第1章 5 第2课时 仰角、角及玻度问题-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第2课时 仰角 念课内基础闯关 知识点①仰角、俯角问题 1.如图，小明站在某山顶A处看到了山脚下B 处的公园，俯角为α.若小明所处位置的高度 AC为1540m,则B,C之间的距离为( A.1540 m tana B.1 540tana m C.1 540sina m D.1 540cosa m c153o B D45°.C 第1题图 第2题图 2.(教材变式)如图，建筑物BC上有一根旗杆 AB.从与BC水平相距10m的D处观测旗 杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的 仰角为45°，则旗杆AB的高度约为 m(结果取整数，参考数据：sin53 ≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) 3.(2025杭州余杭区二模)火箭发射升空的示 意图如下图所示.火箭从地面D处发射，当 火箭到达A点时，从位于地面C处的雷达 站测得AC的距离是6km,仰角为43°；1s 后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54° (结果保留一位小数，参考数据：sin43°≈ 0.68,cos43°≈0.73，tan45.54°≈1.02) (1)求∠DAC的度数. 金16 九年级数学BS版 俯角及坡度问题 (2)求AB的长. 知识点②坡度、坡角问题 4.如图，爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬 1m耗能(1.025一cosa)J.若某人爬了 1000m,该坡角为30°，则他耗能（参考数据： √5≈1.732,2≈1.414) ) A.58J B.159J C.1025J D.1732J 30 第4题图 第5题园 5.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻 两树间的水平距离)为4m,如果在坡比为 1:3的山坡上种树，也要求株距为4m,那 么相邻两树间的坡面距离为 ) A.5 m B.6 m C.7m D.8m 知识点③三角函数的其他应用 6.某户外遮阳伞截面结构示意图 C 如图所示.支撑柱AB垂直于地 面，AB=1205cm,P是支撑柱 地面 AB上一动点，伞杆CP可绕着 第6题园 中点E旋转，CD=CP=40/I5cm,斜拉杆AE 可绕点A旋转，AE=号CP.若∠APE=30,则 BP的长度为 cm. ⊙课外拓展提高 7.(2025乌鲁木齐一模)风电项目对于调整能 源结构和转变经济发展方式具有重要意义。 某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装 了一架风力发电机，如图①.某校实践活动 小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆 高度进行了测量，图②为测量示意图.已知 斜坡CD长16m,在地面点A处测得风力 发电机塔杆顶端点P的仰角为45°，利用无 人机在点A的正上方53m的点B处测得 点P的俯角为18°，求该风力发电机塔杆 PD的高度（参考数据：sinl8°≈0.309， cos18°≈0.951，tan18°≈0.325). 图① 图② @综合能力提升 8.扬中塔又称扬中新 广播电视发射塔， 背水战 迎水拔 位于扬中市滨江公 E 园内.如上图，扬中塔AB建在背水坡坡比为1 号，坡长CD=6m,塔底B距离点C10m的 环岛江堤上，小明在距离点D275m的点E处 测得塔顶A的仰角为30°.己知堤坝顶部BC与 地面DE平行，求扬中塔AB的高度（结果保留 整数，参考数据：5≈1.732). 知识要点归纳 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： (1)极据题意画出儿何图形，建立数学横型： (2)将条件转化为几何图形中的边、角戏它们之 间的关巢，把实际问题转化为解直角三角形的问 题；(3)根据直角三角形（或通过添加辅助线构造 的直角三角形)各元素（边、角）之河的关集选择 合适的关系式，使运算简便、结采准确：(4)得出 数学问题的答案，并检脸签素是否符合实际意 义，从而得到实际问题的解 下册第一章129=0.6 ÷sin∠1-200 .