第1章 直角三角形的边角关系 易错重难专练-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

易错重 易错易混专练 易错点① 对锐角三角函数的定义理解不透 彻而出错 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三 边都扩大为原来的30倍，则锐角A的三角 函数：①sinA;②cosA;③tanA.其中函数值 不发生变化的是 (填序号) 易错点②求三角函数时没有明确三角形为 直角三角形 2.已知△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 为a,b,c,且a=13,b=12,c=5.求simB 的值 易错点③图形未知，涉及高时，勿忘分类讨论 3.在△ABC中，若∠A=30°，AC=40cm,BC =25cm,求△ABC的面积. 2 九年级数学BS版 难专练 易错点④ 忽略锐角三角函数的取值范围 致错 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，x=sinA是方程 5.x2-14x+8=0的一个根.求sinA的值. 重点难点专练 重难点①解直角三角形与几何图形的综合 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 4,将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点 D处，EF为折痕.若AE=3,则sin∠BFD的 值为 D. 3 B E N 第5题图 第6题图 6.如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为 圆心，任意长为半径画弧，分别交OM,ON 于点A,B,再分别以点A,B为圆心，大于 AB长为半径画弧。两弧交于点C,画射线 OC.过点A作AD∥ON,交射线OC于点 D,过点D作DE⊥OC,交ON于点E.若 OA=10,DE=12,则sin∠MON=() A号B结c哥 7.如图，在□ABCD中，∠A=60°，AB=6,BC =1,P为边CD上的一动点，则PB+PD 的最小值为 第7题图 重难点②解直角三角形与函数综合 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，A为x轴 负半轴上一点，点P的坐标为(a,a)(a>0), 连接AP交y轴于点B.若AB:BP=5:4, 则tan∠PAO的值是 () 0 第8题图 5 A.g c n 9.如下图，在△ABC中，AC=6,BC=10,tanC -子，D是AC边上的动点（不与点C重合）. 过点D作DE⊥BC,垂足为E,F是BD的中 点，连接EF.设CD=x,△DEF的面积为S, 求S与x之间的函数关系式 重难点③解直角三角形的实际应用 10.(2025九江期中)某小区门口安装了汽车出 入道闸.道闸关闭时，如图①，四边形ABCD 为矩形，AB长3m,AD长1m,点D距地面 0.2m.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆 AB,CD分别绕点A,D转动，且边BC始终 与边AD平行. 图① 图②2 (1)如图②，当道闸打开至∠ADC=45时，边 CD上一点P到地面的距离PE为1.2m. 求点P到MN的距离PF的长 (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8m,高 1.6m.当道闸打开至∠ADC=35时，轿车能 否驶入小区？请说明理由.（参考数据：sin35 ≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002) 下册第一章 23△∴.CE=EF·tan60.3°4X1.75=7(m). 在R△BEF中，EF=4m.∠BFE=45 .BE=EF-4 m. ∴BC=CE-BE≈7-4=3(m). 做CE的长度约为7m,BC的长度约为3m. (2)如图，过点A作AM⊥GH于点M, 则四边形ABEM是矩形， ..AM=BE=4 m. 在Rt△AMF中，∠AFM=21.8°. AM 4 MF-nn21,g*0.0-1om, ..ME=MF-EF&10-4=6(m). .AB=ME=6 m. .SBACD=AB.BC=6X3=18(m). 故底座的底面ABCD的面积约为18m. 易错重难专练 1.D② 2.解：由a=13,b=12,c=5.得a2=62+c2, ·.△ABC为直角三角形，且∠A为直角， 3.解：分两种情况讨论：①如图①，过点C作CDLAB于点D, 则AD=40cos30=20,5(cem.CD=号×40=20(cm. ∴.DB=/25-20=15(cm) 六△ABC的面积为号×20X(20万+15)-(20万十 l50)cm2: 图QD 图2 ②如图②.过点C作CD⊥AB于点D,则AD=40os30”= 20/B(cm).CD-z×40=20(cm). ∴.DB=/25-20=15(cm). 六△ABC的面积为Z×20×(205-15)=(2005- 150)cm2. 综上，△ABC的面积为(200√5+150)cm或(2005-150)cm. 4.解：，x=sinA是方程5x2一14.x十8=0的一个根， ..5sin'A-14sinA+8=0. 解得sinA-5或sinA-2, 又0<sinA<1, &imM=子 5.A【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4, ·∠A=∠B, 由折叠的性质，得△AEF2△DEF, ∴∠EDF=∠A,DE=AE=3. .