第1章 6 利用三角函数测高-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

在R△ACD中，n∠ADC-品， .AC=CD·tan∠ADC≈10×1.33=13.3(m), .AB-AC-BC-3.3 m3 m 故旗杆AB的高度约为3m 3.解：(1).'∠ACD=43°..∠DAC=90-∠ACD=47 (2)根据题意，在Rt△ACD中，AC=6km,∠ACD=43', ∴.AD=AC·sin∠ACD=6Xsin43°6X0.68=4.08(km), CD=AC·cos∠ACD=6×c0s43°≈6X0.73=4.38(km). 在Rt△BCD中，∠BCD=45.54, .BD=CD·tnn∠BCD=4.38 X tand5.54°=4.38×1.02 4.47(km)..'.AB=BD-AD 0.4 km. 4.B5.A 6.605【解析】如图，过点E作EF AP,垂足为F E是CP的中点，CP=4o/⑤cm, 六PE=cp=20vEm AE-7CP.AE-PE. 地面 .AP-2PF 在Rt△PEF中，∠APE=30°， PF=PE·0s30=20/5× 2 =30/5(cm). ..AP=2PF=60/5 cm. .AB=120/5 cm..BP=AB-AP=605 cm. ∴BP的长度为605cm. 7.解：如图，过点P作PF⊥AB于点F,延长PD B 交AC的延长线于点E.根据题意，可得AB, PD垂直于水平面，∠DCE=30,∠PAC 45,∠GBP-18,∴PE⊥AE CD=16m.DE-CD-16X7-8m). 设PD=xm,则PE=PD十DE=(8十xm. '∠PAC=45,PE⊥AE, .AE=- n时=(8+x)m. PE AB⊥AE,PE⊥AE,PF⊥AB. .四边形FAEP为矩形， ..PF=AE=(8+x)m,AF=PE=(8+)m. :AB=53m,∴BF=AB-AF=53-(8+x)=(45-x)m .BF ∠GBP=18,∠BPF=18.F=ian1S, 即5二-≈0.325，解得x=32. 8+x 故该风力发电机塔杆PD的高度约为32m, 8.解：如图，延长AB交ED于点M,过点C作CN⊥ED,垂足 为N. CB∥ED,AB⊥BC, ∴∠AME=90 又CN⊥ED, ∴四边形BCNM是矩形， DN M .BC=NM=10 m.CN=BM ?背水城技北为1：号设CN=,则DN -r m. 在R:△CDN中，CD=6m. 银超勾股定理，得r+()广=6， 解得x1=3月，x=一35（不合题意，舍去）， .BM=CN=3/3 m.DN=3 m. ED=275 m...EM=ED+DN+NM=288 m. 在R:△AEM中，∠E=30°， ÷AM=hnE·EM=E×288=965(m. 3 ∴AB-AM-BM=96E-3F≈161(m). 故扬中塔AB的高度为161m: 6利用三角函数测高 1.D【解析】在R1△ABD中，∠BAD=45, .∠ABD=∠BAD=45..BD=AD. 在Rt△CBD中，∠BCD=G0,∴CD= BD BD 1an60= AC-AD-CD=BD-BD-8m: 3 .BD=- -=(4/5+12)m. 2.11 3.解：由题意，得∠AOC=90,OC=5km. 在Rt△AOC中，OA=(0C·1an34°≈3.35(km). 在Rt△BOC中，∠BCO=45°.∴.OB=OC=5(km), .AB=OB-OA=5-3.35≈1.7(km). 故A,B两点间的距离约为1.7km. 4.(300+100/2)m 5.19【解析】根据题意，易得∠AED=∠B=90°.DC=HG= 5 m,EB=CG=DH=1.5 m. 设AE=xm,在R1△AEC中，·∠AEC=90°，∠ACE= 45°，∴.∠CAE=90-∠ACE=45, .∠ACE=∠CAE,.E=AE=xm, :.DE=CE+DC=(x++5)m. :在R△AED中，an∠ADE=ae=E-g AE 7 六克子解得r-1.5AE-1.5m 7 EB=L.5m..AB=AE+EB=17.5+L.5=19(m. 故建筑物AB的高度为19m. 6.110【解析】如图，过点A作AH⊥BM 于点H.由题意可得AD=HM=50. 设BM=x,则MC=BM=x Ag.H 63.449 .BH-BM-HM...BH-x-50. .在R:△ABH中，AH= BH tn36.87 150 0.75 HC=HM+MC..HC=50+x HC 50+x ∴.在R△AHC中，AH= tan63.44 2 器空，解得=10 故点B到水面的克离BM为110m. 下册参考答案 7.解：如图，过点E作EH⊥AB,垂足为H. 