∠1￥36.9° 在R1△BAD中，AB=30cm 160c AB 30 六in∠2=元20=0.15， 120cm D(E) ∠2s8.6°， 图2 .∠3=90°-8.6°=81.4°， .a=180°-∠1-∠3=180°-36.9°- 81.4°=61.7 【解析】(2)①如图③，由平移的性质可知， AB=A'F,AB∥AF, 160 em ·四边形ABFA'为平行四边形. F120 cm ..BF=AA'. 同理可得，四边形AEDA'为平行四边形 图) ..DE-AA'..BF-DE. 5三角函数的应用 第1课时方向角问题 1.105 2.解：如图，过点P作PC⊥AB,垂足为C 由题意可知，∠A=∠1=37”，∠B=∠2=45， 在Rt△APC中，∠A=37,AP 37 =100 n mile, .PC=AP·sin4=100Xsin37"≈100×0.60 =60(n mile), AC=AP·cosA=100Xcos37≈100×0.80= 80(n mile). 在Rt△PBC中，，'∠B=45..BC=PC=60 n mile ..AB=AC+BC=80+60=140(n mile). 故B处距离A处约140 n mile. 3.D 变式题(2+1)【解析】如图，过点A B作BE⊥AD,交AD于点E,则 ∠AEB=∠DEB=90°. 由题意，得∠A=90°一60°=30 在R1△AEB中，BE=AB·sinA=4X =2(km).AE= AB·c0sA=4X2 =25(km) 在R1△BDE中，∠EBD=45,∴.DE=BE=2km AD=DE+AE=(2+23)km, ,.CD=AD-AC=2+23-1=(25+1)km. 4.解：：点A,B均在点C的北偏东37方向上，点A在点D的 正北方向，且点D在点C的正东方向， .△ACD是直角三角形， ∴.∠BCD=90°-37°=53° ∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37 在R1△ACD中， CD =sinA,CD=90 m. Ac-品8-10m :∠CDA=90°.∠BDA=53°， ,∴.∠BDC=90°-53°=37°， ,.∠BCD+∠BDC=37+53°=90 ∴∠CBD=9O°，即△BCD是直角三角形， 6 九年级数学BS版 %-∠BC .BC=CD·sin∠BDC≈90×0.60=54(m》, .AB=AC-BC=150-54=96(m) 故A,B两点间的距离约为96m, 5.D【解析】如图，过点O作OM⊥ BC于点M,ON⊥AC于点N. AC⊥BC..四边形ONCM为 矩形，.ON=MC,OM=NC.设 OM=x,则NC=x.AN=840- x,在R△ANO中，∠OAN=45, ∴.ON=AN=840-x,∴.MC=ON=840-x.在Rt△BOM OM 中.BM an∠0B*1.BC-500m840-x+2 =500.解得x=480,即点(O到BC的距离约为480m. 6.解：如图，过点C作CH⊥AB于 点H. CAB-45".AC-30 n mile, 45 ∴.AH=CH=AC·sin45= 15/厄n mile. 由题意，得∠CBH=60° 2.BC-CH10/(n mile). sin60 2 由题意得∠HCD=60°，∠HCB=30°，.∠BCD=30. 又：∠CBD=30°+60°=90°. ,在R1△CBD中，CD= BC106 c0s30 =20√2(n mile). 2 故C,D间的距离为20反n mile. 7,解：(1)如图，过点D作DF⊥ D EA,垂足为F. 易得四边形ABCF是矩形， .∴.AF=BC=10km. 在Rt△ADF中，∠DAF=45 AD=AF 10 0s45° ≈14(km), E 2 ∴.AD的长度约为14km (2)在Rt△ADF中，∠ADF=∠DAF=45°，AF=10km. .DF=AF=10 km. 在R△ABE中.∠ABE=90°-60°=30°.：AB=CF=DF +CD=24km,AE=AB.an30=24×5=85(km). 3 ∴.EB=2AE=2X85=163(km). 按路线①A一D一C一B锻炼的路程为AD+DC+CB=14 +14+10=38(km), 按路线②A一E一B银炼的路程为AE+EB=85+165= 42(km). :38km<42km,∴.小明应该选择线路①， 第2课时仰角、俯角及坡度问题 1.A 23【得折】在R△D中，m∠BDC器 .BC=CD·tan∠BDC=101an45=10X1=10(m). 