第1章 直角三角形的边角关系 章末对点导练-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

章末对点导练 ⊙单元考点整合 7.计算： (1)sin30°+2sin60°+tan45°-4tan60 考点① 锐角三角函数 +cos230° 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A,∠B, ∠C所对的边分别是a,b,c,那么下列等式 中成立的是 ( A.a=b·tanB B.c=b·cosA C.c-sinA a D.a= cosB 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB：AC (2)-3am60+(-)-13-21-(x- =13：5,下列结论中，正确的是 A.tanB= 12 2025)°+(5). 5 B.tanA三2 C.sinA=13 D.cosB-13 sin30 3 (3) sin60°-sin245 2cos60 第2题图 第3题图 3.如图，网格中小正方形的边长均为1，点A, B,C都在格点（网格线交点）上，则∠B的正切 值是 考点② 特殊角的三角函数值 4下列三角函数中，值为号的是 ( ) 考点③ 解直角三角形 A.tan30°B.cos30°C.cos60° D.sin45 8.如图，等边三角形AOB的边OB在x轴上， 5.在△ABC中，∠C,∠B为锐角，且满足 点B的坐标为(2,0)，以点O为旋转中心， c-+( -cosB)-0,则∠A的 把△AOB逆时针旋转，每次90°，则第2025 次旋转后点A的对应点A'的坐标为() 度数为 A.(-5,1) A.1009 B.105° B.(1,-5) C.90° D.60 0 C.(5,-1) 6.若0<<45，sn2a则a=☐ 第8题图 D.(-5,-1) 124 九年级数学BS版 9.若在△ABC中，∠A,∠B是锐角，且sinB 13.为了学生的安全，某校决定将一段如图所示 G,anA=7,AB=4cm,则△ABC的 的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为 矩形，DE=10m,其坡度i1=1:5.若将步 面积等于 cm2. 梯DE改造为斜坡DF,其坡度i2=1:4,则 10.如图，在四边形ABCD中，连 斜坡DF的长是 m. 接AC,BD,∠ABD ∠BCD=90°，∠DAB=60°， BC=CD,则tan∠ACD的值 第10题图 第13题图 为 14.跨物理学科利用光的折射原理，叉鱼时应 11.如右图，∠ACB=90°，AB= 瞄准鱼的下方.如图所示，当人看到水中的 26,AC=24,∠BCM=∠A. “鱼”在水面下方1m处时，应对准“鱼”的 求sinA的值和点B到直线 下方约 m处叉鱼（结果保留 MC的距离. 小数点后两位，参考数据：√≈1.732,2≈ 1.414,tan55°≈1.428，tan35°≈0.700). ,玉联晴 水面 医到鱼的但卫猪 十鱼的实际位置 第14题图 15.(2025萍乡二模)中国自古就是礼仪之邦， 平辈行礼，上半身前弯15°，晚辈行礼，上半 身前弯45°.小贤同学路遇李老师，面向李 老师行了一个45的礼，李老师面向小贤回 了一个15°的礼.现将其简化成如下图所 示，已知李老师的身高AD=170cm,上半 身的长度BC=80cm,小贤的身高EG= 150cm,上半身的长度FH=70cm(保留一 位小数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈ 考点@④三角函数的应用 0.97,2≈1.414) 12.古代数学文化如图为 D B 15 《天工开物》记载的用于 春捣谷物的工具— 0 地面 “碓”的平面示意图.已 第12题图 (1)求当李老师回礼时，其头部距地面的 知AB⊥CD于点B,AB与水平线I相交于 高度。 点O,OE⊥L.若BC=4dm,OB=12dm, (2)行礼之时，人与人之间保持100cm以上 ∠BOE=60°，则点C到水平线1的距离 的距离（指头与头之间的水平距离）较为适 CF为 dm. 宜.行礼前，小贤距李老师180cm,请问同 下册第一章 25 时行礼、回礼时，李老师与小贤之间的距离 18.(2025成都)计算：()-厅+2c0s45°+ 是否适宜？ 12-21. 19.