∠EDF=∠B :∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B =180. .∠CDE=∠BFD AE=3,.CE=4-3=1, :在R△ECD中，sin∠CDE-症=了 CE 1 1 .sin∠BFD=3 6.B【解析】如图，连接DB,过点D作 DH⊥ON于点H. 由题意可知，∠AOD=∠D)E,OA =OB. AD/ON,∴.∠ADO=∠DOE. ∴.∠AOD=∠ADO,∴.AO=AD, ∴AD=OB.ADOB.∴.四边形AOBD是菱形 :.OB=BD=0A=10.BD//OA. ∴.∠MON=∠DBE,∠BOD=∠BLDO. DE⊥OD, ∴.∠BOD+∠DO=90°，∠BDO+∠BDE=90°， .∠BDE=∠DEO,.BD=BE=10, ..OE=0B+BE=20. .0D=OE-DE=/20-12=16. DH LOE.'.DH-OD DE_16X12_8 OE 20 5 48 DH524 sim∠MON=sin∠DBH=BDo-25 7.33【解析】如图，过点P作PQ⊥ AD,交AD延长线于点Q 四边形ABCD是平行四边形， ∴.ABCD,.∠PDQ=∠A=60° PQ=∠P0·Pm-号pD, 当B.P,Q三点共线时，PB+PD最小 此时PB+号PD-BQ=AB·sn∠A-6×号 2 35 8.B【解析】如图，过点P作PC⊥x轴于点C 0L:轴0/PC部兴， AB:BP=5:4.OC=a.PC=a. A0- .tan∠PAO PC 4 4 g解，DE1C,垂是为EimC-器-子：CD- ，CB=言BE=10-卡，：F是BD的中 DE=3 4 点8=5m-(10-专·，化简，得y- 10.解：(1)如图①，过点D作DQ⊥ PE,垂足为Q. 由题意可知，∠ADC=45,PE 1.2m,QE=0.2m. 在Rt△PDQ中，∠PDQ=4S PQ=1.2-0.2=1(m). ..DQ=PQ=1m: 因① 下册参考答案 9 .PF=AB-DQ=3-1=2(m), 即点P到MN的距离PF的长为2m (2)记轿车高为GH,当轿车恰好不与道闸相碰时，如图②， 过点D作DT⊥GH. 依题意得∠ADC=35,GH=1.6m.ADGH, 则∠DPH=35 :点D距地面为0.2m, ,GT=1.6-0.2=1.4(m). .DT=GTt·tan35°=1.4×0.7002 =0.98028(m), HN=3-0.98028 ≈2.01972(m), .2.01972>1.8. 图② 能通过， 章末对点导练 1.C2.C 3.3【解析】取BC的中点D,连接AD,如图所示. .AB=51+53=50,AC2=7+17=50. AB-AC.即AB-AC, ∴.AD⊥BC :AD=/6+3=35,BD=√/2+T下=5 m∠B- =3. 4.E 5.B【解析 nc-9引+9-m)-o C-号oB-号i∠C=45ZB=30 ∠A的度数为180°-45-30°-105. 6.30 7.解：1)原式=（位）广+2×号+1-4万+()-+万 +1-4万+2=2-3F (2)原式=-35+(-3)-(25-3)-1+35=-35-3 -25+3-1+35=-25-1 12 3 (3)原式 -() 45-1 35+1_325-1 2 4 8.A【解析】如图①，过点A作AC⊥OB,垂足为C,,△AOB 为等边三角形，点B的坐标为(2,0)，OA=OB=2.在 R1△AOC中，OC=OA·cos60=1,AC=OA·sin60°=3 .点A的坐标为(1，万).：△AOB每次逆时针旋转90,4 次一个循环，2025÷4=506…1.∴.第2025次旋转之后， 点A落到点A'位置，如图②，过点A'作A'H⊥x轴，垂足为 H.∠A'OH=∠OAC=90°-∠AOC,∠A'HO=∠ACO 110 九年级数学BS版 A'O=AO..△AOC2△OA'H(AAS). .A'H=0C=1,OH=AC=5, 点A'的坐标为（一3,1） OC B ①D 国2 9.220【解析】如图，过点C作AB的垂线，垂 5 CD 足为D.“sinB=房-记，i设CD=5xcm·B BC-13x cm.'.BD-/BC-CD=12x em.tanA-AD CD AD-2CD=10x cm.ABAD+BD10+12 =22rcm.由22x=44,得x=2,.CD=5x=10cm,.Sa =2AB.CD=7×4X10=20(cm). 10.5+1【解析】如图，延长AB,DC相 交于点E,过点A作AF⊥CD于点F BC=CD,∠BCD=90°，∴∠CDB =∠CBD=45.:∠ABD=90, ∠CBE=45,.∠E=45, ∴.∠FAB=A5,.AF=EF 设AB=a.则AD=2a.BD=BE=Ba, 六AE=AB+BE=5+1Da,CE-号E-。 六r=AF-号批6+E 2a C=EF-CE-6②e-6=ga, 2 2 6+② AF .an∠ACD= FC =5+1. E 11.解：如图，过点B作BE⊥CM于点E. 在R1△ABC中，BC=AB-AC =10, 'sinA=BC_5 AB 13 在R△BCE中，sin∠BCE=sinA=元=百！ BE 5 E-c-×10-器 即点B到直载MC的距离为台 12.(6-2√5) 13.57【解析】：DE=10m,其坡度i:=1:, ∴.CE=ECD,.在Rt△DCE中，DE=CD+CE 2CD=10m, ..CD=5 m. :斜坡DF坡度i:=1:4, ..CF=4CD=20 m. 在R1△DCF中，DF=/CD+CF=57m 14.0.21【解析】如图，由题意，得AB=1m