在R△ACD中，n∠ADC-品， .AC=CD·tan∠ADC≈10×1.33=13.3(m), .AB-AC-BC-3.3 m3 m 故旗杆AB的高度约为3m 3.解：(1).'∠ACD=43°..∠DAC=90-∠ACD=47 (2)根据题意，在Rt△ACD中，AC=6km,∠ACD=43', ∴.AD=AC·sin∠ACD=6Xsin43°6X0.68=4.08(km), CD=AC·cos∠ACD=6×c0s43°≈6X0.73=4.38(km). 在Rt△BCD中，∠BCD=45.54, .BD=CD·tnn∠BCD=4.38 X tand5.54°=4.38×1.02 4.47(km)..'.AB=BD-AD 0.4 km. 4.B5.A 6.605【解析】如图，过点E作EF AP,垂足为F E是CP的中点，CP=4o/⑤cm, 六PE=cp=20vEm AE-7CP.AE-PE. 地面 .AP-2PF 在Rt△PEF中，∠APE=30°， PF=PE·0s30=20/5× 2 =30/5(cm). ..AP=2PF=60/5 cm. .AB=120/5 cm..BP=AB-AP=605 cm. ∴BP的长度为605cm. 7.解：如图，过点P作PF⊥AB于点F,延长PD B 交AC的延长线于点E.根据题意，可得AB, PD垂直于水平面，∠DCE=30,∠PAC 45,∠GBP-18,∴PE⊥AE CD=16m.DE-CD-16X7-8m). 设PD=xm,则PE=PD十DE=(8十xm. '∠PAC=45,PE⊥AE, .AE=- n时=(8+x)m. PE AB⊥AE,PE⊥AE,PF⊥AB. .四边形FAEP为矩形， ..PF=AE=(8+x)m,AF=PE=(8+)m. :AB=53m,∴BF=AB-AF=53-(8+x)=(45-x)m .BF ∠GBP=18,∠BPF=18.F=ian1S, 即5二-≈0.325，解得x=32. 8+x 故该风力发电机塔杆PD的高度约为32m, 8.解：如图，延长AB交ED于点M,过点C作CN⊥ED,垂足 为N. CB∥ED,AB⊥BC, ∴∠AME=90 又CN⊥ED, ∴四边形BCNM是矩形， DN M .BC=NM=10 m.CN=BM ?背水城技北为1：号设CN=,则DN -r m. 在R:△CDN中，CD=6m. 银超勾股定理，得r+()广=6， 解得x1=3月，x=一35（不合题意，舍去）， .BM=CN=3/3 m.DN=3 m. ED=275 m...EM=ED+DN+NM=288 m. 在R:△AEM中，∠E=30°， ÷AM=hnE·EM=E×288=965(m. 3 ∴AB-AM-BM=96E-3F≈161(m). 故扬中塔AB的高度为161m: 6利用三角函数测高 1.D【解析】在R1△ABD中，∠BAD=45, .∠ABD=∠BAD=45..BD=AD. 在Rt△CBD中，∠BCD=G0,∴CD= BD BD 1an60= AC-AD-CD=BD-BD-8m: 3 .BD=- -=(4/5+12)m. 2.11 3.解：由题意，得∠AOC=90,OC=5km. 在Rt△AOC中，OA=(0C·1an34°≈3.35(km). 在Rt△BOC中，∠BCO=45°.∴.OB=OC=5(km), .AB=OB-OA=5-3.35≈1.7(km). 故A,B两点间的距离约为1.7km. 4.(300+100/2)m 5.19【解析】根据题意，易得∠AED=∠B=90°.DC=HG= 5 m,EB=CG=DH=1.5 m. 设AE=xm,在R1△AEC中，·∠AEC=90°，∠ACE= 45°，∴.∠CAE=90-∠ACE=45, .∠ACE=∠CAE,.E=AE=xm, :.DE=CE+DC=(x++5)m. :在R△AED中，an∠ADE=ae=E-g AE 7 六克子解得r-1.5AE-1.5m 7 EB=L.5m..AB=AE+EB=17.5+L.5=19(m. 故建筑物AB的高度为19m. 6.110【解析】如图，过点A作AH⊥BM 于点H.由题意可得AD=HM=50. 设BM=x,则MC=BM=x Ag.H 63.449 .BH-BM-HM...BH-x-50. .在R:△ABH中，AH= BH tn36.87 150 0.75 HC=HM+MC..HC=50+x HC 50+x ∴.在R△AHC中，AH= tan63.44 2 器空，解得=10 故点B到水面的克离BM为110m. 下册参考答案