(2025内江，有改动)在综合与实践活动中， 某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔 AD的高度（如图①）.他们设计了如下方 案：如图②，点B,D,C依次在同一条水平 直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角 (∠ABD)为45°，在C处测得桥塔顶部A 的仰角（∠ACD)为30°，又测得BC= 80m,AD⊥BC,垂足为D.求桥塔AD的 高度（结果保留根号） 已中考真题演练 16.(2025云南)如图，在Rt△ABC中，∠C 90°.若AB=13,BC=5,则sinA=( 图① 图② A.5 Bc D 第16题图 第17题图 17.(2025上海，有改动)如图，某公司需要员工 上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸 扫描仪.已知扫描仪的竖直高度AB为 2.7m,某人的身高CD为1.8m,扫描仪测 得∠A=53°，那么该人与扫描仪的水平距 离BD为 m(参考数据：sin53 ≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33.结果精 确到0.1m). 26 九年级数学BS版.PF=AB-DQ=3-1=2(m), 即点P到MN的距离PF的长为2m (2)记轿车高为GH,当轿车恰好不与道闸相碰时，如图②， 过点D作DT⊥GH. 依题意得∠ADC=35,GH=1.6m.ADGH, 则∠DPH=35 :点D距地面为0.2m, ,GT=1.6-0.2=1.4(m). .DT=GTt·tan35°=1.4×0.7002 =0.98028(m), HN=3-0.98028 ≈2.01972(m), .2.01972>1.8. 图② 能通过， 章末对点导练 1.C2.C 3.3【解析】取BC的中点D,连接AD,如图所示. .AB=51+53=50,AC2=7+17=50. AB-AC.即AB-AC, ∴.AD⊥BC :AD=/6+3=35,BD=√/2+T下=5 m∠B- =3. 4.E 5.B【解析 nc-9引+9-m)-o C-号oB-号i∠C=45ZB=30 ∠A的度数为180°-45-30°-105. 6.30 7.解：1)原式=（位）广+2×号+1-4万+()-+万 +1-4万+2=2-3F (2)原式=-35+(-3)-(25-3)-1+35=-35-3 -25+3-1+35=-25-1 12 3 (3)原式 -() 45-1 35+1_325-1 2 4 8.A【解析】如图①，过点A作AC⊥OB,垂足为C,,△AOB 为等边三角形，点B的坐标为(2,0)，OA=OB=2.在 R1△AOC中，OC=OA·cos60=1,AC=OA·sin60°=3 .点A的坐标为(1，万).：△AOB每次逆时针旋转90,4 次一个循环，2025÷4=506…1.∴.第2025次旋转之后， 点A落到点A'位置，如图②，过点A'作A'H⊥x轴，垂足为 H.∠A'OH=∠OAC=90°-∠AOC,∠A'HO=∠ACO 110 九年级数学BS版 A'O=AO..△AOC2△OA'H(AAS). .A'H=0C=1,OH=AC=5, 点A'的坐标为（一3,1） OC B ①D 国2 9.220【解析】如图，过点C作AB的垂线，垂 5 CD 足为D.“sinB=房-记，i设CD=5xcm·B BC-13x cm.'.BD-/BC-CD=12x em.tanA-AD CD AD-2CD=10x cm.ABAD+BD10+12 =22rcm.由22x=44,得x=2,.CD=5x=10cm,.Sa =2AB.CD=7×4X10=20(cm). 10.5+1【解析】如图，延长AB,DC相 交于点E,过点A作AF⊥CD于点F BC=CD,∠BCD=90°，∴∠CDB =∠CBD=45.:∠ABD=90, ∠CBE=45,.∠E=45, ∴.∠FAB=A5,.AF=EF 设AB=a.则AD=2a.BD=BE=Ba, 六AE=AB+BE=5+1Da,CE-号E-。 六r=AF-号批6+E 2a C=EF-CE-6②e-6=ga, 2 2 6+② AF .an∠ACD= FC =5+1. E 11.解：如图，过点B作BE⊥CM于点E. 在R1△ABC中，BC=AB-AC =10, 'sinA=BC_5 AB 13 在R△BCE中，sin∠BCE=sinA=元=百！ BE 5 E-c-×10-器 即点B到直载MC的距离为台 12.