由题意，得EH=FB,EF=BH=1,6m 设EH-FB=xm, 在R1△AEH中，∠AEH=26.6°， ,AH=EH·tan26.6°0.50xm, ∴.AB=AH+BH=(0.50.x+1.6)m ,CD⊥FB,AB⊥FB,∴.∠CDF=∠ABF=90 又，∠CFD=∠AFB, △CDFABE,÷器器 常华AB-子 3 2=0.50r+1.6dr=6.4AB=子=48m 3 该址观灯的高AB约为4,8m, 8.解：(1)76 (2)3.8 (3)如图，延长AE交PB的延长线于点K, 由(2)可知，KE-3.8m. 设AE=xm.则AK=(x十3.8)m ∠P=45,PK-AK. PQ=4, .KQ=x+3.8-4=(x-0.2)m. :tan∠AQK= AK KQ =tan60=√5. 十38 8+5 x-0.2 =尽，解得x= 5.7. 5-1 故旗杆AE的高度约为5.7m 应用技巧专题解直角三角形与特殊几何 图形的综合应用 1.解：(1)如图，过点O分别作OP⊥CD于点P,OQ⊥AM于 点Q. .'AM⊥CD,∴.∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°， ∴.四边形OQMP是矩形，.QMOP .OC=OD=10dm.∠COD=60°， ∴△COD是等边三角形. 1 0P⊥CD.÷∠CoP=z∠coD=30 .QM=OP=OC·cos30°=53dm ∠AOC=∠QOP=90°. ·∠AC-∠CQ=∠QP-∠COQ,即∠AOQ=∠COP- A-5 dm.5 13.7(dm. 故点A离地面的距离AM约为13.7dm D水平地面 (2)如图，过点F分别作FK⊥OB于点K,FJ⊥OC于点J. 由(1).得△COD是等边三角形，∠ODC=60°. OBCD,.∠BOD=∠ODC=6o. 8 九年级数学BS版 在R1△OFK中，OK=OF·cos60°-2dm.FK=OF, sin60°=2/3dm. 在R△FKE中，EK=EF-FK=√6-(25)F 26(dm).∴.BE=OB-OK-KE=10-2-26=(8- 2√6)dm. 在Rt△OF】中，OJ=OF·cos60°=2dm,FJ=OF·sin6o =25dm. 在Rt△FJE中，E'J=EF一F下=6-(2)产 2√6(dm),.B'E'=OB'-(EJ-OJ)=10-(26-2)= (12-26)dm,.BE'-BE=12-26-(8-26) =4(dm). 故BE'-一BE的值为4dm. 2.解：如图，过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q 四边形ABCD是平行四边形，∠FBA=F: 114.2°，∴∠FCQ=∠CBH=180°- 114.2°=65.8°. :FC=5?cm,.FQ=FC·sin∠FQ= 57sin65.8°cm. 过点A作AP⊥MN于点P,由题意知AB ∥CDMN,FC∥AN. .∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8° 又：AN=43cm, ∴.AP=AN·sin∠ANP=43sin65.8°cm 过点C作CH⊥AB于点H. BC=CE.BE-16.4 cm. ∴.BH=8.2cm, ∴.CH=BH·tan∠CBH=8.2tan65.8°cm, .靠背顶端点F距地面(MN)的高度为FQ+AP一HC 57sin65.8°+43sin65.8°-8.2tan65.8°100×0.91-8.2X 2.23≈72.7(cm. ◆一题多解法《 如图，过点F作FQ⊥DC交DC的F: 延长线于点Q,过点C作CH⊥AB 于点H,延长AB交FQ于点S. BC=CE.BE=16.4 cm...BH= 8.2cm. 又：ABCD. ·∠FCQ=∠HBC=180°-114.2 =65.8°， cosZHBC心FS=FB·sin∠FBS=FB. BH ∴.BC= sim∠HBC=(57- 5.F）×n65,8-(57sin65.8- 8.2 8,2sin65.8 cos65.8°/cm. 过点A作AP⊥MN于点P.由题意知AB∥CD∥ MN,FC∥AN, ∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8°. 又：AN=43cm, ∴AP=AN·sin∠ANP=43sin65.8°cm, ∴.靠背顶端点F距地面(MN)的高度为FS+AP= 57sin65.8°-8.2tnn65.8°+43sin65.8°=100sin65.8 -8.2tan65.8°≈100×0.91-8.2×2.2372.7(cm). 3.解：(1)在Rt△CEF中，EF=4m,∠CFE=60.3,6 利用三 已课内基础闯关 知识点①测量底部可到达的物体的高度 1.如图，小梦要测量旗杆的高度BD,在点A 处测得∠BAD=45°，在点C处测得∠BCD =60°.