，y2)是二次函数y= 7?已知函数y-会是关于x的三次函数。 x2的图象上的两点，则y1与y2的大小关系 (1)求满足条件的k的值. 是y y2(填“>”“<”或“=”). (2)当k为何值时，抛物线有最高点？求出 4.(教材变式)二次函数y=x2的图象的顶点 这个最高点.x为何值时，y随x的增大而 坐标是什么？点A(一4,16)在二次函数y= 增大？ x2的图象上吗？请分别写出点A关于x轴 (3)当k为何值时，函数有最小值？最小值 的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的 是多少？x为何值时，y随x的增大而减小？ 坐标.点B,C在二次函数y=x2的图象 上吗？ 28 九年级数学BS版 ⊙课外拓展提高 忘综合能力提升 8.如图，圆的半径为√2，C1是函数y=x2的图 11.新定义题在平面直角坐标系中，已知一条 象，C2是函数y=一x的图象，则图中阴影 开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于 部分的面积为 对称轴对称的两点A,B(点A在点B左 侧)，以AB为直径作⊙M.取线段AB下 A.2 B.2x 方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部 C.1 D.π 分（含端点A,B),组成一个封闭图形，我们 称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫 做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物 圆”截得的线段叫做“纵径”，“纵径”长度和 “横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的 第8题园 第9题图 “扁度” 9.如图，已知抛物线y=一x2上有A,B两点， 已知抛物线的表达式为y=x2. 其横坐标分别为一1，一2，在y轴上有一动 (1)若点A的横坐标为一2，则得到的“抛物 点C,则AC+BC的最小值为 圆”的“横径”长为 ,“纵径”长为 10.如下图，P是抛物线y=x2在第一象限内 (2)若点A的横坐标为t,用1表示此“抛物 的一点，点A的坐标是(2,0).设点P的坐 圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2 标为(x,y) 时t的值 (1)求△OPA的面积S关于x的函数表 达式 (2)当S=4时，求点P的坐标. (3)在抛物线y=x2上存在点P',使OP =P'A,求出点P的坐标。 知识要点归纳 二次函数y=x2和y=一x 的图象形状相同，只是开口 方向不同，这两个函数图象 既关于x轴对称又关于原点 对称 下册第二章 29,>果晴 A 香到曼的位置30 一水面 55 鱼的实际位置 在R△AOB中.an30-O六号 AB/3 ∴.OA=5m. 在R:△A(0C中，∠AC0=∠C0E=55. .tan∠ACO=tani5 401.428. 5 ∴.AC1.213m, ∴.BC=1.213-1≈0.21(m). ∴.应对准“鱼”的下方约0.21m处叉鱼 15.解：(1)如图，过点C作CPLBD于点P 由题意可知∠CBD=15°.BC=80cm, .BP=BC·c0s1580X0.97=77.6(cm) :李老师的身高AD=170cm,上半身的长度BC=80 ,.下半身的长度AB=170一80=90(cm), ∴.AP=AB+BP=90+77.6=167.6(em) .当李老师回礼时，其头部距地面的高度约为167,6c D -15 地面 (2)如图，过点H作HQ⊥FG于点Q. 由题意可知∠QFH=45°， 小贤的身高EG=150cm,上半身的长度FH=70cm, QH=Q5=FH·sin45°=7ox 2 =35/2≈49.5(cm ,∠CBD=15°，BC=80cm. ,∴.CP=BC·sinl5°年80×0.26=20.8(cm), ∴.QH+CP=49.5+20.8=70.3(cm). 180-70.3=109.7(cm), 109.7cm>100cm. 行礼、回礼时，李老师与小贤之间的距离通宜 16.D17.1.2 18.解：原式=4-3+2×+2-万 2 =4一3十2十2一√见 =3. 19.解：设AD=xm :AD⊥BC, ,.∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ABD中，∠ABD=45 AD BD-tanABD tanism 在R△ACD中，∠ACD=30°. AD an∠ACD tan30-6xm, ∴.CD= BC=BD+CD=80 m. ∴.x+5x=80, 解得x■403一40， .AD=(40/5-40m, ∴.桥塔AD的高度为(40,5一40)m. 第二章二次函数 1二次函数 1.D2.y=3x-20x+123.4变式题敏敏4.C5.C 1 6.S=-2r2+5x0<x<107 8.解：(1)由题意可知.AP=2.x,BQ=4x 则y=号BC·AB-7BQ·BP=号×21X12-×r· (12-2x). 即y=4x2-24x+144. (2).0<AP<AB.0<BQ<BC. .0<x6 (3)不能.理由：当y=172时.4.x一24x十144=172， 解得x1=7,x2=一1， 又0<x<6..四边形APQC的面积不能等于172cm. m 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 1.D2.C3. 4.解：二次函数y=x的图象的顶点坐标是(0,0)。 :当x=一4时y=(一4)=16， ∴点A(一4,16)在二次函数y=的图象上. :点B为点A关于x轴的对称点，点C为点A关于y轴的 对称点， .点B的坐标为（一4.一16）.点C的坐标为(4,16) 当x=一4时，y=(一4)=16≠一15，.点B不在二次函数 y=x的图象上， 当x=4时，y=4=16,.点C在二次函数y=x2的图 象上. 5.B 6.解：(1)当y=-4时，-4=一a2∴.a=±2 点A在第三象限，a=一2 当x=3时，y=一9，b=一9. (2),ABCD∥x轴， ,点A与点B,点C与点D的纵坐标相同 ,y=一x关于y轴对称， 点B的坐标为(2，一4)，点D的坐标为（一3一9） 7解：1：商数y一含一是关于于的=改隔数。 k-2=2且气≠0，解得k=士2 (2)当抛物线有最高点时，地物线开口向下， 即今<0∴k=一2，最高点的坐标为(0,0》。 当x<0时，y随x的增大而增大 (3)当函数有最小俏时，地物线开口向上， 即专>0k=2最小值为0， 当x<0时，y随x的增大而减小. 8.D 9.3,厄【解析】如图，点A关于y轴的对称点 A的横坐标为1，连接A'B与y轴相交于点 C,此时AC+BC最短.当x=1时，y=一1， 当x=一2时y=一4∴点A的坐标为(1， 一1)，点B的坐标为（一2，一4）.由勾股定 下册参考答案 11公 理，得A'B=/1+2)+(-1+4)下=3,2，即AC+BC的 最小值为32 10.解：(1)由题意，得OA=2,△AOP的高为y=x, 58=3×2r=u>0 (2)当S=4时，4=x2,解得x1=2,x:=一2（舍去） .P(2,4). (3)OP'=P'A. ·点P'的横坐标x=之OA=1 把x=1代入y=x”.得y=1. .点P的坐标为(1,1). 11.解：(1)46 (2),y=x关于y轴对称，点A的横坐标为1： .点A的坐标为(1，)，点B的坐标为（一1.）. .“地物圆”的“横径”长为一1一1=一2 收径长为受+=-1中 它的陶度为2女-2 解得11=一3,12=0（舍去），即1的值为一3. 第2课时二次函数y=ax2和y=ax十c的图象与性质 1.D2.B3.a>b>c>d 4.解：(1)将A(-2,一4)代入y=ax2,得a=-1, ∴这个函数的表达式为y=一 当x=一3时，y=一9≠4 ·点B(一3,4)不在此揽物线上， (2)当x<0时，函数值y随x的增大而增大，x1<x2<0, ·y1y, 5.C6.D7.y=一x十2（答案不唯一） 8,解：1市题意得e土怎18解得a。 14a+b=8. 1b=4. (2)由(1)知y=x+4,把(6，m)代入y=x+4,得m=6+ 4=40. 把(1,20)代入y=x2十4，得20=n2十4，解得n=士4. 9.D10.y=3.x2-211.y=-2x2+4 12.D【解析】A.由一次函数的图象可知a<0,b>0,由二次函 数的图象可知a<0,b<0,故选项A不符合题意：B.由一次 函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数的图象可知a<0, b<0,故选项B不符合题意：C,由一次函数的图象可知4 0.b0,由二次函数的图象可知a>0,b>0,故选项C不符 合题意：D.由一次函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数 的图象可知a>0,b>0,故选项D符合题意. 13.1+厄【解析】：O是BC边的中点， 设0B=0C=zBC=a,且a>0. 在正方形ABCD中，DC=BC=2a,DC⊥BC, .点D的坐标为（一2a.一a). :D(-20,-a在抛物线y■一22上 1 -a=-z-2a. 1 解得a1一之“：-0（不合题意，合去）， 60c=2 设正方形CEFG的边长为b,且b>0, 12 九年级数学B$版 ..CE-EF6. 0E=0c+CB=7+o, 六点下的坐标为(6，-合-b) “点F(6,-之-6)在抛物线y=-之产上， --6=-2 解得b=1十√厄（负值已舍去）， 即正方形CEFG的边长为1十2， 14.解：(1)由题意知顶点E的坐标为(0,6)，点G的坐标为(6， 4). 设地物线的表达式为y=ax2十6(a≠0)， 则6a+6=4,解得a=一 六地物线的表达式为y=一3+6， 《2)由题意知0B分AB了×10,8=5.4 当r=5.4时y=一18+6=一店×5.4+6=4.38， .BC=4.38m 故侧立柱BC的高度为4.38m. 15.解：(1)如图所示. (2)由题意，得点A(x·y)的“关联点”为 A1(.x,y-x). 由点A(x,y)在函数y=x的图象上， 可得A(x,x), A(-). 又：A,(x2一x)在函数y=x”一2的图象上， ∴x2-x=x-2,解得x=2. 将x=2代人A1(xx一x),得A1(2,2). (3)由题意可知，点A(x,y)的“待定关联点”为A(x,x一 r). :点A2(rx”一x)在函数y=r一n的图象上， x2一x=x2-n. m-nx=0.m(1-x)=0. 又n≠0， x=1, .点A2的坐标为(1,1一n) 第3课时二次函数y=a(x一h)产和y= a(x一h)十k的图象与性质 1.D2.B3.y1<ye变式题>4.D5.B 6.解：(1)：对称轴为直线x=一2. h=-2 y=a(x+2)2-2. 又：抛物线过点(1，一3)， 六-3=a1+29-2.解得a=-片 6=-号x+2)-2 (2)当x>一2时，y随x的增大而减小： 当x=一2时，y有最大值，最大值为一2 7.A8.右上9.y=-3(x-1)-2 10.C【解析】：当r>时，y随x的增大而增大，当x<h