(6-2√5) 13.57【解析】：DE=10m,其坡度i:=1:, ∴.CE=ECD,.在Rt△DCE中，DE=CD+CE 2CD=10m, ..CD=5 m. :斜坡DF坡度i:=1:4, ..CF=4CD=20 m. 在R1△DCF中，DF=/CD+CF=57m 14.0.21【解析】如图，由题意，得AB=1m ,>果晴 奢到曼的位置30 一水面 鱼的实际位置 在R△AOB中，an30°-六-号 AB/3 ∴.OA=5m. 在Rt△A(OC中，∠ACO=∠COE=55°， an∠AC0=n55=是-1.428. 3 AC≈1.213m, .BC=1.213-1=0.21(m). .应对准“鱼”的下方约0.21m处叉鱼. 15.解：(1)如图，过点C作CPLBD于点P. 由题意可知∠CBD=15°.BC=80cm, ,.BP=BC·cos15°s80×0.97=77.6(cm) :李老师的身高AD=170cm,上半身的长度BC=80g ∴.下半身的长度AB=170-80=90(cm), ∴.AP=AB+BP=90+77.6=167.6(cm) .当李老师回礼时，其头部距地面的高度约为167,6cm D -15 地面 (2)如图，过点H作HQ⊥FG于点Q, 由题意可知∠QFH■45， 小贤的身高EG=150cm,上半身的长度FH=70cm, QH=QF=FH·sim45°=70x =35/厄≈49.5(cm ,∠CBD=15,BC=80cm, .CP=BC·sinl5≈80X0.26=20.8(cm), .QH+CP=49.5+20.8=70.3(cm). 180-70.3=109.7(cm), 109.7cm>100cm. .行礼、回礼时，李老师与小贤之间的距离适宜 16.D17.1.2 18.解：原式=4-3+2×号+2-万 2 =4一3十反+2-见 =3. 19.解：设AD=xm AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90 在Rt△ABD中，∠ABD=45 AD 六BD=anZABD一tandm. 在Rt△ACD中，∠ACD=30°， AD ∴.CD= an∠ACD ian30=/cm .BC=BD+CD=80 m. ∴.x十5x=80, 解得x=403一40. .AD=(40/5-40)m. ∴.桥塔AD的高度为(405一40)m. 第二章二次函数 1二次函数 1.D2.y=3x-20x+123.4变式题敏敏4.C5.C 6.5=-z2+5r0<<107. 8.解：(1)由题意可知.AP=2x,BQ=4x 则y=号C.AB-7BQ·BP=×21X12-之X4r· (12-2.x). 即y=4.x2-24x+144, (2).0<AP<AB.O<BQ<BC. 0x<6 (3)不能.理由：当y=172时，4x2一24x十144=172， 解得x1=7,x2=一1. 又：0<x<6..四边形APQC的面积不能等于172cm. 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=x和y=一x的图象与性质 1.D2.C3. 4.解：二次函数y=x的图象的顶点坐标是(0,0). :当x=一4时y=(-4)=16, .点A(一4,16)在二次函数y=x2的图象上. ”点B为点A关于x轴的对称点，点C为点A关于y轴的 对称点， .点B的坐标为（一4.一16）.点C的坐标为(4,16). 当x=一4时，y=(一4)=16≠一16，点B不在二次函数 y=x的图象上， 当x=4时，y==16,点C在二次函数y=x2的图 象上 5.B 6.解：(1)当y=-4时，-4=-a∴a=±2 ”点A在第三象限，a■一2. 当x=3时，y=一9，.b=一9. (2)ABCD∥x轴， 点A与点B,点C与点D的纵坐标相同 :y=一x关于y轴对称， .点B的坐标为(2，一4)，点D的坐标为（一3，一9） 7解：：函数y专-是关于于的二次函数。 k-2=2且宁0，解得长=士2 (2)当抛物线有最高点时，抛物线开口向下， 即宁<0k=-2,最高点的坐标为(0,0》。 当x<0时，y随x的增大而增大。 (3)当函数有最小俏时，地物线开口向上 即号>0k=2∴最小值为0， 当r<0时，y随x的增大而减小 8.D 9.3反【解析】如图，点A关于y轴的对称点 A'的横坐标为1，连接AB与y轴相交于点 C,此时AC+BC最短.当x=1时，y=一1， 当x=一2时y=一4，∴点A'的坐标为(1， 一1)，点B的坐标为（一2，一4）.由勾股定 下册参考答案