已知AC=8m,点A,C,D在同一直 线上，则旗杆的高度BD为 A.(45+4)m B.(75+7)m C.(145+14)m D.(45+12)m 第1题图 第2题图 2.(教材变式)如图，小明为测量校园里一棵大 树AB的高度，在树底部B所在的水平面 内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的 位置，在D处测得树顶A的仰角为52°.若 测角仪的高度是1m,则大树AB的高度约 为 m(结果精确到1m,参考数 据：sin52°≈0.788，cos52°≈0.616，tan52°≈ 1.280). 3.如右图，一枚运载火箭从距 雷达站C处5km的地面O 处发射，当火箭到达点A,B 0 5 km C 时，在雷达站C处测得点A,B的仰角分别 为34°，45°，点O,A,B在同一条直线上.求 A,B两点间的距离（结果精确到0.1km,参 考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34° ≈0,67). 418 九年级数学BS版 角函数测高 知识点②测量底部不可到达的物体的高度 4.如图，一名游客从山脚A沿坡角为30°的山 坡AB行走600m到达景点B,再由景点B 沿山坡BC行走200m到达山顶C.若在山 顶C观测得到景点B的俯角为45°，则山的 高度CD为 58 D459 第4题图 第5题图 5.如图，AB是一座底端点不可到达的建筑物， A为建筑物的最高点.某数学兴趣小组为测 量建筑物AB的高度，先在点H处用测角仪 测得建筑物顶端点A处的仰角∠ADE=a, 再向前走5m到达点G处，又测得建筑物顶 端点A处的仰角∠ACE=45°，测角仪的高 7 DH=CG=L.5m.已知tana=g,ABI BH,H,G,B三点在同一水平线上.建筑物 AB的高度为 m. 已课外拓展提高 6.如图，一架无人机在空中A处 观测到山顶B的仰角为 A,3687 63.44 36.87°，山顶B在水中的倒影 C的俯角为63.44°.若此时无 人机距水面的距离AD为 50m,则点B到水面的距离 第6题图 BM为 m(参考数据：sin36.87°≈ 0.60,cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75 sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44 ≈2.00). 7.(2025泰州模拟)一天晚上，小明和爸爸带着 测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底 部不可到达)的高AB.如下图所示，当小明 爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的 影子长为DF,测得DF=2.4m:当小明站 在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰 角a为26.6°.已知爸爸的身高CD=1.8m, 小明眼晴到地面的距离EF=1.6m,点F, D,B在同一条直线上，EF⊥FB,CD⊥FB, AB⊥FB.求该景观灯的高AB(参考数据： sin26.6°≈0.45，c0s26.6°≈0.89，tan26.6°≈ 0.50). 综合能力提升 8.应用意识九(1)班同学在下学期的社会实 践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进 行了测量， D B P Q 图① 图② 图③ (1)如图①，第一小组用一根木条CD斜靠 在护墙上，使得BD与BC的长度相等，且测 量得到∠CDB=38°，则护墙与地面的倾斜 角a的度数为 (2)如图②，第二小组用皮尺量得EF为 16m(E为护墙上的端点)，EF的中点离地 面FB的高度为1.9m,则点E离地面FB 的高度为 m. (3)如图③，第三小组在点P处测得旗杆顶 端A的仰角为45°，向前走4m到达点Q,此 时测得旗杆顶端A的仰角为60°.求旗杆 AE的高度（结果精确到0.1m,参考数据： tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，√5≈1.732， √2≈1.414) 知识要点归纳 1.测量底部可以到达的物体的高度：所谓“底部 可以到达”，就是在地面上可以无摩碎地直接测 得测点与被测物体的底部之河的距高：实际上是 先测量一个直角三角形中的一个锐角的度数和 一条直角边的长，然后利用三角函效得出物体的 高度 2测量底部不可以到达的物体的高度：所谓“底 部不可以到达”，就是在地面上不能直接剑得调 点与被测物体的底部之间的距离，需测出四个数 据，即测倾器在两个测点分别所得的物体的仰 角，两个测点之间的距离及测倾器的高度 下册第一章